4 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN NÂNG CAO

Ngun Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN NÂNG CAO A – LÝ THUYẾT CHUNG Diện tích hình phẳng  y = f1 ( x)  y = f ( x)  Nếu có hình phẳng giới hạn đường  x a =   x = b (Trong f1 ( x), f ( x) liên tục đoạn [a;b]), b diện tích S tính theo cơng thức S = ∫ f1 ( x) − f ( x) dx a Thể tích khối trịn xoay  y = f ( x)  Ox Quay quanh trục Ox: Cho hình phẳng giới giới hạn đường  = x a   x = b (Trong f ( x ) liên tục đoạn [a;b]), quay quanh trục Ox, ta khối tròn xoay b Thể tích Vx khối trịn xoay tính theo cơng thức Vx = π ∫ [ f ( x) ] dx a x = f ( y)  Oy Quay quanh trục Oy: Cho hình phẳng giới hạn đường  x = a  x = b (Trong f ( y ) liên tục đoạn [a;b]), quay quanh trục Oy, ta khối tròn xoay b Thể tích Vy khối trịn xoay tính theo cơng thức Vy = π ∫ [ f (y) ] dx a 104 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục đoạn [ a; b ] Gọi D diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị ( C ) : y = f ( x ) , trục hoành, hai đường thẳng x = a , x = b (như hình vẽ đây) Giả sử SD diện tích hình phẳng D Chọn cơng thức phương án A, B, C, D cho đây? b a 0 b a A S D = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx C S D = ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx Câu 2: b a 0 b a B S D = − ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx D S D = − ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị ( C ) hàm số y = tuyến ( C ) xuất phát từ M ( 3; −2 ) A Câu 3: B C 13 ( x − x + 3) hai tiếp D 11 Gọi D miền giới hạn đường y = −3x + 10, y = 1, y = x D nằm parabol y = x2 Khi cho D quay xung quanh trục Ox, ta nhận vaath thể trịn xoay tích là: A 11π Câu 4: B C 12π D 25 π Gọi d tiếp tuyến đồ thị hàm số y = ln x giao điểm đồ thị với trục Ox Diện tích hình tam giác tạo hai trục tọa độ đường thẳng d xác định tích phân: A ∫ ln xdx Câu 5: 56 π B ln x ∫0 x dx C ∫ ( x − 1)dx D ∫ ( x − 1)dx 1) cho y1 = f1 ( x) y2 = f ( x) hai hàm số liên tục đoạn [a;b] Giả sử: α β , với a ≤ α < β ≤ b , nghiệm phương trình f1 ( x) − f ( x) = Khi diện tích hình 105 Ngun Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng phẳng giới hạn đường thẳng đồ thi hàm số cho công thức α β a α b S = ∫ f1 ( x) − f ( x) dx + ∫ f1 ( x) − f ( x) dx + ∫ f1 ( x) − f ( x) dx β (2) Cũng với giải thiết (1), nhưng: S= Câu 6: α β b a α β ∫ ( f1 ( x) − f ( x) )dx + ∫ ( f1 ( x) − f ( x) )dx + ∫ f1 ( x) − f ( x)dx A (1) (2) sai B (2) (1) sai C Cả (1) (2) D Cả (1) (2) sai Gọi S a diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = e2 x − 2e x , trục Ox đường thẳng x = a với a < ln Kết giới hạn lim S a là: a →−∞ A Câu 7: B C D Phần bơi đen hình vẽ hình phẳng (D) giới hạn parabol (P) tiếp tuyến d (P) điểm A(1;1) đường thẳng x = Tính diện tích hình phẳng (D) y -2 A Câu 8: -1 x C D Diện tích miền phẳng giới hạn đường: y = 2x , y = − x + y = là: A S = Câu 9: B -1 1 − ln 2 B S = + ln C S = 47 50 D S = +3 ln Cho a, b hai số thực dương Gọi (K) hình phẳng nằm góc phần tư thứ hai, giới hạn parabol y = ax2 đường thẳng y = −bx Biết thể tích khối trịn xoay tạo quay (K) xung quanh trục hoành số không phụ thuộc vào giá trị a b Khẳng định đúng? A b = 2a B b = 2a C b = 2a D b = a Câu 10: Cho hình phẳng ( H ) giới hạn đường y = x − y = k , < k < Tìm k để diện tích hình phẳng ( H ) gấp hai lần diện tích hình phẳng kẻ sọc hình vẽ bên A k = B k = − 106 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng C k = D k = − Câu 11: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị y = f ′( x ) cắt trục Ox ba điểm có hồnh độ a < b < c hình vẽ Mệnh đề đúng? A f (c ) > f ( a ) > f (b) B f (c ) > f (b) > f (a ) C f ( a ) > f (b) > f (c ) D f (b) > f ( a ) > f (c ) Câu 12: Gọi V thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y = x , y = x = quanh trục Ox Đường thẳng x = a ( < a < ) cắt đồ thị hàm y = x M (hình vẽ bên) Gọi V1 thể tích khối trịn xoay tạo thành quay tam giác OMH quanh trục Ox Biết V = 2V1 Khi y M O A a = B a = 2 Câu 13: Cho tam giác ABC có diện tích tích V khối trịn xoay tạo thành A V = 2π B V = π a K H C a = x D a = quay xung quanh cạnh AC Tính thể C V = π D V = π Câu 14: Diện tích hình phẳng nằm góc phần tư thứ nhất, giới hạn đường thẳng a y = x, y = x đồ thị hàm số y = x3 , a, b b a số nguyên, tối giản Khi a + b b A 68 B 67 C 66 Câu 15: Thể tích V khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường trịn (C ) : x2 + ( y − 3)2 = xung quanh trục hoành 107 D 65 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng A V = 6π B V = 6π C V = 3π D V = 6π x2 y + = 1, ( a, b > ) đường a2 b2 tròn ( C ) : x + y = Để diện tích elip ( E ) gấp lần diện tích hình trịn ( C ) Câu 16: Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz cho ( E ) có phương trình B ab = 7 A ab = C ab = Câu 17: Gọi S ( t ) diện tích hình phẳng giới hạn đường y = D ab = 49 ( x + 1)( x + ) , y = 0, x = , x = t (t > 0) Tìm lim S ( t ) t →+∞ A − ln − B ln − C − ln D ln + Câu 18: Gọi H phần mặt phẳng giới hạn đường thẳng y = mx với m < parabol (P) có phương trình y = x ( − x ) H có diện tích: ( − m ) ( − 5m ) A C ( − m) B ( − m ) ( − 2m ) D ( m − 2) Câu 19: Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường 2my = x2 , mx = y , ( m > ) Tìm m S = để giá trị A m = B m = C m = D m = 2 Câu 20: Gọi S1 diện tích mặt phẳng giới hạn đường thẳng y = mx với m < parabol (P) có phương trình y = x ( − x ) Gọi S2 diện tích giới hạn (P) Ox Với trị số m S1 = S2 ? A − B + C D Câu 21: Cho hình thang cong (H) giới hạn đường y = e x ; y = 0; x = x = ln Đường thẳng x = k , ( < k < ln ) chia (H) thành hai phần có diện tích S1 S2 hình vẽ bên Tìm k để S1 = 2S2 A k = 108 ln B k = ln C k = ln D k = ln Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Câu 22: Gọi ( H ) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số: y = x2 − x + , trục tung trục hoành Xác định k để đường thẳng ( d ) qua điểm A ( 0; ) có hệ số góc k chia ( H ) thành hai phần có diện tích A k = −4 B k = −8 C k = −6 D k = −2 Câu 23: Cho hàm số y = x − 3x2 + m có đồ thị ( Cm ) với m tham số thực Giả sử ( Cm ) cắt trục Ox bốn điểm phân biệt hình vẽ : y ( Cm ) S3 S1 O S2 x Gọi S1 , S2 S3 diện tích miền gạch chéo cho hình vẽ Tìm m để S1 + S2 = S3 A m = − B m = − C m = D m = Câu 24: Tìm giá trị tham số m cho: y = x − 3x + y = m(x+2) giới hạn hai hình phẳng có diện tích A < m < B m = C < m < D m =    Câu 25: Cho hàm số y = x + mx − x − 2m − có đồ thị (C) Tìm m ∈ 0;  cho hình phẳng giới hạn đồ thị (C) đường thẳng x = 0, x = 2, y = có diện tích A m = B m = C m = D m = x4 − 2m x + Tập hợp tất giá trị tham số thực m cho đồ thị hàm số cho có cực đại cực tiểu, đồng thời đường thẳng phương với trục 64 hoành qua điểm cực đại tạo với đồ thị hình phẳng có diện tích 15 Câu 26: Cho hàm số y = A ∅ 109 B {±1}   ; ±1 C ±     D  ± ; ±1   Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Câu 27: Trong hệ trục Oxy, cho tam giác OAB vuông A, điểm B nằm góc phàn tư thứ π  A nằm trục hồnh, OB = 2017 Góc AOB = α ,  < α <  Khi quay tam giác 3  quanh trục Ox ta khối nón trịn xoay Thể tích khối nón lớn khi: A sin α = B cos α = C cos α = D sin α = Câu 28: Cho hàm số y = f ( x ) = ax + bx + cx + d , ( a, b, c ∈ ℝ, a ≠ ) có đồ thị ( C ) Biết đồ thị tiếp xúc với đường thẳng y = điểm có hồnh độ âm đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) cho hình vẽ đây: (C ) Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị ( C ) trục hoành A S = B S = 27 C 21 D Câu 29: Đường cong cho phương trình x = g ( y ) , với đạo hàm g ′ ( y ) hàm liên tục, gọi m, n ( m < n ) tương ứng tung độ điểm M N thuộc đồ thị x = g ( y ) Độ dài đường cong x = g ( y ) từ điểm M tới điểm N là: y = x từ (1;1) đến A 1,07 ( ) n ∫ + ( g ( y ) ) dx Áp dụng tính độ dài đường cong m 2; B 1,06 C D Câu 30: Đường cong cho phương trình x = g ( y ) , với đạo hàm g ′ ( y ) hàm liên tục, gọi m, n ( m < n ) tương ứng tung độ điểm M N thuộc đồ thị x = g ( y ) Độ dài đường cong x = g ( y ) từ điểm M tới điểm N là: n ∫ + ( g ( y ) ) dx Áp dụng tính độ dài đường cong m x = y từ (1;1) đến ( 4; ) A 1,07 B 7,27 C 7,2 D Câu 31: Đường cong cho phương trình x = g ( y ) , với đạo hàm g ′ ( y ) hàm liên tục, gọi m, n ( m < n ) tương ứng hoành độ điểm M N thuộc đồ thị Độ dài đường cong 110 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng y = g ( x ) từ điểm M tới điểm N là: n m ( + ( g ( y ) ) dx Tìm độ dài đường cong ∫ ) y = x từ điểm ( 0;0 ) đến điểm 2;4 Tích phân cần tính để giải là: A ∫ + 9xdx B + 9xdx C ∫ 25 ∫ + 4x dx D ∫ + 4x dx Câu 32: Xét hàm số y = f ( x ) liên tục miền D = [ a; b] có đồ thị đường cong C Gọi S phần giới hạn C đường thẳng x = a , x = b Người ta chứng minh diện tích mặt cong trịn xoay tạo thành xoay S quanh Ox b S = 2π ∫ f ( x ) + ( f ′ ( x ) ) dx Theo kết trên, tổng diện tích bề mặt khối trịn xoay a tạo thành xoay phần hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f ( x ) = đường thẳng x = , x = e quanh Ox 2e − A π 4e − B π 64 Câu 33: Tính độ dài đường cong y = 4e + 16e + C π 16 x − ln x 4e − D π 16 32 x − , từ điểm A có hồnh độ a = đến điểm B có hồnh độ b = Kết là: A 13 B 21 C D 14 Câu 34: Cho hai mặt cầu ( S1 ) , ( S2 ) có bán kính R thỏa mãn tính chất: tâm ( S1 ) thuộc ( S2 ) ngược lại Tính thể tích phần chung V A V = π R B V = π R3 hai khối cầu tạo (S1 ) (S2 ) C V = 5π R 12 D V = 2π R Câu 35: Gọi V thể tích khối trịn xoay tạo thành quay xung quanh trục hoành elip có phương trình A 550 x2 y + = V có giá trị gần với giá trị sau đây? 25 16 B 400 C 670 D 335 Câu 36: Gọi Vx Vy thể tích khối trịn xoay tạo nên phép quay hình elip x2 y2 + ≤ ( a < b ) Xung quanh trục Ox, Oy Hỏi khẳng định đúng? a2 b2 111 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng A Vx > Vy B Vx < Vy C Vx = Vy D Vx ≥ Vy Câu 37: Cho hàm số y = x − x + m có đồ thị (C) Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C) với y0 trục hoành Với giá trị m A m = B m = S =S' ? C m = 20 D m = Câu 38: Cho parabol ( P ) : y = x + đường thẳng d : y = mx + Biết tồn m để diện tích hình phẳng giới hạn ( P ) d đạt giá trị nhỏ nhất, tính diện tích nhỏ B S = A S = C S = D S = Câu 39: Cho parabol (P) y = x hai điểm A, B thuộc (P) cho AB = Tìm A, B cho diện tích hình phẳng giới hạn (P) đường thẳng AB đạt giá trị lớn A 3 B C D x2 chia hình trịn có tâm gốc tọa độ, bán kính 2 thành hai phần có S diện tích S1 S2 , S1 < S2 Tìm tỉ số S2 Câu 40: Parabol y = A 3π + 21π − 3π + 9π − B C 3π + 12π D 9π − 3π + Câu 41: Xét hàm số y = f ( x ) liên tục miền D = [ a; b] có đồ thị đường cong C Gọi S phần giới hạn C đường thẳng x = a , x = b Người ta chứng minh diện tích mặt cong tròn xoay tạo thành xoay S quanh O x b S = 2π ∫ f ( x ) + ( f ′ ( x ) ) dx Theo kết trên, tổng diện tích bề mặt khối tròn xoay a tạo thành xoay phần hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f ( x ) = x − ln x đường thẳng x = , x = e quanh O x A 2e − π B 4e4 − π 64 C 4e + 16e + π 16 D 4e4 − π 16 Câu 42: Diện tích hình phẳng giới hạn hàm số y = x x + , trục Ox đường thẳng x = 112 ( a b − ln + b c ) với a , b , c số nguyên dương Khi giá trị a + b + c Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng A 11 113 B 12 C 13 D 14 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Gọi S1 , S2 S3 diện tích miền gạch chéo cho hình vẽ Tìm m để S1 + S2 = S3 A m = − B m = − C m = D m = Hướng dẫn giải: Chọn D Giả sử x = b nghiệm dương lớn phương trình x − x + m = Khi ta có b − 3b + m = (1) Nếu xảy S1 + S2 = S3 b ∫(x − x + m ) dx = ⇒ b5 b4 − b3 + mb = ⇒ − b + m = (2) ( b > ) 5 Từ (1) (2), trừ vế theo vế ta 4 b − 2b = ⇒ b = (do b > 0) 5 Thay trở ngược vào (1) ta m = Câu 24: Tìm giá trị tham số m cho: y = x − 3x + y = m(x+2) giới hạn hai hình phẳng có diện tích A < m < C < m < B m = D m = Hướng dẫn giải: Phương trình hồnh độ giao điểm: x − 3x + = m(x + 2) ⇔ x = −2 hc x = ± m , m ≥ Điều kiện d: y = m(x+2) (C): y = x − 3x + giới hạn hình phẳng: < m ≠ Gọi S1, S2 diện tích hình phẳng nhận theo thứ tự từ trái sang phải Nếu m = 1: d qua điểm uốn (0;2) (C) Khi S1 = S2 = ∫ (x − 4x)dx = −2 Nếu < m < 1: S1 > > S2 Nếu < m < 9: S1 < < S2 Nếu m > ⇒ − m < −2; + m > Khi đó: −2 S1 = ∫ 1− m 129 1+ m x − 3x + − m(x + 2) dx; S2 = ∫ −2 x − 3x + − m(x + 2) dx Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng S2 − S1 = 2m m > Vậy m = thỏa yêu cầu toán Chọn B   0;  cho hình y = x + mx − x − m − Cho hàm số có đồ thị (C) Tìm m ∈ Câu 25:   3 phẳng giới hạn đồ thị (C) đường thẳng x = 0, x = 2, y = có diện tích A m = B m = C m = D m = Hướng dẫn giải: 1 Xét hàm số y = x + mx − x − 2m − [ 0;2] Ta có y ′ = x + 2mx − , 3  x = −m − m +  5 ′ y = ⇔  Do m ∈ 0;  nên    x = −m + m + −m − m + < 0, < −m + m + < y (0) = −2m − < 0, y (2) = 2m − < 3 Ta có bảng biến thiên [ 0;2] x − y′ y −m + m + y (0 ) + y (2 ) Dựa vào BBT suy y < 0, ∀x ∈ (0;2 ) Gọi S diện tích hình phẳng cần tìm Ta có: S =4⇔∫ x + mx − x − m − dx = 3 1  m + 10 ⇔ −∫  x + mx − x − 2m − dx  = ⇔ =4⇔m=  3  130 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Chọn C x4 − 2m x + Tập hợp tất giá trị tham số thực m cho đồ thị hàm số cho có cực đại cực tiểu, đồng thời đường thẳng phương với trục 64 hoành qua điểm cực đại tạo với đồ thị hình phẳng có diện tích 15 Câu 26: Cho hàm số y =   ; ±1 C ±   B {±1} A ∅   D  ± ; ±1   Hướng dẫn giải: Tập xác định D = ℝ x =  y ′ = x − m x = x ( x − 2m ) ; y′ = ⇔  x = 2m  x = − 2m  Đồ thị hàm số cho có cực đại cực tiểu ⇔ m ≠ Vì a = > nên hàm số đạt cực đại x = suy điểm cực đại đồ thị hàm số A ( 0; ) Đường thẳng phương với trục hoành qua điểm cực đại có phương trình d : y = Phương trình hồnh độ giao điểm ( C m ) d là: x =  x2 =  x4 2 − 2m x + = ⇔  ⇔ x = m 2  x = 4m  x = −2 m  Diện tích hình phẳng cần tìm là: (chú ý hàm số cho hàm chẵn) 2m S= ∫ −2 m 2m x4 x4 − m x dx = ∫ − m x dx = 2  x5  m 64 m =  − m2 x3  = 15  10 0 Ta có S = Chọn B 131 m = 64 ⇔ m =1⇔  15  m = −1 2m ∫  x4 2  − m x  dx   Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Câu 27: Trong hệ trục Oxy, cho tam giác OAB vuông A, điểm B nằm góc phàn tư thứ π  A nằm trục hồnh, OB = 2017 Góc AOB = α ,  < α <  Khi quay tam giác 3  quanh trục Ox ta khối nón trịn xoay Thể tích khối nón lớn khi: A sin α = B cos α = C cos α = D sin α = Hướng dẫn giải: Phương trình đường thẳng OB : y = x tan α , OA = 2017c os α Khi thể tích nón trịn xoay là: 2017.cos α V =π ∫ x tan α dx = 20173.π 20173.π cos α sin α = cos α − cos α 3 ( ) Đặt t = cos α ⇒ t ∈  0;  Xét hàm số f ( t ) = t − t , t ∈  0;   2  2 ( ) Ta tìm f ( t ) lớn t = ⇒ cosα = ⇒ sin α = 3 Chọn A Câu 28: Cho hàm số y = f ( x ) = ax + bx + cx + d , ( a, b, c ∈ ℝ , a ≠ ) có đồ thị ( C ) Biết đồ thị tiếp xúc với đường thẳng y = điểm có hồnh độ âm đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) cho hình vẽ đây: (C ) Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị ( C ) trục hoành A S = B S = 27 Hướng dẫn giải: Chọn B Từ đồ thị suy f ′ ( x ) = x − 132 C 21 D Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) dx = ∫ ( x − 3) dx = x − x + C Do ( C ) tiếp xúc với đường thẳng y = điểm có hồnh độ x0 âm nên f ′ ( x0 ) = ⇔ x02 − = ⇔ x0 = −1 Suy f ( −1) = ⇔ C = ⇒ ( C ) : y = x − x +  x = −2 Xét phương trình x3 − 3x + = ⇔  x =1 ∫ (x Diện tích hình phẳng cần tìm là: −2 − x + ) dx = 27 Câu 29: Đường cong cho phương trình x = g ( y ) , với đạo hàm g ′ ( y ) hàm liên tục, gọi m, n ( m < n ) tương ứng tung độ điểm M N thuộc đồ thị x = g ( y ) Độ dài đường cong x = g ( y ) từ điểm M tới điểm N là: y = x từ (1;1) đến ( n ∫ + ( g ( y ) ) dx Áp dụng tính độ dài đường cong m ) 2; A 1,07 B 1,06 C D Hướng dẫn giải: Ta có: y = x ⇔ x = y ⇒ x ' = Do độ dài cần tính: ∫ 1+ 1 y dy ≈ 1.06 y2 Chọn B Câu 30: Đường cong cho phương trình x = g ( y ) , với đạo hàm g ′ ( y ) hàm liên tục, gọi m, n ( m < n ) tương ứng tung độ điểm M N thuộc đồ thị x = g ( y ) Độ dài đường cong x = g ( y ) từ điểm M tới điểm N là: n ∫ + ( g ( y ) ) dx Áp dụng tính độ dài đường cong m x = y từ (1;1) đến ( 4; ) A 1,07 B 7,27 Hướng dẫn giải: Ta có: x ' = y Độ dài cần tính là: ∫ Chọn B 133 + ydx ≈ 7.27 C 7,2 D Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Câu 31: Đường cong cho phương trình x = g ( y ) , với đạo hàm g ′ ( y ) hàm liên tục, gọi m, n ( m < n ) tương ứng hoành độ điểm M N thuộc đồ thị Độ dài đường cong y = g ( x ) từ điểm M tới điểm N là: ( n + ( g ( y ) ) dx Tìm độ dài đường cong ∫ m ) y = x từ điểm ( 0;0 ) đến điểm 2;4 Tích phân cần tính để giải là: A ∫ + 9xdx B + 9xdx C ∫ ∫ 25 + 4x dx D ∫ + 4x dx Hướng dẫn giải: Cung cần tính phần đường cong nằm góc vng thứ Ta có: 2 y = x nên y′ = x Độ dài cung cần tìm bằng: ∫ + y ′2 dx = ∫ + xdx Chọn D Câu 32: Xét hàm số y = f ( x ) liên tục miền D = [ a; b] có đồ thị đường cong C Gọi S phần giới hạn C đường thẳng x = a , x = b Người ta chứng minh diện tích mặt cong trịn xoay tạo thành xoay S quanh Ox b S = 2π ∫ f ( x ) + ( f ′ ( x ) ) dx Theo kết trên, tổng diện tích bề mặt khối tròn xoay a tạo thành xoay phần hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f ( x ) = đường thẳng x = , x = e quanh Ox A 2e − π B 4e − π 64 C 4e + 16e + π 16 D x − ln x 4e − π 16 Hướng dẫn giải: Ta có f ( x) = 2 x − ln x x ln x 1  1  = − ⇒ f ′( x) = x − ⇒ ( f ′ ( x )) =  x −  = x2 + − 4 4x 4x  16 x  Lại có f ′ ( x ) = x − > 0, ∀x ∈ (1; e ) , nên f ( x ) đồng biến [1; e] Suy 4x f ( x ) ≥ f (1) = 134 > 0, ∀x ∈ [1; e ] Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Từ ta thực phép tính sau b e  x ln x  1  S = 2π ∫ f ( x ) + ( f ′ ( x ) ) dx = 2π ∫  − − d x  1+  x + 2  16 x   a 1 e e  x ln x   x ln x   1  S = 2π ∫  − x + + d x = π   −   x +  dx ∫  16 x 2   4x  1 1 e  x ln x    = 2π ∫  −   x +  dx  4x  1 e 1 ln x  1 = 2π ∫  x + x − x ln x −  dx 16 x  1 = 2π ( I1 + I + I ) e  x4 x2   2e + e − 1 Với I1 = ∫  x3 + x  dx =  +  =  16 2  16  e e 11 1   I = ∫  − x ln x  dx = − x ( ln x − 1) = − e2 − 44 16 16   e e e ln x  1 I3 = ∫  − dx = − ln x = −  32 32  16 x  Chọn D Câu 33: Tính độ dài đường cong y = 32 x − , từ điểm A có hồnh độ a = đến điểm B có hồnh độ b = Kết là: A 13 B 21 C Hướng dẫn giải: Ta có: f ′( x) = 2 x , ⇒ ( f ′( x) ) = x thay vào Công thức ta T = ∫ + xdx Đổi biến u = + x Ta có:  x = ⇒ u = x = ⇒ u = Khi  9 1 32 13 Vậy T = ∫ udu = u = 81 Chọn A 135 D 14 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Câu 34: Cho hai mặt cầu ( S1 ) , ( S2 ) có bán kính R thỏa mãn tính chất: tâm ( S1 ) thuộc ( S2 ) ngược lại Tính thể tích phần chung V hai khối cầu tạo (S1 ) (S2 ) A V = π R3 B V = π R3 5π R 12 C V = D V = 2π R y Hướng dẫn giải: (C ) : x + y = R Chọn C Gắn hệ trục Oxy hình vẽ Khối cầu S ( O , R ) chứa đường tròn lớn O R R (C ) : x2 + y = R2 Dựa vào hình vẽ, thể tích cần tính R V = 2π ∫ R ( R  x3  5π R3 R − x dx = 2π  R x −  = R 12  2 ) Câu 35: Gọi V thể tích khối trịn xoay tạo thành quay xung quanh trục hồnh elip có phương trình x2 y2 + = V có giá trị gần với giá trị sau đây? 25 16 A 550 B 400 C 670 D 335 Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có x2 y + =1⇔ y = ± 25 − x 25 16 Do elip nhận Ox , Oy làm trục đối xứng nên thể tích V cần tính lần thể tích hình sinh hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = 25 − x , y = đường thẳng x = , x = quay xung quanh Ox 640π 4  ≈ 670, V = 4.π∫  25 − x  dx=  0 Câu 36: Gọi Vx Vy thể tích khối trịn xoay tạo nên phép quay hình elip x2 y2 + ≤ ( a < b ) Xung quanh trục Ox, Oy Hỏi khẳng định đúng? a2 b2 A Vx > Vy 136 B Vx < Vy C Vx = Vy D Vx ≥ Vy x Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Hướng dẫn giải:  x2  2 y = b −    x2 y   a  + =1⇔  a b2  x = a 1 − y      b   a a a  x2   x3  4π ab 4π ab = Vx = 2π ∫ y dx = 2π b ∫  − dx = 2π b  x −  = b a  3a  3  0 2 b b b  y2   x3  4π a 2b 4π ab Vy = Vx = 2π ∫ x dx = 2π a ∫ 1 − dx = 2π a  x −  = a = 3a  3 b   0 2 Vì b > a nên Vx > V y Chọn A Câu 37: Cho hàm số y = x − x + m có đồ thị (C) Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C) với y0 trục hoành Với giá trị m A m = B m = S =S' ? C m = 20 D m = Hướng dẫn giải Phương trình hồnh độ giao điểm x − x + m = (*) Đặt x = t ; t ≥ , phương trình trở thành: t − 4t + m = (**) Để S>0, S’>0 0