Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 59 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
BÀI TÍCH PHÂN MỤC TIÊU: Kiến thức: - Nắm định nghĩa tính chất tích phân, - Nắm vững phương pháp tính nguyên hàm bảng nguyên hàm để áp dụng tính tích phân - Nắm vững tính chất tích phân hàm số chẵn, hàm số lẻ quy tắc đạo hàm hàm số hợp - Nắm vững ý nghĩa vật lí đạo hàm, từ giải tốn thực tế sử dụng tích phân Kỹ năng: - Hiểu rõ định nghĩa tính chất tích phân để vận dụng vào việc tính tích phân - Sử dụng thành thạo bảng nguyên hàm phương pháp tính tích phân - Vận dụng tích phân vào tốn thực tế LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM I ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN Định nghĩa tích phân Định nghĩa Cho hàm số f x liên tục đoạn a; b , với a b Nếu F x nguyên hàm hàm số f x đoạn a; b giá trị F(b)-F(a) gọi tích phân hàm số f x đoạn a; b Kí hiệu b a b f ( x )dx F ( x ) F (b) F (a) (1) a Cơng thức 1 cịn gọi công thức Newton – Leibnitz; a b gọi cận cận tích phân Ý nghĩa hình học tích phân Giả sử hàm số y f x hàm số liên tục không âm đoạn a; b Khi đó, tích phân 0 f ( x )dx diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y f x , trục hoành Ox hai đường thẳng x a, x b, với a< b Tính chất tích phân Cho hàm số f x g x hai hàm số liên tục khoảng K , K khoảng, nửa khoảng đoạn a, b, c K , đó: a Nếu b a f ( x )dx Trang b Nếu f x có đạo hàm liên tục đoạn a; b ta có: b a f ( x )dx f ( x )ba f (b) f (a) c Tính chất tuyến tính b a b b k f ( x ) h.g(c) dx k f ( x )dx h g( x )dx a a với k , h d Tính chất trung cận b c b a f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx , với c (a; b) e Đảo cận tích phân a b f ( x )dx f ( x )dx a f Nếu f ( x) 0, x [a; b] b a g Nếu f ( x) g( x), x [a; b] f ( x )dx b a b a f ( x )dx f(x) = b f ( x )dx g( x )dx a b h Nếu m min[ a;b ] f ( x ) M max[ a ,b ] f ( x ) m(b a) f ( x )dx M (b a) a i Tích phân khơng phụ thuộc vào biến, tức ta ln có b a b b b a a a f ( x )dx f (t )dt f (u)du f ( y )dy Chẳng hạn: F( x ) x C nguyên hàm hàm số f ( x ) x nên tích phân f ( x )dx F ( x ) F (1) F (0) t c 03 c Lưu ý: Giá trị tích phân khơng phụ thuộc vào số C Trong tính tốn, ta thường chọn C Chẳng hạn: Hàm số f ( x ) x x có đồ thị C f ( x ) ( x 1)2 0, với x Diện tích “tam giác cong” giới hạn C , trục Ox hai đường thẳng x 1 vaø x 1 1 1 S f ( x )dx x3 x2 x 1 x x dx Lưu ý: Ta cịn gọi hình phẳng “hình thang cong” Chẳng hạn: Cho hàm số f x liên tục, có đạo hàm đoạn [-1 ; 2] thỏa mãn f(-1)=8 f(2)=-1 Trang Khi 1 f ( x )dx f ( x )21 f (2) f (1) 9 Lưu ý: Từ ta có b b 0 f (b) f (a) f ( x )dx f (a) f (b) f ( x )dx II CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Phương pháp đổi biến số Đổi biến dạng b Bài toán: Giả sử ta cần tính tích phân I f ( x )dx , ta phân tích f ( x ) g(u( x ))u ( x ) a ta thực phép đổi biến số Phương pháp: + Đặt u u x , suy du u x dx + Đổi cận: b u( b ) a u(a) + Khi I f ( x )dx g(u)du G(u)uu(( ba )) , với G(u) ngun hàm g u Đổi biến dạng 2 Phương pháp tích phân phần b Bài tốn: Tính tích phân I u( x ) v ( x )dx a Hướng dẫn giải du u ( x )dx u u( x ) Đặt v v( x ) dv v ( x )dx b Khi I (u.v)lab v.du (cơng thức tích phân phần) a Trang Lưu ý: Phương pháp đổi biến số tích phân giống đổi biến số nguyên hàm, thêm bước đổi cận Chú ý: Cần phải lựa chọn u dv hợp lí cho ta dễ dàng tìm b a vdu dễ tính b a udv III TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ ĐẶC BIỆT Cho hàm số f x liên tục [-a; a] Khi Đặc biệt a a a f ( x )dx f ( x ) f ( x )dx + Nếu f x hàm số lẻ ta có a a + Nếu f x hàm số chẵn ta có a a f (x) a dx f ( x )dx x 1 b (1) f ( x )dx (1.1) a a a f ( x )dx f ( x )dx (1.2) (0 b 1) (1.3) Nếu f x tên tục đoạn [a; b] b a b f ( x )dx f (a b x )dx a Hệ quả: Hàm số f x liên tục 0;1 , đó: f (sin x )dx f (cos x )dx Nếu f x liên tục đoạn [a; b] f a b – x f x b x f ( x )dx ab b f ( x )dx a Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Tính tích phân cách sử dụng định nghĩa, tính chất Phương pháp giải Sử dụng tính chất tích phân Sử dụng bảng nguyên hàm định nghĩa tích phân để tính tích phân Ví dụ: Cho hàm số f x có đạo hàm đoạn [1,2], f(1)=1 f(2)=2 Tích phân f f ( x )dx A Hướng dẫn giải B C D C D I f ( x )dx f ( x )12 f (2) f (1) 1 Chọn C Ví dụ mẫu Ví dụ Giá trị A dx B Trang Hướng dẫn giải Ta có 3 dx x10 Chọn A Ví dụ Giá trị sinxdx A B C 1 D Hướng dẫn giải Ta có sinxdx cos x 02 Chọn B Ví dụ Cho hàm số f ( x ) x có nguyên hàm F x Khẳng định sau đúng? A F(2)-F(0)=16 C F(2)-F(0)=8 B F(2)-F(0)=1 D F(2)-F(0)=4 Hướng dẫn giải Ta có 2 x4 x dx F(2) F (0) Chọn D Ví dụ Giá trị I A I ln3 Hướng dẫn giải I 1 dx 2x 1 B I ln C I ln D I ln 1 dx ln | x 1|12 2x 1 1 (ln ln1) ln ln 2 Chọn B Ví dụ Cho f ( x )dx 0 g( x )dx Giá trị I f ( x ) 2g( x )dx A Chọn D Ví dụ Cho 1 C B f ( x )dx A Hướng dẫn giải f ( x )dx Giá trị B C D 12 f ( x )dx D 2 I f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx 1 =3+(-1)=2 Chọn A Ví dụ Cho 2 1 f ( x )dx 2, 1 g( x )dx 1 Khi I x f ( x) 3g( x)dx 1 Trang A I 17 B I 17 C I 15 D I Hướng dẫn giải x2 I x f ( x ) 3g( x ) dx Ta có 1 2 1 1 f ( x )dx 3 g( x )dx 17 2.2 3(1) 2 Chọn B Ví dụ Cho f ( x )dx Giá trị I f ( x ) 2s inx dx bao nhiêu? A I Hướng dẫn giải B I 2 I f ( x ) 2s inx dx = 0 C I D I f ( x )dx s inxdx cos x 0 Chọn D ln x Giá trị F e F 1 x C I D I 2 Ví dụ Cho F x nguyên hàm hàm số f ( x ) B I A I Hướng dẫn giải Ta có F(e) F(1) e e e ln x ln x dx lnxd (ln x ) 2 x Chọn D Ví dụ 10 Tích phân I A I ln Hướng dẫn giải Ta có dx x 3x 2 B I ln C I ln D I ln ( x 2) ( x 1) 1 ( x 1)( x 2) x 1 x x 3x 2 Suy I 1 1 dx dx (ln | x 1| ln | x |) ln ln x 1 x2 Chọn A Ví dụ 11 Tích phân I cos3 x sin xdx A I B I C I D I 1 Hướng dẫn giải Ta có I 1 1 cos xd (cos x ) cos4 x 4 4 0 Trang Chú ý: - Ta có (cos x ) sin x nên sin xdx d(cos x) Chọn B Ví ụ 12 Biết tích phân I dx ( x 1) x x x Giá trị biểu thức P a b c A P B P Hướng dẫn giải Ta có I a b c, với a, b, c C P D P x x 0, x [1;2] nên x 1 x x x 1 dx 1 x dx 1 dx (2 x x 1) x 1 Suy a 4, b c 2 nên P a b c Chọn B Chú ý: - Nhân liên hợp x 1 x Ví dụ 13 Cho hàm số f x thỏa mãn f (2) A f (1) Hướng dẫn giải B f (1) f ( x ) x[ f ( x )]2 với x C f (1) Giá trị f 1 D f (1) Từ f ( x ) x[ f ( x )]2 (1), suy f ( x ) suy f ( x ) với x [1;2] Suy f x hàm không giảm đoạn [1 ; 2] nên f ( x) f (2) 0, x [1;2] f ( x) Chia vế hệ thức 1 cho f x ta x, x [t,2] (2) [ f ( x )]2 Lấy tích phân vế đoạn [1 ; 2] hệ thức , ta 2 2 1 x f (x) 1 dx x d x f (1) f (2) [ f ( x )] f ( x ) 1 1 nên suy f (1) 3 - Chú ý đề cho f(2) , u cầu tính f(1) , ta sử dụng nguyên hàm để tìm số C Do f (2) - Tuy nhiên ta dựa vào định nghĩa tích phân để xử lí Chọn C 1 Ví dụ 14 Cho hàm số f x xác định \ thỏa mãn f ( x ) f 1, f 1 2 Khi 2x 1 2 f(-1)+ f(3) A 1 ln15 C 2 ln3 Hướng dẫn giải B ln D 1 ln15 Trang Ta có 0 1 1 f ( x )dx f (0) f (1) nên suy f (1) f (0) f ( x )dx f ( x )dx 1 Tương tự ta có 3 f (3) f (1) f ( x )dx = 2 f ( x )dx 1 Vậy f (1) f (3) 1 f ( x )dx f ( x )dx 1 ln | x 1|01 ln | x 1|13 1 Vậy f (1) f (3) 1 ln15 Chọn A Ví dụ 15 Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục đoạn 0; 1 thỏa mãn f(1)=0, 2 f ( x ) dx 0 x f ( x )dx 1 Giá trị I f ( x )dx A B C D Hướng dẫn giải Ta có 0 f ( x ) dx 7(1) x dx 14 x 1 49 x dx (2) f ( x )dx 14 (3) Cộng hai vế 1 , suy 2 0 f ( x ) x dx mà f ( x ) x f ( x) 7x Hay f ( x ) 7x C 7 f (1) C C 4 Do f ( x ) 7x 4 1 7x f ( x ) dx 0 0 dx Chọn C Vậy Ví dụ 16 Cho f x , g x hai hàm số liên tục đoạn [-1; 1] f x hàm số chẵn, g x hàm số lẻ Biết 1 f ( x )dx 5; g( x )dx 1 1 1 Giá trị A f ( x )dx g( x )dx A 12 Hướng dẫn giải B 24 Vì f x hàm số chẵn nên Vì g x hàm số lẻ nên g( x )dx 1 1 C D 10 f ( x )dx f ( x )dx 2.5 10 Trang Vậy A = 10 Chọn D Ví dụ 17 Cho xdx a b ln với a, b số hữu tỉ Giá trị a b (2 x 1)2 12 Hướng dẫn giải B A Ta có C D 12 xdx 1 2x 1 1 1 dx 0 (2 x 1)2 0 (2 x 1)2 0 x (2 x 1)2 dx 1 1 1 ln(2 x 1) ln 4(2 x 1) 0 1 Vậy a , b a b 12 Chọn D Ví dụ 18 Cho x dx a b ln c ln , với a, b, c số hữu tỷ ( x 1)2 Giá trị 6a+b+c A 2 Hướng dẫn giải Ta có B C D 1 2 x dx dx ln | x 1| ln ln 2 x 1 ( x 1) x ( x 1) a , b 1, c nên a+b+c=-1 Chọn D Chú ý: - Kĩ thuật tích phân hữu tỉ, ta tách x (2 x 1) 2x dx a ln b ln 3, với a, b Giá trị biểu thức a2 ab b Ví dụ 19 Cho 2 x x A 11 B 21 C 31 D 41 Hướng dẫn giải 2x 3 2x 1 2x 1 dx dx Ta có dx 2 x x 2 x x x x x x 2x 2 dx ln x x ln | x | 2 ln | x 1| x x x x 5ln ln a 5 a2 ab b 41 b Chọn D 5x dx a ln b ln c ln với a, b, c số nguyên Giá trị x 5x biểu thức S = a + bc bao nhiêu? A S 62 B S 10 C S 20 D S 10 Ví dụ 20 Biết tích phân 2 Trang 10 1 1 1 1 Do 2020 M 2019 f ( x )dx f ( x )dx [ f ( x ) 2019 f(x)]dx 1 e2 x e dx 2020 1 2020e suy M Chọn C Ví dụ Cho f x hàm số liên tục thỏa mãn f ( x ) f ( x ) cos2 x 3 Giá trị tích phân P 3 f ( x )dx A P Hướng dẫn giải B P 3x 3x 2 C P D P Ta có P 32 f ( x )dx 32 f ( x )dx 2P 3 3 f ( x ) f ( x )dx 32 3 cos2 x dx |sin x | dx 3 3 Hay P 2 sinxdx 2 sinxdx cos x cos x Chọn C Ví dụ Cho f x hàm số liên tục thỏa mãn f ( x ) f ( x ) sin x với x f Tích phân e x f ( ) S 62 ex Hướng dẫn giải A ex B C ex D 1 Ta có f ( x ) f ( x ) sin x nên e x f ( x ) e x f ( x ) e x sin x, x e x f ( x ) e x sin x hay e x f ( x ) f ( ) e x f ( x ) dx e x sin xdx x e (sin x cos x ) e f ( ) f (0) e 0 2 e Chọn C có đạo hàm liên tục thỏa mãn f ( x ),cos xdx Giá trị f (2019 ) Ví dụ Cho hàm số f x tuần hồn với chu kì 2 f 0, f ( x ) dx 2 A 1 B C D Hướng dẫn giải Bằng phương pháp tích phân phần ta có Trang 45 f ( x ) cos xdx [ f ( x ) sin x ] f ( x ) sin xdx Suy 2 2 f ( x ) sin xdx cos x x x sin x 2 1 cos2 x Mặt khác sin xdx dx 4 Suy f ( x ) dx sinxf ( x )dx sin xdx f ( x ) sin x dx 0 f ( x ) sin x Do f ( x ) cos x C Vì f nên C 2 Ta f ( x) cos x f (2019 ) cos(2019 ) 1 Chọn A 14 Ví dụ Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 , f (1) f (0) Biết 13 14 B ; 3 A 2; 0 f ( x ) dx thuộc khoảng sau đây? f ( x ) 2 x , x [0;1] Khi đó, giá trị tích phân 10 13 C ; 3 D 1;3 Hướng dẫn giải Do f ( x) 2 x , x [0;1] nên f ( x ) x , x [0;1] 1 0 f ( x ) dx 0 8xdx hay 0 f ( x ) dx (1) Mặt khác, áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có Suy f ( x )dx t dx f (x) dx [ f (1) f (0)] f (x) dx 2 2 2 f ( x ) dx 2 Vậy f ( x ) dx Chọn C Chú ý: - Ta chọn hàm số f x , với x [0; a] thỏa mãn yêu cầu đề 31 a dx dx f ( x) Khi I a - Nếu f x liên tục đoạn a; b b f ( x )dx 0 f (a b x )dx - Để ý e x e x nên nhận thêm hai vế f ( x ) f ( x ) sin x với e x ta có e x f ( x ) e x sin x *Bài tập tự luyện dạng Trang 46 Câu : Cho hàm số f(x) liên tục R 3f(-x)- 2f(x)= tan x , với x k , k Giá trị f ( x)dx A B 1 Câu : Biết f (sin x)dx Giá trị A B C D x f (sin x)dx C D.0 Câu : Cho hàm số f(x) liên tục đoạn [-1;1] f(x) 0ới x [1;1] Đặt g ( x) f ( x) f ( x) , f ( x) f ( x) với x [1;1] Mệnh đề sau đúng? 1 A g ( x)dx 2 g ( x)dx 1 B g ( x)dx 1 1 1 C g ( x)dx 2 g ( x)dx D g ( x)dx 0 Câu : Cho hàm số f(x) liên tục R tích phân f (tan x)dx x f ( x) dx Giá trị x2 1 tích phân I f ( x)dx A B C D Câu : Cho hàm số f(x) g(x) liên tục, có đạo hàm R thỏa mãn f (0) f (2) g ( x) f ( x) x( x 2)e x Giá trị giá trị tích phân I f ( x) g ( x)dx A B e C D e Câu : Cho hàm số f(x) liên tục nhận giá trị dương [0;1] Biết f ( x) f (1 x) với x [0;1] Giá trị tích phân I A dx ta kết f ( x) B C D Câu : Xét hàm số f(x) liên tục đoạn [0;1] thỏa f ( x) f (1 x) x Giá trị f ( x)dx A I = B I = C I = 20 D I = 16 Câu : Xét hàm số f(x) liên tục [0;1] thỏa mãn điều kiện f x f (1 x) x Tích phân I f ( x)dx A I = B I = C I = 20 Câu : Cho hàm số f(x) liên tục R thỏa mãn f ( x) f ( x) D I = 16 Giá trị I f ( x)dx 2 4 x Trang 47 A I = Câu 20 10 : Cho 20 f(x) liên hàm số 10 mãn điều C I = B I = tục thỏa 10 f ( x) 1, f (0) D I = kiện f ( x) x x f ( x) Giá trị f( ) A B C D Câu 11 : Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục đoạn [1;4], đồng biến đoạn [1;4] thỏa mãn đẳng thức x x f ( x) f ( x) , x [1; 4] Biết f(1) = , giá trị I f ( x)dx 1186 1174 1222 1201 A I = B I = C I = D I = 45 45 45 45 Câu 12 : Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục R thỏa mãn f ( x) f ( x) 1, x f(0)=0 Giá trị lớn f(1) bao nhiêu? 2e e 1 A I = B I = C I = e D I = 2e e e Câu 13 : Cho hàm số f(x) có đạo hàm xác định, liên tục khác đoạn [0;1] thỏa mãn f'(0)= f ( x) f ( x) Đặt T=f(1) f(0) khẳng định sau đúng? A 2 T 1 B 1 T C T D T Câu 14 : Giả sử hàm số y=f(x) liên tục nhận giá trị dương (0; ) thỏa mãn f(1) = 1, f ( x) f ( x) 3x , với x > Mệnh đề sau đúng? A < f(5) < B < f(5) < C < f(5) < D < f(5) < Câu 15 : Cho hàm số y = f(x) liên tục (0; ) thỏa mãn điều kiện f(1)= 2ln2 x( x 1) f ( x) f ( x) x2 x , với x (0; ) Giá trị f(2)=a+ bln3, với a,b Giá trị a2 b2 25 13 A B C D 2 4 Câu 16 : Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục đoạn [0;1], f(x) f'(x) nhận giá trị dương 1 đoạn [0;1] thỏa mãn f (0) 2, f ( x) [ f ( x)]2 1dx 0 f x f ( x) f ( x)dx Giá trị A 15 B 15 C 17 D 19 Câu 17 : Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục đoạn [0;1] thỏa mãn f(1) =1, x3 f ( x)dx A Tích phân 1 f f ( x)sin xdx B A I = ( x) dx f ( x)dx C D Câu 18 : Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục đoạn 0; f Biết 4 4 f ( x)dx Giá trị tích phân I f (2 x)dx B I = C I = D I = Trang 48 , Câu 19: Cho hàm số f(x) liên tục có đạo hàm x (0; ) đồng thời thỏa mãn điều kiện f ( x) x sin x f ( x) cos x 3 f ( x) sin xdx∣ 4 Khi f nằm khoảng nào? A (6;7) B (5;6) C (12;13) D (11;12) Câu 20: Cho hàm số f(x) xác định có đạo hàm liên tục [0;7] thỏa mãn f ( x) cos xdx A , f 2 f ( x) dx A 4A A2 B với A số Giá trị A f (2 x)dx theo A A C D A Câu 21: Cho hàm số f(x) có đạo hàm f(x) liên tục đoạn [0;1] thỏa mãn f(1) =0, cos 2 A f ( x) dx 2 1 x f ( x)dx Giá trị f ( x)dx B C D Câu 22: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục 0; thỏa mãn f (0) 0, f ( x) dx 2 sinxf ( x)dx Tích phân I f ( x)dx A Câu B 23: Cho hàm C 2 số f(x) xác định f ( x) 2 f ( x) sin x dx Tích phân A B D liên tục 0; thỏa mãn f ( x)dx C D Câu 24: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục khoảng (0;1) f(x) x (0;1) Biết 1 f a, 2 I 3 f b x xf ( x) f ( x) 4, x (0;1) Giá trị tích phân sin x cos x 2sin x dx theo a b f (sin x) 3a b 3b a 3b a 3a b B I C I D I 4ab 4ab 4ab 4ab Câu 25: Cho hàm số f(x) có đạo hàm dương, liên tục đoạn [0;1] thỏa mãn f(0)=1 A I 1 1 3 f ( x)[ f ( x)]2 dx f ( x) f ( x)dx Giá trị tích phân 0 9 A B C f x D Trang 49 Câu 26: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục đoạn [0;1] thỏa mãn f (1) 1, f ( x) dx f ( x )dx A I = Giá trị tích phân I f ( x)dx B I = C I = 4 D I = Câu 27: Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục đoạn [0;1] thỏa mãn f(0) = Biết f ( x) cos A Câu x dx 28: 3 Tích phân 4 B hàm C D y f ( x) 2020 ln e số f ( x)dx f ( x)dx Cho x 2020 e Giá trị biểu thức T f (1) f (2) f (2019) A T = 2019 B T = 1009 C T = 2021 D T = 1010 2017 20018 C C C C C C Câu 29: Giá trị tổng T 2018 2018 2018 2018 2018 2018 2020 2021 1 1 A B C D 412120989 4121202990 412120992 412120991 Câu 30: Cho hàm số y=f(x) liên tục [0; 10] thỏa mãn x f ( x)dx max[0;1] | f ( x) | Tích phân I e x f ( x)dx thuộc khoảng khoảng sau đây? 5 A ; 4 3 B ; e 1 2 3 C ; 2 D (e 1; ) (e 1; ) f ( x) Câu 31: Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục 0; thỏa mãn f 3, dx cos x 4 4 sinx tan x.f x dx Tích phân A B sinx f ( x)dx 23 2 C 1 2 D Câu 32: Cho hàm số y = f(x) biết f(x)>0 với x>-1, f(0)=1 f ( x) x f ( x) với x>1 Mệnh đề đúng? A < f(3) < B f(3) < C < f(3) < D f(3) > Câu 33: Cho hàm số f(x) có f ( x) f ( x) f ( x) x x, x [0;1], f (0) f (0) Giá trị T f (2) 43 A 30 B 16 35 C 43 15 D 26 15 Câu 34: Cho hàm số y = f(x) liên tục R thỏa mãn f ( x) f (2 x) 2( x 1)e x x 1 Giá trị tích phân I f ( x)dx ta kết Trang 50 A I = e B I = C I = D I = e Câu 35: Cho hàm số f(x) có đạo hàm [0; ) thỏa mãn ( x 2) f ( x) ( x 1) f ( x) e x , với x>0 f (0) Giá trị f(2) e e e2 e2 B f(2) = C f(2) = D f(2) = 6 Câu 36: Cho hàm số y = f(x) có f'(x) liên tục nửa khoảng [0; ) A f(2) = thỏa mãn f ( x) f ( x) 3.e2 x Khi A e3 f (1) f (0) C e3 f (1) f (0) e 3 2 e 3 B e3 f (1) f (0) D e3 f (1) f (0) e2 3 e2 Câu 37: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm R thỏa mãn f ( x) e phân e 3 ( x ) x 1 2x f(0)=1 Tích f ( x) x f ( x)dx 1 Câu 38: Cho y = f(x) hàm số chẵn liên tục R Biết f ( x)dx f ( x)dx Giá trị 2 f ( x) x dx 2 A B C D A B 15 45 C Câu 39: Cho hàm số f(x) liên tục R Biết e3 D f (ln x) dx 7, f (cos x) sin xdx Giá trị x ( f (x) x)dx A 12 D -10 x f (t ) Câu 40: Hàm số f(x) liên tục (0; ) Biết tồn số a > để dt x , x a t Giá trị tích phân B 15 a C 10 f ( x)dx 21869 39364 40 B C 4374 D Câu 41: Cho hàm số f(x) liên tục R, có đạo hàm đến cấp hai R thỏa mãn A f ( x) 4 f ( x) f ( x) f ( x) e x , x 25ln 2 5ln A 31 C 1 25ln 2 31 5ln 5 , biết f(0)=0 Khi B 5ln f ( x) dx 1 355ln 31 5 355ln D 31 Trang 51 Câu 42: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục [0; 1] thỏa mãn f (0) 1, f ( x) dx , 30 1 Tích phân 0 0 f ( x)dx 30 11 11 11 A B C D 12 30 30 Câu 43: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục đoạn [0;1] thỏa mãn f(1)=0 , (2 x 1) f ( x)dx 1 x 0 f ( x) dx 0 ( x 1)e f ( x)dx e2 Giá trị f ( x)dx e e2 B e C D e 2 Câu 44: Cho hàm số f(x) liên tục đoạn [-1;1] f ( x) 2019 f ( x) 2x , x [1;1] Giá trị A f ( x)dx 1 2019 ln A B 4040 ln Câu 45 : Cho hàm số f(x) liên tục C biết e6 D 2018ln f (ln x ) dx f cos2 x sin xdx Giá trị x ( f (x) 2)dx A 10 B 16 C D Câu 46 : Cho hàm số y = f(x) xác định liên tục \ 0 thỏa mãn: f ( x) (2x 4) f ( x) với x \{0} đồng thời f (1) 2 Giá trị f ( x)dx ln ln 1 B ln C D ln 2 2 Câu 47 : Cho hàm số f(x) liên tục dương (0; ) thỏa mãn f ( x) (2x 4) f ( x) A a a f (0) Giá trị tổng S f (0) f (1) f (2) f (2018) với a , b , tối giản Khi b b b a 2020 1009 A B 1011 C D 2018 2021 2020 1-D 2-B 3-C 4-B ĐÁP ÁN 5-C 6-B 11-A 12-B 13-A 14-A 15-B 16-D 17-B 18-D 19-B 20-C 21-D 22-A 23-B 24-D 25-D 26-B 27-C 28-A 29-B 30-C 31-B 32-D 33-C 34-C 35-D 36-C 37-C 38-D 39-A 40-B 41-A 42-A 43-D 44-B 45-D 46-B 47-A 7-A 8-C 9-B 10-B Trang 52 Dạng Một số tốn thực tế ứng dụng tích phân Phương pháp giải 5.1.1.Một vật chuyển động có phương trình vận tốc vịt) khoảng thời gian từ t a đến t b a b di chuyển quãng đường là: b S v(t )dt a ví dụ 1: Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc vít v(t ) 160 10t (m / s) Quãng đường mà vật chuyển động từ thời điểm t s đến thời điểm mà vật dừng lại A 1028m B 1280m Hướng dẫn giải Khi vật dùng lại v(t ) 160 10t t 16 16 16 0 C 1308m D 1380m Do S v(t )dt (160 10t )dt 160t 15t 16 1280(m) Chọn B 5.1.2 Một vật chuyển động có phương trình gia tốc a t vận tốc vật sau khoảng thời gian t1 ; t2 là: t2 v a (t )dt t1 Ví dụ 2: Một ô tô chuyển động với vận tốc v t (m/s), có gia tốc a(t ) v '(t ) Vận tốc ô tơ sau 10 giây (làm trịn đến hàng đơn vị) A 4,6 m/s B 7,2 m/s C 1,5 m/s Hướng dẫn giải Vận tốc ô tô sau 10 giây 10 v m / s2 2t D 2,2m/s 3 dt ln | 2t 1|10 ln 21 4,6(m / s) 2t 2 Chọn A 5.1.4 Điện lượng chuyển qua tiết diện dây dẫn đoạn mạch thời gian từ t1 đến t2 là: t2 Q I (t )dt t1 Ví dụ mẫu Ví dụ Một vật chuyển động với vận tốc 10m/s tăng tốc với gia tốc a(t ) 3t t Tính quãng đường vật khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc 4300 m m A B 4300m C 430m Hướng dẫn giải D 430 m Trang 53 3t t C Lấy mốc thời gian lúc tăng tốc v(0) 10 C 10 Hàm vận tốc v(t ) a(t )dt 3t t dt 3t t 10 Sau 10 giây, quãng đường vật Ta v(t ) 10 3t t t3 t4 4300 s 10 dt 10t (m) 3 12 0 0 10 v(t ) a(t )dt Chọn A Ví dụ Dịng điện xoay chiều hình sin chạy qua đoạn mạch LC có biểu thức cường độ i (t ) 10 cos t Biết i q ' với q điện tích tức thời tụ điện Tính từ lúc t 0, điện lượng 2 chuyển qua tiết diện thắng dây dẫn đoạn mạch thời gian từ đến 2I0 Hướng dẫn giải A B.0 C 2l0 D l0 Điện lượng chuyển qua tiết diện dây dẫn đoạn mạch thời gian từ đến I 2l Q I (t )dt I cos t dt sin t 2 0 0 Q(t ) I (t )dt Chọn C 13 t 8 lúc đầu bồn khơng có nước Tim mức nước bồn sau bơm nước giây (chính xác đến 0,01cm) A 2,67 cm B 2,66 cm C 2,65 cm D 2,68 cm Hướng dẫn giải Mức nước bồn sau bơm nước giây Ví dụ Gọi h t (cm) mức nước bồn chứa sau bơm t giây Biết h (t ) 6 13 3 t 8dt (t 8) t 2, 66(cm) 20 0 h (t )dt Chọn B Bài tập tự luyện dạng Câu : Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc v(t ) 160 10t (m / s) Tìm quãng đường S mà vật di chuyển khoảng thời gian từ thời điểm t = 0(s) đến thời điểm vật dừng lại A S 2560m B S 1280m C S 2480m D S 3840m Câu : Một ô tô chuyển động nhanh dần với vận tốc v t 7t m / s Đi s người lái xe phát chướng ngại vật phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần với gia tốc Trang 54 a 70 m / s Quãng đường ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh dừng bao nhiêu? A 87,50m B 94,00 m C 97,50 m D 96, 25m Câu : Một ô tô với vận tốc 60 km / h tăng tốc với gia tốc a(t ) 6t km / h Qng đường tơ vịng 1h kể từ tăng tốc A B C A 26 km B 62 km C 60 km D.63 km Câu : Một ô tô chạy với vận tốc 20 m/s người lái xe phát có hàng rào chắn ngang đường phía trước cách xe 45m (tính từ đầu xe tới hàng rào) nên người lái đạp phanh Từ thời điểm đó, xe chuyển động chậm dần với vận tốc v t 5t 20 m / s , t thời gian tính từ lúc người lái đạp phanh Khi xe dừng hẳn, khoảng cách từ xe đến hàng rào bao nhiêu? A 4m B 5m C 3m D.6 m Câu : Cho hai chất điểm A B bắt đầu chuyển động trục Ox từ thời điểm t Tại thời điểm t, vị trí chất điểm A cho x f (t ) 6 2t t vị trí chất điểm B cho x g (t ) 4sin t Gọi t1 thời điểm t2 thời điểm thứ hai mà hai chất điểm có vận tốc Tính theo t1 t2 độ dài quãng đường mà chất điểm A di chuyển từ thời điểm t1 đến thời điểm t2 A t1 t2 2 t1 t2 B t1 t2 2 t1 t2 2 D t1 t2 t12 t22 t2 t1 2 Câu : Một tia lửa bắn thẳng đứng từ mặt đất với vận tốc 15m/s Hỏi sau 2,5 giây, tia lửa cách C t2 t1 mặt đất mét, biết gia tốc 9,8m / s ? A 30,625m B 37,5m C 68,125m D.6,875 m Câu : Một hạt proton di chuyển điện trường có biểu thức gia tốc (theo cm/s } a(t)= (1+2t) (với t tính giây) Tìm hàm vận tốc v theo t, biết t = v = 30(cm/s) Hàm vận tốc 10 10 20 20 A B C (1 2t )3 30 D 30 2t 2t (1 2t ) Câu 8: Một ô tô chạy với vận tốc 18 m/s người lái hãm phanh Sau hãm phanh, ô tô chuyển động chậm dần với vận tốc v(t ) 36t 18(m / s) t khoảng thời gian tính giấy kể từ lúc bắt đầu hãm phanh Quãng đường ô tô di chuyển kể từ lúc hãm phanh đến dừng mét? A 5,5 m B 3,5 m C 6,5 m D.4,5 m Câu : Một chất điểm A xuất phát từ O, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian quy 11 t t (m / s) t (giây) khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động luật v(t ) 180 18 Từ trạng thái nghỉ, chất điểm B xuất phát từ O, chuyển động thẳng hướng với A chậm giây so với A có gia tốc a m / s (a số) Sau B xuất phát 10 giây đuổi kịp A Vận tốc B thời điểm đuổi kịp A A 22 m/s B 15 m/s C 10 m/s D.7m/s Trang 55 Câu 10 : Một ô tô chạy với vận tốc 19m/s người lái hãm phanh, tô chuyển động chậm dần với vận tốc v(t ) 38t 19(m / s) t khoảng thời gian tính giấy kể từ lúc bắt đầu hãm phanh Hỏi từ lúc hãm phanh đến dừng hẳn, tơ cịn di chuyển mét? A 4,75m B 4,5 m C 4,25 m D m Câu 11 :Một ô tô chạy với tốc độ 10 m/s người lái đạp phanh, từ thời điểm đó, tơ chuyển động chậm dần với v(t ) 5t 10(m / s) t khoảng thời gian tính giấy, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, tơ cịn di chuyển mét? A 0,2 m B m C 10 m D.20 m Câu 12 : Một vật chuyển động với vận tốc v km / h phụ thuộc vào thời gian t h có đồ thị phần đường parabol có đỉnh I 2;6 trục đối xứng song song với trục tung hình bên Quãng đường s mà vật di chuyển A S 24, 25km B S 26,75km C S 24,75km D S 25, 25km Câu 13 : Một vật chuyển động với vận tốc v km / h phụ thuộc vào thời gian t h có đồ thị vận tốc hình bên Trong khoảng thời gian kể từ bắt đầu chuyển động, đồ thị phần đường parabol có đỉnh I 2;9 trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian lại đồ thị đoạn thẳng song song với trục hồnh Tính quãng đường s mà vật di chuyển (kết làm trịn đến hàng phần trăm) A S 23, 25km B S 21,58km C S 15,50km D S 13,83km Câu 14 :Một xe ô tô sau chờ hết đèn đỏ bắt đầu phóng nhanh với vận tốc tăng liên tục biểu thị đồ thị đường cong parabol có hình bên Biết sau 10s xe đạt đến vận tốc cao 50m/s bắt đầu giảm tốc Hỏi từ lúc bắt đầu đến lúc đạt vận tốc cao xe quãng đường mét? Trang 56 A 1000 m B 1100 m C 1400 m D 300m Câu 15 : Một vật chuyển động với vận tốc v km / h phụ thuộc thời gian t(h) có đồ thị phần đường parabol có đỉnh I 1;1 trục đối xứng song song với trục tung hình bên Tính qng đường s mà vật di chuyển kể từ lúc xuất phát A S km B S km C S 40 km D S 46 km Câu 16 :Người ta thay nước cho bể bơi dạng hình hộp chữ nhật có độ sâu h1 280 cm Giả sử h t cm chiều cao mực nước bơm thời điểm t giây, biết tốc độ tăng chiều cao t Hỏi sau nước bơm độ sâu hồ bơi? 500 A 7545,2 giây B 7234,8 giây C 7200,7 giây D.7560,5 giây Câu 17 : Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc v 30 – 5t m / s Quãng đường vật di chuyển nước giây thứ t h (t ) từ thời điểm t s đến dừng A 50m B 30m C 90m D 40m Câu 18 : Một vật chuyển động với vận tốc v 20 m / s thay đổi vận tốc với gia tốc tính theo thời gian t a(t ) 4 2t m / s Tính quãng đường vật kể từ thời điểm thay đổi gia tốc đến lúc vật đạt vận tốc bé 104 104 m m A B 104m C 208m D Câu 19 :Một chất điểm cuyển động với vận tốc v0 15m / s tăng vận tốc với gia tốc a (t ) t 4t m / s Tính quãng đường chất điểm khoảng thời gian giây kể từ lúc bắt đầu tăng vận tốc A 68,25m B 70,25m C 69,75m D 67,25m Câu 20 : Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần với vận tốc v1 (t ) 4t (m / s) Đi 6(s), người lái xe phát chướng ngại vật phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần với gia tốc Trang 57 12 m / s Tính quãng đường sỉm) ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh dừng hẳn A S 456 m B S 240m C S 72m D 96 m Câu 21 : Để đảm bảo an tồn lưu thơng đường, xe tơ dừng đèn đỏ phải cách tối thiểu 1m Một ô tô A chạy với vận tốc 16 m/s gặp ô tô B dừng đèn đỏ nên ô tô A hãm phanh chuyển động chậm dần với vận tốc biểu thị công thức v t 16 – 4t (đơn vị tính m/s ), thời gian tính giây Hỏi để ô tô A B đạt khoảng cách an tồn dừng lại tơ A phải hãm phanh cách ô tô B khoảng bao nhiêu? A 33 m B 12 m C 31 m D 32 m Câu 22 : Một xe đua chạy 180 km/h Tay đua nhấn ga để đích kể từ xe chạy với gia tốc a (t ) 2t 1 m / s Hỏi 5s sau nhấn ga xe chạy với vận tốc km/h? A 200 B 243 C 288 D 300 Câu 23 : Một vật chuyển động với vận tốc 10m/s tăng tốc với gia tốc tính theo thời gian a (t ) 2t 1 m / s Tính quãng đường vật khoảng thời gian giây kể từ vật bắt đầu tăng tốc A 136m B 126m C 276m D 216m Câu 24 : Một máy bay chuyển động đường băng với vận tốc v t 10t m / s với t thời gian tính theo đơn vị giây kể từ máy bay bắt đầu chuyển động Biết máy bay đạt vận tốc 200(m/s) rời đường băng Quãng đường máy bay di chuyển đường băng 4000 2500 m m A 500m B 2000m C D 3 Câu 25: Tốc độ phát triển số lượng vi khuẩn hồ bơi mơ hình hàm số 1000 B (t ) , t 0, B t số lượng vi khuẩn ml nước ngày thứ t Số lượng vi (1 0,3t ) khuẩn ban đầu 500 mi nước Biết mức độ an toàn cho người sử dụng hồ bơi Sổ vi khuẩn phải 3000 ml nước Hỏi vào ngày thứ nước hồ khơng cịn an tồn nữa? A B 10 C 11 D 12 Câu 26 : Một ô tô chạy với vận tốc 15 m/s phía trước xuất chướng ngại vật nên người lái đạp phanh gấp Kể từ thời điểm đó, tơ chuyển động chậm dần với gia tốc am / s2 Biết ô tô chuyển động thêm 20m dừng hẳn Hỏi a thuộc khoảng A (3,4) B (4;5) C (5;6) D (6:7) Câu 27 : Tại nơi khơng có gió, khinh khí cầu đứng n độ cao 162 (mét) so với mặt đất phi cơng cài đặt cho chế độ chuyển động xuống Biết rằng, khinh khí cầu chuyển động theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật v(t ) 10t t , t (phút) thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động, vệt tính theo đơn vị mét/phút (m/p) Nếu bắt đầu tiếp đất vận tốc v khinh khí cầu A V = 5m/p B v=7m/p C V = 9m/p A v 5m / p B v 7m / p C v 9m / p D v 3m / p Câu 28 : Một chất điểm A xuất phát từ O, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian 59 t t (m / s), (giây) khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển 59 quy luật v(t ) 150 75 động Từ trạng thái nghỉ, chất điểm B xuất phát từ O, chuyển động thẳng hướng với A chậm giây so với A có gia tốc a m / s (a số) Sau B xuất phát 12 giây đuổi kịp A Vận tốc B thời điểm đuổi kịp A Trang 58 A.20m/s B.16m/s C.13m/s D.15m/s 1-B 2-D 3-B 4-B ĐÁP ÁN 5-A 6-C 11-C 12-C 13-B 14-A 15-C 16-B 17-D 18-A 21-A 22-C 23-C 24-D 25-B 26-C 27-C 28-B 7-B 8-D 9-B 10-A 19-C 20-D Trang 59 ... Tích phân I A I B I 20 20 20 19 C I 22 021 20 21 D I 20 19 20 19 Hướng dẫn giải Áp dụng toán (1.3) cột bên trái cho hàm số f ( x ) x 20 20 b e ta có Ta có 1 x 20 21 2. 220 21 22 0 021 I... I ln 22 019 20 20 ln 20 19 1 22 019 B I ln 22 019 20 20 ln 20 19 1 22 019 Câu 27 : Biết A 14 ( x 1) cos xdx ? ?2 a 3 b a b D I với a; b B 12 Câu 28 : Cho tích phân J... 20 17 20 018 C C C C C C Câu 29 : Giá trị tổng T 20 18 20 18 20 18 20 18 20 18 20 18 20 20 20 21 1 1 A B C D 4 121 20989 4 121 2 029 90 4 121 209 92 4 121 20991 Câu 30: Cho hàm số y=f(x) liên tục [0; 10]