Bài 2 TÍCH PHÂN

BÀI 2: TÍCH PHÂN A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN Định nghĩa tích phân Định nghĩa f  x Cho hàm số  a; b liên tục đoạn Chẳng hạn: , với đoạn f  x   3x hàm hàm số a  b Nếu F  x   x3  C F  x  a; b nguyên hàm hàm số giá trị tích phân hàm số Kí hiệu F  b  F  a  f  x đoạn b b a a  f  x  dx  F  x  f  x gọi  a; b   f  x  dx  F  x  nguyên nên tích phân  F  1  F     13  C    03  C   Lưu ý: Giá trị tích phân khơng phụ thuộc vào số C Trong tính toán, ta thường chọn C   F  b  F  a  (1) Công thức (1) cịn gọi cơng thức Newton – Leibnitz; a b gọi cận cận tích phân Ý nghĩa hình học tích phân Giả sử hàm số y  f  x hàm số liên tục đồ thị  a; b không âm đoạn Chẳng hạn: Hàm số Khi đó, tích phân  C f  x   x2  x  f  x    x  1  có , với x  ¡ b  f  x  dx a diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y  f  x , trục hoành Ox hai đường thẳng x  a, x  b, với a  b Diện tích “tam giác cong” giới hạn  C , trục Ox hai đường thẳng x  1 x 1 S  1 b S   f  x  dx a f  x  dx   x 1  x  1 dx  x3 1    x  x    1 Trang 412 Lưu ý: Ta cịn gọi hình phẳng “hình thang cong” Tính chất tích phân Cho hàm số f  x g  x hai hàm số liên tục khoảng K, K khoảng, nửa khoảng đoạn a, b, c  K , đó: f  x liên tục, có  1; 2 thỏa mãn a a Nếu b  a b Nếu f  x  f  x  dx  Chẳng hạn: Cho hàm số a có đạo hàm liên tục đoạn  a; b f  1  ta có: b  f    1 Khi b f   x  dx  f  x   f  b   f  a  a a đạo hàm đoạn  f   x  dx  f  x  1 1  f    f  1  9 Lưu ý: Từ ta có b f  b   f  a    f   x  dx a b f  a   f  b    f   x  dx a c Tính chất tuyến tính b b b a a a  k f  x   h.g  x   dx  k  f  x  dx  h. g  x  dx Với k , h  ¡ d Tính chất trung cận b c b a a c  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx , với c   a; b  e Đảo cận tích phân a b b a  f  x  dx   f  x  dx b f Nếu f  x   0, x   a; b   f  x  dx  a b  f  x  dx  a f  x  Trang 413 b  f  x  dx  a  a f  x   g  x  , x   a; b  g Nếu b f  x  b f  x  dx   g  x  dx a h Nếu m  f  x   a ;b  M  max f  x   a ;b b m  b  a    f  x  dx  M  b  a  a i Tích phân khơng phụ thuộc vào biến, tức ta ln có b b b b a a a a  f  x  dx   f  t  dt   f  u  du   f  y  dy  II CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Phương pháp đổi biến số Đổi biến dạng b Bài toán: Giả sử ta cần tính tích phân ta phân tích I   f  x  dx a f  x   g  u  x   u  x  , ta thực Lưu ý: Phương pháp đổi biến số phép đổi biến số tích phân giống Phương pháp: đổi biến số nguyên hàm, + Đặt u  u  x , suy du  u   x  dx thêm bước đổi cận + Đổi cận: x u + Khi G  u a u  a b u  b b u b u b a u a  u a  I   f  x  dx  nguyên hàm  g  u  du  G  u  , với g  u Đổi biến dạng Dấu hiệu a x 2 Cách đặt    x  a sin t; t    ;   2 Trang 414 x2  a2 x a     t   ;  \  0  2 sin t ;    x  a tan t ; t    ;   2   ax x  a.cos 2t ; t   0;   2 ax   ax x  a.cos 2t ; t  0;   2 ax    x  a  b  x x  a   b  a  sin t ; t  0;   2 Phương pháp tích phân phần a2  x2 Chú ý: Cần phải lựa chọn u dv hợp lí b Bài tốn: Tính tích phân I   u  x  v  x  dx cho ta dễ dàng tìm v tích a Hướng dẫn giải b u  u  x  du  u   x  dx   dv  v  x  dx v  v  x  Đặt  I   u.v  phân  vdu a b dễ tính  udv a b b a   v.du a Khi (cơng thức tích phân phần) III TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ ĐẶC BIỆT Cho hàm số a Đặc biệt  a f  x liên tục  a; a  Khi a f  x  dx    f  x   f   x   dx (1) a + Nếu f  x hàm số lẻ ta có  f  x  dx  a a + Nếu f  x hàm số chẵn ta có a f  x dx  f  x  dx  1 bx 0 a  a (1.1) a f  x  dx   f  x  dx (1.2) a Nếu f  x   b  1  a; b liên tục đoạn (1.3) b b a a  f  x  dx   f  a  b  x  dx  Hệ quả: Hàm số f  x  0 f  sin x  dx  0 f  cos x  dx 0;1  liên tục , đó: Trang 415 b Nếu f  x liên tục đoạn  a; b f  a  b  x  f  x  xf  x  dx  a b ab f  x  dx a Trang 416 B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Tính tích phân cách sử dụng định nghĩa, tính chất Phương pháp giải Sử dụng tính chất tích phân Sử dụng bảng nguyên hàm định nghĩa tích phân để tính tích phân Bài tập Bài tập 1: Biết tích phân I   x  1 dx  a b c x  x x 1 , với a, b, c  ¢ Giá trị biểu thức P  a  b  c A P  B P  C P  D P  Hướng dẫn giải Chọn B x   x  0, x   1; 2 Ta có 2 nên x 1  x 1 dx   dx   dx  x  x  x x 1 x x 1 1 I       Suy a  4, b  c  2 nên P  a  b  c  Nhân liên hợp x 1  x Bài tập 2: Cho hàm số f  1 f  x thỏa mãn f  2     x   x  f  x   f với x  ¡ Giá trị f  1  A f  1  B f  1   C f  1  D Hướng dẫn giải Chọn C f   x   x  f  x   f  x  x   1; 2 Từ (1), suy với Suy f  x hàm không giảm đoạn  1; 2 nên f  x  f  x    f  x   Chia vế hệ thức (1) cho  ta  Lấy tích phân vế đoạn  1; 2 f  x   f    x   1; 2 ,  x, x   1; 2 (2) hệ thức (2), ta Trang 417 f  x  1  1  f  x   dx  1 xdx   f  x       Do f  2    x2  1      f  1 f    1 f  1   nên suy Chú ý đề cho f  2 f  1 , u cầu tính , ta sử dụng nguyên hàm để tìm số C Tuy nhiên ta dựa vào định nghĩa tích phân để xử lí 1  ¡ \  f  x   thỏa mãn Bài tập 3: Cho hàm số xác định f    1, f  1  2 Khi A 1  ln15 f  1  f  3 f  x  2 x  B  ln C 2  ln D 1  ln15 Hướng dẫn giải Chọn A  Ta có f   x  dx  f    f  1 1 nên suy f  1  f     f   x  dx 1    f   x  dx 1 Tương tự ta có f  3  f  1   f   x  dx  2   f   x  dx Vậy Vậy f  1  f  3  1   f   x  dx   f   x  dx  1  ln x  1 1  ln x  f  1  f  3  1  ln15 Bài tập 4: Cho hàm số   f   x   dx  A có đạo hàm liên tục đoạn f  x  x f   x  dx  1 B thỏa mãn f  1   0;1 Giá trị I   f  x  dx C D Hướng dẫn giải Chọn C Trang 418 ,   f   x   dx  Ta có (1) 1   49 x dx  7  x dx  (2)  14 x f   x  dx  14 (3) Cộng hai vế (1), (2) (3) suy   f   x   x  dx  0  f   x   x3   mà   f   x   7 x Hay f  x   x4  C 7 f  1     C   C  4 Do Vậy  f  x   x4  4  x4  f  x  dx      dx  4 0 Bài tập 5: Cho f  x , g  x hàm số lẻ Biết  hai hàm số liên tục đoạn  1;1 f  x  dx  5; g  x  dx  A 12 B 24 A Giá trị  1 C f  x hàm số chẵn, g  x f  x  dx   g  x  dx 1 D 10 Hướng dẫn giải Chọn D Vì f  x hàm số chẵn nên 1 1  f  x  dx  2 f  x  dx  2.5  10 Vì g  x hàm số lẻ nên  g  x  dx  1 Vậy A  10 Bài tập 6: Cho xdx   x  1  a  b ln với a, b số hữu tỉ Giá trị a  b Trang 419 A 12  B C D 12 Hướng dẫn giải Chọn D Ta có 1  2x 1 1  1   dx    dx  x  1 2 0  x   x  1   xdx   x  1  1 1 1    ln  x  1     ln 0 x      1 a   ,b   a  b  12 Vậy 2x  dx  a ln  b ln 3, 2  x Bài tập 7: Cho với a, b  ¢ Giá trị biểu thức a  ab  b x A 11 B 21 C 31 D 41 Hướng dẫn giải 3 2x  2x 1 2   2x  2 x  x dx  2 x  x dx  2  x  x  x  x  dx Ta có   2x 1 2     dx  ln x  x  2ln x  ln x  x x 1 2 x x    5ln  ln a  5   a  ab  b  41 b  Chọn D Bài tập Biết tích phân x 5x  dx  a ln  b ln  c ln 5,  5x  với a, b, c số nguyên Giá trị biểu thức S  a  bc bao nhiêu? A S  62 B S  10 C S  20 D S  10 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có 2 5x  5x    1 x  5x  dx  1  x    x  3 dx  1  x   x   dx   ln x   ln x    ln  ln  26 ln Suy a  26, b  4, c  Vậy S  a  bc  26  4.9  10 Trang 420  Bài tập 9: Cho cos x  sin x.cos x  dx  a  b ln  c ln  3   cos x  sin x.cos x   , với a, b, c số hữu tỉ Giá trị abc B 2 A C 4 D 6 Hướng dẫn giải Chọn C  cos x  sin x.cos x  cos x  sin x.cos x  sin x dx    cos2 x  cos2 x  sin x.cos x  dx  cos x  sin x.cos x Ta có     4   tan x  tan x  tan x  tan x dx     tan x  d  tan x  cos x   tan x        tan x    tan x     ln  ln   tan x  d  tan x     1    ln tan x    Suy a  1, b  2, c  nên abc  4 e x  m, x  f  x   2 x  x , x  liên tục ¡ Bài tập 10: Cho hàm số f  x  dx  ae  b Biết  1  c  a , b, c Ô Tng T  a  b  3c B 10 A 15 C 19 D 17 Hướng dẫn giải Chọn C Do hàm số liên tục ¡ nên hàm số liên tục x   lim f  x   lim f  x   f     m   m  1 x 0 Ta có x 0  1 1 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  I1  I 0 1 1 I1   x  x dx     x2  d   x2   1 0 I    e x  1 dx   e x  x   f  x  dx  I Suy 1  x2   x2  1 2 3 16  e   I2  e   22 22 a  1; b  2; c   Suy Trang 421 A  11; 22  B  0;9  C  7; 21 D  2017; 2020  Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B Đặt t  a  x  dt  dx Đổi cận x   t  a; x  a  t  0 a a a f  x  dx dx dt dx dx I     1 f  x a 1 f  a  t  1 f  a  x  1 1 f  x  0 f  x a Lúc a f  x  dx a dx   1dx  a  f  x   f  x  0 a Suy 2I  I  I   I  a  b  1; c   b  c  Do Cách 2: Chọn f  x 1 hàm thỏa giả thiết Dễ dàng tính I  a  b  1; c   b  c  Bài tập 14: Cho hàm số f  x liên tục ¡  f   dx  4, x x   f  sin x  cos xdx  Giá trị  f  x  dx tích phân B A C D 10 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C  Xét  f  x  dx  x Đặt t  x  t  x, suy 2tdt  dx x   t   x9t 3  Đổi cận Suy 4 f  x  dx  x  f  t  2dt   f  t  dt    Xét  f  sin x  cos xdx  Đặt u  sin x, suy du  cos xdx Trang 451  x   u       f  sin x  cos xdx   f  t  dt  x   u  0 Đổi cận Suy Vậy 3 0 I   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   Bài tập 15: Cho hàm số f  x liên tục ¡  f  tan x  dx  4, x2 f  x  0 x  dx  Giá trị tích phân A I  I   f  x  dx C I  B I  D I  Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A  Xét  f  tan x  dx  Đặt t  tan x, suy dt  dt dx   tan x  1 dx  dx  cos x 1 t2  x   t  1  f  t f  x     f  tan x  dx   dt   dx x   t   t 1 x 1 0 Đổi cận:  Khi f  x x f  x I   f  x  dx   dx   dx    x 1 x 1 0 Từ suy  Bài tập 16: Cho hàm số e2  e f  ln x  x ln x f  x liên tục ¡ I  dx  Giá trị tích phân B A f  2x  x thỏa mãn  tan x f  cos x  dx  1, dx C D Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D  ● Xét A   tan x f  cos x  dx  Đặt t  cos x Suy Trang 452 dt  2sin x cos xdx  2 cos x tan xdx  2t tan xdx   tan xdx   dt 2t x   t      x   t  Đổi cận: 1 A   Khi 1 f  x f  t f  t f  x d t  d t  d x  dx      21 t 21 t 21 x x e2 B ● Xét  e f  ln x  x ln x dx  2 Đặt u  ln x ln x ln x 2u dx du du  dx  dx  dx   x x ln x x ln x x ln x 2u Suy x  e  u   x  e  u  Đổi cận:  1 B  Khi 4 f  x f  u f  x d u  d x  dx     21 u 21 x x I  ● Xét tích phân cần tính f  2x  dx x  dx  dv  v x  v  x , Đặt suy  Đổi cận: I  Khi 1  x   v    x   v  4 f  v f  x f  x f  x dv   dx   dx   dx    v x x x 1 Bài tập 17: Cho hàm số f  x nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục A f  x  f   x   e2 x  4 x với 14 x   0; 2 B  Giá trị tích phân I  32 16  C Hướng dẫn giải x  0; 2  3x  f   x  f  x Biết f  0  dx 16  D ĐÁP ÁN D Từ giả thiết f  x  f   x   e2 x 4 x x 2  f    Trang 453 u  x  3x du   x  x  dx  2  x  3x  f '  x  dx dv  f '  x  dx   I  v  ln f x      f  x f  x Ta có Đặt  Khi I   x  x  ln f  x  f   1 2    x  x  ln f  x  dx   3  x  x  ln f  x  dx  3 J x  t J    x  x  ln f  x  dx  Ta có 0    t  2    t   ln f   t  d   t       x     x   ln f   x  d   x     x  x  ln f   x  dx   2 Suy 2 0 J    x  x  ln f  x  dx    x  x  ln f   x  dx    x  x  ln f  x  f   x  dx    x  x  ln e2 x 4 x Vậy I  3J   dx    x  x   x  x  dx  32 16 J 15 15 16      ;  y  f  x f  x   f   x   cos x Bài tập 18: Cho hàm số liên tục thỏa mãn I Giá trị tích phân   f  x  dx  A I  2 B I C I D I  Hướng dẫn giải ĐÁN ÁN B f   x   f  x   cos x Từ giả thiết, thay x  x ta Do ta có hệ  f  x   f   x   cos x 4 f  x   f   x   cos x   f  x   cos x   f   x   f  x   cos x  f  x   f   x   cos x I Khi    f  x  dx    cos xdx  sin x     2  Trang 454 1  f  x  f  ;  f  x Bài tập 19: Cho hàm số liên tục thỏa mãn I  tích phân A f  x x 1    x x Giá trị dx B C D Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B 1 f   f  x   x Từ giả thiết, thay x x ta  x  Do ta có hệ  f   f   1  f  x   f  x  x       f  x    x x 1 4 f  x   f      f  x      x  x x x  x   f  1   3x x I  Khi f  x    2 dx     1dx    x   x   x  2 1 x 1 1 f  x   f    3x  f  x   3x  f    x  x Cách khác Từ I  Khi J  Xét   f  x dx     x 1 2  1 f   x  dx x Đặt t 1 1 f   2 f    x  dx  dx   x  dx 1 1 x x   2  1 d t   d x   t d x  d x   dt x , suy x t   x   t   x   t  Đổi cận:  Khi 2 f  t f  x  1 J   tf  t    dt   dt   dx  I t t x   1 2 Trang 455 2 2 I  3 dx  I  I   dx  1 Vậy Bài tập 20: Cho hàm số f    f     f  x Giá trị  f   x    f  x  f   x   15 x  12 x thỏa mãn  với x  ¡ f  1 B A C D 10 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C  f   x    f  x  f   x    f  x  f   x   Nhận thấy  f  x  f   x    15 x  12 x Do giả thiết tương đương với     f  x  f   x     15 x  12 x  dx  3x  x  C  C  f  f  1 Suy  f  x  f   x   3x5  x  f  x  x6   x  x  C ' 2   f  x  f   x  dx    x  x  1 dx  f  0 C'C' Thay x  vào hai vế ta f  x   x  x  x   f  1  Vậy Bài tập 22: Cho hàm số f  x liên tục ¡ thỏa mãn f  tan x   cos x, x  ¡ Giá trị I   f  x  dx 2 A 2 C B  D Hướng dẫn giải ĐAP ÁN A   f  tan x   cos x  f  tan x      tan x    f  x  x 1  1   f  x  dx  2 Trang 456 Dạng 8: Bất đẳng thức tích phân Phương pháp Áp dụng bất đẳng thức: b + Nếu f  x  a; b  liên tục  a b f  x  dx   f  x  dx a b + Nếu f  x liên tục  a; b  m  f  x  M m  b  a    f  x  dx  M  b  a  a b b  b 2 f x g x dx  f x dx            g  x  dx f  x , g  x  a; b   a a  a + Nếu liên tục dấu "  " xẩy f  x   k g  x  + Bất đẳng thức AM-GM Bài tập Bài tập 1: Cho hàm số f  x 0;1 , có đạo hàm liên tục   0 x f  x  dx  thỏa mãn f  1  ,   f   x   dx  Giá trị phân  f  x  dx B A C D Hướng dẫn giải Chọn B x3 x f x d x  f  x   0 Dùng tích phân phần ta có 1   x f '  x  dx 30 Kết hợp với giả thiết f  1   x f '  x  dx  1 , ta suy 1  x7  1    x f '  x  dx    x dx.  f '  x   dx  0  Theo Holder  1 Vậy đẳng thức xảy nên ta có f '  x   kx ,  x f '  x  dx  1 3 thay vào ta k  7 f '  x   7 x3  f '  x   7 x , x   0;1  f  x    x  C Suy Trang 457    C  f 0 7 7  f  x    x    f  x  dx  4 Bài tập 2: Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục  0;1 , thỏa mãn f  1  11  x f  x  dx  78 ,  f   x  d  f  x    13 f  2 Giá trị 251 B A 256 C 261 D Hướng dẫn giải Chọn D 2  12 4 2    x f x d x      x dx.  f   x   dx      13 13 169  13   0  Theo Holder  f   x   2x6  f  x   Vậy f  x  261 x   f  2  7 Bài tập 3: Cho hàm số f  1 1 x  C  C  7   f   x   dx  f  x  0;1 , thỏa mãn f  1  2, f    có đạo hàm liên tục   f  x   2018 x  dx Tích phân A B 1011 C 2018 D 2022 Hướng dẫn giải Chọn B 1  1 2    f '  x  dx    dx.  f '  x   dx  1.4  0  0 Theo Holder    f '  x    f  x   x  C   C  f 0 Vậy f  x   x    f  x   2018 x  dx  1011 Trang 458 Bài tập 4: Cho hàm số f  1  ef   mãn A C f  1  2e e 1 f  1  2e e2   f  x nhận giá trị dương có đạo hàm f  x liên tục  0;1 , thỏa dx    f   x   dx  2 f  x Mệnh đề sau đúng? B D f  1  f  1   e  2 e 1  e  2 e 1 Hướng dẫn giải Chọn C 1 AM GM f '  x   2 dx  f ' x d x   f ' x d x  2 dx            0  f  x   f  x  0  f x     Ta có   ln f  x   ln f  1  ln f    ln Mà  f  1  ln e  f  0 dx    f '  x   dx  2 f  x   f  x  f '  x  dx   xdx  Theo giả thiết f  1  ef    f  x  2x  nên dấu ''  '' xảy ra, tức f  x  x  C  f  x   x  2C nên ta có  2C  e 2C   2C  e 2C  C  f  x nhận giá trị dương  0;1 , thỏa mãn  f  x f ' x  f  x e 1 2 2e  f      e2  e2  e2  Bài tập 5: Cho hàm số  0;1 , f ' x  f  0  có đạo hàm dương liên tục 3 0  f  x    f   x    dx  30 f   x  f  x  dx Giá trị I   f  x  dx A   e 1  e  1 B C e 1 e2  D Hướng dẫn giải Chọn A Áp dụng bất đẳng thức AM  GM cho ba số dương ta có Trang 459 f  x f  x f  x    f '  x     f '  x     2 3 f  x f  x   f '  x    f ' x f  x 2 3 Suy 3 0  f  x    f '  x    dx  30 f '  x  f  x  dx 1 3 0  f  x    f '  x    dx  30 f '  x  f  x  dx Mà nên dấu ''  '' xảy ra, tức f  x f  x  f '  x      f ' x  f  x 2  x C f ' x f ' x 1   dx   dx  ln f  x   x  C  f  x   e f  x f  x 2 Theo giả thiết x f     C   f  x   e   f  x  dx    e 1  Bài tập 6: Cho hàm số   f  x  dx  f  x  0;   , có đạo hàm liên tục thỏa mãn  f   x  sin xdx  1   Giá trị tích phân  xf  x  dx  A   B  C  D  Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B Theo Holder  f  x     0  1   f  x  cos xdx   f  x  dx  cos xdx    2 x cos x cos x   xf  x  dx   dx      0 Bài tập 7: Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục x  0 cos   f  x  dx  Giá trị ích phân A  B      0;1 , f  1  0, thỏa t 2    f x d x    0   1  f  x  dx  C D  Trang 460 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B Theo Holder 2  2x 2    x   sin f ' x d x  sin d x f ' x d x                   0   4 0     f ' x    x   x  f  1  sin   f  x   cos   C  C      x f  x   cos     f  x  dx     Vậy Bài tập 8: Cho hàm số  0;1 , thỏa mãn  f  x xf   x  f  x nhận giá trị dương dx  A  0;1 , có đạo hàm dương liên tục 1 f  f  1, f  1  e   Giá trị   B C e D e Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C Hàm dấu tích phân hàm f ' x f  x xf '  x  f ' x  x , x   0;1 f  x f  x Điều làm ta liên tưởng đến đạo , muốn ta phải đánh giá theo AM  GM sau: f ' x xf '  x   mx  m f  x f  x x   0;1 với m  Do ta cần tìm tham số m  cho  f ' x  xf '  x   mx d x  m  0  f  x  0 f  x  dx   hay x2 ln f  x   m  m  20 Để dấu ''  '' xảy ta cần có 20  m  ln f  1  ln f    m m  m m  m  m  Trang 461 Với m  đẳng thức xảy nên  f ' x  4x f  x f ' x dx   xdx  ln f  x   x  C  f  x   e x C f  x  f    1  C   f  x   e2 x  f    e  f  1  e 2 Theo giả thiết  Cách Theo Holder 2  xf '  x    f ' x  f ' x f  1   dx    x dx    xdx. dx  ln   f  x  0  f x f x f           Vậy đẳng thức xảy nên ta có Suy f ' x  x f  x f ' x  kx, f  x thay vào  xf '  x  dx  f  x ta k  (làm tiếp trên) Bài tập 9: Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục  0;1 , thỏa mãn   f  x  f   x   dx  1 f  f    1, f  1  Giá trị   A B C e D e Lời giải ĐÁP ÁN A  f  x  f '  x   Hàm dấu tích phân  Điều làm ta liên tưởng đến đạo hàm f  x f ' x , muốn ta phải đánh giá theo AM  GM sau:  f  x  f '  x    m  m f  x  f '  x  với m  Do ta cần tìm tham số m  cho    f  x  f '  x    m dx  m  f  x  f '  x  dx hay f  x  m  m   m  m Để dấu ''  '' xảy ta cần có  m  m  m  Trang 462  f  x f ' x   f  x  f '  x      f x f ' x         Với m  đẳng thức xảy nên f  x f  x  f '  x   1   f  x  f '  x  dx    dx  0  f  x f ' x     1   x   1 0 (vô lý) f  x f  x  f '  x  dx   dx   x  C  f  x   x  2C  f    1 1  C   f  x   x   f     2 f  1  Theo giả thiết  Cách Ta có  f  x  f '  x  dx  f  x   f  1  f     2 1     f  x  f '  x  dx    12 dx.  f  x  f '  x   dx  1.1  0  Theo Holder Vậy đẳng thức xảy nên ta có f '  x  f  x   thay vào  f  x  f '  x  dx  ta k  Suy (làm tiếp trên) Bài tập 10: Cho hàm số  f   x   1 xf  x  dx  24 f  x nhận giá trị dương có đạo hàm f  x  2 liên tục  1; 2 , thỏa 2 mãn f ' x f  x  k, f  1  1, f    16 A B Giá trị f C D Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D  f '  x    f '  x     xf  x  x f  x Hàm dấu tích phân Điều làm ta liên tưởng đến đạo hàm f ' x f  x , muốn ta phải đánh giá theo AM  GM sau:  f '  x   f ' x  mx  m xf  x  f  x x   1; 2 với m  Do ta cần tìm tham số m  cho Trang 463   f ' x 2    mx dx  m f '  x  dx  1  xf  x  1 f  x     hay 24  2m  m f  x  24  Để dấu ''  '' xảy ta cần có 2m  m  f  2   24  2m f  1   24   12 m  m  16  2m  12 m  m  16  f '  x   f ' x  16 x   2x xf  x  f  x Với m  16 đẳng thức xảy nên  f ' x f  x f  x   x2  C  f  x    x2  C  dx   xdx   f  1   C   f  x   x4  f  f    16 Theo giả thiết  Cách Ta có  f ' x f  x f ' x dx  2. f  x    dx  f  x    f  2   f  1    2 2  f ' x  1   f ' x  f ' x      dx  x 24  36 62    dx    x dx    xdx.   f  x   1 xf  x  xf  x   1    Theo Holder f ' x Vậy đẳng thức xảy nên ta có f ' x k  Suy f  x xf  x  k x  f ' x  f  x  kx, thay vào f  x  0;1 , f  1  f    có đạo hàm liên tục đoạn  f   x   2 x , x   0;1  2;  dx  ta (làm tiếp trên) A f  x  x Bài tập 11: Cho hàm số sau đây?  f ' x Khi đó, giá trị tích phân  13 14   ;  3 B    f   x    10 13   ;  3 C  14 Biết dx thuộc khoảng D  1;3 Hướng dẫn giải Chọn C Trang 464 Do  f   x   2 x , x   0;1 Suy 2 nên   f   x   dx   xdx 0   f   x    x, x   0;1 hay   f   x   dx  (1) Mặt khác, áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có: 1  2 2   f x dx  dx f x dx  f  f           f   x   dx             0 0      f   x   dx Vậy    f   x   dx  Trang 465 ... Suy x f  x    x 20 20 dx  x 20 21  C 20 21 Thay x  vào hai vế ta Vậy  C   f  x  x 20 18 20 21 1 20 18 1 f  x  dx   x dx  x 20 19  20 21 20 21 20 19 20 21 20 19 0 Bài tập 7: Cho hàm... Áp dụng toán (1.3) cột bên trái cho hàm số f  x   x 20 20 b  e ta có Ta có I 20 20 x 20 21 x dx  1 20 21 1  2. 220 21 22 021 I 20 21 20 21 Chọn C b Nếu f  x liên tục đoạn b  a; b  b  f... dx  14 Chọn D Suy a 2A   a f  x  dx  A  I a f  x  dx a Bài tập 3: Tích phân A I  I C 22 021 20 21 x 20 20 1 e x  1dx có giá trị I 22 020 20 19 I 22 019 20 19 B D Hướng dẫn giải