Bài 2 TÍCH PHÂN

BÀI 2: TÍCH PHÂN A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN Định nghĩa tích phân Định nghĩa f  x Cho hàm số  a; b liên tục đoạn Chẳng hạn: , với đoạn f  x   3x hàm hàm số a  b Nếu F  x   x3  C F  x  a; b nguyên hàm hàm số giá trị tích phân hàm số Kí hiệu F  b  F  a  f  x đoạn b b a a  f  x  dx  F  x  f  x gọi  a; b   f  x  dx  F  x  nguyên nên tích phân  F  1  F     13  C    03  C   Lưu ý: Giá trị tích phân khơng phụ thuộc vào số C Trong tính toán, ta thường chọn C   F  b  F  a  (1) Công thức (1) cịn gọi cơng thức Newton – Leibnitz; a b gọi cận cận tích phân Ý nghĩa hình học tích phân Giả sử hàm số y  f  x hàm số liên tục đồ thị  a; b không âm đoạn Chẳng hạn: Hàm số Khi đó, tích phân  C f  x   x2  x  f  x    x  1  có , với x  ¡ b  f  x  dx a diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y  f  x , trục hoành Ox hai đường thẳng x  a, x  b, với a  b Diện tích “tam giác cong” giới hạn  C , trục Ox hai đường thẳng x  1 x 1 S  1 b S   f  x  dx a f  x  dx   x 1  x  1 dx  x3 1    x  x    1 Trang 173 Lưu ý: Ta cịn gọi hình phẳng “hình thang cong” Tính chất tích phân Cho hàm số f  x g  x hai hàm số liên tục khoảng K, K khoảng, nửa khoảng đoạn a, b, c  K , đó: f  x liên tục, có  1; 2 thỏa mãn a a Nếu b  a b Nếu f  x  f  x  dx  Chẳng hạn: Cho hàm số a có đạo hàm liên tục đoạn  a; b f  1  ta có: b  f    1 Khi b f   x  dx  f  x   f  b   f  a  a a đạo hàm đoạn  f   x  dx  f  x  1 1  f    f  1  9 Lưu ý: Từ ta có b f  b   f  a    f   x  dx a b f  a   f  b    f   x  dx a c Tính chất tuyến tính b b b a a a   k f  x   h.g  x   dx  k  f  x  dx  h. g  x  dx Với k , h  ¡ d Tính chất trung cận b c b a a c  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx , với c   a; b  e Đảo cận tích phân a b b a  f  x  dx    f  x  dx b f Nếu f  x   0, x   a; b   f  x  dx  a b  f  x  dx  a f  x  Trang 174 b  f  x  dx  a  a f  x   g  x  , x   a; b  g Nếu b f  x  b f  x  dx   g  x  dx a h Nếu m  f  x   a ;b  M  max f  x   a ;b b m  b  a    f  x  dx  M  b  a  a i Tích phân khơng phụ thuộc vào biến, tức ta ln có b b b b a a a a  f  x  dx   f  t  dt   f  u  du   f  y  dy  II CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Phương pháp đổi biến số Đổi biến dạng b Bài tốn: Giả sử ta cần tính tích phân ta phân tích I   f  x  dx a f  x   g  u  x   u  x  , ta thực Lưu ý: Phương pháp đổi biến số phép đổi biến số tích phân giống Phương pháp: đổi biến số nguyên hàm, + Đặt u  u  x , suy du  u   x  dx thêm bước đổi cận + Đổi cận: x u + Khi G  u a u  a b u  b b u b u b a u a  u a  I   f  x  dx  nguyên hàm  g  u  du  G  u  , với g  u Đổi biến dạng Dấu hiệu a x 2 Cách đặt    x  a sin t; t    ;   2 Trang 175 x2  a2 x a     t   ;  \  0  2 sin t ;    x  a tan t ; t    ;   2   ax x  a.cos 2t ; t   0;   2 ax   ax x  a.cos 2t ; t  0;   2 ax    x  a  b  x x  a   b  a  sin t ; t  0;   2 Phương pháp tích phân phần a2  x2 Chú ý: Cần phải lựa chọn u dv hợp lí b Bài tốn: Tính tích phân I   u  x  v  x  dx cho ta dễ dàng tìm v tích a Hướng dẫn giải b u  u  x  du  u   x  dx   dv  v  x  dx v  v  x  Đặt  I   u.v  phân  vdu a b dễ tính  udv a b b a   v.du a Khi (cơng thức tích phân phần) III TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ ĐẶC BIỆT Cho hàm số a Đặc biệt  a f  x liên tục  a; a  Khi a f  x  dx    f  x   f   x   dx (1) a + Nếu f  x hàm số lẻ ta có  f  x  dx  a a + Nếu f  x hàm số chẵn ta có a f  x dx  f  x  dx  1 bx 0 a  a (1.1) a f  x  dx   f  x  dx (1.2) a Nếu f  x   b  1  a; b liên tục đoạn (1.3) b b a a  f  x  dx   f  a  b  x  dx  Hệ quả: Hàm số f  x  0 f  sin x  dx  0 f  cos x  dx 0;1  liên tục , đó: Trang 176 b Nếu f  x liên tục đoạn  a; b f  a  b  x  f  x  xf  x  dx  a b ab f  x  dx a Trang 177 B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Tính tích phân cách sử dụng định nghĩa, tính chất Phương pháp giải Sử dụng tính chất tích phân Sử dụng bảng nguyên hàm định nghĩa tích phân để tính tích phân Bài tập Bài tập 1: Biết tích phân I  dx  a b c x  x x 1  x  1 , với a, b, c  ¢ Giá trị biểu thức P  a  b  c A P  B P  f  x Bài tập 2: Cho hàm số f  1 C P  f  2   thỏa mãn D P    x   x  f  x   f với x  ¡ Giá trị f  1  A f  1  B f  x Bài tập 3: Cho hàm số f    1, f  1  2 Khi A 1  ln15   f   x   dx  Giá trị B f  x , g  x hàm số lẻ Biết  D 1  ln15  0;1 I   f  x  dx hai hàm số liên tục đoạn f  1  D  1;1 f  x  dx  5; g  x  dx  B 24 thỏa mãn C 2 x  A A 12 C 2  ln có đạo hàm liên tục đoạn  x f   x  dx  1 f  x  Bài tập 5: Cho f  1  f  3 f  x f  1  D 1  ¡ \    thỏa mãn xác định B  ln Bài tập 4: Cho hàm số f  1   C A Giá trị C  1 f  x hàm số chẵn, g  x f  x  dx   g  x  dx 1 D 10 Trang 178 , Bài tập 6: Cho xdx   x  1  a  b ln A 12 với a, b số hữu tỉ Giá trị a  b  B C D 12 2x  dx  a ln  b ln 3, 2  x Bài tập 7: Cho với a, b  ¢ Giá trị biểu thức a  ab  b x A 11 B 21 C 31 Bài tập Biết tích phân x D 41 5x  dx  a ln  b ln  c ln 5,  5x  với a, b, c số nguyên Giá trị biểu thức S  a  bc bao nhiêu? A S  62 B S  10 C S  20  Bài tập 9: Cho cos x  sin x.cos x  dx  a  b ln  c ln  3   cos x  sin x.cos x  D S  10  , với a, b, c số hữu tỉ Giá trị abc B 2 A C 4 D 6 e x  m, x  f  x   2 x  x , x  liên tục ¡ Bài tập 10: Cho hàm số Biết  f  x  dx  ae  b 1  c  a , b, c Ô Tng T a  b  3c B 10 A 15 C 19  Bài tập 11: Biết cos x   3 x dx  m A   m D 17  Giá trị   m B cos x   3x dx C   m   m D Dạng 2: Tính tích phân phương pháp đổi biến Phương pháp giải Nắm vững phương pháp đổi biến số dạng dạng 2, cụ thể: Đổi biến dạng b Bài toán: Giả sử ta cần tính I   f  x  dx, a ta phân tích f  x   g  u  x   u  x  Trang 179 Bước 1: Đặt u  u  x , suy du  u   x  dx Bước 2: Đổi cận x u a u  a B u  b Bước 3: Tính b u b  a u a  I   f  x  dx  Với G  u nguyên hàm g  u  g  u  du G  u  u b u a Đổi biến dạng b Bài tốn: Giả sử ta cần tính Bước 1: Đặt x    t , ta có I   f  x  dx a , ta đổi biến sau: dx     t  dt Bước 2: Đổi cận x t a b   Bước 3: Tính Với       I   f    t      t  dt   g  t  dt  G  t  G t nguyên hàm Dấu hiệu a  x2 x2  a2 a  x2 ax ax ax ax  x  a  b  x g  t Cách đặt    x  a sin t , t    ;   2 a     x ,t   ; \  0 sin t  2     x  a tan t , t    ;   2   x  a.cos 2t , t   0;   2   x  a.cos 2t , t   0;   2   x  a   b  a  sin t , t  0;   2 Bài tập mẫu Trang 180  Bài tập 1: Biết  sin cos x dx  a ln  b ln 3, x  3sin x  với a, b số nguyên Giá trị P  2a  b A B Bài tập 2: Biết I  ln C D dx   ln a  ln b  ln c  x e  3e  c , với a, b, c số nguyên tố x Giá trị P  2a  b  c A P  3 B P  1  Bài tập 3: Biết dx   sin x  a b c C P  D P   , với a, b  ¢ , c  ¢ a, b, c số nguyên tố Giá trị tổng a  b  c A B 12 D 1 C Bài tập 4: Cho hàm số A y  f  x liên tục ¡ B Bài tập 5: Cho hàm số y  f  x x   0;   I  A xác định liên tục Bài tập 6: Biết  I Giá trị e f  x  ln x dx x I  B  3sin x  cos x  2sin x  3cos x dx  Giá trị  0;   e2  e f  ln x  x ln x A f  x dx  Giá trị B 1 cho C 12 11 ln  b ln c , b, c Ô 13 I D b Giá trị c 22 D 13 22 C 3 liên tục ¡ I  x  xf  e x   f  e x   1;  Bài tập 7: Cho hàm số  xf  x  dx D 64 I 22 B 22 A I C 16 e với  f  x  dx  thỏa mãn  tan x f  cos x  dx  2 f  2x dx x C D Trang 181 1   x  3  x  1 Bài tập 8: Cho dx  a  b ; với a, b số nguyên Giá trị biểu thức a b  b a A 17 B 57 P   a  b D 32 x a  dx  ln   b  x 1 a b  , với a, b số nguyên tố Giá trị biểu thức  Bài tập 9: Cho C 145 A 12 B 10 C 18 D 15 Dạng 3: Tính tích phân phương pháp tích phân phần Bài tập Cho tích phân ln x b dx   a ln c x với a số thực b c số dương, đồng thời I  b c phân số tối giản Giá trị biểu thức P  2a  3b  c A P  B P   Bài tập 2: Biết C P  6 D P  x   cos x dx  a  b ln 2, A T  B T  với a, b số hũu tỉ Giá trị T  16a  8b C T  D T  2 Bài tập 3: Cho I   xe x dx  a.e  b A B vi a, b Ô Giỏ tr ca tổng a  b C D Bài tập 4: Cho hàm số f  x f    16 liên tục, có đạo hàm ¡ ,  f  x  dx  Tích phân  x  xf    dx A 112 B 12 C 56 D 144  Bài tập Cho ln  sin x  cos x  dx  a ln  b ln  c cos x  với a, b, c số hữu tỉ Giá trị abc Trang 182 15 A B Bài tập Biết   x  1 e x x C p q dx  me  n, 17 D p m, n, p, q số nguyên dương q phân số tối giản Giá trị T  m  n  p  q A T  11 B T  10 C T  D T  m   ln x  1 dx  m Bài tập Tìm số thực m  thỏa mãn B m  e A m  2e C m  e D m  e  e k I k   ln dx, k nguyên dương Ta có I k  e  khi: x Bài tập Đặt A k   1; 2 B k   2;3 C k   4;1 D k   3; 4  e  x  m  dx  e x Bài tập Tìm m để B m  e A m  C m  D m  e Dạng 4: Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối Phương pháp b Bài tốn: Tính tích phân I   g  x  dx a ( với g ( x ) biểu thức chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối) PP chung: Xét dấu biểu thức dấu giá trị tuyệt đối  a; b Dựa vào dấu để tách tích phân đoạn tương ứng ( sử dụng tính chất để tách) Tính tích phân thành phần b Đặc biệt: Tính tích phân I   f ( x ) dx a Cách giải Cách 1:  a; b +) Cho f ( x)  tìm nghiệm  a; b , dựa vào dấu f ( x) để tách tích phân đoạn tương +) Xét dấu f ( x) ứng ( sử dụng tính chất để tách) Trang 183 +) Tính tích phân thành phần Cách 2: a; b  x ; x ; xn +) Cho f ( x)  tìm nghiệm  giả sử nghiệm ( với x1  x2   xn Khi I ) x1 x2 x3 b a x1 x2 xn I   f ( x) dx   f ( x ) dx   f ( x) dx    f ( x) dx x1 x2 x3 b a x1 x2 xn  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx    f ( x)dx +) Tính tích phân thành phần Bài tập  S x2  x  dx  1 Bài tập 1: A 11  B 25  Bài tập 2:  a a , a,b  ¢  , b b  C 100  I   1 sin2xdx  a a, a  ¥ * A 27 Bài tập 3: Biết I  D 50 Hỏi a bao nhiêu? B 64 phân số tối giản Giá trị a  b C 125 D x  1 dx   a ln  b ln 5, x với a , b số nguyên Giá trị S  a  b A B 11 2 Bài tập 4: Cho tích phân  1 cos2xdx  ab C a  b   2 Giá trị a b  a   b 2   A  a  2  b   B a  2 a     b  2 b  2 C a  2 a     b   b  2 D Bài tập 5: Tính tích phân I   x x - a d x, a  0 D 3 1 f (8)  f   2 ta kết I  f (a) Khi tổng có giá trị bằng: 24 A 91 91 B 24 17 C D 17 Trang 184 Bài tập 7: Cho hàm số y  f  x liên tục  0; 4 ;0  f  x  dx   f  x  dx  Giá trị  f  3x   dx 1 A C B S Bài tập  y  y  dy   A 80 a  24 b Giá tị A  B B 83 Bài tập S   4x2  4x  1dx   C 142  a a , a,b  ¢  , b b I 2  C 35 D 1 sinxdx  A B 3 , biết A  2B Giá trị A  B B C 65 Bài tập 10 A 72 D 79 phân số tối giản Giá trị a  4b B 3 A D  Bài tập 11 Cho tích phân   sin x  cos xdx  a  b B 5 A D 35 Giá trị A  a  b  D 8 C Dạng 5: Tính tích phân hàm đặc biệt, hàm ẩn Phương pháp giải a Cho hàm số f  x liên tục  a; a  Bài tập 1: Tích phân Khi a  a a f  x  dx    f  x   f   x   dx (1) Chứng minh Ta có 1 A 1 B C D 2 x dx 2 x Hướng dẫn giải a a a a  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx I Xét I   cos x.ln Hàm số  f  x  dx a đoạn Đổi f  x   cos x.ln 2 x  x xác định liên tục  1;1 biến x  t  dx   dt Trang 185 x  t  dx   dt Mặt khác, với Đổi cận x   a  t  a; x   t  f   x   cos   x  ln Khi a a a 0 I   f  t    dt    f  t  dt   f   x  dx Do hàm số Đặc biệt Vậy f  x  f  x + Nếu Bài tập 2: Cho f  x  dx  a (1.1) a a  f  x  dx  2 f  x  dx a f  x  1 b x (1.2) a a f  x  dx a   b  1 Đặt f  x  1 b a x Khi a C I  D I  14 F  x 2A   a  6;6 (**) ta có 3 1 F  6  F  2  6 hay  f  x  dx  6 I   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  14 1 1 Vậy Chọn D a f  x  dx  A   f  x  dx a f  x  F  x   Do x nguyên hàm hàm số  f  2 x  dx    f  x  dx  a f  1 bt f  t  dt  dt     b t  bt a Suy a B I  (*) b f  x A  dx 1 bx a a Hay   f  2 x  dx  1 đoạn dx Đổi cận x   a  t  a; x  a  t  a A 1  f  x  dx Đổi biến x  t  dx   dt a f  x  dx  A I  11 Gọi Chứng minh (1.3): a hàm số chẵn, liên tục Hướng dẫn giải (1.3) A y  f  x hàm số chẵn ta có dx   Biết Tính f  x 2 x dx  2 x  6;6 đoạn hàm số chẵn ta có a + Nếu 1 2 x  x hàm số lẻ Chọn C hàm số lẻ ta có a I   cos x.ln 2 x 2 x   cos x.ln   f  x 2 x 2 x f  x   cos x.ln Do (1) chứng minh + Nếu x   1;1   x   1;1 I Bài tập 3: Tích phân x 2020  e x  1dx 1 có giá trị Trang 186 A I  I C I 22020 2019 I 22019 2019 B 22021 2021 D Hướng dẫn giải Áp dụng toán (1.3) cột bên trái cho hàm số f  x   x 2020 b  e ta có Ta có 1 2020 x 2021 I   x dx  1 2021 2.22021 22021  I 2021 2021 1 Chọn C b Nếu f  x b  a liên tục đoạn  a; b  b f  x  dx   f  a  b  x  dx Hệ quả: hàm số điều kiện liên tục  0;1 , với x  ¡  N  f  x  dx  Giá trị đó: liên tục ¡ thỏa f  x   f   x   cos x, a f  x f  x Bài tập 4: Cho hàm số   A N  1 B N  0 C N  D N   f  sin x  dx   f  cos x  dx Hướng dẫn giải N   f  x  dx   f   x  dx  Ta có  2N  Suy        f  x   f   x   dx   cos xdx  Vậy 2  N   cos xdx  2sin x  0 Chọn D Bài tập 5: Cho hàm số mãn f  x liên tục ¡ thỏa f  x   f   x   x   x  , x  ¡ Trang 187 Giá trị tích phân c Nếu f  x liên tục đoạn f  a  b  x  f  x b A G  G B G C G D Hướng dẫn giải  xf  x  dx  a  a; b  G   f  x  dx b ab f  x  dx a Ta có 2 0 G   f  x  dx   f   x  dx 2 0 2G    f  x   f   x   dx   x   x  dx Suy G Vậy 2 x   x  dx   20 Chọn C Bài tập 6: Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục  0;1 đoạn thỏa mãn f  1  0, 1 0 x f  x  dx  f  x liên tục đoạn  a; b  với x   a; b  b  f  x  dx  a  f  x  dx  a dx  Tích phân  f  x  dx A B C D Hướng dẫn giải b f  x  2 d Nếu   f   x    du  f   x  dx u  f  x     x3  dv  x dx v   Đặt f  x   x3 f  x  0 x f  x  dx  Ta có  1 1   x3 f   x  dx 30 1 x f   x  dx    x f   x  dx  1  30 Trang 188 Cách 1: Ta có  x dx  x7   f   x   dx  (1)  1   49 x dx  49  7 (2)  x f   x  dx  1  14 x f   x  dx  14 0 (3) Cộng hai vế (1), (2) (3) suy 1 0   f '  x   dx   49 x dx   14 x f   x  dx     f  x   x  dx  2 Do  f   x   x      f   x   x  dx  3   f   x   x  dx   f   x   7 x x4 f  x    C 7 f  1     C   C  4 Mà x4 f  x    4 Do Vậy   x4  f  x  dx      dx  4 0 Một số kĩ thuật giải tích phân hàm ẩn Loại 1: Biểu thức tích phân đưa dạng: u ( x) f ' ( x) + u ' ( x ) f ( x ) = h ( x ) Cách giải: ' + Ta có ù u ( x) f ' ( x) + u '( x ) f ( x) = é ëu ( x ) f ( x ) û ' u ( x ) f '( x ) + u '( x ) f ( x ) = h ( x ) Û é u ( x) f ( x) ù = h ( x) ë û + Do Suy u ( x) f ( x) = ò h ( x) dx Suy f ( x) Trang 189 Mà Loại 2: Biểu thức tích phân đưa dạng: f '( x ) + f ( x ) = h ( x ) Cách giải: ' e x Þ e x f ' ( x ) + e x f ( x) = e x h ( x ) Û é e x f ( x) ù = e x h ( x ) ê ú ë û + Nhân hai vế với Suy e x f ( x ) = ò e x h ( x ) dx Suy f ( x) Loại 3: Biểu thức tích phân đưa dạng: f '( x ) - f ( x ) = h ( x ) Cách giải: ' e- x Þ e- x f '( x ) + e- x f ( x ) = e- x h ( x ) Û é e- x f ( x ) ù = e- x h ( x ) ê ú ë û + Nhân hai vế với Suy e- x f ( x ) = ò e- x h ( x ) dx Suy f ( x) Loại 4: Biểu thức tích phân đưa dạng: f '( x ) + p ( x ) f ( x ) = h ( x ) Cách giải: p( x ) dx Þ f '( x) e ò p( x) d x + p ( x ) e ò p( x ) dx f ( x ) = h ( x ) e ò p( x ) dx ' é p( x ) dx ù p( x) dx ò ú= h ( x ) e ò Û êf ( x ) e ê ú ë û + Nhân hai vế với Suy f ( x ) e ò Suy b  Cơng thức a p( x) dx = ị p( x ) dx h ( x ) dx f ( x) b f ( x)dx   f (a  b  x )dx a Bài tập f  x  0; a  thỏa Bài tập 1: Cho số thực a  Giả sử hàm số liên tục dương đoạn a mãn f  x  f  a  x   I A 2a Giá trị tích phân a I B dx 1 f  x I  a I C D I  a Trang 190 f  x Bài tập 2: Cho hàm số liên tục  1;1 f   x   2019 f  x   e x , x   1;1 Tích  f  x  dx M phân 1 e2  2019 e A e2  e B Bài tập Cho f  x 3   f  x  dx A P  f    B P  f  x Bài tập 4: Cho Tích phân D f  x   f   x    cos x hàm số liên tục ¡ thỏa mãn P Giá trị tích phân e2  2020 e C C P  D P  f  x   f   x   sin x hàm số liên tục ¡ thỏa mãn với x e f    e  A e  C e  B  1 D    f   f  x Bài tập 5: Cho hàm số tuần hồn với chu kì có đạo hàm liên tục thỏa mãn   ,    f   x   dx       f  x  cos xdx   A 1 f  x f  2019  C B Bài tập 6: Cho hàm số Giá trị có đạo hàm liên tục  0;1 , D thoả mãn f  x   xf   x   x 2018 với A C x   0;1 Tính I 2018  2021 I 2019  2021 I   f  x  dx B D I 2019  2020 I 2018  2019 Trang 191 Bài tập 7: Cho hàm số với f  x có đạo hàm liên tục  0; 4 , f  x   f   x   e x 2x  x   0; 4 Khẳng định sau đúng? 26 e4 f  4  f    A C thỏa mãn e f    f    e  Bài tập 8: với x  ¡ 2018 A 2018e Bài tập 9: f  x Cho hàm số f    2 Giá trị f  1 f  x D e4 f    f    f '  x   2018 f  x   2018 x 2017 e2018 x có đạo hàm ¡ , thỏa mãn f    2018 Cho hàm số B e f    f    3e f  1 Giá trị 2018 B 2017e 2018 C 2018e 2018 D 2019e f  x  xf  x   xe  x có đạo hàm liên tục ¡ , thỏa mãn   B e A e C e  D e  0;1 thỏa mãn f ( x)  f (1  x)   x Tích Bài tập 10: Xét hàm số f ( x ) liên tục đoạn  f ( x)dx phân A B C 15 D Bài tập 11: Cho y  f  x A Giá trị  f  x  dx 1 C 1 B e D 14 k Bài tập 12: Tìm tất giá trị thực tham số k để k  k  A   f  2x  dx  1 f  x  dx  6;6   hàm số chẵn, có đạo hàm đoạn Biết k   k  2 B    2x  1 dx  lim x 0  k  1  k  2 C  x 1 1 x  k  1 k  D  Trang 192 Bài tập 13: Cho a dx  1 f  x   ba c f  x hàm liên tục đoạn f  x  f  a  x    f  x   0, x   0;a  thỏa mãn   0; a  b , b, c hai số nguyên dương c phân số tối giản Khi b  c có giá trị thuộc khoảng đây? A  11; 22  B  0;9  C Bài tập 14: Cho hàm số f  x  liên tục ¡ f  7; 21  x  dx  4, x D  2017; 2020    f  sin x  cos xdx  Giá trị tích phân  f  x  dx B A  Bài tập 15: Cho hàm số f  x D 10 C liên tục ¡  x2 f  x  f  tan x  dx  4,  dx  x 1 Giá trị tích phân A I  I   f  x  dx C I  B I  D I  f  x x f  x I   f  x  dx   dx   dx    x 1 x 1 0 1  Bài tập 16: Cho hàm số e2  e f  ln x  x ln x A f  x liên tục ¡ I  dx  Giá trị tích phân B Bài tập 17: Cho hàm số f  x f  2x  x thỏa mãn A  14 4 x C D nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục với x   0; 2 B  32 dx f  x  f   x   e2 x  tan x f  cos x  dx  1, Giá trị tích phân C I   16 x  0; 2  3x  f   x  f  x Biết f  0  dx 16  D Trang 193      ;  y  f  x f  x   f   x   cos x Bài tập 18: Cho hàm số liên tục thỏa mãn I   f  x  dx  Giá trị tích phân A I  2 B I C I 1  f  x  f  ;  f  x Bài tập 19: Cho hàm số liên tục thỏa mãn I  tích phân A f  x x 1    x x Giá trị dx B Bài tập 20: Cho hàm số f    f     D I  f  x Giá trị D  f   x    f  x  f   x   15 x  12 x thỏa mãn với x  ¡ f  1 B A Bài tập 22: Cho hàm số C f  x C liên tục ¡ thỏa mãn D 10 f  tan x   cos x, x  ¡ Giá trị I   f  x  dx 2 A 2 C B  D Dạng 8: Bất đẳng thức tích phân Phương pháp Áp dụng bất đẳng thức: b + Nếu f  x  a; b  liên tục  a b f  x  dx   f  x  dx a b + Nếu f  x  a; b  liên tục m  f  x  M m  b  a    f  x  dx  M  b  a  a Trang 194 b b  b 2 f x g x dx  f x dx            g  x  dx f  x , g  x  a; b   a a  a + Nếu liên tục dấu "  " xẩy f  x   k g  x  + Bất đẳng thức AM-GM Bài tập Bài tập 1: Cho hàm số 0;1 , có đạo hàm liên tục   f  x 1 0 x f  x  dx  , dx  thỏa mãn f  1    f   x   Giá trị phân  f  x  dx B A C D Bài tập 2: Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục f  2 Giá trị Bài tập 3: Cho hàm số   f   x   dx  f  x , có đạo hàm liên tục   f  x   2018 x  dx Tích phân B 1011 Bài tập 4: Cho hàm số f  1  2e e 1  0;1 , 261 D thỏa mãn f  1  2, f    A f  1  ef   256 C A f  1  251 B A mãn thỏa mãn  f   x  d  f  x    13  0;1 , 11  x f  x  dx  78  f  x C 2018 nhận giá trị dương có đạo hàm D 2022 f  x liên tục  0;1 , thỏa dx    f   x   dx  2 f  x Mệnh đề sau đúng? B f  1   e  2 e 1 Trang 195 C 2e e2  f  1  D Bài tập 5: Cho hàm số f  x  0;1 , nhận giá trị dương  0;1 , f  0  thỏa mãn f  1   e  2 e 1 có đạo hàm dương liên tục 3 0  f  x    f   x    dx  30 f   x  f  x  dx Giá trị I   f  x  dx A   e 1  e  1 B C e 1 e2  D  Bài tập 6: Cho hàm số   f  x  dx   f  x có đạo hàm liên tục Giá trị tích phân  xf  x  dx 0 f  x x  0 cos   f  x  dx  Giá trị ích phân A  B  f  x Bài tập 8: Cho hàm số  xf   x  f  x  0;1 ,  D f  1  0, thỏa t 2    f x d x    0   1  f  x  dx nhận giá trị dương dx  A  C có đạo hàm liên tục  C  0;1 , D  có đạo hàm dương liên tục 1 f  f  1, f  1  e   Giá trị   B C e D e Bài tập 9: Cho hàm số f    1, f  1  A  B  Bài tập 7: Cho hàm số thỏa mãn thỏa mãn  f   x  sin xdx  1   A   0;1 ,  0;   , f  x có đạo hàm liên tục  0;1 , thỏa mãn   f  x  f   x   dx  1 f  Giá trị   B C e D e Trang 196 Bài tập 10: Cho hàm số  f   x   1 xf  x  dx  24 nhận giá trị dương có đạo hàm f  x  2 f  1  1, f    16 A B Bài tập 11: Cho hàm số f  x Giá trị f C  1; 2 , thỏa có đạo hàm liên tục đoạn D  0;1 ,  f   x   2 x , x   0;1 sau đây? A liên tục 2 mãn f  x  2;  Khi đó, giá trị tích phân  13 14   ;  3 B  f  1  f      f   x    10 13   ;  3 C  14 Biết dx thuộc khoảng D  1;3 Trang 197 ... dụng toán (1.3) cột bên trái cho hàm số f  x   x 20 20 b  e ta có Ta có 1 20 20 x 20 21 I   x dx  1 20 21 2. 220 21 22 021  I 20 21 20 21 1 Chọn C b Nếu f  x b  a liên tục đoạn  a; b... + Nếu x   1;1   x   1;1 I Bài tập 3: Tích phân x 20 20  e x  1dx 1 có giá trị Trang 186 A I  I C I 22 020 20 19 I 22 019 20 19 B 22 021 20 21 D Hướng dẫn giải Áp dụng toán (1.3)... thoả mãn f  x   xf   x   x 20 18 với A C x   0;1 Tính I 20 18  20 21 I 20 19  20 21 I   f  x  dx B D I 20 19  20 20 I 20 18  20 19 Trang 191 Bài tập 7: Cho hàm số với f  x