Toan 11 c5 b15 1 gioi han cua day so tuluan vở bt

C H Ư Ơ N CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC V GIỚI HẠN HÀM SỐ LIÊN TỤC BÀI 15: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ I LÝ THUYẾT = = = HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ GIỚI I u  Ta nói dãy số n có giới hạn n dần tới dương vô cực, un nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở lim un 0 Kí hiệu: n   hay lim un 0 hay un  n   Ta nói dãy số Kí hiệu:   lim   a  0 có giới hạn a (hay dần tới a ) n  , n   lim a n   hay  a n   Từ định nghĩa ta có kết sau: lim 0 lim un 0  lim un 0 n   a) n   ; hay n  ; 1 1 0 lim 0 0 lim k 0,  k  0, k  *  nlim   n   n n b) n   n ; n   n ; ; ; n lim q 0 q 1 c) n  ; lim d) Cho hai dãy số  un    lim 0 lim un 0 u vn Nếu n với n n  n   ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ a) Nếu lim un a lim b c số Khi ta có :  lim  un   a  b  lim  un   a  b  lim  un v n  a.b  lim  c.un  c.a  lim un  a lim un  a  lim un a  ,  b 0  b lim un  a  Nếu un 0 với n a 0  u  ,    wn  Nếu un vn wn ,  n  lim un lim wn a,  a    b) Cho ba dãy số n lim a (gọi định lí kẹp) Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC c) Điều kiện để dãy số tăng dãy số giảm có giới hạn hữu hạn:  Một dãy số tăng bị chặn có giới hạn hữu hạn  Một dãy số giảm bị chặn có giới hạn hữu hạn Kỹ sử dụng máy tính lim un 10 Tính n  nhập un ấn phím CALC n 10 TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN Cấp số nhân vơ hạn  un  q 1 có cơng bội q , với gọi cấp số nhân lùi vô hạn u S 1 q Tổng cấp số nhân lùi vơ hạn: GIỚI HẠN VƠ CỰC CỦA DÃY SỐ • Ta nói dãy số  un  có giới hạn  n   , un lớn số dương bất kì, kể từ số hạng trở Kí hiệu: limun  hay un   n   lim   un   • Dãy số  un  có giới hạn   n   , Kí hiệu: limun   Nhận xét: hay un    n   un   lim  un    Một vài giới hạn đặc biệt Ta thừa nhận kết sau k a) lim n  với k nguyên dương; n b) lim q  q  Quy tắc tính giới hạn vô cực a) Nếu lim un  a limvn  lim un 0 b) Nếu lim un a  , limvn 0  0, n  lim un  c) Nếu lim un  lim a  limun  Quy tắc tìm giới hạn tích lim  u n v n  lim  u n v n  Nếu lim u n L, lim v n  (hay  ) Khi Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC lim u n L     lim v n     u lim n Quy tắc tìm giới hạn thương lim u n lim v n L  0 0 L0 L0 lim  u n v n      Dấu lim un     Tùy ý     Nhận xét: Ta thường dùng quy tắc giới hạn tích tốn giới hạn vơ cực của dãy sớ TĨM TẮT CÁC GIỚI HẠN ĐẶC BIỆT Giới hạn hữu hạn Giới hạn đặc biệt: 1  lim 0 lim k 0 (k   ) n  n ; n  n n lim q 0 ( q  1) n  ; lim C C n  Định lí: a) Nếu lim un = a, lim = b  lim = a + b  lim = a – b  lim = a.b u a lim n  b  b) Nếu un  0, n lim un= a a  lim lim n k  (k   ) lim n  ; lim q n  (q  1) Định lí: a) Nếu lim un  lim 0 un un b) Nếu lim un = a, lim =  lim c) Nếu lim un = a  0, lim = un  neáu a.vn    neáu a.vn  v lim n =  d) Nếu lim un = +, lim = a  neáu a    a  lim =  un  a u vn c) Nếu n ,n lim = lim un = =0 * Khi tính giới hạn có dạng vô lim un  a d) Nếu lim un = a Tổng cấp số nhân lùi vô hạn u1 S = u1 + u1q + u1q2 + … =  q Giới hạn vô cực Giới hạn đặc biệt:  định: ,  ,  – , 0. phải tìm cách khử dạng vơ định  q  1 Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC II = = = I HỆ THỐNG B À I TẬP TỰ LU ẬN DẠNG 1: CHỨNG MINH DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN Phương pháp giải: Để chứng minh lim un 0 ta chứng minh với số a  nhỏ tùy ý tồn u  a n  no số no cho n Câu 1: Chứng minh lim 0 n 1 Câu 2: Chứng minh lim sin n 0 n2 Câu 3:    1 n  lim  n 1  n 1  0    Chứng minh Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN BẰNG CỦA DÃY SỐ Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa giới hạn giới hạn đặc biệt để giải toán Câu 4: Cho dãy số  un  với un  n 1 n  Tính lim un Câu 5: Cho dãy số  un  n với un ( 0,97) Tính lim un Câu 6: Cho dãy số  un  với un  n  2sin( n  1) n n  n Tính lim un Câu 7: Cho dãy số  un  với un  n   n Tính lim un Câu 8: Cho dãy số  un   2n3  3n  un  n  4n3  n Tính lim un với Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Câu 9: Cho dãy số  un  với un   1  n 25 n 1 Tính lim un 35 n 2 n Câu 10:    4n  un  n 1 un       4n1 Tính lim un Cho dãy số với Câu 11: Cho dãy số  un  n  n2 1 un  n.3n với Tính lim un Câu 12: Cho dãy số  un  với un  n   n Tính lim un Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Câu 13: Cho dãy số  un  với un  4n   2n n  4n   n Tính lim un Câu 14: Cho dãy số  un  un  với      n    32  33   3n   n 1 Tính lim un Câu 15: Cho dãy số  un  1 un     2 3 n n   (n  1) n Tính lim  un  1 với Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC un Câu 16: Dùng định nghĩa dãy số có giới hạn tìm lim un với   1  n 3n  n Câu 17: Dùng định nghĩa dãy số có giới hạn tìm lim un với un  n! n3  2n Câu 18: Cho dãy số  un  với un  2n n  n  n  Tính lim un Câu 19: u  Cho dãy số n 2n  un     2n Tính lim un với Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC  cos n3 un  2n  Câu 20: Dùng định nghĩa dãy số có giới hạn tìm lim un với Câu 21: Cho dãy số  un  với un  n  n2 1 n.3n Tính lim un Câu 22: Cho dãy số  un  1.3.5.7  2n  1 un  2.4.6 n với Tính lim un Câu 23: Cho dãy số  un  u1 1  u u  , n  *   n  n 1 lim  un   2n xác định bởi:  Tính Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC DẠNG TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ n)  un  un  có P  n Q  n (trong P  n , Q  n đa thức k k Phương pháp giải: Chia tử mẫu cho n với n lũy thừa có số mũ cao P  n , Q  n Câu 24: lim un , với , sau áp dụng định lí giới hạn hữu hạn un  5n  3n  n2 bằng: Câu 25: Tính giới hạn lim  4n  n  2n  n  Câu 26: Tính giới hạn n4 lim  n  1   n   n  1 2  lim  2n  1     n  2n n  3n   Câu 27: Tính giới hạn Page 10 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC  1 1 lim      n   5 5 Câu 64: Tìm n 1   1  1    lim       + +   4 2n    Câu 65: Tìm 1 1     n lim 1 1     n Câu 66: Tìm Câu 67: Tìm lim   22  23   2n   32  33   3n   1 lim      1.3 3.5 2n  1  2n  1    Câu 68: Tính giới hạn Page 20 Sưu tầm biên soạn