Toan 11 c5 b15 1 gioi han cua day so tuluan de

C H Ư Ơ N CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC V GIỚI HẠN HÀM SỐ LIÊN TỤC BÀI 15: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ I LÝ THUYẾT = = = HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ GIỚI I u  Ta nói dãy số n có giới hạn n dần tới dương vô cực, un nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở lim un 0 Kí hiệu: n   hay lim un 0 hay un  n   Ta nói dãy số Kí hiệu:   lim   a  0 có giới hạn a (hay dần tới a ) n  , n   lim a n   hay  a n   Từ định nghĩa ta có kết sau: lim 0 lim un 0  lim un 0 n   a) n   ; hay n  ; 1 1 0 lim 0 0 lim k 0,  k  0, k  *  nlim   n   n n b) n   n ; n   n ; ; ; n lim q 0 q 1 c) n  ; lim d) Cho hai dãy số  un    lim 0 lim un 0 u vn Nếu n với n n  n   ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ a) Nếu lim un a lim b c số Khi ta có :  lim  un   a  b  lim  un   a  b  lim  un v n  a.b  lim  c.un  c.a  lim un  a lim un  a  lim un a  ,  b 0  b lim un  a  Nếu un 0 với n a 0  u  ,    wn  Nếu un vn wn ,  n  lim un lim wn a,  a    b) Cho ba dãy số n lim a (gọi định lí kẹp) Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC c) Điều kiện để dãy số tăng dãy số giảm có giới hạn hữu hạn:  Một dãy số tăng bị chặn có giới hạn hữu hạn  Một dãy số giảm bị chặn có giới hạn hữu hạn Kỹ sử dụng máy tính lim un 10 Tính n  nhập un ấn phím CALC n 10 TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN Cấp số nhân vơ hạn  un  q 1 có cơng bội q , với gọi cấp số nhân lùi vô hạn u S 1 q Tổng cấp số nhân lùi vơ hạn: GIỚI HẠN VƠ CỰC CỦA DÃY SỐ • Ta nói dãy số  un  có giới hạn  n   , un lớn số dương bất kì, kể từ số hạng trở Kí hiệu: limun  hay un   n   lim   un   • Dãy số  un  có giới hạn   n   , Kí hiệu: limun   Nhận xét: hay un    n   un   lim  un    Một vài giới hạn đặc biệt Ta thừa nhận kết sau k a) lim n  với k nguyên dương; n b) lim q  q  Quy tắc tính giới hạn vô cực a) Nếu lim un  a limvn  lim un 0 b) Nếu lim un a  , limvn 0  0, n  lim un  c) Nếu lim un  lim a  limun  Quy tắc tìm giới hạn tích lim  u n v n  lim  u n v n  Nếu lim u n L, lim v n  (hay  ) Khi Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC lim u n L     lim v n     u lim n Quy tắc tìm giới hạn thương lim u n lim v n L  0 0 L0 L0 lim  u n v n      Dấu lim un     Tùy ý     Nhận xét: Ta thường dùng quy tắc giới hạn tích tốn giới hạn vơ cực của dãy sớ TĨM TẮT CÁC GIỚI HẠN ĐẶC BIỆT Giới hạn hữu hạn Giới hạn đặc biệt: 1  lim 0 lim k 0 (k   ) n  n ; n  n n lim q 0 ( q  1) n  ; lim C C n  Định lí: a) Nếu lim un = a, lim = b  lim = a + b  lim = a – b  lim = a.b u a lim n  b  b) Nếu un  0, n lim un= a a  lim lim n k  (k   ) lim n  ; lim q n  (q  1) Định lí: a) Nếu lim un  lim 0 un un b) Nếu lim un = a, lim =  lim c) Nếu lim un = a  0, lim = un  neáu a.vn    neáu a.vn  v lim n =  d) Nếu lim un = +, lim = a  neáu a    a  lim =  un  a u vn c) Nếu n ,n lim = lim un = =0 * Khi tính giới hạn có dạng vô lim un  a d) Nếu lim un = a Tổng cấp số nhân lùi vô hạn u1 S = u1 + u1q + u1q2 + … =  q Giới hạn vô cực Giới hạn đặc biệt:  định: ,  ,  – , 0. phải tìm cách khử dạng vơ định  q  1 Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC II = = = I HỆ THỐNG B À I TẬP TỰ LU ẬN DẠNG 1: CHỨNG MINH DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN Phương pháp giải: Để chứng minh lim un 0 ta chứng minh với số a  nhỏ tùy ý tồn u  a n  no số no cho n Câu 1: Chứng minh lim 0 n 1 lim sin n 0 n2 Câu 2: Chứng minh Câu 3:    1 n  lim  n 1  n 1  0    Chứng minh DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN BẰNG CỦA DÃY SỐ Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa giới hạn giới hạn đặc biệt để giải toán Câu 4: u  Cho dãy số n Câu 5: Cho dãy số  un  Câu 6: Cho dãy số  un  Câu 7: Cho dãy số  un  Câu 8: Cho dãy số  un   un  với un  n 1 n  Tính lim un n với un ( 0,97) Tính lim un với un  n  2sin( n  1) n n  n Tính lim un với un  n   n Tính lim un với với un  un  2n3  3n  n  4n3  n Tính lim un   1  n 25 n 1 Tính lim un 35 n 2 Câu 9: Cho dãy số Câu 10:    4n  un  n 1 un     4n 1   Cho dãy số với Tính lim un n Câu 11: Cho dãy số  un  Câu 12: Cho dãy số  un  với un  n  n2 1 n.3n Tính lim un với un  n   n Tính lim un Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Câu 13: Cho dãy số Câu 14: Cho dãy số Câu 15: Cho dãy số  un  với 4n   2n un  un  n  4n   n Tính lim un      n    32  33   3n   n 1  un  với  un  1 un     2 3 n n   (n  1) n Tính lim  un  1 với un Câu 16: Dùng định nghĩa dãy số có giới hạn tìm lim un với Tính lim un   1  3n  n Câu 17: Dùng định nghĩa dãy số có giới hạn tìm lim un với un  n un  n! n  2n 2n n  n  n  Tính lim un Câu 18: Cho dãy số  un  với Câu 19: Cho dãy số  un  2n  un     2n Tính lim un với  cos n3 un  2n  Câu 20: Dùng định nghĩa dãy số có giới hạn tìm lim un với Câu 21: Cho dãy số Câu 22:  un  u  Cho dãy số n Câu 23: Cho dãy số  un  với un  n  n2 1 n.3n Tính lim un 1.3.5.7  2n  1 un  2.4.6 n với Tính lim un u1 1  u u  , n  *   n  n 1 lim  un   2n xác định bởi:  Tính DẠNG TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ n)  un  un  có P  n Q  n (trong P  n , Q  n đa thức k k Phương pháp giải: Chia tử mẫu cho n với n lũy thừa có số mũ cao P  n , Q  n , sau áp dụng định lí giới hạn hữu hạn 5n  3n  un  n2 Câu 24: lim un , với bằng: Câu 25: Tính giới hạn lim  4n  n  2n  n  Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC lim Câu 26: Tính giới hạn n4  n  1   n   n  1 2  lim  2n  1     n  2n n  3n   Câu 27: Tính giới hạn DẠNG TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ thức chứa n  un  un  có P  n Q  n (trong P  n Q  n biểu Phương pháp giải k  Đánh giá bậc tử và mẫu Sau đó, chia tử mẫy cho n với k số mũ lớn P  n k Q  n P  n Q  n (hoặc rút n lũy thừa lớn làm nhân tử Áp dụng định lí giới hạn để tìm giới hạn lim 2n  n 1 lim 2n   n Câu 28: Tìm Câu 29: Tìm n Câu 30: Tìm lim lim Câu 31: Tìm lim Câu 32: Tìm lim Câu 33: Tìm lim Câu 34: Tìm lim Câu 35: Tìm lim Câu 36: Tìm n3  n 3n  2n   n  4n  4n   2n  n  2n  3n 4n  n   n 9n  3n 2n   n  2n  3n  n  4n   2n  n( n   2n) n   8n  n  16n  4n  n4 1 DẠNG NHÂN VỚI MỘT LƯỢNG LIÊN HỢP Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Phương pháp giải  Sử dụng công thức nhân liên hợp  a2  b2 a  b   a b a  b  a  b   a  b    a  b2  a  b   a b  a b  a  b3 a  b3 a  b  a  ab  b  a  ab  b a b  a b   3  a b   a b    b  a  b   a a b  3 a b a3b   Câu 37: Tìm Câu 38: Tìm Câu 39: Tìm Câu 40: Tìm 2    b      2 3 3 3 3 lim  n  3n   n lim  9n  3n   3n  lim  n3  3n  n lim  8n  n   n  3 2 a  a b   b a3  b a  a b  3 a3  b   a   a b   b   a   a b   b    b b  b   a   a b   b   a   a b   b  a  3  b b  b  a b    a b  a  a  3 3 a  a 3 a b  2  a  b   a  3 3 3   a   a b  b  a b   a   a b  b  a   a b  b 3 a   a   a b  b  a b   a   a b  b  a   a b  b        b a b  a  a b   b a b   a  a.3 b    b     Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Câu 41: Tìm Câu 42: Tìm Câu 43: Tìm   lim  n  3n   lim  n4  n2 1  n6  lim n  4n  n3 Câu 46: Tìm Câu 47: Tìm un  DẠNG 2n  4n  n n  4n  n  lim 2n  lim  4n  3n  2n Câu 44: Tìm Câu 45: Tìm  n2  n  n lim lim 8n  n   P  n Q  n 9n  n  n  n  n  n  n  8n3  n  n (trong P  n Q  n  n n n biểu thức chứa hàm mũ a , b , c , n Phương pháp giải: Chia tử mẫu cho a a số lớn Câu 48: Tìm lim  2n  2n 4n lim n 2.3  4n Câu 49: Tìm Câu 50: Tìm Câu 51: Tìm Câu 52: Tìm Câu 53: Tìm lim 2n  4n 4n  3n lim 3.2n  5n 5.4n  6.5n lim 3n  2.5n  3.5n lim 4.3n  n 1 2.5n  n 4n 2  6n 1 lim n   2.6n 3 Câu 54: Tìm Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Câu 55: Tìm Câu 56: Tìm Câu 57: Tìm lim 2n  3n  4.5n 2 2n 1  3n 2  5n 1 lim 2n  3n  5n 2 2n 1  3n 2  5n 1 lim 2n  3n  4n 3 2n  3n 1  4n  ( 2) n  4.5n 1 lim 2.4n  3.5n Câu 58: Tìm lim Câu 59: Tìm lim Câu 60: Tìm Câu 61: Tìm lim ( 2) n  3n ( 2) n 1  3n 1  5 5.2n  n  2n 1   5 n 1 3  n  3n  22 n 3 n  3n  22 n 2  n 1  3n  2n lim 5. n  4.3n  n 2 Câu 62: Tìm Câu 63: Tìm   1 lim n 25 n 1 35 n 2  1 1 lim      n   5 5 Câu 64: Tìm n 1   1  1    lim       + +   4 2n    Câu 65: Tìm 1 1     n lim 1 1     n Câu 66: Tìm Câu 67: Tìm lim DẠNG 7: Dãy số   22  23   2n   32  33   3n  un  u n tổng tích n số hạng (hoặc n thừa số) Phương pháp: Rút gọn u n tìm lim u n theo định lí dùng nguyên lí định lí kẹp để suy lim u n Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC  Cho hai dãy số  un   xn  ,  Cho dãy số lim yn L  yn    Nếu ,  zn  un vn , n  * với lim 0 lim un 0 số thực L Nếu xn  yn zn lim xn lim zn L   1 lim      1.3 3.5 2n  1  2n  1    Câu 68: Tính giới hạn      lim              n  Câu 69: Tính giới hạn  1 lim      4n  4n  n  4n  Câu 70: Tính giới hạn lim Câu 71: Tính giới hạn Câu 72: Tính giới hạn Câu 73: lim    1.3.5.7  2n  1 2.4.6  2n  lim 3sin n  cos n 2n  sin  n ! n  n Câu 74:   1 lim n  n  1 DẠNG un cho công thức truy hồi Phương pháp giải: Tìm cơng thức số hạng tổng quát un sử dụng phương pháp tính giới hạn dãy số  u    un  :  un 1  , n 1, 2,3,  un  Câu 75: Tìm lim un biết u1 2  un  :  u 1 un 1  n , n 1, 2,3,   Câu 76: Tìm lim un biết Câu 77: Tìm Câu 78: Tìm lim u1 1, u2 3 un un  :   un 2 2un1  un  1, n 1, 2,3, n biết lim u1 1, u2 6 un un  :   un 2 3un 1  2un , n 1, 2,3, 3.2n biết Page 10 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC u  Câu 79: Tìm lim un biết n u1 1  un  : u  2un  , n 1, 2,3,  n1 u  n  có giới hạn hữu hạn u1  u  Câu 80: Tìm lim un biết n có giới hạn hữu hạn u1 1, un 1   un  Câu 81: Cho dãy số  un  :  xác định giới hạn hữu hạn, lim un bằng: un1   un , n 1, 2,3,  2un  1 un  với n 1 Biết dãy số  un  có Câu 82: Cho số thập phân vơ hạn tuần hồn a 2,151515 (chu kỳ 15 ), a biểu diễn dạng phân số tối giản, m, n số nguyên dương Tìm tổng m  n a Câu 83: Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,32111 biểu diễn dạng phân số tối giản b , a, b số nguyên dương Tính a  b DẠNG 9: GIỚI HẠN CỦA DÃY CHỨA ĐA THỨC HOẶC CĂN THEO n Phương pháp: Rút bậc lớn đa thức làm nhân tử chung ( Tử riêng, mẫu riêng) Câu 84: Gía trị lim  n  2n  3 Câu 85: Giá trị lim   2n  3n  1 Câu 86: Giá trị Câu 87: Giá trị Câu 88: Giá trị Câu 89: Giá trị lim  2n    lim 2n  lim lim lim n  2n   2n  4n  3n   dãy số  2n  1  3n   lim n  n 4n  Câu 92: Cho dãy số  2n  3n  n3  Câu 90: Giá trị Câu 91:   un  4n  2n  3n  3n   xác định u1 0 , u 1 , u n 1 2u n  u n   với n 2 Tìm giới hạn  un  Page 11 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC DẠNG 10: GIỚI HẠN CỦA DÃY CHỨA LŨY THỪA BẬC n Phương pháp: Rút số lớn đa thức làm nhân tử chung ( Tử riêng, mẫu riêng ) Câu 93: lim  5n  2n  Câu 94: lim  3.2 n 1  5.3n  n  bằng 9n  3.4 n lim 6.7 n  8n Câu 95: Giá trị Câu 96: Giá trị lim  32  33   3n   22   2n BÀI TẬP T Ự Câu 97: Tìm giới hạn sau Câu 98: Tìm giới hạn sau LUẬN TỔN G lim HỢP 2n3  n   4n3 n  2n  n2 1 lim 3n 1  4n lim n 3 Câu 99: Tìm giới hạn sau lim Câu 100: Tìm giới hạn sau lim Câu 101: Tìm giới hạn sau Câu 102: Giá trị n3  n2  n    22   2n   32   3n  2n L lim   n  2 1 n17  Câu 103: Tìm tất giá trị tham số a để Câu 104: Kết giới hạn lim L lim 5n  3an    a  n  2n   5n  3n  2.5n bằng: Page 12 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC lim an  5n  Câu 105: Biết P 3n  n  b  c với a, b, c tham số Tính giá trị biểu thức a c b3 Câu 106: Tìm giới hạn sau lim( n  4n  n) lim  2n  3n3  n     Câu 107: Tìm giới hạn sau Câu 108: Tìm giới hạn sau lim  n2  2n  n  lim  n2   n2     Câu 109: Tìm giới hạn sau 4n2   n  lim n2  n   n Câu 110: Tìm giới hạn sau Câu 111: Giá trị giới hạn Câu 112: Giá trị giới hạn Câu 113: Giá trị giới hạn lim  n 5  lim  n2  n 1  n lim  n  2n  Câu 114: Có giá trị a để n 1 lim   un   là: n2  2n  là: n2  a n  Câu 115: Có giá trị nguyên a thỏa Câu 116: Cho dãy số  bằng: lim với un  n  an     n   a   n  0  n  8n  n  a 0 n  , a tham số thực Tìm a để lim un  Câu 117: Tính lim n  4n   8n  n Câu 118: Tính giới hạn dãy số  L lim  n  n   n3  n   n Câu 119: Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn S 1   : 1   Câu 120: Tính tổng cấp số nhân lùi vơ hạn S     Page 13 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Câu 121: Tổng cấp số nhân lùi vô hạn S 1  1    n  2 có kết bằng: n  2  2          5  5 lim n  3  3          4  4 Câu 122: Tính giới hạn Câu 123: Cho hình vng ABCD có độ dài Ta nội tiếp hình vng hình vng thứ , có đỉnh trung điểm cạnh Và ta nội hình vẽ Tính tổng chu vi hình vng Page 14 Sưu tầm biên soạn