Toán 11 bài 1 giới hạn của dãy số

Bài 1 Giới hạn của dãy số A Các câu hỏi hoạt động trong bài Hoạt động 1 trang 112 SGK Toán lớp 11 Đại số Cho dãy số (un) với n 1 u n = Biểu diễn (un) dưới dạng khai triển 1 1 1 1 1 1, , , , , , , 2 3[.]

Bài 1: Giới hạn dãy số A Các câu hỏi hoạt động Hoạt động trang 112 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho dãy số (un) với u n = n 1 1 , Biểu diễn (un) dạng khai triển: 1, , , , , , 100 Biểu diễn (un) trục số (h.46): a) Nhận xét xem khoảng cách từ un tới thay đổi n trở nên lớn b) Bắt đầu từ số hạng un dãy số khoảng cách từ un đến nhỏ 0,01? 0,001? Lời giải: a) Khoảng cách từ un tới trở nên nhỏ (gần 0) n trở nên lớn b) Ta có: 1  0,01    n  100 n n 100 Do từ số hạng thứ 101 khoảng cách từ un đến nhỏ 0,01 1  0,001    n  1000 n n 1000 Do từ số hạng thứ 1001 khoảng cách từ un đến nhỏ 0,001 Hoạt động trang 117 SGK Toán lớp 11 Đại số: Có nhiều tờ giấy chồng nhau, tờ có bề dày 0,1 mm Ta xếp chồng liên tiếp tờ lên tờ khác (h.48) Giả sử thực việc xếp giấy cách vô hạn Gọi u1 bề dày tờ giấy, u2 bề dày xếp giấy gồm hai tờ, u3 bề dày xếp giấy gồm ba tờ, …, un bề dày xếp giấy gồm n tờ Tiếp tục ta dãy số vô hạn (un) Bảng sau cho biết bề dày (tính theo mm) số chồng giấy u1 … u1000 … u1000000 … u1000000000 … un … 0,1 … 100 … 100000 … 100000000 … n 10 … a) Quan sát bảng nhận xét giá trị u n n tăng lên vô hạn b) Với n ta đạt chồng giấy có bề dày lớn khoảng cách từ Trái Đất tới Mặt Trăng? (Cho biết khoảng cách thời điểm xác định 384 000 km hay 384.109 mm) Lời giải: a) Giá trị un lớn n tăng lên vơ hạn n 9 10 b) Ta có: u n  384.10   384.10  n  384.10 10 Vậy cần n > 384.109 tờ giấy để đạt chồng giấy có dày lớn khoảng cách từ Trái Đất tới Mặt Trăng B Bài tập Bài tập trang 121 SGK Toán lớp 11 Đại số: Có kg chất phóng xạ độc hại Biết rằng, sau khoảng thời gian T = 24 000 năm nửa số chất phóng xạ bị phân rã thành chất khác không độc hại sức khỏe người (T gọi chu kì bán rã) Gọi (un) khối lượng chất phóng xạ cịn sót lại sau chu kì thứ n a) Tìm số hạng tổng quát un dãy số (un) b) Chứng minh (un) có giới hạn c) Từ kết câu b), chứng tỏ sau năm khối lượng chất phóng xạ cho ban đầu khơng cịn độc hại người, cho biết chất phóng xạ khơng độc hại khối lượng chất phóng xạ lại bé 10-6 g Lời giải: a) Ta có: Sau chu kì thứ nhất, lượng chất phóng xạ cịn Sau chu kì thứ hai, lượng chất phóng xạ cịn Sau chu kì thứ ba, lượng chất phóng xạ 1 = 22 1 = 23 1 Do u1 = ;u = ;u = ; 2 Từ ta dự đốn cơng thức u n = ( n  1) 2n Điều chứng minh đơn giản quy nạp Hiển nhiên công thức với n = 1 , ta chứng minh cơng thức 2k với n = k + 1, tức cần chứng minh: u k +1 = k +1 Giả sử công thức với k  1, tức có u k = Ta có u k +1 = uk 1 1 = k : = k  = k +1 2 2 Vậy u n = , n  N* n n 1 b) lim u n = lim   = 2 c) Đổi 10−6 g = 1  kg = kg 106 103 109 Để chất phóng xạ khơng cịn độc hại, ta cần tìm n để 1 u n = n   2n  109  n  30 10 Nói cách khác, sau chu kì thứ 30 (nghĩa sau 30.24000 = 720000 (năm)), khơng cịn lo lắng độc hại khối lượng chất phóng xạ cịn lại Bài tập trang 121 SGK Toán lớp 11 Đại số: Biết dãy số (un) thỏa mãn u n −  với n Chứng minh lim un = n Lời giải: 1 = nên theo định nghĩa ln nhỏ số dương A bé tùy ý, n3 n3 kể từ số hạng N0 trở Vì lim  1 1 3 N = Chọn  A  n   n    + , tức từ số hạng thứ n mà n n3 A A  A > N0 ln nhỏ A) n ( Mà u n −   1 u −  A n  N = nên với   +1 n n  A Theo định nghĩa dãy số có giới hạn lim(un – 1) =  limu n = (điều phải chứng minh) Cách khác Sử dụng định lý sau: Cho hai dãy số (un) (vn) Nếu có u n  v n limvn = limun = Cụ thể: Vì u n −  1 lim = nên lim ( u n − 1) =  lim u n = n n Bài tập trang 121 SGK Tốn lớp 11 Đại số: Tìm giới hạn sau: a) lim 6n − ; 3n + b) lim 3n + n − ; 2n + c) lim 3n + 5.4n ; 4n + 2n 9n − n + d) lim 4n − Lời giải: 1  lim  −  n6 −  −   6n − n 6−0 n   n = =2 = = lim a) lim = lim 2  3+ 2 3n +   3+ lim  +  n3 +  n n n      n2  + −  + − 3+0−0 3n + n − n n   n n = = = lim b) lim = lim 1  + 2n + 2 2+ n 2+  n n   c) Chia tử mẫu phân thức cho 4n ta được: n 3 n n   +5 0+5 + 5.4 lim n = lim   n = = =5 n +2 1+ 1 1+   2 1   1 n2  − +  9− + n n  9n − n +  n n = = d) lim = lim = lim 2 4n − 4  4− n4 −  n n  Bài tập trang 122 SGK Toán lớp 11 Đại số: Để trang hồng cho hộ mình, chuột Mickey định tơ màu miếng hình vng cạnh 1, tơ màu xám hình vng nhỏ đánh số 1,2,3,…,n,…, cạnh hình vng nửa cạnh hình vng trước (h.51) Giả sử quy trình tơ màu Mickey diễn vơ hạn a) Gọi un diện tích hình vng màu xám thứ n Tính u1, u2, u3 un b) Tính limSn với Sn = u1 + u2 + u3 +…+ un Lời giải: a) Do hình vng lớn có cạnh 1, hình vng màu xám thứ có cạnh nửa cạnh hình vng lớn nên: 1 1 Hình vng thứ có cạnh nên u1 =   = 2 1 1 Hình vng thứ hai có cạnh nên u =   = 4 1 1 Hình vng thứ ba có cạnh nên u =   = 8 Tương tự, ta có u n = 4n b) Dãy số (un) cấp số nhân lùi vô hạn với u1 = 1 q = 4 u Do limSn = = = 1− q 1− Bài tập trang 122 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tính tổng 1 ( −1) S = −1 + − + + n −1 + 10 10 10 n Lời giải: Các số hạng tổng lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với u1 = –1 q = − 10 Do đó: 1 (−1) n u S = −1 + − + + n −1 +  = = 10 10 10 1− q Vậy S = −1 −10 =   11 1−  −   10  −10 11 Bài tập trang 122 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho số thập phân vơ hạn tuần hồn a = 1,020202 (chu kì 02) Hãy viết a dạng phân số Lời giải: Ta có: a = 1,0202020… = + 0,02 + 0,0002 + 0,000002 + … =1+ 2 + + + + 100 1002 100n 2 2 , ,, , cấp số nhân lùi vơ hạn có: u1 = ,q = n 100 100 100 100 100 2 101  a = + 100 = + = 99 99 1− 100 Vì Vậy a = 101 99 Bài tập trang 122 SGK Tốn lớp 11 Đại số: Tìm giới hạn sau: a) lim(n3 + 2n2 – n + 1); b) lim(–n2 + 5n – 2); ( d) lim ( c) lim ) − n + n) n2 − n − n ; n2 Lời giải: 1  a) lim(n3 + 2n2 – n + 1) = lim n 1 + − +  n   n n Vì lim n = + 1 1  lim 1 + − +  = + lim − lim + lim = > n n n n   n n Vậy lim ( n + 2n − n + 1) = + 2  b) lim (– n2 + 5n – 2) = limn  −1 + −  n n   Vì lim n = + 5 2  lim  −1 + −  = −1 + lim − lim = –1 < n n n n   Vậy lim ( −n + 5n − ) = − c) lim ( Vậy lim ) n − n − n = lim ( ) n2 − n − n = n2 − n − n2 n2 − n + n = lim −n  1 n 1 −  + n  n = lim −1 −1 = 1− +1 n −1      1 n − n + n = lim  n 1 −  + n  = lim  n − + n    n  n       = lim n  − + 1 n   d) lim ) (   Vì limn = + lim  − + 1 = + =  n   Vậy lim ( ) n − n + n = + Bài tập trang 122 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho hai dãy số (un) (vn) Biết limu n = 3, lim = + Tính giới hạn: a) lim 3u n − ; un + b) lim + v2n − Lời giải: a) lim 3u n − 3limu n − 3.3 − = =2 = +1 limu n + un + b) Vì lim v n = +  lim =0   2 v 2n  +  + lim + lim v  v vn + v +2 = =0 = lim  n = = lim n lim n2 1 − − 1  2 − lim 1− v n 1 −  v n   ... lùi vô hạn với u1 = ? ?1 q = − 10 Do đó: 1 (? ?1) n u S = ? ?1 + − + + n ? ?1 +  = = 10 10 10 1? ?? q Vậy S = ? ?1 ? ?10 =   11 1? ??  −   10  ? ?10 11 Bài tập trang 12 2 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho số thập... vơ hạn có: u1 = ,q = n 10 0 10 0 10 0 10 0 10 0 2 10 1  a = + 10 0 = + = 99 99 1? ?? 10 0 Vì Vậy a = 10 1 99 Bài tập trang 12 2 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tìm giới hạn sau: a) lim(n3 + 2n2 – n + 1) ; b) lim(–n2... vô hạn với u1 = 1 q = 4 u Do limSn = = = 1? ?? q 1? ?? Bài tập trang 12 2 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tính tổng 1 ( ? ?1) S = ? ?1 + − + + n ? ?1 + 10 10 10 n Lời giải: Các số hạng tổng lập thành cấp số