BÀI 1 GIỚI hạn của dãy số

BÀI GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ MỤC TIÊU: Kiến thức: - Hiểu khái niệm giới hạn dãy số - Biết số định giới hạn dãy số, cấp số nhân lùi vô hạn Kỹ năng: - Áp dụng khái niệm giới hạn dãy số, định lí giới hạn dãy số vào giải tập - Biết cách tính giới hạn dãy số - Biết cách tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa dãy số có giới hạn 1.1 Định nghĩa: Ta có nói dãy số  un  có giới hạn (hay có giới hạn 0) với số dương nhỏ tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, có giá trị tuyệt đối nhỏ số dương Khi ta viết: limun  un  (Kí hiệu “ lim  n ”đọc dãy số  un  có giới hạn n dần đến vô cực) n Nhận xét: a) Dãy số  un  có giới hạn dãy số  un  có giới hạn b) Dãy số không đổi  un  với un  có giới hạn 1.2 Một số dãy số có giới hạn thường gặp Dựa vào định nghĩa, người ta chứng minh rằng: a) lim  n b) lim 0 n c) lim  n d) Dãy số không đổi  un  với un  có giới hạn e) Nếu q  lim qn  Định lí sau thường sử dụng để chứng minh số dãy số có giới hạn Cho hai dãy số  un    Nếu un  với n limvn  lim un  Dãy số có giới hạn hữu hạn 2.1 Định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn Định nghĩa: Ta nói dãy số  un  có giới hạn số thực L lim  un  L   Khi ta viết limun  L un  L Tức lim un  L  lim  un  L   Nhận xét: - Dãy số  un  có giới hạn số thực L, khoảng cách từ điểm un đến điểm L Trang un  L gần miễn chọn n đủ lớn Tức biểu diễn số hạng trục số ta thấy n tăng điểm un tụ quanh điểm L - Có dãy số khơng có giới hạn hữu hạn Chẳng hạn dãy số  1  , tức dãy số: n 1;1; –1;1; - Nếu C số lim C  C 2.2.Các định lý giới hạn dãy số Định lí 1: Giả sử lim un  L Khi đó: • lim un | L | lim un  L • Nếu un  0, n  * L  lim un  L Định lí 2: Giả sử lim un  L;lim  M c số Khi đó: • lim  un    L  M • lim  un    L  M •  lim  un  vo   L.M • lim  cun   cL •  lim un L (nếu M = 0)  v0 M Định lí (Nguyên lí kẹp giữa): Cho ba dãy số  un  ,   ,  wn  số thực L Nếu un   wn với n lim un  lim wn  L lim  L Định lí 4: • Một dãy số tăng bị chặn có giới hạn • Một dãy số giảm bị chặn có giới hạn 2.3 Tổng cấp số nhân lùi vô hạn Khái niệm: Cấp số nhân gọi lùi vơ hạn có cơng bội q thỏa mãn điều kiện q  Tổng số hạng: S  u1  u2  u3  u1  u1q  u1q  u1q3  u1 ,(| q | 1) 1 q Dãy số có giới hạn vơ cực 3.1 Định nghĩa dãy số có giới hạn vơ cực Định nghĩa: • Ta nói dãy số  un  có giới hạn +∞ với số dương tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, lớn số dương Khi ta viết lim un   u0   • Ta nói dãy số  un  có giới hạn –∞ với số âm tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, nhỏ số âm Khi ta viết lim un   un   Nhận xét: Nếu limun   lim  un    Chú ý: • Các dãy số có giới hạn +∞ -∞ gọi chung dãy số có giới hạn vơ cực hay dần đến vơ cực • Dãy số có giới hạn số thực L gọi dãy số có giới hạn hữu hạn Nhận xét: Trang Từ định nghĩa, ta có kết sau: a) lim n   b) lim n   c) lim n   d ) lim n k  (k  0) e) lim q n  (q  1) • Định lí: Nếu lim un   lim 0 un 3.2 Một vài quy tắc tìm giới hạn vơ cực Quy tắc • Nếu lim un  ;lim   lim  un ,    • Nếu lim un  ;lim   lim  un     • Nếu lim un  ;lim   lim  un ,    • Nếu lim un  ;lim   lim  un     Quy tắc  L  • Nếu lim un  ;lim  L  lim  un      L   L  • Nếu lim un  ;lim  L  lim  un ,     L  Quy tắc Nếu lim un  L  0,lim  • Khi lim un  L   lim • Khi lim un  L   lim un   0, n    0, n un   0, n    0, n 3.3 Một số kết qn n a) lim   lim n  với q  n q b) Cho hai dãy số  un    • Nếu un  với n lim un   lim   • Nếu lim un  L  lim   lim • Nếu lim un   (hoặc -∞) limun  L  un 0 lim  un     (hoặc –∞) - Mở rộng: Ta có lim nk qn lim  với q  k làmột số nguyên dương   qn nk Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Dãy số có giới hạn định nghĩa Bài tốn Chứng minh dãy số có giới hạn định nghĩa - Phương pháp giải Cách 1: Áp dụng định nghĩa Cách 2: Sử dụng định lí sau: Trang • Nếu k số thực dương lim 0 nk • Với hai dãy số  u0    un  với n limvn  lim un  • Nếu |q|