Toan 11 c5 b15 1 gioi han cua day so tuluan hdg

C H Ư Ơ N CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC V GIỚI HẠN HÀM SỐ LIÊN TỤC BÀI 15: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ I LÝ THUYẾT = = = HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ GIỚI I u  Ta nói dãy số n có giới hạn n dần tới dương vô cực, un nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở lim un 0 Kí hiệu: n   hay lim un 0 hay un  n   Ta nói dãy số Kí hiệu:   lim   a  0 có giới hạn a (hay dần tới a ) n  , n   lim a n   hay  a n   Từ định nghĩa ta có kết sau: lim 0 lim un 0  lim un 0 n   a) n   ; hay n  ; 1 1 0 lim 0 0 lim k 0,  k  0, k  *  nlim   n   n n b) n   n ; n   n ; ; ; n lim q 0 q 1 c) n  ; lim d) Cho hai dãy số  un    lim 0 lim un 0 u vn Nếu n với n n  n   ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ a) Nếu lim un a lim b c số Khi ta có :  lim  un   a  b  lim  un   a  b  lim  un v n  a.b  lim  c.un  c.a  lim un  a lim un  a  lim un a  ,  b 0  b lim un  a  Nếu un 0 với n a 0  u  ,    wn  Nếu un vn wn ,  n  lim un lim wn a,  a    b) Cho ba dãy số n lim a (gọi định lí kẹp) Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC c) Điều kiện để dãy số tăng dãy số giảm có giới hạn hữu hạn:  Một dãy số tăng bị chặn có giới hạn hữu hạn  Một dãy số giảm bị chặn có giới hạn hữu hạn Kỹ sử dụng máy tính lim un 10 Tính n  nhập un ấn phím CALC n 10 TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN Cấp số nhân vơ hạn  un  q 1 có cơng bội q , với gọi cấp số nhân lùi vô hạn u S 1 q Tổng cấp số nhân lùi vơ hạn: GIỚI HẠN VƠ CỰC CỦA DÃY SỐ • Ta nói dãy số  un  có giới hạn  n   , un lớn số dương bất kì, kể từ số hạng trở Kí hiệu: limun  hay un   n   lim   un   • Dãy số  un  có giới hạn   n   , Kí hiệu: limun   Nhận xét: hay un    n   un   lim  un    Một vài giới hạn đặc biệt Ta thừa nhận kết sau k a) lim n  với k nguyên dương; n b) lim q  q  Quy tắc tính giới hạn vô cực a) Nếu lim un  a limvn  lim un 0 b) Nếu lim un a  , limvn 0  0, n  lim un  c) Nếu lim un  lim a  limun  Quy tắc tìm giới hạn tích lim  u n v n  lim  u n v n  Nếu lim u n L, lim v n  (hay  ) Khi lim u n L lim v n lim  u n v n  Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC             u lim n Quy tắc tìm giới hạn thương lim u n lim v n L  0 0 L0 L0 Dấu lim un  Tùy ý        Nhận xét: Ta thường dùng quy tắc giới hạn tích tốn giới hạn vơ cực của dãy sớ TĨM TẮT CÁC GIỚI HẠN ĐẶC BIỆT Giới hạn hữu hạn Giới hạn đặc biệt: 1  lim 0 lim k 0 (k   ) n   n  n n ; n lim q 0 ( q  1) n  ; lim C C n  Định lí: a) Nếu lim un = a, lim = b  lim = a + b  lim = a – b  lim = a.b u a lim n  b  b) Nếu un  0, n lim un= a a  lim lim n k  (k   ) lim n  ; lim q n  (q  1) Định lí: a) Nếu lim un  lim 0 un un v b) Nếu lim un = a, lim =  lim n = c) Nếu lim un = a  0, lim = un  neáu a.vn    a.vn  v lim n =  d) Nếu lim un = +, lim = a  neáu a    a  lim =  * Khi tính giới hạn có dạng vơ un  a u vn c) Nếu n ,n lim = lim un = lim un  a d) Nếu lim un = a Tổng cấp số nhân lùi vô hạn u1 S = u1 + u1q + u1q2 + … =  q Giới hạn vô cực Giới hạn đặc biệt:  định: ,  ,  – , 0. phải tìm cách khử dạng vơ định  q  1 Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC II = = = I HỆ THỐNG B À I TẬP TỰ LU ẬN DẠNG 1: CHỨNG MINH DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN Phương pháp giải: Để chứng minh lim un 0 ta chứng minh với số a  nhỏ tùy ý tồn u  a n  no số no cho n Câu 1: Chứng minh lim 0 n 1 Lời giải 1  a n 1 a Với a  nhỏ tùy ý, ta có n  n    no   1  a  lim 21 0 a   Do a  , n0 : n  no ta ln có n  n 1 Chọn  a  lấy phần nguyên a Chú ý: Kí hiệu Câu 2: Chứng minh lim sin n 0 n2 Lời giải Với a  nhỏ tùy ý, ta có sin n sin n 1   a n  n2 n2 n2 a 2 sin n   a  lim sin n 0 2  Do a  , n0 : n  no ta ln có n  n2  a  lấy phần nguyên a Chú ý: Kí hiệu 1 no   a Chọn Câu 3:    1 n  lim  n 1  n 1  0    Chứng minh Lời giải Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh   1 Với a  nhỏ tùy ý, ta có n n 1  n  2n , n  *  1  , n  * 2n n 1 1 1 1  n 1  n 1  n 1  n 1  n   a  n  3 2 n a n 1 n   1   a  1 no   n 1 3n 1  a  Do a  , n0 : n  no ta có Chọn    1 n   lim  n 1  n 1  0    Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Chú ý: Kí hiệu  a  lấy phần nguyên a DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN BẰNG CỦA DÃY SỐ Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa giới hạn giới hạn đặc biệt để giải toán Câu 4: u  Cho dãy số n với un  n 1 n  Tính lim un Lời giải un  Ta có: lim Vì Câu 5: n 1 n 1 1    , n   n2 n 1 n 1 n 0 n nên lim un 0 Cho dãy số  un  n với un ( 0,97) Tính lim un Lời giải  0,97  Theo cơng thức giới hạn đặc biệt, ta có: nên lim un 0 Câu 6: u  Cho dãy số n với un  n  2sin( n  1) n n  n Tính lim un Lời giải un  Ta có: lim Vì Câu 7: n  2sin( n 1) n2 3  , n   3 n n 2 n n  n  2 n 0 n nên lim un 0 Cho dãy số  un  với un  n   n Tính lim un Lời giải  n 1  n  un  n2 1  n  n2 1  n n 1  n  Ta có: Vì Câu 8: lim 0, n Cho dãy số lim  un  1    n 1  1 n    1 n n   1  1  1 n nên lim un 0  2n3  3n  un  n  4n3  n Tính lim un với Lời giải Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC  2n3  3n  4   2 4  2n  3n  n un   n  n n n  4n  n n  4n  n 1  n n n Ta có: 4 000 lim un  0 lim 0, lim 0, lim 0 lim 0 lim 0 n n n n n 1  Mà , Do Câu 9: Cho dãy số  un  với   1  un n 25 n 1 Tính lim un 35 n 2 Lời giải Ta có: un   1  n 25 n 1 35 n 2  2 1 lim    3 Vì nên n 2.25n   1      32.35n  3   1  5n 5n 0 Do lim un 0 n Câu 10:    4n  un  n 1 un       4n1 Tính lim un Cho dãy số với Lời giải  n 4n    4    5   n    5    n        un     n  4.4n           n           n           Ta có: n   4             lim n n n n  5  4   4  4  lim    lim    0 lim   0       7       7   Vì nên Do lim un 0 n Câu 11: Cho dãy số  un  với un  n  n2 1 n.3n Tính lim un Lời giải n  n2 1 1 1 n  n 1 n  1 1  n un      n n n n.3 n.3 3n  n  n Ta có: Vì lim   1 lim    n  2 lim n 0  n   n nên Do lim un 0 Câu 12: Cho dãy số  un  với un  n   n Tính lim un Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Lời giải Ta có: un  n   n n2 n  n2   n  n   n 2      2  2 n 1    n  1  n   n    n  n 2  n = Vì  n Câu 13: Cho dãy số lim lim           1    n  n    2      1 n n  0  un  với  un  Do lim un 0 4n   2n n  4n   n Tính lim un Lời giải 4n   2n  n   4n 4n   2n Xử lí tử số : n  4n   n Xử lí mẫu số:   n  4n   n   n   2n n  4n   n n  4n   n  n  4n   n 4n   lim un lim 4n   2n  2n  1 lim      n2      n  n n     n     2n   2n  1  n      4 n     1   1 n n n n   lim lim     1 1  n   2 n   n   2    n n n n      lim lim 0 n   2 4n Do lim un 0 Câu 14: Cho dãy số  un  un  với      n    32  33   3n   n 1 Tính lim un Lời giải Xét tử số: Ta thấy 1, 2,3, 4, , n dãy số thuộc cấp số cộng có n số hạng với u1 1, d 1  u  u  n 1 n n Sn  n  2 Tổng n số hạng cấp số cộng: Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC n  n 1 số hạng với Xét mẫu số: Ta thấy 1,3,3 ,3 , ,3 dãy số thuộc cấp số nhân có u1 1, q 3 Tổng  n 1 số hạng cấp số nhân: n n  un  n 1  n  3.3  S n 1 u1  q n 1  3n 1 3n 1    1 q 1 n n n 2n    u      n n * n * 3.3n  3n 3n   Bằng quy nạp ta ln có n  , n    1, n   n  2 lim   0  3 Vì nên lim un 0 Câu 15: Cho dãy số  un  1 un     2 3 n n 1  ( n  1) n Tính lim  un  1 với Lời giải un  1 n 1  n     n n   (n  1) n n n 1 n n n 1 n  n 1   Ta có : 1    n n   ( n  1) n =1 2 3  1 1       2 n  lim  un  1 lim    Vậy 1  n 1 n 1 n 1   0 n 1  Câu 16: Dùng định nghĩa dãy số có giới hạn tìm lim un với un    1 n 3n  Lời giải Với a  nhỏ tùy ý, ta có un   1  n 3n   1  a n 3n  3n 3a n  1   1 0 no    lim u  a  3a  Do a  , n0 : n  no ta ln có n 3n  Chọn n Câu 17: Dùng định nghĩa dãy số có giới hạn tìm lim un với un  n! n  2n Lời giải n Với a  nhỏ tùy ý, ta có un  n! n  2n n  nn n  2n  n n  2n  n n n  1 a n a n n n!  1  lim 0 no   un  a  n : n  n a   n  n  a  0 o Chọn Do , ta ln có Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Câu 18: Cho dãy số  un  với un  2n n  n  n  Tính lim un Lời giải 2n n   2 2n n  n n un   n  n  n  n  n  1  n n n n2 Ta có: 2 lim 0, lim 0 lim 0, lim 0 n n n n n2 Mà , nên lim un 0 Câu 19: u  Cho dãy số n 2n  un     2n Tính lim un với Lời giải 2k  2k  2k  2k     ,  k   * 2 k k  k k  Ta có  1    3  2n  1 2n  1  4   un      2n 2n  2n    2n  2n    2n 2n   Do un  1 , n lim 0 2n  2n  Mà lim un 0  cos n3 u  n 2n  Câu 20: Dùng định nghĩa dãy số có giới hạn tìm lim un với Lời giải Ta ln có * cos n 1, n   un   cos n3 2 1    a n 2n  n  2n n a Với a  nhỏ tùy ý,  1  cos n3 no    lim 0  a  Do a  , n0 : n  no ta có un  a 2n  Chọn Câu 21: Cho dãy số  un  với un  n  n2 1 n.3n Tính lim un Lời giải n  n2 1 1 1 2 n  n 1 n  1 1  n un      n.3n n.3n 3n 3n  n  n Ta có: Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Mà Câu 22: lim   1 lim    n  2 lim n 0  n   n nên Do lim un 0 u  Cho dãy số n 1.3.5.7  2n  1 un  2.4.6 n với Tính lim un Lời giải u  0, n   * Ta có: un  0, n   *  n    un  2 12.32.52.7  2n  1 12.32.52.7  2n  1   22.42.62 (2 n)   1  42  1  62  1  (2n)2  1 12.32.52.7  n  1   1.3.3.5.5.7 (2 n  1)(2 n  1) n 1 Do ta có n   * Từ suy lim un 0 Câu 23: Cho dãy số  un    un   1 lim 0 lim  un  0 2n  Mà lim 0 2n  nên u1 1  u u  , n  *   n  n 1 lim  un   2n xác định bởi:  Tính Lời giải 1 un  un  un     un   un      u2  u1   u1    2 Ta có : 1   Dãy   n  1 ,   2 n , , n 1    2 n    1 u  cấp số nhân có  n  1 số hạng với số hạng đầu 1 1    2 un S n    1 q 2 nên công bội    n  lim  un   lim      0     Vậy DẠNG TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ n)  un  n 1  2     2 un  có n P  n Q  n (trong P  n , Q  n đa thức k k Phương pháp giải: Chia tử mẫu cho n với n lũy thừa có số mũ cao P  n , Q  n , sau áp dụng định lí giới hạn hữu hạn 5n  3n  un  n2 Câu 24: lim un , với bằng: Page 10 Sưu tầm biên soạn