ĐẠI.-CHƯƠNG-4.-Bài-1.-GIỚI-HẠN-CỦA-DÃY-SỐ-HS

CHƯƠNG 4: GIỚI HẠN BÀI GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Mục tiêu ❖ Kiến thức + Hiểu khái niệm giới hạn dãy số + Biết số định lí giới hạn dãy số, cấp số nhân lùi vô hạn ❖ Kĩ + Áp dụng khái niệm giới hạn dãy số, định lí giới hạn dãy số vào giải tập + Biết cách tính giới hạn dãy số + Biết cách tính tổng cấp số nhân lùi vơ hạn Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa dãy số có giới hạn 1.1 Định nghĩa: Ta có nói dãy số ( un ) có giới Nhận xét: hạn (hay có giới hạn 0) với số dương a) Dãy số ( un ) có giới hạn dãy số nhỏ tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ ( u ) có giới hạn số hạng trở đi, có giá trị tuyệt đối b) Dãy số khơng đổi ( un ) , với un = có giới hạn nhỏ số dương Khi ta viết: lim un = un → n (Kí hiệu “ lim un = ”, đọc dãy số ( un ) có giới n →+ hạn n dần đến vô cực) 1.2 Một số dãy số có giới hạn thường gặp Dựa vào định nghĩa, người ta chứng minh rằng: a) lim = 0; n b) lim = 0; n c) lim = 0; n d) Dãy số không đổi ( un ) với un = có giới hạn e) Nếu q  lim q n = Định lí sau thường sử dụng để chứng minh số dãy số có giới hạn Cho hai dãy số ( un ) ( ) Nếu un  với n lim = lim un = Dãy số có giới hạn hữu hạn Nhận xét: 2.1 Định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn - Dãy số ( un ) có giới hạn số thực L, Định nghĩa: Ta nói dãy số ( un ) có giới hạn khoảng cách từ điểm un đến điểm L un − L số thực L lim ( un − L ) = gần miễn chọn n đủ Khi ta viết lim un = L un → L lớn Tức biểu diễn số hạng trục số Tức lim un = L  lim ( un − L ) = ta thấy n tăng điểm un tụ quanh 2.2 Các định lý giới hạn hàm số Định lí 1: Giả sử lim un = L Khi đó: điểm L - Có dãy số khơng có giới hạn hữu hạn Trang  lim un = L un = L  Nếu un  0, n  * Chẳng hạn dãy số L  lim un = L ( ( −1) ) , n tức dãy số: −1;1; −1;1; Định lí 2: Giả sử lim un = L;lim = M c - Nếu C số lim C = C số Khi  lim ( un + ) = L + M  lim ( un − ) = L − M  lim ( un ) = L.M  lim ( cun ) = cL  lim un L = (nếu M  ) M Định lí (Nguyên lí kẹp giữa): Cho ba dãy số ( un ) , ( ) , ( wn ) số thực L Nếu un   wn với n lim un = lim wn = L lim = L Định lí 4:  Một dãy số tăng bị chặn có giới hạn  Một dãy số giảm bị chặn có giới hạn 2.3 Tổng cấp số nhân lùi vô hạn Khái niệm: Cấp số nhân gọi lùi vơ hạn có cơng bội q thỏa mãn điều kiện q  Tổng số hạng: S = u1 + u2 + u3 + = u1 + u1q + u1q + u1q + = u1 , 1− q ( q  1) Dãy số có giới hạn vơ cực 3.1 Định nghĩa dãy số có giới hạn vơ cực Định nghĩa: Nhận xét: Nếu lim un = − lim ( −un ) = + Chú ý:  Các dãy số có giới hạn + −  Ta nói dãy số ( un ) có giới hạn + với gọi chung dãy số có giới hạn vơ cực hay số dương tùy ý cho trước, số hạng dãy dần đến vơ cực số, kể từ số hạng trở đi, lớn số  Dãy số có giới hạn số thực L gọi dãy dương số có giới hạn hữu hạn Khi ta viết lim un = + un → + Nhận xét:  Ta nói dãy số ( un ) có giới hạn − với Từ định nghĩa, ta có kết sau: số âm tùy ý cho trước, số hạng dãy số, a) limn = + b) lim n = + Trang kể từ số hạn trở đi, nhỏ số âm c) lim n = + d) lim nk = + ( k  ) Khi ta viết lim un = − un → − e) lim q n = + ( q  1)  Định lí: Nếu lim un = + lim = un 3.2 Một vài quy tắc tìm giới hạn vơ cực Quy tắc  Nếu lim un = +;lim = + lim ( un ) = +  Nếu lim un = +;lim = − lim ( un ) = −  Nếu lim un = −;lim = + lim ( un ) = −  Nếu lim un = −;lim = − lim ( un ) = + Quy tắc  Nếu lim un = +;lim = L  + L  lim ( un ) =  − L   Nếu lim un = −;lim = L  − L  lim ( un ) =  + L  Quy tắc Nếu lim un = L  , lim =  Khi lim un = L   lim un +  0, n = −  0, n  Khi lim un = L   lim un −  0, n = +  0, n 3.3 Một số kết a) lim Mở rộng: qn n = + lim n = , với q  n q Ta có lim b) Cho hai dãy số ( un ) ( ) , qn nk = + lim = , với q  k nk qn số nguyên dương  Nếu un  với n lim un = + lim = +  Nếu lim un = L  lim = + lim un = Trang  Nếu lim un = + (hoặc − ) lim un = L  lim ( un + ) = + (hoặc − ) II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Dãy số có giới hạn định nghĩa Bài tốn Chứng minh dãy số có giới hạn định nghĩa Phương pháp giải Ví dụ: Chứng minh dãy số ( un ) sau có Cách 1: Áp dụng định nghĩa Cách 2: Sử dụng định lí sau:  Nếu k số thực dương lim giới hạn = nk un =  Với hai dãy số ( un ) ( ) sin 4n n+3 un  với n lim = lim un =  Nếu q  lim q n = Ví dụ mẫu Ví dụ Chứng minh dãy số ( un ) sau có giới hạn + sin n a) un = 4n + b) un ( −1) = n n +1 − 5n −1 Bài tốn Giới hạn dãy số có số hạng tổng quát dạng phân thức Phương pháp giải Để tính giới hạn dãy số có số hạng tổng quát dạng phân thức: lim un Ví dụ: Chứng minh rằng: lim = n +1  Nếu un ; hàm đa thức theo biến n chia tử số mẫu số cho n p , p số mũ lớn Sau áp dụng: lim = (với k  ) nk  Nếu un ; hàm số mũ chia tử mẫu cho a n với a số lớn Sau sử dụng cơng thức: lim q n = với q  Chú ý: Thông thường, ta biến đổi dãy số tổng quát dãy số có giới hạn quen thuộc Trang Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Chứng minh dãy số với số hạng tổng quát sau có giới hạn a) un = ( ) 2n + − 2n b) un = ( ) n+2 − n−2 Ví dụ 2: Chứng minh dãy số với số hạng tổng quát sau có giới hạn cos n a) un = n+4 c) un ( −1) = n cos n n2 + b) un = cos n n n d) un = n (1, 01) sin Ví dụ 3: Chứng minh dãy số sau có giới hạn 2n + 3n = a) lim 4n an b) lim = n! Ví dụ Cho dãy số ( un ) với un = a) Chứng minh n 3n un +1  với n un n 2 b) Chứng minh  un    với n 3 c) Chứng minh dãy số ( un ) có giới hạn CHÚ Ý: MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI NHANH Quy ước: Trong máy tính khơng có biến n nên ta Ví dụ Tính giới hạn sau: lim ghi x thay cho n n +1 Ghi nhớ cách nhập giá trị x Hướng dẫn giải  x → + ta nhập x = 9999999999 (10 số 9) Cách bấm máy:  x → − ta nhập x = −9999999999 (10 số 9)  Nhập vào máy tính biểu thức sau:  Đề yêu cầu tính lim ( un ) ta hiểu rằng, biến n → −  Sau bấm CALC, hình xuất hình bên Ta hiểu “Bạn muốn gán x bao nhiêu?” Trang  Nhập: x = 9999999999 , sau bấm “=”, ta kết quả: Ghi nhớ cách hiển thị kết  Gặp số c.10n (trong  số ngun âm, thơng thường  = −10,  = −12, ) Ví dụ: 15.10−12 số nhỏ gần  Gặp số c.1010 , c.1020 , đọc (dấu c) nhân vô cực với c số (chú ý lớn 10) Ví dụ: −5.10 10 âm vô cực, ghi −;5.10 10 Kết quả: 1.10−10 giá trị rất nhỏ gần Vậy lim dương vô cực, ghi + = n +1 VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ Tính giới hạn sau: ( −1) lim n n+5 Hướng dẫn giải Cách bấm máy:  Nhập vào máy tính biểu thức sau:  Sau bấm CALC  Nhập x = 9999999999 , sau bấm “=”, ta kết quả: Kết quả: −9,999999996.10−11 giá trị nhỏ gần Trang Vậy ( −1) lim n n+5 = ( −1) Ví dụ Tính giới hạn sau: lim n cos n n +1  Nếu ta nhập ( −1) n cos n n2 + , sau CALC máy báo: MATH ERROR Hướng dẫn giải Vận dụng định lí un  với n lim = lim un = ( −1) Ta có đánh giá sau: n cos n n +1  cos n , ta cần ghi vào máy tính tính  2 n +1 n +1 n +1 Cách bấm máy:  Nhập vào máy tính biểu thức sau:  Sau bấm CALC  Nhập: x = 9999999999 , sau bấm “=”, ta kết quả: Kết quả: 1.10 −20 giá trị rất nhỏ gần Vậy Ví dụ Tính giới hạn sau  Nếu ta nhập ( −1) ( −1) lim ( −1) lim n cos n n +1 = n 2n + n 2n + , sau CALC máy báo: MATH ERROR hàm số mũ tăng nhanh nên khơng tính máy tính Trong trường hợp ta xử lý sau: Hướng dẫn giải Trang Cách bấm máy:  Nhập vào máy tính biểu thức sau:  Bấm CALC  Nhâp: x = 100 , sau bấm “=”, ta kết quả: Kết quả: 7,888609052.10−31 giá trị rất nhỏ gần Vậy ( −1) lim n 2n + = NHẬN XÉT: Qua ví dụ trên, phần nfao bạn đọc hiểu cách sử dụng máy tính cầm tay (MTCT) để giải tốn dãy số có giới hạn Có tốn sử dụng máy tính nhập lệnh CALC x = 9999999999 ln kết quả, có tốn khơng ngay, cần vận dụng linh hoạt cách đánh đổi cách bấm máy để kết tốn Qua đây, địi hỏi cần có kiến thức chắn định nghĩa giới hạn dãy số để vận dụng làm tập cho tốt Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Trong dãy số sau, dãy số có giới hạn 0? n (  3 A un =  −   2 Câu 2: Dãy số A B u = − với un = ( −1) cos 5n 3n B −1 sin Câu 3: Giới hạn lim ) n n   C un =    2+  n  2+  D un =  −     có giới hạn C − D n 3n + Trang A ( −1) Câu 4: Giới hạn lim D n +1 3n + A C − B 1 B − C D n  −1)  ( Câu 5: Giới hạn lim  +   n +   A B C D n2 − n + Câu 6: Giới hạn lim n + 2n A B C D − Câu 7: Trong dãy số đây, dãy số có giới hạn 0? (1): ( −1) n n+5 ; sin n ; (2): n+5 A (1), (2), (3), (4) cos 2n ; (3): n +1 B Chỉ (2), (3) ( −1) cos n n2 + (4): ; (5): n2 + n ( n + 1) n C (1), (2), (3), (5) D Chỉ (1), (5) Câu 8: Dãy số sau có giới hạn khác 0? A cos n n B n C 2n + n D n Câu 9: Xét câu sau: n 1 (1) Ta có lim   = 0;  3 (2) Ta có lim = , với k số nguyên tùy ý nk A Cả hai câu B Cả hai câu sai C Chỉ (1) D Chỉ (2) sai un = m, ( m  1) Câu 10: Cho dãy số ( un ) xác định  n n 2 un +1 = un − , n  * Tham số m để dãy số ( un ) có giới hạn A m = B m = C m = D m = Dạng 2: Dãy số có giới hạn hữu hạn Bài toán Sử dụng định nghĩa chứng minh lim un = L Phương pháp giải Trang 10 Ta chứng minh lim ( un − L ) = Ví dụ: Chứng minh lim 3n − = 2n + Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Chứng minh lim n2 + n = n2 + Bài toán 2: Chứng minh dãy số có giới hạn Phương pháp giải Sử dụng nguyên lí kẹp: Ví dụ: Chứng minh giới hạn sau: Cho ba dãy số ( un ) , ( ) , ( wn ) số thực L Nếu un   wn với lim un = lim wn = L lim = L n  −n3  a) lim   = −1  n +1   n + 3n +  b) lim  =  2n + n  Ví dụ mẫu  3.3n − sin 3n  Ví dụ 1: Chứng minh có giới hạn: lim   = 3n   Bài tốn Tính giới hạn dãy số định lí giới hạn Phương pháp giải Ta lựa chọn hai cách: Ví dụ: Tìm giới hạn sau: −4n + n + a) lim 2n + n + 2  − b) lim ( 2n + 1)    n + 2n n + 3n −  Cách 1: Đưa dãy số cần tìm giới hạn tổng, hiệu, Chú ý: Như vậy, để tính giới hạn tích, thương dãy số mà ta biết giới thực phép chia tử mẫu cho bậc cao hạn n sử dụng kết lim Ta có kết sau: limC = C , với C số Kết định lí Kết định lí a = với k  nk 2  − a) lim ( 2n + 1)    n + 2n n + 3n −  = lim ( 2n + 1) n + 2n − lim ( 2n + 1) n + 3n − Mà Trang 11 1  3 +  ( 2n + 1) 3.22 n   lim = lim = = 12 n + 2n 1+ n 1  2+   n + ( ) 22 n   lim = = = n + 3n − 1 + − 1 n n2 Nên 2  −  lim ( 2n + 1)   = 12 − =  n + 2n n + 3n −  Chú ý: Như vậy, để tính giới hạn thực phép tách thành giới hạn nhỏ Cách 2: Sử dụng nguyên lí kẹp Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Tìm giới hạn sau: 9n2 + 2n − 3n 4n + a) lim b) lim n5 + 4n − 2 n5 − 3n ví dụ 2: Tìm giới hạn sau: a) lim ( ) 4n + 2n − 2n b) lim ( ) n + 2n + − n + n Chú ý: Để tính giới hạn trước tiên cần sử dụng phép nhân liên hợp để khử dạng  −  k − Ví dụ 3: Tìm giới hạn sau: a) lim 3n − 2.5n + 3.5n b) lim + + 22 + + 2n + + 32 + + 3n Chú ý: Để tính giới hạn thực phép chia tử mẫu cho số cao sử dụng kết lim q n = với q  Ví dụ Tìm giới hạn sau:   1 a) lim   1.3 + 3.5 + + ( 2n − 1)( 2n + 1)    Trang 12  1    b) lim 1 −  1 −  1 −      n  Chú ý: Ta thường gặp giới hạn số dãy số sau:  Dạng 1: Nếu dãy số ( un ) có un = P ( n) Q ( n) (trong P ( n ) , Q ( n ) đa thức n), chia tử mẫu cho n k , với n k lũy thừa có số mũ cao n đa thức P ( n ) Q ( n ) , sau áp dụng định lí giới hạn hữu hạn  Dạng 2: Nếu dãy số ( un ) có un biểu thức chứa n dấu căn, đưa n k dấu (với k số cao n dấu căn) áp dụng định lí Nếu gặp dạng (vơ định) n k nu với lim un = , phải nhân chia với biểu thức liên hợp biểu thức chứa tiến Cần ý đẳng thức: ( a− b )( ) a + b = a − b; ( a3b )( a2 ) ab + b = a  b  Dạng 3: Nếu dãy số ( un ) có un phân thức mà tử mẫu biểu thức lũy thừa có dạng a n , bn , ( n  ) a, b, số, chia tử mẫu cho lũy thừa có số có trị tuyệt đối lớn lũy thừa tử mẫu, áp dụng định lí  Dạng 4: Nếu dãy số ( un ) un tổng tích n số hạng (hoặc n thừa số), phải rút gọn un tìm lim un theo định lí  Dạng 5: Nếu dãy số ( un ) un cho hệ thức truy hồi, ta tìm cơng thức tổng qt ( un ) tìm lim un theo định lí Bài tốn Tính tổng cấp số nhân lùi vơ hạn Phương pháp giải Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Hãy biểu diễn số thập phân vơ hạn tuần hồn sau dạng phân số: a)  = 0,353535 b)  = 5, 231231 Để biểu diễn số thập phân vơ hạn tuần hồn thành phân số, ta biểu diễn số thành tổng cấp số nhân lùi vô hạn suy kết Cách bấm máy: Ví dụ 1: Tính giới hạn sau: lim n + 4n n + 4n + Hướng dẫn giải  Nhập vào máy tính biểu thức sau: Trang 13  Sau bấm CALC  Nhập x = 9999999999 , sau bấm “=”, ta kết quả: Kết quả: Vậy giới hạn dãy số Ví dụ 2: Tính giới hạn sau lim ( ) 4n − 5n − 2n Hướng dẫn giải  Nhập vào máy tính biểu thức sau:  Sau bấm CACL  Nhập: x = 9999999999 , sau bấm “=”, ta kết quả: Kết quả: Vậy giới hạn dãy số −1, 25 = − Trang 14 NHẬN XÉT: Qua ví dụ trên, phần bạn đọc hiểu cách sử dụng MTCT để tính tốn toán liên quan đến giới hạn dãy số (giới hạn số thực) Tuy nhiên, MTCT không công cụ vạn để giải toán phức tạp hay toán hay khó Vì vậy, cần phải hiểu sâu chất vấn đề rèn luyện nhiều dạng tập để thao tác nhanh tập cách xửl lí gặp tốn lạ hay khơng sử dụng MTCT Chúng ta sang tập rèn luyện Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Giới hạn lim 2n + n+2 A B Câu 2: Giới hạn lim B A B C D C D C D C D − ) 9n + 2n − 8n3 + 6n + − n A − Câu 6: Giới hạn lim A 64 Câu 7: Giới hạn lim A Câu 8: Giới hạn lim A n n2 + + B ( n + n3 + + n n Câu 5: Giới hạn D n2 + 2n + A Câu 4: Giới hạn lim C − n +1 n2 + A Câu 3: Giới hạn lim B ( ) ( n − n2 − + n + n2 − n B 32 ) C 16 D 128 C D − C D −6 − 4n + 4n B −1 4.3n + n +1 2.5n + n B Trang 15   1 Câu 9: Giới hạn lim   2.4 + 4.6 + + 2n ( 2n + )    A B − C D   1 Câu 10: Giới hạn lim  + + +  + 2 + n n + + n + n ( )   A −2 B C D − Câu 11: Tổng S = + 88 + 888 + + 888 n chữ số A 10n +1 − 10 − 36n C B 10n +1 + 10 + 54n (10n+1 − 10 − 9n ) 81 Câu 12: Tổng S = − + − D (10n+1 − 10 − 72n ) 81 1 + − 5 A 25 − 5 B 25 − C 25 + D 5+3 Dạng 3: Dãy số có giới hạn vơ cực Phương pháp giải Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Tìm giới hạn sau: a) lim ( ) 2n + − n + b) lim (n + 1) ( 2n + 3) n4 − n2 + Chú ý: Khi tính giới hạn phân thức, ta ý số trường hợp sau đây:  Nếu bậc tử nhỏ bậc mẫu kết giới hạn  Nếu bậc tử bậc mẫu kết giới hạn tỉ số hệ số lũy thừa cao tử mẫu số Nếu bậc tử lớn bậc mẫu kết giới hạn + hệ số cao tử mẫu dấu kết − hệ số cao tử mẫu trái dấu Ví dụ 2: Tìm giới hạn sau: Trang 16 a) lim ( − n n+1 ( −3) − 6n b) lim n +1 ( −3) + 5n+1 n ) Ví dụ 3: Tìm giới hạn sau: a) lim ( ) 1  b) lim  n3 + 2sin 2n +  3  n4 + + n − MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI NHANH Quy ước: Trong máy tính khơng có biến n nên ta Ví dụ: Tính giới hạn sau: lim ghi x thay cho n 4n − n + ( 2n + 1)( − n ) ( n + 1) Ghi nhớ cách nhập giá trị x Hướng dẫn giải  x → + ta nhập x = 9999999999 (10 số 9) Cách bấm máy:  x → − ta nhập x = −9999999999 (10 số 9)  Nhập vào máy tính biểu thức sau:  Đề u cầu tính lim ( un ) ta hiểu rằng, biến n →   Gặp số c.10 (trong  số ngun âm, thơng thường  = −10;  = −12, )  Sau bấm CALC Ghi nhớ cách hiển thị kết  Nhập: x = 9999999999 , sau bấm “=”, ta Ví dụ: 15.10−12 đọc kết quả:  Gặp số c.1010 c.1020 , đọc (dấu c) nhân vô cực c số (chú ý lớn 10) Ví dụ: −5.1010 đọc âm vô cực, ghi − ; 5.1010 đọc dương vô cực, ghi + Kết quả: Vậy giới hạn dãy số −2  Kết số thực cụ thể, giới hạn mà ta cần tìm Chú ý: Thơng thường, để tính giới hạn dãy số (là số thực L), ta cho x → + , tức nhập vào máy tính x = 9999999999 (10 số 9) VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Tính giới hạn sau: lim 9n − n + 4n − Trang 17 Hướng dẫn giải Cách bấm máy: Nhập vào máy tính biểu thức sau:  Sau bấm CALC  Nhập: x = 9999999999 , sau bấm “=”, ta kết quả: Kết quả: Vậy giới hạn dãy số 0, 75 = Ví dụ 2: Tính giới hạn sau: lim n + − n +1 Hướng dẫn giải Cách bấm máy:  Nhập vào máy tính biểu thức sau:  Sau bấm CALC  Nhập x = 9999999999 , sau bấm “=”, ta kết quả: Trang 18 Kết quả: Vậy giới hạn dãy số + Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Giới hạn lim ( 2n2 − n + 1) A − B C −2 D + C D + Câu 2: Giá trị lim ( −n3 + 2n2 + ) A − B −3 Câu 3: Giới hạn lim 2n2 − 3n − A 2 B D + C −1 D + C −1 D + C −5 D + C −3 D + C −3 D + C −1 D C Câu 4: Giá trị lim + 2n − n3 A − B Câu 5: Giá trị lim n n + A − B Câu 6: Giới hạn lim ( −2n2 + 5n )( 3n − 2n ) A − B 3n3 Câu 7: Giới hạn lim −n + A − Câu 8: Giới hạn lim B 2n − 3n + n +1 A − B   Câu 9: Giá trị lim n  n + n + n − n    B + A − Câu 10: Giá trị lim n A − Câu 11: Giới hạn lim A − ( n + 2n + − n + n B n 2n − n + 2n B ) C −2 D + C D + Trang 19 Câu 12: Giới hạn lim A − n6 − 7n3 − 5n + n+2 B −7 C D + C −1 D + C −2 D + C D + Câu 13: Giới hạn lim ( n2 − 2cos3n + ) A − B n cos Câu 14: Giới hạn lim A  n n2 + B  sin n  −  Câu 15: Giới hạn lim   n  A − B −5 Trang 20