Toan 11 c2 b5 1 day so tự luận vở bt

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN II DÃY SỐ CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN C H Ư Ơ N BÀI 5: DÃY SỐ ĐỊNH NGHĨA DÃY SỐ * Mỗi hàm số u xác định tập số nguyên dương ¥ gọi dãy số vơ hạn Kí hiệu: u : *   n  u  n Người ta thường viết dãy số dạng khai triển u1 , u2 , u3 , , un , , u = u( n) u , n viết tắt ( n ) gọi u1 số hạng đầu, un số hạng thứ n số hạng tổng quát dãy số * Chú ý: Nếu n   , un c un dãy số không đổi * Mỗi hàm số u xác định M = {1,2,3, , m} vi mẻ Ơ c gọi dãy số hữu hạn Dạng khai triển u1, u2, u3, , un, u1 số hạng đầu, um số hạng cuối CÁC CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ a) Dãy số cho liệt kê số hạng b) Dãy số cho công thức số hạng tổng quát c) Dãy số cho phương pháp mô tả d) Dãy số cho phương pháp truy hồi Cách cho dãy số phương pháp truy hồi, tức là: Cho số hạng đầu Cho hệ thức truy hồi, tức hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng đứng trước DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN * u Dãy số ( n ) gọi dãy số tăng ta cú un+1 > un vi mi nẻ Ơ * u Dãy số ( n ) gọi dãy số giảm ta có un+1 < un với mi nẻ Ơ Page Su tm v biờn soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN n u Chú ý: Không phải dãy số tăng giảm Chẳng hạn, dãy số ( n ) với un = ( - 3) tức dãy - 3,9,- 27,81, không tăng không giảm u Dãy số ( n ) gọi bị chặn tồn số M cho * un £ M , " n ẻ Ơ u Dóy s ( n ) gọi bị chặn tồn số m cho un ³ m, " n ẻ Ơ * u Dóy s ( n ) gọi bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn dưới, tức tồn số m, M cho m£ un £ M , " n ẻ Ơ * Lu y: + Dãy tăng bị chặn u1 + Dãy giảm bị chặn u1 II = = = I HỆ THỐNG B À I TẬP DẠNG 1: TÌM SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ Bài tốn 1: Cho dãy số (un ) : un  f (n) Hãy tìm số hạng uk = = = I PHƯƠNG PHÁP Tự luận: Thay trực tiếp n k vào un MTCT: Dùng chức CALC: Nhập: f ( x) Bấm r nhập X k Bấm   Kết Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN = = = I Câu 1: BÀI TẬP TỰ LUẬ N n n   1   1   un         2       Cho dãy số (un ) biết Tìm số hạng u6 Câu 2: Cho dãy số (un ) có số hạng tổng quát un  2n  167 n  Số 84 số hạng thứ mấy? Bài toán 2: Cho dãy số (un ) cho = = = I u1 a  un 1  f (un ) Hãy tìm số hạng uk PHƯƠNG PHÁP Tự luận: Tính u2 ; u3 ; ; uk cách u1 vào u2 , u2 vào u3 , …, uk  vào uk 1 MTCT: Cách lập quy trình bấm máy: - Nhập giá trị số hạng u1: a  - Nhập biểu thức un 1  f  un  Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN - Lặp dấu  lần thứ k  cho giá trị số hạng uk = = = I Câu 3: BÀI TẬP TỰ LUẬ N  u1 1  u 2  un 1  n  un  Cho dãy số (un ) biết  Tìm số hạng u10 Câu 4: Cho dãy số (un ) xác định sau: u1 1  un 1 un  Tìm số hạng u50 Bài toán 3: Cho dãy số (un ) cho = = = I u1 a, u2 b  un 2 c.un 1  d un  e Hãy tìm số hạng uk PHƯƠNG PHÁP Tự luận: Tính u3 ; u4 ; ; uk cách u1 , u2 vào u3 ; u2 , u3 vào u4 ; …; uk  , uk  vào uk MTCT: Cách lập quy trình bấm máy: Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN - Nhập C c.B  d A  e : A B : B C - Bấm r nhập B b , ấn =, nhập A a ấn  - Lặp dấu = xuất lần thứ k  giá trị C giá trị số hạng uk = = = I Câu 5: BÀI TẬP TỰ LUẬ N Cho dãy số (un ) xác định sau: u1 1; u2 2  un 2 2un 1  3un  Tìm số hạng u8 u1 a  u  f   n, u n   f ( u ) n Bài toán 4: Cho dãy số cho  n 1 Trong un 1 tính theo un n Hãy tìm số hạng uk = = = I   n, u   n kí hiệu biểu thức PHƯƠNG PHÁP  1,u1 vào u2 ;  2,u2  vào u3 ; …; Tự luận: Tính u2 ; u3 ; ; uk cách  k  1, uk  1 vào uk MTCT: Cách lập quy trình bấm máy: - Sử dụng ô nhớ: A : chứa giá trị n B : chứa giá trị u n C : chứa giá trị u n+1 - Lập cơng thức tính un+1 thực gán A : = A + B := C để tính số hạng dãy Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN - Lặp phím dấu = giá trị C xuất lần thứ k  giá trị số hạng uk Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN = = = I Câu 6: BÀI TẬP TỰ LUẬ N u1 0   n un 1   un  1  n 1 Cho dãy số (un ) xác định sau:  Tìm số hạng u11 Câu 7:  u1   u un  2n Cho dãy số (un ) xác định bởi:  n 1 Tìm số hạng u50 Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN DẠNG 2: XÉT TÍNH TĂNG, GIẢM CỦA DÃY SỐ PHƯƠNG PHÁP = = = Cách 1: Xét hiệu un 1  un I *  Nếu Nếu un 1  un  n   (un ) dãy số tăng *  Nếu Nếu un 1  un  n   (un ) dãy số giảm un 1 Cách : Khi un  n   ta xét tỉ số un * un 1 1  Nếu Nếu un (un ) dãy số tăng un 1 1 u n  Nếu Nếu (un ) dãy số giảm Cách : Nếu dãy số (un ) cho hệ thức truy hồi ta sử dụng phương pháp quy nạp * để chứng minh un 1  un n   * Công thức giải nhanh số dạng toán dãy số Dãy số (un ) có un an  b tăng a  giảm a  n Dãy số (un ) có un q  Nếu Khơng tăng, không giảm q   Nếu Giảm  q   Nếu Tăng q  Dãy số (un ) có un  an  b * cn  d với điều kiện cn  d  n    Nếu Tăng ad  bc   Nếu Giảm ad  bc  Dãy số đan dấu dãy số không tăng, không giảm   q n un Nếu dãy số (un ) tăng giảm dãy số khơng tăng, khơng giảm Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN a   u2  u1  Dãy số (un ) có un 1 aun  b tăng không giảm a  giảm  ad  bc   u2  u1  Dãy số (un ) có tăng Dãy số (un ) có aun  b  un 1  cu  d n  c, d  0, u  n  * n  không tăng không giảm ad  bc  (un )   (vn )  * Nếu (un )  un 0 n   dãy số   un   (u )   m   dãy số m  ad  bc   u2  u1  (un )   (vn )  u v   dãy số n n (un )  ; un 0 n  *  (v )  ; 0 n  *  u v   Nếu  n dãy số n n Nếu * Nếu (un )  un 0 n   dãy số * dãy số   * u Nếu (un )  un  n   dãy số  n BÀI TẬP TỰ LUẬ N      un   (u )   m   m n = = = Câu 8: I không tăng ; giảm aun  b  un 1  cu  d n  c, d  0, u  n  * n  u v   dãy số n n (un )  ; un 0 n  *  (v )  ; 0 n  *  u v   Nếu  n dãy số n n Nếu a   u2  u1  * n  1   * u ( u )  u   n   Nếu n n dãy số  n  Xét tính đơn điệu dãy số (un ) biết un 3n  Câu 9: Xét tính đơn điệu dãy số (un ) biết un  n 5 n2 Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Câu 10: Xét tính đơn điệu dãy số (un ) biết un  5n n2 u1 2  (u n ) :  3u  un  n  n 2   Câu 11: Cho dãy số (un ) biết DẠNG 3: XÉT TÍNH BỊ CHẶN CỦA DÃY SỐ = = = I PHƯƠNG PHÁP Phương pháp 1: Chứng minh trực tiếp phương pháp chứng minh bất đẳng thức Cách 1: Dãy số (un ) có un  f (n) hàm số đơn giản Page 10 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN * * Ta chứng minh trực tiếp bất đẳng thức un  f (n) M , n   un  f ( n) m, n   Cách 2: Dãy số (un ) có un v1  v2   vk   Ta làm trội vk ak  ak 1 Lúc un  a1  a2    a2  a3    an  an 1  * Suy un a1  an 1 M , n   * Cách 3: Dãy số (un ) có un v1.v2 v3 với  0, n   Ta làm trội Lúc Suy vk  un  un  ak 1 ak a2 a3 an 1 a1 a2 an an 1 M , n  * a1 Phương pháp 2: Dự đoán chứng minh phương pháp quy nạp Nếu dãy số (un ) cho hệ thức truy hồi ta sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh Chú ý: Nếu dãy số (un ) giảm bị chặn trên, dãy số (un ) tăng bị chặn * Cơng thức giải nhanh số dạng toán dãy số bị chặn un q n ( u ) n Dãy số có  q 1 u q n Dãy số (un ) có n  q   1 bị chặn khơng bị chặn n Dãy số (un ) có un q với q  bị chặn Dãy số (un ) có un an  b bị chặn a  bị chặn a  Dãy số (un ) có un an  bn  c bị chặn a  bị chặn a  m m Dãy số (un ) có un am n  am  1n   a1n  a0 bị chặn am  bị chặn am    u q n am n m  am  1n m    a1n  a0 Dãy số (un ) có n với am 0 q   không bị chặn u  am n m  am  1n m    a1n  a0 Dãy số (un ) có n bị chặn với am  Page 11 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN u  am n m  am  1n m    a1n  a0 Dãy số (un ) có n bị chặn am  bị chặn am  Dãy số (un ) có un  P  n Q  n nhỏ bậc Dãy số (un ) có un  bậc P  n Q  n P  n P  n Q  n đa thức, bị chặn bậc P  n P  n Q  n đa thức, bị chặn bị chặn Q  n lớn bậc Q  n BÀI TẬP TỰ LUẬN = = = 1 un  ( u ) 2n  CâuI 12: Xét tính bị chặn dãy số n biết Câu 13: Xét tính bị chặn dãy số (un ) biết un  4n  n 1 Page 12 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Câu 14: Xét tính bị chặn dãy số (un ) biết un  n3 n2 1 Câu 15: Xét tính bị chặn dãy số (un ) biết 1 1 un      2 n Mệnh đề sau ? DẠNG 4: TÍNH TỔNG CỦA DÃY SỐ Dạng 4.1: Tính tổng dãy số cách = = = I PHƯƠNG PHÁP Giải sử cần tính tổng: S a1  a2   an Trong đó: an an   d - Tự luận: Ta có: 2S  a1  an    a2  an      an  a1  n  a1  an  Từ suy ra: S n  a1  an  - Trắc nghiệm: Cơng thức tính nhanh: + Số hạng tổng quát dãy số cách là: hạng un u1   n  1 d với d khoảng cách số + Số số hạng =: + + Tổng = •: - Casio Bước 1: Từ cơng thức tổng tìm số hạng tổng quát tổng số số hạng Page 13 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Bước 2: Sử dụng công cụ tính: tới n  số số hạng y =  y nhập số hạng tổng quát dãy số y nhập x chạy từ BÀI TẬP TỰ LUẬN = = Câu= 16: Tính S 1     4001 ? I Câu 17: Cho tổng S (n) 2     2n Khi S30 bằng? Page 14 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN u  Câu 18: Cho dãy số n xác định bởi: u1 150 un un  với n 2 Khi tổng 100 số hạng là: Dạng 4.2: Tính tổng dãy số phương pháp khử liên tiếp = = = I PHƯƠNG PHÁP Giả sử cần tính tổng: S a1  a2   an - Tự luận: Bước 1: Ta tìm cách tách: a1 b1  b2 ; a2 b2  b3 ; Bước 2: Rút gọn: S b1  b2  b2  b3   bn  bn 1 b1  bn 1 - Trắc nghiệm: + Một số công thức tách thường sử dụng:  a 1 2a 1      n(n  a) n n  a n(n  a)(n  a) n(n  a ) ( n  a )( n  2a ) Page 15 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN  2na  a 1  2 2 n (n  a) n (n  a )  n.n ! (n  1)! n ! + Nhận định kết tổng là: S b1  bn 1 - Casio: Làm tương tự dạng BÀI TẬP TỰ LUẬN = = = 2 2 S     1.3 3.5 5.7 97.99 CâuI 19: Tính tổng sau: 1 1 Sn      1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n  1)(n  2) Khi cơng thức S n là: Câu 20: Cho tổng Page 16 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Câu 21: Cho tổng Sn  2n 1     2 (1.2) (2.3) (3.4) [ n( n  1)]2 Tính S10 Dạng 4.3: Tính tổng cách chuyển phương trình có ẩn tổng cần tính = = = I PHƯƠNG PHÁP Giả sử cần tính tổng: S a1  a2   an - Tự luận: Sơ đồ giải: Từ công thức tổng S ta chuyển phương trình chứa ẩn S Giải pt S - Trắc nghiệm: Tổng có dạng: n S u1  u1a  u1a   u1a  S  u1  a n 1  1 a với a 1 Page 17 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN - Casio: Làm tương tự dạng BÀI TẬP TỰ LUẬN = = 50 = Câu 22: Tính tổng: S 1     ? I  1 1 S 4.5100      100    ? 5 5 Câu 23: Tính tổng Page 18 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN   1  1  1  S                n   2  4  8   Tính S10 Câu 24: Tính tổng: Dạng 4.4: Tính tổng cách đưa tổng biết = = = I PHƯƠNG PHÁP Giải sử cần tính tổng: S n a1  a2   an - Tự luận: Tìm cách tách: S n S1  S2  S3  Trong đó: S1 ; S ;S biết cơng thức tính tổng Page 19 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN - Trắc nghiệm: Ta dùng phương pháp thử giá trị n vào đáp án để loại trừ chọn đáp án - Casio: Làm tương tự dạng BÀI TẬP TỰ LUẬN = = = Câu 25: Tính: S n 1.3  2.5  3.7   n(2n  1) Biết rằng: I n  i 1     n  i 1 n(n  1) ; n i 1  2  32   n  i 1 n(n  1)(2n  1) Câu 26: Cho: S n 1.2  3.4  5.6   (2n  1).2n Tính S100 biết rằng: n n i 1 i 1  2i 2     2n n(n 1);  i 1  2  32   n  n(n  1)(2n  1) * Câu 27: Cho tổng: Sn 1.4  2.7  3.10   n.(3n  1) với n  N Biết: S k 294 Giá trị k là: Page 20 Sưu tầm biên soạn