Toan 11 c2 b5 1 day so tự luận hdg

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN II DÃY SỐ CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN C H Ư Ơ N BÀI 5: DÃY SỐ ĐỊNH NGHĨA DÃY SỐ * Mỗi hàm số u xác định tập số nguyên dương ¥ gọi dãy số vơ hạn Kí hiệu: u : *   n  u  n Người ta thường viết dãy số dạng khai triển u1 , u2 , u3 , , un , , u = u( n) u , n viết tắt ( n ) gọi u1 số hạng đầu, un số hạng thứ n số hạng tổng quát dãy số * Chú ý: Nếu n   , un c un dãy số không đổi * Mỗi hàm số u xác định M = {1,2,3, , m} vi mẻ Ơ c gọi dãy số hữu hạn Dạng khai triển u1, u2, u3, , un, u1 số hạng đầu, um số hạng cuối CÁC CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ a) Dãy số cho liệt kê số hạng b) Dãy số cho công thức số hạng tổng quát c) Dãy số cho phương pháp mô tả d) Dãy số cho phương pháp truy hồi Cách cho dãy số phương pháp truy hồi, tức là: Cho số hạng đầu Cho hệ thức truy hồi, tức hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng đứng trước DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN * u Dãy số ( n ) gọi dãy số tăng ta cú un+1 > un vi mi nẻ Ơ * u Dãy số ( n ) gọi dãy số giảm ta có un+1 < un với mi nẻ Ơ Page Su tm v biờn soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN n u Chú ý: Không phải dãy số tăng giảm Chẳng hạn, dãy số ( n ) với un = ( - 3) tức dãy - 3,9,- 27,81, không tăng không giảm u Dãy số ( n ) gọi bị chặn tồn số M cho * un £ M , " n ẻ Ơ u Dóy s ( n ) gọi bị chặn tồn số m cho un ³ m, " n ẻ Ơ * u Dóy s ( n ) gọi bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn dưới, tức tồn số m, M cho m£ un £ M , " n ẻ Ơ * Lu y: + Dãy tăng bị chặn u1 + Dãy giảm bị chặn u1 II = = = I HỆ THỐNG B À I TẬP DẠNG 1: TÌM SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ Bài tốn 1: Cho dãy số (un ) : un  f (n) Hãy tìm số hạng uk = = = I PHƯƠNG PHÁP Tự luận: Thay trực tiếp n k vào un MTCT: Dùng chức CALC: Nhập: f ( x) Bấm r nhập X k Bấm   Kết = = = I BÀI TẬP TỰ LUẬ N Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Câu 1: n n   1   1   un         2        Cho dãy số (un ) biết Tìm số hạng u6 Lời giải Cách 1: Giải theo tự luận: 6ù é æ êæ 1+ 1- ỳ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ u6 = - ỗ ờỗ ỳ= ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ứ ố ỗ øú êè ë û Thế trực tiếp: Cách 2: Dùng chức CALC máy tính cầm tay: x x   1   1                Nhập: Bấm CALC nhập X 6 Máy hiện: Câu 2: Cho dãy số (un ) có số hạng tổng quát un  2n  167 n  Số 84 số hạng thứ mấy? Lời giải Cách 1: Giải theo tự luận: 1Giả sử un  167 2n  167    84(2n  1) 167(n  2)  n 250 84 n2 84 167 Vậy 84 số hạng thứ 250 dãy số (un ) Cách 2: Sử dụng MTCT: 2x  Nhập: x  Bấm CALC nhập X 250 167 Máy hiện: 84 Bài toán 2: Cho dãy số (un ) cho = = = I u1 a  un 1  f (un ) Hãy tìm số hạng uk PHƯƠNG PHÁP Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Tự luận: Tính u2 ; u3 ; ; uk cách u1 vào u2 , u2 vào u3 , …, uk  vào uk 1 MTCT: Cách lập quy trình bấm máy: - Nhập giá trị số hạng u1: a  - Nhập biểu thức un 1  f  un  - Lặp dấu  lần thứ k  cho giá trị số hạng uk = = = I Câu 3: BÀI TẬP TỰ LUẬ N  u1 1  un   u  n   un  Cho dãy số (un ) biết  Tìm số hạng u10 Lời giải Cách 1: Giải theo tự luận: u2  u 2 2 u3    u2   ; u1     u1  1  ; 2 u 2 17 u4    u3   12 ; 41 99 17 2 2  u  12 u  29 u  70 41 99 239 u5    u6    u7    17 41 99 u4  u5  u6   29  70  169 12 29 70 ; ; 239 577 1393 2 2 2 u7  169 u8  408 u9  985 577 1393 3363 u8    u9    u10    u7  239  408 u8  577  985 u9  1393  2378 169 408 985 ; ; Cách 2: Sử dụng MTCT: Lập quy trình bấm phím tính số hạng dãy số sau: Nhập: = (u1 ) ANS  Nhập ANS  Lặp dấu = ta giá trị số hạng u10  3363 2378 Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Câu 4: Cho dãy số (un ) xác định sau: u1 1  un 1 un  Tìm số hạng u50 Lời giải Cách 1: Giải theo tự luận: Từ giả thiết ta có: u1 1 u2 u1  u3 u2  u50 u49  Cộng theo vế đẳng thức trên, ta được: u50 1  2.49 99 Cách 2: Sử dụng MTCT: Lập quy trình bấm phím tính số hạng dãy số sau: Nhập: = (u1 ) Nhập ANS  Lặp dấu = ta giá trị số hạng u50 99 Bài toán 3: Cho dãy số (un ) cho = = = I u1 a, u2 b  un 2 c.un 1  d un  e Hãy tìm số hạng uk PHƯƠNG PHÁP Tự luận: Tính u3 ; u4 ; ; uk cách u1 , u2 vào u3 ; u2 , u3 vào u4 ; …; uk  , uk  vào uk MTCT: Cách lập quy trình bấm máy: - Nhập C c.B  d A  e : A B : B C - Bấm r nhập B b , ấn =, nhập A a ấn  - Lặp dấu = xuất lần thứ k  giá trị C giá trị số hạng uk Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN = = = I Câu 5: BÀI TẬP TỰ LUẬ N Cho dãy số (un ) xác định sau: u1 1; u2 2  un 2 2un 1  3un  Tìm số hạng u8 Lời giải Cách 1: Giải theo tự luận: u3 2u2  3u1  12 u4 2u3  3u2  35 u5 2u4  3u3  111 u6 2u5  3u4  332 u7 2u6  3u5  1002 u8 2u7  3u6  3005 Cách 2: Dùng máy tính cầm tay: Sử dụng ô nhớ: A : chứa giá trị un B : chứa giá trị un 1 C : chứa giá trị un 2 Lập quy trình bấm máy: Nhập: C 2B  3A+5 : A B : B C Bấm CALC nhập B 2 , ấn = , nhập A 1 ấn = Lặp dấu = giá trị C xuất lần thứ giá trị số hạng u8 3005 u1 a  u  f   n, u n   f ( u ) n Bài toán 4: Cho dãy số cho  n 1 Trong un 1 tính theo un n Hãy tìm số hạng uk = = = I   n, u   n kí hiệu biểu thức PHƯƠNG PHÁP  1,u1 vào u2 ;  2,u2  vào u3 ; …; Tự luận: Tính u2 ; u3 ; ; uk cách  k  1, uk  1 vào uk MTCT: Cách lập quy trình bấm máy: - Sử dụng ô nhớ: A : chứa giá trị n Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN B : chứa giá trị u n C : chứa giá trị u n+1 - Lập công thức tính un+1 thực gán A : = A + B := C để tính số hạng dãy - Lặp phím dấu = giá trị C xuất lần thứ k  giá trị số hạng uk = = = I Câu 6: BÀI TẬP TỰ LUẬ N u1 0   n un 1   un  1  n 1 Cho dãy số (un ) xác định sau:  Tìm số hạng u11 Lời giải Cách 1: Giải theo tự luận: 1 3 u2  (u1  1)  u3  (u2  1) 1 u4  (u3  1)  u5  (u4  1) 2 2 5 7 u6  (u5  1)  u7  (u6  1) 3 u8  (u7  1)  u9  (u8  1) 4 9 10 u10  (u9  1)  u11  (u10  1) 5 10 11 Cách 2: Dùng máy tính cầm tay: Sử dụng ô nhớ: A : chứa giá trị n B : chứa giá trị un C : chứa giá trị un 1 Lập quy trình bấm máy: Nhập: C A  B  1 : A A 1: B C A 1 Bấm CALC nhập A 1 , ấn =, nhập B 0 ấn = Lặp dấu = giá trị C xuất lần thứ 10 giá trị số hạng u11 Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Câu 7:  u1    u  u n  2n Cho dãy số (un ) xác định bởi:  n 1 Tìm số hạng u50 Lời giải Cách 1: Giải theo tự luận: Từ giả thiết ta có: u2 u1  2.2 u1  u3 u2  2.3 u50 u49  2.50 Cộng theo vế đẳng thức trên, ta được: 50 1 u50   2.(2    50)   2. x 2548,5 2 x 2 Cách 2: Dùng máy tính cầm tay: Nhập: C B  2A : A A  1: B C Bấm CALC nhập B , ấn =, nhập A 1 ấn = Lặp dấu = giá trị C xuất lần thứ 49 giá trị số hạng u50 2548,5 DẠNG 2: XÉT TÍNH TĂNG, GIẢM CỦA DÃY SỐ PHƯƠNG PHÁP = = = Cách 1: Xét hiệu un 1  un I *  Nếu Nếu un 1  un  n   (un ) dãy số tăng *  Nếu Nếu un 1  un  n   (un ) dãy số giảm un 1 Cách : Khi un  n   ta xét tỉ số un * un 1 1 u n  Nếu Nếu (un ) dãy số tăng Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN un 1 1 u n  Nếu Nếu (un ) dãy số giảm Cách : Nếu dãy số (un ) cho hệ thức truy hồi ta sử dụng phương pháp quy nạp * để chứng minh un 1  un n   * Cơng thức giải nhanh số dạng tốn dãy số Dãy số (un ) có un an  b tăng a  giảm a  n Dãy số (un ) có un q  Nếu Không tăng, không giảm q   Nếu Giảm  q   Nếu Tăng q  Dãy số (un ) có un  an  b * cn  d với điều kiện cn  d  n    Nếu Tăng ad  bc   Nếu Giảm ad  bc  Dãy số đan dấu dãy số không tăng, không giảm   q n un Nếu dãy số (un ) tăng giảm dãy số khơng tăng, khơng giảm Dãy số (un ) có un 1 aun  b tăng không giảm a  a   u2  u1  không tăng giảm  ad  bc   u2  u1  ; giảm Dãy số (un ) có aun  b  un 1  cu  d n  c, d  0, u  n  * n  tăng Dãy số (un ) có aun  b  un 1  cu  d n  c, d  0, u  n  * n  không tăng không giảm ad  bc  (un )   (vn )  u v   dãy số n n (un )  ; un 0 n  *  (v )  ; 0 n  *  u v   Nếu  n dãy số n n Nếu a   u2  u1   ad  bc   u2  u1  (un )   (vn )  u v   dãy số n n (un )  ; un 0 n  *  (v )  ; 0 n  *  u v   Nếu  n dãy số n n Nếu Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN * Nếu (un )  un 0 n   dãy số  un  * Nếu (un )  un 0 n   dãy số  (u )   m   m dãy số  * dãy số  1   u ( u )  u   n   n n Nếu dãy số  n  BÀI TẬP TỰ LUẬ N * n  1   u ( u )  u   n   n n Nếu dãy số  n  * = = = Câu 8: I  un   (u )   m   m n  * Xét tính đơn điệu dãy số (un ) biết un 3n  Lời giải Ta có un 3n   un1 3  n  1  3n  Xét hiệu un 1  un  3n     3n   3  n  * Vậy (un ) dãy số tăng Giải nhanh: Dãy có dạng un an  b ; a 3  nên dãy số tăng Câu 9: Xét tính đơn điệu dãy số (un ) biết un  n 5 n2 Lời giải Ta có un  n 5 3 1   un 1 1  n2 n2 n 3 un 1  un  Xét hiệu 3 3    n  * n  n   n    n  3 Vậy (un ) dãy số giảm Giải nhanh: Dãy có dạng un  an  b cn  d * Mẫu n   n   ad  bc 2    nên (un ) dãy số giảm 5n un  n Câu 10: Xét tính đơn điệu dãy số (un ) biết Lời giải un  Ta có 5n 5n 1 *  0,  n    u  n 1 n2  n  1 Page 10 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Cách 1: Dãy số (un ) có un  f (n) hàm số đơn giản * * Ta chứng minh trực tiếp bất đẳng thức un  f (n) M , n   un  f ( n) m, n   Cách 2: Dãy số (un ) có un v1  v2   vk   Ta làm trội vk ak  ak 1 Lúc un  a1  a2    a2  a3    an  an 1  * Suy un a1  an 1 M , n   * Cách 3: Dãy số (un ) có un v1.v2 v3 với  0, n   Ta làm trội Lúc Suy vk  un  un  ak 1 ak a2 a3 an 1 a1 a2 an an 1 M , n  * a1 Phương pháp 2: Dự đoán chứng minh phương pháp quy nạp Nếu dãy số (un ) cho hệ thức truy hồi ta sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh Chú ý: Nếu dãy số (un ) giảm bị chặn trên, dãy số (un ) tăng bị chặn * Cơng thức giải nhanh số dạng toán dãy số bị chặn un q n ( u ) n Dãy số có  q 1 u q n Dãy số (un ) có n  q   1 bị chặn khơng bị chặn n Dãy số (un ) có un q với q  bị chặn Dãy số (un ) có un an  b bị chặn a  bị chặn a  Dãy số (un ) có un an  bn  c bị chặn a  bị chặn a  m m Dãy số (un ) có un am n  am  1n   a1n  a0 bị chặn am  bị chặn am    u q n am n m  am  1n m    a1n  a0 Dãy số (un ) có n với am 0 q   không bị chặn Page 12 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN u  am n m  am  1n m    a1n  a0 Dãy số (un ) có n bị chặn với am  u  am n m  am  1n m    a1n  a0 Dãy số (un ) có n bị chặn am  bị chặn am  Dãy số (un ) có un  P  n Q  n nhỏ bậc Dãy số (un ) có un  bậc P  n Q  n P  n P  n Q  n đa thức, bị chặn bậc P  n P  n Q  n đa thức, bị chặn bị chặn Q  n lớn bậc Q  n BÀI TẬP TỰ LUẬN = = = 1 u  n 2n  CâuI 12: Xét tính bị chặn dãy số (un ) biết Lời giải Ta có   2n  5, n  *   1 1  , n  *     0, n  * 2n  5 2n  un  Suy dãy số (un ) bị chặn Giải nhanh: dãy số (un ) có un có bậc tử thấp bậc mẫu nên bị chặn Câu 13: Xét tính bị chặn dãy số (un ) biết un  4n  n 1 Lời giải Ta có un  un  4n   0, n  * n 1 4n  4(n  1)  1 9  4  4    un  , n  * n 1 n 1 n 1 2  un  , n  * Suy Vậy dãy số (un ) bị chặn Page 13 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Giải nhanh: dãy số (un ) có un có bậc tử bậc mẫu nên bị chặn Câu 14: Xét tính bị chặn dãy số (un ) biết un  n3 n2 1 Lời giải Ta có un  n3  0, n  *  (un ) n 1 bị chặn Câu 15: Xét tính bị chặn dãy số (un ) biết 1 1 un      2 n Mệnh đề sau ? Lời giải Xét 1 1    , k 2 k  k  1 k k  k Suy un   1  1  1  1 1 3                          2  3  4  6  n n n   un  , n   * Vậy (un ) bị chặn DẠNG 4: TÍNH TỔNG CỦA DÃY SỐ Dạng 4.1: Tính tổng dãy số cách = = = I PHƯƠNG PHÁP Giải sử cần tính tổng: S a1  a2   an Trong đó: an an   d - Tự luận: Ta có: 2S  a1  an    a2  an      an  a1  n  a1  an  Từ suy ra: S n  a1  an  - Trắc nghiệm: Cơng thức tính nhanh: + Số hạng tổng quát dãy số cách là: hạng un u1   n  1 d với d khoảng cách số + Số số hạng =: + Page 14 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN + Tổng = •: - Casio Bước 1: Từ cơng thức tổng tìm số hạng tổng quát tổng số số hạng Bước 2: Sử dụng cơng cụ tính: tới n  số số hạng y =  y nhập số hạng tổng quát dãy số y nhập x chạy từ BÀI TẬP TỰ LUẬN = = Câu= 16: Tính S 1     4001 ? I Lời giải Ta có: S (1  4001)  (3  3999)  (5  3997)   (4001 1) 4002 2001  S 4002.2001 4004001 +) Giải theo phương pháp trắc nghiệm: Số số hạng: Tổng: S n 4001   2001 (1  4001).2001 4004001 +) Giải theo Casio Công thức số hạng tổng quát dãy là: un u1  (n  1)d 1  (n  1).2 2n  Số số hạng dãy 2001 Nhập máy tính cho ta kết quả: 4004001 +) Những sai lầm thường gặp: - Tính sai số số hạng dãy - Tìm sai cơng thức số hạng tổng quát dãy số làm với máy tính Casio Lời bình: Nhận thấy việc tìm số hạng tổng quát dãy HS trung bình, yếu tương đối khó khăn Vì ta nên sử dụng cơng thức giải nhanh để tìm số số hạng tổng dãy cách nhanh chóng Ở tập việc vận dụng cơng thức tính nhanh nhanh Casio em! Câu 17: Cho tổng S (n) 2     2n Khi S30 bằng? Lời giải Page 15 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Ta có: S50 2    60  S (2  60)  (4  58)  (6  56)  (60  2) (2  60).30 S ( n)  930  +) Giải theo phương pháp trắc nghiệm: S Số hạng thứ 30: u50 2.30 60 Số số hạng: n 30 Tổng: (2  60).30 930 +) Giải theo Casio Công thức số hạng tổng quát dãy là: 2n Số số hạng dãy là: 30 Nhập máy tính cho ta kết quả: 930 Những sai lầm thường gặp: - Tìm sai số hạng thứ n Lời bình: Trong tập HS cần ý tới số hạng tổng quát dãy cho sẵn Từ sử dụng để tìm số hạng thứ n sử dụng việc bấm máy tính Casio cách nhanh chóng tìm kết u  Câu 18: Cho dãy số n xác định bởi: u1 150 un un  với n 2 Khi tổng 100 số hạng là: Lời giải +) Giải tự luận: Ta có: u2 u1  150  150  1.3 147 u3 u2  150   150  2.3 144 u100 u99  150  99.3  147   S100 150  147  144   147  S100 (150  147)  (147  144)  (144  141)  ( 147 150) S100  (150  147) 100 150 +) Giải theo phương pháp trắc nghiệm: Số hạng thứ 100: u100 u1  (n  1)d 150  99.(  3)  147 Số số hạng: n 100 Tổng: S (150  147) 100 150 Page 16 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN +) Giải theo Casio Công thức số hạng tổng quát dãy là: un 150  3(n  1)  3n  153 Số số hạng dãy là: n 100 Nhập máy tính cho ta kết quả: 150 Những sai lầm thường gặp: - Tìm sai số hạng thứ n dãy - Tìm sai cơng thức số hạng tổng quát dãy số làm với máy tính Casio Lời bình: HS cần ghi nhớ cơng thức số hạng tổng quát dãy số cách để sử dụng tìm số hạng thứ n rút công thức số hạng tổng quát dãy cách nhanh chóng để xử lý tốn Dạng 4.2: Tính tổng dãy số phương pháp khử liên tiếp = = = I PHƯƠNG PHÁP Giả sử cần tính tổng: S a1  a2   an - Tự luận: Bước 1: Ta tìm cách tách: a1 b1  b2 ; a2 b2  b3 ; Bước 2: Rút gọn: S b1  b2  b2  b3   bn  bn 1 b1  bn 1 - Trắc nghiệm: + Một số công thức tách thường sử dụng:  a 1 2a 1      n(n  a) n n  a n(n  a)(n  a) n(n  a ) ( n  a )( n  2a )  2na  a 1  2 2 n (n  a) n (n  a )  n.n ! (n  1)! n ! + Nhận định kết tổng là: S b1  bn 1 - Casio: Làm tương tự dạng BÀI TẬP TỰ LUẬN = = = 2 2 S     1.3 3.5 5.7 97.99 CâuI 19: Tính tổng sau: Page 17 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Lời giải 1 1 1   ;   ; Ta có: 1.3 3.5 1 1 1 98 S        1   3 97 99 99 99 Do đó: +) Giải theo phương pháp trắc nghiệm: 1 1 1   ;   ; Nhận thấy: 1.3 3.5 Nhận định: S 1  98  99 99 +) Giải Casio Số hạng tổng quát dãy là: un  (2n  1)(2 n  1)  2n  97  n 49  Số số hạng dãy là: n 49 Nhập máy tính cho ta kết quả: S 98 99 Những sai lầm thường gặp: - Tách sai số hạng - Tìm sai số hạng tổng quát dãy số Lời bình: Học sinh cần chuyển số hạng dãy dạng tách theo công thức: a 1   n(n  a) n n  a Ở tập việc làm máy tính Casio khó khăn phức tạp chưa có sẵn số hạng tổng quát số số hạng  1 1 Sn      1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n  1)(n  2) Khi cơng thức S n là: Câu 20: Cho tổng Lời giải 2.1 1 2.1 1   ;   ; 1.2.3 1.2 2.3 2.3.4 2.3 3.4 Ta có: Suy ra: 1 1 1 1 n( n  3) 2Sn           1.2 2.3 2.3 3.4 n( n 1) ( n 1)( n  2) 1.2 ( n 1)( n  2) 2( n 1)( n  2) Vậy: Sn  n(n  3) 4(n  1)(n  2) Page 18 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN +) Giải theo phương pháp trắc nghiệm: 2.1 1 2.1 1   ;   ; Nhận thấy: 1.2.3 1.2 2.3 2.3.4 2.3 3.4  1 1 n(n  3) Sn      1.2 (n  1)( n  2)  4(n  1)(n  2) Nhận định: Những sai lầm thường gặp: - Tách sai số hạng Lời bình: Học sinh cần chuyển số hạng dãy dạng tách theo công thức:  2a 1   n(n  a)(n  a) n(n  a) ( n  a)( n  2a) Câu 21: Cho tổng Sn  2n 1     2 (1.2) (2.3) (3.4) [ n( n  1)]2 Tính S10 Lời giải Cách 1: Ta có:  1.2  1 1   ;   ;  2.3 1 1 1 1 n( n  2) Sn           2 4 n  n  1 (n 1) ( n 1) Suy ra: 10(10  2) 120 S10   (10  1) 121 Vậy: Cách 2: S10  Ta có: 21     2 2 (1.2) (2.3) (3.4)  10.11 1 1 1 1 120 S10           4 10 11 11 121 Suy ra: +) Giải theo phương pháp trắc nghiệm: Nhận thấy:  1.2  1 1   ;   ;  2.3 1 n(n  2) 10(10  2) 120 Sn    S10   2 ( n  1) ( n  1) (10  1) 121 Nhận định: Suy ra: +) Casio Page 19 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN un  Công thức số hạng tổng quát dãy là: 2n   n  n  1  Số số hạng dãy là: n 10 120 Nhập máy tính cho ta kết quả: 121 Những sai lầm thường gặp: - Tách sai số hạng Lời bình: Học sinh cần chuyển số hạng dãy dạng tách theo công thức:  2na  a 1  2 2 n (n  a) n (n  a ) Dạng 4.3: Tính tổng cách chuyển phương trình có ẩn tổng cần tính = = = I PHƯƠNG PHÁP Giả sử cần tính tổng: S a1  a2   an - Tự luận: Sơ đồ giải: Từ công thức tổng S ta chuyển phương trình chứa ẩn S Giải pt S - Trắc nghiệm: Tổng có dạng: S u1  u1a  u1a   u1a n  S  u1  a n 1  1 a với a 1 - Casio: Làm tương tự dạng BÀI TẬP TỰ LUẬN = = 50 = Câu 22: Tính tổng: S 1     ? I Lời giải 51 Ta có: 3S 3     3S  S   32  33  351      32  350  Page 20 Sưu tầm biên soạn