Toan 11 c2 b5 1 day so tự luận de

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN II DÃY SỐ CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN C H Ư Ơ N BÀI 5: DÃY SỐ ĐỊNH NGHĨA DÃY SỐ * Mỗi hàm số u xác định tập số nguyên dương ¥ gọi dãy số vơ hạn Kí hiệu: u : *   n  u  n Người ta thường viết dãy số dạng khai triển u1 , u2 , u3 , , un , , u = u( n) u , n viết tắt ( n ) gọi u1 số hạng đầu, un số hạng thứ n số hạng tổng quát dãy số * Chú ý: Nếu n   , un c un dãy số không đổi * Mỗi hàm số u xác định M = {1,2,3, , m} vi mẻ Ơ c gọi dãy số hữu hạn Dạng khai triển u1, u2, u3, , un, u1 số hạng đầu, um số hạng cuối CÁC CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ a) Dãy số cho liệt kê số hạng b) Dãy số cho công thức số hạng tổng quát c) Dãy số cho phương pháp mô tả d) Dãy số cho phương pháp truy hồi Cách cho dãy số phương pháp truy hồi, tức là: Cho số hạng đầu Cho hệ thức truy hồi, tức hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng đứng trước DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN * u Dãy số ( n ) gọi dãy số tăng ta cú un+1 > un vi mi nẻ Ơ * u Dãy số ( n ) gọi dãy số giảm ta có un+1 < un với mi nẻ Ơ Page Su tm v biờn soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN n u Chú ý: Không phải dãy số tăng giảm Chẳng hạn, dãy số ( n ) với un = ( - 3) tức dãy - 3,9,- 27,81, không tăng không giảm u Dãy số ( n ) gọi bị chặn tồn số M cho * un £ M , " n ẻ Ơ u Dóy s ( n ) gọi bị chặn tồn số m cho un ³ m, " n ẻ Ơ * u Dóy s ( n ) gọi bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn dưới, tức tồn số m, M cho m£ un £ M , " n ẻ Ơ * Lu y: + Dãy tăng bị chặn u1 + Dãy giảm bị chặn u1 II = = = I HỆ THỐNG B À I TẬP DẠNG 1: TÌM SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ Bài tốn 1: Cho dãy số (un ) : un  f (n) Hãy tìm số hạng uk = = = I PHƯƠNG PHÁP Tự luận: Thay trực tiếp n k vào un MTCT: Dùng chức CALC: Nhập: f ( x) Bấm r nhập X k Bấm   Kết = = = I BÀI TẬP TỰ LUẬ N Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Câu 1: Câu 2: n n   1   1   un         2        Cho dãy số (un ) biết Tìm số hạng u6 Cho dãy số (un ) có số hạng tổng qt Bài tốn 2: Cho dãy số (un ) cho = = = I un  u1 a  un 1  f (un ) 2n  167 n  Số 84 số hạng thứ mấy? Hãy tìm số hạng uk PHƯƠNG PHÁP Tự luận: Tính u2 ; u3 ; ; uk cách u1 vào u2 , u2 vào u3 , …, uk  vào uk 1 MTCT: Cách lập quy trình bấm máy: - Nhập giá trị số hạng u1: a  - Nhập biểu thức un 1  f  un  - Lặp dấu  lần thứ k  cho giá trị số hạng uk = = = I BÀI TẬP TỰ LUẬ N Câu 3:  u1 1  un   u  n   un  Cho dãy số (un ) biết  Tìm số hạng u10 Câu 4: u1 1  un 1 un  Cho dãy số (un ) xác định sau: Bài toán 3: Cho dãy số (un ) cho = = = I u1 a, u2 b  un 2 c.un 1  d un  e Tìm số hạng u50 Hãy tìm số hạng uk PHƯƠNG PHÁP Tự luận: Tính u3 ; u4 ; ; uk cách u1 , u2 vào u3 ; u2 , u3 vào u4 ; …; uk  , uk  vào uk Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN MTCT: Cách lập quy trình bấm máy: - Nhập C c.B  d A  e : A B : B C - Bấm r nhập B b , ấn =, nhập A a ấn  - Lặp dấu = xuất lần thứ k  giá trị C giá trị số hạng uk = = = I Câu 5: BÀI TẬP TỰ LUẬ N Cho dãy số (un ) xác định sau: u1 1; u2 2  un 2 2un 1  3un  u1 a  u  f   n, u n   f ( u ) n Bài toán 4: Cho dãy số cho  n 1 Trong un 1 tính theo un n Hãy tìm số hạng uk = = = I Tìm số hạng u8   n, u   n kí hiệu biểu thức PHƯƠNG PHÁP  1,u1 vào u2 ;  2,u2  vào u3 ; …; Tự luận: Tính u2 ; u3 ; ; uk cách  k  1, uk  1 vào uk MTCT: Cách lập quy trình bấm máy: - Sử dụng nhớ: A : chứa giá trị n B : chứa giá trị u n C : chứa giá trị u n+1 - Lập cơng thức tính un+1 thực gán A : = A + B := C để tính số hạng dãy - Lặp phím dấu = giá trị C xuất lần thứ k  giá trị số hạng uk = = = I BÀI TẬP TỰ LUẬ N Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Câu 6: u1 0   n un 1   un  1  n 1 Cho dãy số (un ) xác định sau:  Tìm số hạng u11 Câu 7:  u1    u  u n  2n Cho dãy số (un ) xác định bởi:  n 1 Tìm số hạng u50 DẠNG 2: XÉT TÍNH TĂNG, GIẢM CỦA DÃY SỐ PHƯƠNG PHÁP = = = Cách 1: Xét hiệu un 1  un I *  Nếu Nếu un 1  un  n   (un ) dãy số tăng *  Nếu Nếu un 1  un  n   (un ) dãy số giảm un 1 Cách : Khi un  n   ta xét tỉ số un * un 1 1 u n  Nếu Nếu (un ) dãy số tăng un 1 1 u  Nếu Nếu n (un ) dãy số giảm Cách : Nếu dãy số (un ) cho hệ thức truy hồi ta sử dụng phương pháp quy nạp * để chứng minh un 1  un n   * Công thức giải nhanh số dạng tốn dãy số Dãy số (un ) có un an  b tăng a  giảm a  n Dãy số (un ) có un q  Nếu Không tăng, không giảm q   Nếu Giảm  q   Nếu Tăng q  Dãy số (un ) có un  an  b * cn  d với điều kiện cn  d  n    Nếu Tăng ad  bc  Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN  Nếu Giảm ad  bc  Dãy số đan dấu dãy số không tăng, không giảm   q n un Nếu dãy số (un ) tăng giảm dãy số khơng tăng, khơng giảm a   u2  u1  Dãy số (un ) có un 1 aun  b tăng khơng giảm a  giảm  ad  bc   u2  u1  Dãy số (un ) có tăng Dãy số (un ) có aun  b  un 1  cu  d n  c, d  0, u  n  * n  không tăng không giảm ad  bc     (u )   m   m dãy số  ad  bc   u2  u1  (un )   (v )  u v   Nếu  n dãy số n n * (un )  ; un 0 n    (v )  ; 0 n  *  u v   Nếu  n dãy số n n * un  Nếu (un )  un 0 n   dãy số  * dãy số  1   u (un )  u n  n   Nếu dãy số  n  BÀI TẬP TỰ LUẬ N   (u )   m   m n * Câu 9: không tăng ; giảm aun  b  un 1  cu  d n  c, d  0, u  n  * n  (un )   (v )  u v   Nếu  n dãy số n n * (un )  ; un 0 n    (v )  ; 0 n  *  u v   Nếu  n dãy số n n * un  Nếu (un )  un 0 n   dãy số = = = Câu 8: I a   u2  u1  * n  1   u (un )  un  n   Nếu dãy số  n  * Xét tính đơn điệu dãy số (un ) biết un 3n  Xét tính đơn điệu dãy số (un ) biết Câu 10: Xét tính đơn điệu dãy số (un ) biết un  n 5 n2 un  5n n2 u1 2  (u n ) :  3u  un  n  n 2  ( u )  n Câu 11: Cho dãy số biết Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN DẠNG 3: XÉT TÍNH BỊ CHẶN CỦA DÃY SỐ = = = I PHƯƠNG PHÁP Phương pháp 1: Chứng minh trực tiếp phương pháp chứng minh bất đẳng thức Cách 1: Dãy số (un ) có un  f (n) hàm số đơn giản * * Ta chứng minh trực tiếp bất đẳng thức un  f (n) M , n   un  f ( n) m, n   Cách 2: Dãy số (un ) có un v1  v2   vk   Ta làm trội vk ak  ak 1 Lúc un  a1  a2    a2  a3    an  an 1  * Suy un a1  an 1 M , n   * Cách 3: Dãy số (un ) có un v1.v2 v3 với  0, n   Ta làm trội Lúc Suy vk  un  un  ak 1 ak a2 a3 an 1 a1 a2 an an 1 M , n  * a1 Phương pháp 2: Dự đoán chứng minh phương pháp quy nạp Nếu dãy số (un ) cho hệ thức truy hồi ta sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh Chú ý: Nếu dãy số (un ) giảm bị chặn trên, dãy số (un ) tăng bị chặn * Công thức giải nhanh số dạng toán dãy số bị chặn u q n Dãy số (un ) có n  q 1 un q n ( u ) n Dãy số có  q   1 bị chặn không bị chặn n Dãy số (un ) có un q với q  bị chặn Dãy số (un ) có un an  b bị chặn a  bị chặn a  Dãy số (un ) có un an  bn  c bị chặn a  bị chặn a  Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN m m Dãy số (un ) có un am n  am  1n   a1n  a0 bị chặn am  bị chặn am    un q n am n m  am  1n m    a1n  a0 ( u ) n Dãy số có với am 0 q   không bị chặn u  am n m  am  1n m    a1n  a0 Dãy số (un ) có n bị chặn với am  u  am n m  am  1n m    a1n  a0 Dãy số (un ) có n bị chặn am  bị chặn am  Dãy số (un ) có un  P  n Q  n nhỏ bậc Dãy số (un ) có un  bậc P  n Q  n P  n P  n Q  n đa thức, bị chặn bậc P  n P  n Q  n đa thức, bị chặn bị chặn Q  n lớn bậc Q  n BÀI TẬP TỰ LUẬN = = = 1 u  n 2n  CâuI 12: Xét tính bị chặn dãy số (un ) biết Câu 13: Xét tính bị chặn dãy số (un ) biết un  4n  n 1 n3 un  n 1 Câu 14: Xét tính bị chặn dãy số (un ) biết Câu 15: Xét tính bị chặn dãy số (un ) biết 1 1 un      2 n Mệnh đề sau ? DẠNG 4: TÍNH TỔNG CỦA DÃY SỐ Dạng 4.1: Tính tổng dãy số cách = = = I PHƯƠNG PHÁP Giải sử cần tính tổng: S a1  a2   an Trong đó: an an   d - Tự luận: Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Ta có: 2S  a1  an    a2  an      an  a1  n  a1  an  Từ suy ra: S n  a1  an  - Trắc nghiệm: Công thức tính nhanh: + Số hạng tổng quát dãy số cách là: hạng un u1   n  1 d với d khoảng cách số + Số số hạng =: + + Tổng = •: - Casio Bước 1: Từ cơng thức tổng tìm số hạng tổng quát tổng số số hạng Bước 2: Sử dụng cơng cụ tính: tới n  số số hạng y =  y nhập số hạng tổng quát dãy số y nhập x chạy từ BÀI TẬP TỰ LUẬN = = Câu= 16: Tính S 1     4001 ? I Câu 17: Cho tổng S (n) 2     2n Khi S30 bằng? u  Câu 18: Cho dãy số n xác định bởi: u1 150 un un  với n 2 Khi tổng 100 số hạng là: Dạng 4.2: Tính tổng dãy số phương pháp khử liên tiếp = = = I PHƯƠNG PHÁP Giả sử cần tính tổng: S a1  a2   an - Tự luận: Bước 1: Ta tìm cách tách: a1 b1  b2 ; a2 b2  b3 ; Bước 2: Rút gọn: S b1  b2  b2  b3   bn  bn 1 b1  bn 1 - Trắc nghiệm: Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN + Một số công thức tách thường sử dụng:  a 1 2a 1      n(n  a) n n  a n(n  a)(n  a) n(n  a ) ( n  a )( n  2a )  2na  a 1  2 2 n (n  a) n (n  a )  n.n ! (n  1)! n ! + Nhận định kết tổng là: S b1  bn 1 - Casio: Làm tương tự dạng BÀI TẬP TỰ LUẬN = = = 2 2 S     1.3 3.5 5.7 97.99 CâuI 19: Tính tổng sau: 1 1 Sn      1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n  1)(n  2) Khi cơng thức S n là: Câu 20: Cho tổng Câu 21: Cho tổng Sn  2n 1     2 (1.2) (2.3) (3.4) [ n( n  1)]2 Tính S10 Dạng 4.3: Tính tổng cách chuyển phương trình có ẩn tổng cần tính = = = I PHƯƠNG PHÁP Giả sử cần tính tổng: S a1  a2   an - Tự luận: Sơ đồ giải: Từ công thức tổng S ta chuyển phương trình chứa ẩn S Giải pt S - Trắc nghiệm: Tổng có dạng: n S u1  u1a  u1a   u1a  S  u1  a n 1  1 a với a 1 - Casio: Làm tương tự dạng = = = I BÀI TẬP TỰ LUẬ N Page 10 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN 50 Câu 22: Tính tổng: S 1     ?  1 1 S 4.5100      100    ? 5 5 Câu 23: Tính tổng   1  1  1  S                n   2  4  8   Tính S10 Câu 24: Tính tổng: Dạng 4.4: Tính tổng cách đưa tổng biết = = = I PHƯƠNG PHÁP Giải sử cần tính tổng: S n a1  a2   an - Tự luận: Tìm cách tách: S n S1  S2  S3  Trong đó: S1 ; S ;S biết cơng thức tính tổng - Trắc nghiệm: Ta dùng phương pháp thử giá trị n vào đáp án để loại trừ chọn đáp án - Casio: Làm tương tự dạng BÀI TẬP TỰ LUẬN = = = Câu 25: Tính: S n 1.3  2.5  3.7   n(2n  1) Biết rằng: I n  i 1     n  i 1 n(n  1) ; n i 1  2  32   n  i 1 n(n  1)(2n  1) Câu 26: Cho: S n 1.2  3.4  5.6   (2n  1).2n Tính S100 biết rằng: n n i 1 i 1  2i 2     2n n(n 1);  i 1  2  32   n  n(n  1)(2n  1) * Câu 27: Cho tổng: Sn 1.4  2.7  3.10   n.(3n  1) với n  N Biết: S k 294 Giá trị k là: DẠNG 5: XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ = = = I PHƯƠNG PHÁP Page 11 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN  Nếu Nếu  un  có dạng un a1  a2   an biến đổi ak thành hiệu hai số hạng, dựa vào thu gọn un  Nếu Nếu dãy số  un  cho hệ thức truy hồi, tính vài số hạng đầu dãy số, từ dự đốn cơng thức tính un theo n, chứng minh cơng thức phương pháp quy nạp u  Ngoài tính hiệu un 1  un dựa vào để tìm cơng thức tính n theo n BÀI TẬP TỰ LUẬN = = n = ak  un  ak I k  k  1 a  u  k 1 Câu 28: Cho dãy số n có Đặt Xác định cơng thức tính n Câu 29: Xác định cơng thức tính số hạng tổng quát un theo n dãy số sau: theo n u1 3  un 1 un  u1 1 n 1  un 1 un  n3 u  n Câu 30: Xác định công thức tính số hạng tổng quát theo n dãy số sau: Page 12 Sưu tầm biên soạn