H12 c2 b2 mat cau pb

PPT - TIVI - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN - NĂM 2021-2022 HÌNH HỌC 12 – CHƯƠNG §2 MẶT CẦU Thời lượng dự kiến: tiết Facebook GV1 soạn bài: Trang Đài Facebook GV2 soạn bài: Kim Liên Facebook GV3 chuẩn hóa:Quynh Anh A PHẦN KIẾN THỨC CHÍNH I Mặt cầu khái niệm liên quan đến mặt cầu I.1 Mặt cầu Câu hỏi: Nêu định nghĩa đường tròn mặt phẳng? Trả lời: Đường tròn tập hợp tất điểm M mặt phẳng cách điểm O cố định khoảng không đổi R Câu hỏi: Cho đường tròn tâm O bán kính R điểm M Nêu vị trí tương đối điểm M  O; R  ? với đường tròn  O; R  Trả lời: Có ba vị trí tương đối điểm M với đường trịn Nếu OM  R điểm M nằm ngồi đường trịn Nếu OM R điểm M nằm đường trịn Nếu OM  R điểm M nằm đường trịn Quan sát số hình ảnh: Định nghĩa mặt cầu: Tập hợp điểm M không gian cách điểm O cố định khoảng R gọi mặt cầu tâm O, bán kính R, kí hiệu là: S ( O; R ) Khi S ( O; R )={ M ∨OM =R } Trang 1/26 PPT - TIVI - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN - NĂM 2021-2022 Chú ý: * Nếu điểm C, Dnằm mặt cầu S ( O , R ) đoạn thẳng CD gọi dây cung mặt cầu ( S ) Dây cung AB qua tâm O gọi đường kính mặt cầu ( S ) * Một mặt cầu hoàn tồn xác định biết tâm bán kính biết đường kính mặt cầu Ví dụ (Bài 1/ 49) Tìm tập hợp điểm M khơng gian ln nhìn đoạn thẳng AB cố định góc vng Giải: Tập hợp điểm M khơng gian ln nhìn đoạn thẳng A ​B cố định góc vng mặt cầu đường kính AB I.2 Vị trí tương đối điểm mặt cầu Câu hỏi: Cho mặt cầuS ( O; R )và điểm Abất kì Quan sát hình vẽ cho biết khơng gian, có vị trí tương đối điểm A mặt cầu S ( O; R )? Trả lời: Có vị trí tương đối Kết luận: Cho mặt cầuS ( O; R )và điểm Abất kì Khi đó: B  Nếu OA=R ⇔ A ∈ S ( O; R ) Khi OA gọi bán kính mặt cầu Nếu ⃗ ⃗ O OA OB hai bán kính cho O A =−O B đoạn thẳng AB gọi đường kính mặt cầu  Nếu OA < R ⇔ Anằm mặt cầu  Nếu OA > R ⇔ A nằm mặt cầu ⇒ Khối cầu S ( O; R ) tập hợp tất điểm M cho OM ≤ R A A A Câu hỏi: Dựa vào kiến thức học khối đa diện học định nghãi mặt cầu Theo em khối cầu gì? Định nghãi khối cầu: Tập hợp điểm thuộc mặt cầu S ( O; R ) với điểm nằm mặt cầu gọi khối cầu tâm O bán kính R I.3 Biểu diễn mặt cầu: Hình biểu diễn mặt cầu hình trịn Để trực quan người ta vẽ thêm hình biểu diễn số đường tròn nằm mặt cầu II Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu (Hướng dẫn tự học) Cho mặt cầuS ( O; R )và mp ( P ) Gọi d khoảng cách từ tâm O mặt cầu đến mp ( P ) H hình chiếu O mp ( P ) ⇒ d=OH  Nếu d < R ⇔ mp ( P ) cắt mặt cầu S ( O; R ) theo giao tuyến đường tròn nằm mp ( P ) có tâm H bán kính r =HM= √ R2−d 2=√ R2−O H (hình a) Đặc biệt h=0 mặt phẳng ( P ) cắt mặt cầu theo đường trịn lớn có bán kính r =R ( P ) gọi mặt phẳng kính  Nếu d > R ⇔ mp ( P ) không cắt mặt cầu S ( O; R ) (hình b)  Nếu d=R ⇔ mp ( P ) có điểm chung Ta nói mặt cầu S ( O; R ) tiếp xúc mp ( P ) Điểm H: Tiếp điểm mặt cầu S ( O; R ) mặt phẳng ( P ) ( P ) : Mặt phẳng tiếp xúc hay tiếp diện mặt cầu Trang 2/26 PPT - TIVI - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN - NĂM 2021-2022 Vậy: +( P ) tiếp xúc với mặt cầu S ( O; R ) điểm H ⇔ ( P )vng góc OH điểm H + ( P ) tiếp xúc với mặt cầu S ( O; R ) ⇔ d ( O ;( P) )=R (hình c) d Hình a Hình b d= Hình c III Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu (Hướng dẫn tự học) Cho mặt cầuS ( O; R )và đường thẳng Δ Gọi H hình chiếu O đường thẳng Δvàd=OH khoảng cách từ tâmOcủa mặt cầu đến đường thẳng Δ Khi đó:  Nếu d > R ⇔ Δkhơng cắt mặt cầuS ( O; R )  Nếu d < R ⇔ Δcắt mặt cầuS ( O; R )tại hai điểm phân biệt  Nếu d=R ⇔ Δvà mặt cầu tiếp xúc (tại điểm nhất) Do đó: điều kiện cần đủ để đường thẳngΔtiếp xúc với mặt cầu làd=d ( O , Δ )=R Khi H gọi tiếp điểm Δ gọi tiếp tuyến mặt cầu S Đặc biệt, d=0 đường thẳng Δ qua tâm O cắt mặt cầu hai điểm A , B Khi AB đường kính mặt cầu d>R Δ ( S ) khơng có điểm chung d=R Δ tiếp xúc ( S ) H dr } C S(O ; r )={M ∨OM ) √3 Khi đó, bán kính hình cầu ngoại tiếp hình lập phương R=a Do thể tích hình cầu 4π 4π 4π R= ⇔ R=1 ⇔a= nên ta có 3 √3 Vậy thể tích khối lập phương V =a = 8√3 Chọn A Câu [Mức độ 1]Cho mặt cầu S(O ; r )và mặt phẳng ( P ) Gọi d khoảng cách từ O đến mặt phẳng ( P ) Chọn phát biểu A Nếu d=3 r =5 mặt phẳng ( P ) cắt mặt cầu S(O ; r ) B Nếu d=6và r =5 mặt phẳng ( P ) tiếp xúc mặt cầu S(O ; r ) Trang 7/26 PPT - TIVI - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN - NĂM 2021-2022 C Nếu d=5và r =5 mặt phẳng ( P ) mặt cầu S(O ; r ) khơng có điểm chung D Nếu d=4 r =6 mặt phẳng ( P ) cắt mặt cầu S(O ; r ) theo đường trịn giao tuyến có bán kính Lời giải Dễ thấy B ,Csai D sai bán kính đường trịn giao r ' = √ 2−4 2=2 √ Chọn A Câu [Mức độ 1]Để hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ phải là: A Hình lăng trụ B Hình lăng trụ đứng C Hình lăng trụ đứng có đáy lăng trụ đa giác nội tiếp đường trịn D Hình lăng trụ đứng có đáy lăng trụ đa giác ngoại tiếp đường trịn Lời giải Để hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ phải Hình lăng trụ đứng có đáy lăng trụ đa giác nội tiếp đường tròn Chọn C Câu [Mức độ 1]Trong mệnh đề sau mệnh đề đúng? A Mọi hình hộp có mặt cầu ngoại tiếp B Mọi hình hộp đứng có mặt cầu ngoại tiếp C Mọi hình hộp có mặt bên vng góc với đáy có mặt cầu ngoại tiếp D Mọi hình hộp chữ nhật có mặt cầu ngoại tiếp Lời giải Đáp án A , B , C: Sai hình hộp có đáy khơng nội tiếp đường trịn khơng có mặt cầu ngoại tiếp Đáp án D đúng hình chữ nhật có đường trịn ngoại tiếp Chọn D Câu 10 [Mức độ 2]Tính bán kính Rcủa mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương có cạnh a √3a A R= B R=a C R=2 √ a D R=√3 a Lời giải Trang 8/26 PPT - TIVI - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN - NĂM 2021-2022 Dễ thấy tâm O hình lập phương ABCD A1 B1 C D cách đỉnh nên tâm a √3 =a √ mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương Do ta có bán kính mặt cầu là: R= Chọn D Câu 11 [Mức độ 2]ba điểm phân biệt A , B , C không thẳng hàng Tập hợp tâm O mặt cầu thỏa mãn điều kiện qua hai điểm A , B là: A Đường thẳng trung trực AB B Đường tròn đường kính AB C Đường trịn ngoại tiếp ΔABC D Mặt phẳng trung trực AB Lời giải Mặt cầu qua hai điểm A , B có tâm O cách hai điểm Trong khơng gian, tập hợp điểm cách hai điểm A , B cho trước mặt phẳng trung trực AB Chọn D Câu 12 [Mức độ 2]Cho hình lập phương ABCD A1 B1 C D1 cạnh a O tâm hình lập phương a Xét mặt cầu ( S ) tâm A bán kính Khẳng định sau đúng? A Điểm B nằm ( S ) B Điểm O nằm ngoài( S ) O ( S ) C Điểm nằm D Điểm B nằm trong( S ) Lời giải a nên B nằm ( S ) , loại A , D a √3 a > nên O nằm mặt cầu + AO= 2 + AB=a> Chọn B Câu 13 [Mức độ 2] Thể tích khối cầu ngoại tiếp bát diện có cạnh a là: A √3 π a3 Lời giải Trang 9/26 B √ π a3 C √ π a3 D √ π a3 PPT - TIVI - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN - NĂM 2021-2022 S C D O B A S' Giả sử hình bát diện hình vẽ Bán kính mặt cầu R=SO= √ S A2−O A2 √ ⇒ R= a2− a2 a √ = 4 √ π a3 Thể tích khối cầu V = π R3= 3 Chọn C Câu 14 [Mức độ 2]Cho hình lăng trụ tam giác ABC A ' B' C 'có tất cạnh Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ A S=7 π B S= 7π C S= 7π D S= Lời giải Gọi O ,O2 lần lượt tâm đường tròn ngoại tiếp hai đáy Suy ra: -Trung điểm I O O 2là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ √ √ = -Ta có ΔABC ⇒ A O1= 3 O1 O2 -Bán kính: R=IA =√ A O + I O1 = A O + = 2 Trang 10/26 √ ( √3 + 2= √ 21 ) √( ) ( ) 7π PPT - TIVI - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN - NĂM 2021-2022 Từ giả thiết suy ABD tam giác nên S ABDlà hình chóp Gọi H trọng tâm tam giác ABD SH vng góc (ABCD) Gọi O tâm ABCD Trung trực SA (SAH) cắt SH I I tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABD a √3 a2 2 ΔSFI ΔSHA suy ra: S A 2=2 SI SH mà AH = AO = ⇒ S H =S A − 3 2 a 12a 4a Ta có phương trình: S A =4 S I (S A 2− ) ⇔ S A4 − SA + =0 5 Suy ra: [ 2a (loai) hay a 15 SA=a √ 2⇒ SH= √ S A2=2a S A 2= Thể tích S.ABCD là: V = a3√ Chọn B Câu 17 [Mức độ 3]Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng B Biết SA ⊥ ( ABC ) , AB=a, ^ ACB=3 0o, góc ( SBC ) ( ABC ) o Vị trí tương đối mặt cầu tâm A, a √3 bán kính với mặt phẳng ( SBC ) là: A Tiếp xúc B Khơng có điểm chung C Cắt theo giao tuyến đường tròn D Cắt theo giao tuyến đường trịn lớn Lời giải Ta có: AC=2 a; ^ SBA=6 0o ⇒ SA=a √ Gọi H hình chiếu A SB, ta chứng minh AH =d ( A , ( SBC )) 1 1 a = + = + = ⇒d ( A , ( SBC ) )= AH = √ =R Ta có: 2 2 AH S A AB 3a a 3a ( Vậy Mp ( SBC ) tiếp xúc mặt cầu S A , a √3 ) Chọn A Câu 18 [Mức độ 3] Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông B Biết SA ⊥ ( ABC ) , AB=a, góc ( SBC ) ( ABC ) o Mặt cầu S ( A ; a ) cắt mặt phẳng ( SBC ) theo giao tuyến đường tròn ( C ) Tính bán kính của( C ) a a a √3 a √3 A r = B r = C r = D r = 4 Trang 12/26 PPT - TIVI - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN - NĂM 2021-2022 Lời giải Ta có: ^ SBA=6 0o ⇒ SA=a √ Gọi H hình chiếu A SB, ta chứng minh AH =d ( A , ( SBC )) 1 1 a = + = + = ⇒ d ( A , ( SBC ) )= AH = √ r đường thẳng  mặt cầu S(O ; r ) khơng có điểm chung C Nếu OH =r đường thẳng  tiếp xúc với mặt cầu S(O ; r ) H D Nếu OH < r đường thẳng  cắt mặt cầu S(O ; r ) hai điểm phân biệt Lời giải Chọn A Câu [Mức độ 1] Một khối cầu có bán kính R tích V bao nhiêu? A V =4 π R B V = π R 3 C V = 32 π R 3 D V = 24 π R Lời giải 32 π R Thể tích khối cầu V = π ( R ) = 3 Chọn C Câu [Mức độ 1] Diện tích mặt cầu có bán kính R π ( R )2=16 π R Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước a , b , c Gọi ( S) mặt cầu qua đỉnh hình hộp chữ nhật Tâm mặt cầu ( S) là: A Một đỉnh hình hộp chữ nhật B Tâm mặt bên hình hộp chữ nhật C Trung điểm cạnh hình hộp chữ nhật Trang 14/26 PPT - TIVI - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TỐN - NĂM 2021-2022 D Tâm hình hộp chữ nhật Lời giải Tâm hình hộp chữ nhật cách đỉnh hình hộp, nên tâm mặt cầu ( S) tâm hình hộp chữ nhật Chọn D Câu [Mức độ 1]Cho mặt cầu ( S ) có tâm I bán kính R=5 mặt phẳng ( P ) cắt ( S ) theo đường trịn ( C ) có bán kính r =3 Kết luận sau sai? A Tâm ( C ) hình chiếu vng góc I ( P ) B.( C ) giao tuyến ( S ) ( P ) C Khoảng cách từ I đến ( P )bằng D.( C )là đường tròn lớn mặt cầu ( S ) Lời giải Dễ thấy kết luận A , B đúng Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng ( P )là: d= √ R 2−r 2=√ 52−3 2=4 , C đúng Đường trịn ( C ) có bán kính r =3< R nên ( C ) khơng phải đường trịn lớn ( S ) Chọn D Câu [Mức độ 2] Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B' C ' có đáy ABC tam giác vng B , AA ' =AB=a √ 2, góc ^ BAC=3 00 Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lăng trụ bằng: A √12 a3 27 Lời giải Trang 15/26 B √ 42 a3 27 C √ 42 a3 D π a3 PPT - TIVI - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN - NĂM 2021-2022 +Gọi O ,O2 lần lượt tâm đường tròn ngoại tiếp hai đáy +Vì tam giác ABC vng B nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy trung điểm O cạnh huyền BC, tương tự ta có O ⇒ Trung điểm I O O 2là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ +Ta có I O1= + AA ' a √ = 2 ΔABC : cos 00= AB a 2 6a AC √6 a ⇒ AC = √ = √ ⇒ A O1= = AC 3 √ 2 + ΔIA O :IA =√ I O + A O1 = √( a √2 + 2 √ a = √ 42 a ) (3) Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp lăng trụ là: S= π ( √ 42 a = √ 42 a3 ) 27 Chọn B Câu [Mức độ 2] Cho hình chóp S ABC, SA ⊥ ( ABC ) Tam giác ABC vuông A, SA=BC=2 a Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp B a √ A a √ C a D a Lời giải Gọi M trung điểm BC Gọi Δ đường thẳng qua M vng góc với ( ABC ) Khi đó, Δ trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (1 ) trung điểm SA , dựng đường thẳng qua N song song với AM cắt Δ I Khi đó, Gọi N ¿ đường trung trực đoạn SA ( ) Từ ( ) ( ) , suy IA=IB=IC=ID hay I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC, bán kính mặt cầu ngoại tiếp IA=√ N A + A M = Trang 16/26 √ S A BC + =√ a2 +a 2=a √ 4 PPT - TIVI - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN - NĂM 2021-2022 Chọn A Câu [Mức độ 2]Tính bán kính mặt cầu tiếp xúc với tất cạnh hình lập phương cạnh a A √2 a B a C √3 a D a √2 Lời giải B C A D I H B' A' C' D' Gọi I giao hai đường chéo hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D '; H trung điểm AA ' Gọi ( S ) mặt cầu tiếp xúc với tất cạnh hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' Khi a √2 mặt cầu ( S ) có tâm điểm I bán kính R=IH = A ' C '= 2 Chọn A Câu 10 [Mức độ 2] Cho hình chóp tứ giác có tất cạnh √ 2cm Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp khối chóp A V = 125 √ π c m 3 B V =100 π c m3 C V = 500 π c m3 D V = 250 c m 3 Lời giải Gọi M trung điểm SC, từ M vẽ đường thẳng vng góc SC cắt SO I Vì I ∈ SO nên IA=IB=IC=ID Trang 17/26 PPT - TIVI - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN - NĂM 2021-2022 Vì Inằm mặt phẳng trung trực SC nên IS=IC Vậy I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD SC = cm Ta có: AC= AB √ 2=10 cm⇒OC =5 cm; SM = √2 5 √ SM SO SM SC √ Ta có: cos ^ MSI = = ⇒ R=SI = = =5 cm 2 SI SC SO ( √ ) −5 √ 500 π c m Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp là: V = π = 3 Chọn D Câu 11 [Mức độ 2] Cho hình hộp chữ nhật có kích thức ×3 ×1 Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình hộp A π B π C 14 π D 11 π Lời giải Cách 1: Gọi O ,O2 lần lượt tâm đường tròn ngoại tiếp hai đáy Suy ra: -Trung điểm I O O 2là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình hộp 2 -Bán kính:R=IA =√ A O + I O1 = ¿ √( √ b2 +c 2 2 ) ( ) a a2 +b2 +c 2 2 2 √ 14 = = √ a +b +c = √ +2 + = 2 )() + √( AC AA ' + 2 √ √ 14 =14 π -Suy S=4 π R =4 π (2) Cách 2: Ta có tâm mặt cầu ngoại tiếp hình hộp cũng trung điểm đường chéo d (giao đường chéo) hình hộp Hình hộp chữ nhật có độ dài cạnh dài, rộng, cao a , b , c Trang 18/26 PPT - TIVI - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN - NĂM 2021-2022 d a2 +b 2+ c √ 1+ 22+3 √ 14 ⇒ R= = √ = = 2 2 Suy S=4 π R2=4 π √ 14 =14 π (2) Chọn C Câu 12 [Mức độ 2]Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với độ dài đường chéo √ a, cạnh SA có độ dài a vng góc với mặt phẳng đáy Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD ? A a √6 B a √6 C a √6 12 D a √6 Lời giải S I D A B C Gọi I trung điểm SC, ta có tam giác SAC, SBC, SCD tam giác vng có cạnh huyền SC nên đỉnh S, A , B, C , D nằm mặt cầu đường kính SC có tâm I , bán 1 a √6 2 2 kính R= SC= √ S A + A C = √ a + a = 2 2 Chọn A Câu 13 [Mức độ 3] Cho hình chóp tam giác S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a , cạnh SA= a √3 Gọi D điểm đối xứng B qua C Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABD A R= a √37 Lời giải Trang 19/26 B R= a √ 35 C R= a √ 39 D R= a √ 39 PPT - TIVI - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN - NĂM 2021-2022 Gọi G trọng tâm tam giác ABC SG⊥ ( ABC ) Do CB=CA=CD nên C tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD Qua C kẻ đường thẳng d song song SG d trục đường trịn ngoại tiếp tam giác ABD Gọi I ∈ d tâm mặt cầu cần tìm, đặt IC=x ⇒ SK =|SG−x| Kẻ IK ⊥ SG a a ⇒ IK =CG= AG= √ = √ , SG=√ S A 2− A G2=a 3 Ta có IS=ID ⇔ I K 2+ S K =I C 2+C D ⇔ a2 ( a 2 + a−x ) =x + a ⇒ x= 2 Vậy tâm cầu I xác định, bán kính mặt cầu R=√ x +a = a √ 37 Chọn A Câu 14 [Mức độ 3]Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a SA ⊥ ( ABC ) a √5 với mặt phẳng ( SBC ) là: SA=a √3 Vị trí tương đối mặt cầu tâm A, bán kính A Tiếp xúc B Khơng có điểm chung C Cắt theo giao tuyến đường tròn D Cắt theo giao tuyến đường tròn lớn Lời giải Gọi M trung điểm BC, H hình chiếu A SM, Ta chứng minh AH =d ( A , ( SBC )) 1 1 a 15 a = + = + = ⇒ d ( A , ( SBC ) ) =AH = √ > √ =R Ta có: 2 AH S A A M 3a a 3a ( Vậy mặt phẳng ( SBC ) mặt cầu S A ; a√5 khơng có điểm chung ) Chọn B Câu 15 [Mức độ 3] Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B' C ' có đáy ABC tam giác vuông cân A , BC=3 a Góc đường chéo AB' mặt bên B' A ' AB với mặt đáy 0 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ Trang 20/26