Mặt cầu

Tập hợp tất cả các điểm M trong mặt phẳng cách điểm O cố định một khoảng không đổi bằng r (r > 0) được gọi là gì?. Hỏi: Mở rộng trong không gian: Tập hợp tất cả các điểm M thỏa yêu cầu nêu trên cho ta hình gì? • O M • §2. §2. MÆT MÆT CÇU CÇU Vậy một mặt cầu được xác định khi biết tâm và bán kính của nó hoặc biết một đường kính của mặt cầu đó. O • • • M B A I. MẶT CẦU VÀ CÁC KHÁI NIỆM LIÊN QUAN ĐẾ MẶT CẦU 1. Mặt cầu Tập hợp tất cả các điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng không đổi bằng r (r > 0) được gọi là mặt cầu tâm O bán kính r. - Dây cung AB đi qua tâm O được gọi là một đường kính của mặt cầu. Khi đó độ dài đường kính AB=2r và OA, OB là các bán kính có độ dài bằng r . - Nếu hai điểm A, B thuộc mặt cầu S(O;r) thì đoạn thẳng AB gọi là dây cung của mặt cầu đó. Kí hiệu mặt cầu tâm O bán kính r là S(O;r) hay (S). Vậy: S(O;r) = {M | OM=r} Định nghĩa: (sgk) r Hỏi: Tập hợp tâm các mặt cầu luôn luôn đi qua hai điểm cố định A và B là gì? A r O • • 2. Điểm trong và điểm ngoài mặt cầu. Khối cầu Cho mặt cầu S(O;r) và A là một điểm bất kì trong không gian. - Nếu OA = r thì điểm A nằm trên S(O;r) . - Nếu OA < r thì điểm A nằm trong S(O;r). - Nếu OA > r thì điểm A nằm ngoài S(O;r). Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu S(O;r) cùng với các điểm nằm trong mặt cầu đó được gọi là khối cầu hoặc hình cầu tâm O bán kính r Định nghĩa khối cầu (sgk) 4. Đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu (sgk) • A 1 • A 2 B ∆ 3. Biểu diễn mặt cầu (sgk) {M I } = C(O ; ) Tập hợp tất cả các điểm M trong mặt phẳng nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới góc vuông là đường gì ?. O A B M · 90 o AMB = Hỏi: Hỏi: 2 AB Mở rộng trong không gian, Tập hợp tất cả các điểm M thỏa yêu cầu nêu trên cho ta kết quả gì? Tìm tập hợp tất cả các điểm M trong không gian nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới góc vuông ?. Giải Gọi O là trung điểm của AB, ta có Ví dụ: · { } o M | AMB 90 = = AB S O; 2   =  ÷   AB M | OM 2   =     Vậy tập hợp tất cả các điểm M thỏa yêu cầu bài toán là mặt cầu tâm O bán kính hay đường kính AB AB 2 O A B M A B O M P O H r M II. GIAO CỦA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG Cho mặt cầu S(O;r) và mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên (P). Khi đó h = OH là khoảng cách từ O tới (P). 1. Trường hợp h > r ∀ M ∈ (P): OM ≥ OH nên OM > r Do đó: (P) ∩ S(O;r) = ∅ P O H r M 2. Trường hợp h = r ∀ M ∈ (P): OM ≥ OH = r nên OM ≥ r Do đó: (P) ∩ S(O;r) = {H} Khi đó ta nói (P) tiếp xúc S(O;r) tại H Điểm H gọi là tiếp điểm của (P) và (S), (P) gọi là tiếp diện của mặt cầu Vậy ta có: . (P) ∩ S(O;r) = {H} ⇔ (P) ⊥ OH O H r M P 3. Trường hợp h < r M=(P) ∩ (S) ( ) ( ) M P M S ∈  ⇔  ∈  ( )M P OM r ∈  ⇔  =  2 2 2 2 2 ( )M P HM OM OH r d ∈  ⇔  = − = −  Do đó: (P) ∩ S(O;r) = C(H;r') Với 2 2 'r r h = − Đặc biệt: h = 0 (P) ∩ S(O;r) = C(O;r) Khi đó ta nói: C(O;r) là đường tròn lớn (P) là mặt phẳng kính Xác định đường tròn giao tuyến mặt phẳng (P) với mặt cầu S(O;r) với r = 5 cm , biết khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P) là d = 3 cm. Ta cú: d= OH < r , suy ra (P) cắt (S) theo thiết diện là đường tròn tâm H, bán kính r'. 2 2 ' 25 9 4r r d = = = Với Gi H là hỡnh chiếu của O trên (P) Vậy : ường tròn giao tuyến có tâm H, bán kính r = 4 cm Gii: Ví dụ 1: [...]... vuông tại B và DA⊥(ABC) a) Xác định tâm của mặt cầu đi qua bốn đỉnh của tứ diện b) Biết AB = BC = a, AD = 2a Tính bán kính của mặt cầu trên Giải: DA ⊥ (ABC) ⇒ DA ⊥ BC Mặt khác: AB ⊥ BC nên BC ⊥ BD a) Ta có: D O Suy ra: DAC = DBC = 900 Vậy bốn đỉnh A,B,C,D nằm trên mặt cầu tâm O là trung điểm DC b) Tính được: AC = a 2, DC = a 6 D C A A a 6 Suy ra: bán kính mặt cầu trên là r = 2 C BB  . yêu cầu bài toán là mặt cầu tâm O bán kính hay đường kính AB AB 2 O A B M A B O M P O H r M II. GIAO CỦA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG Cho mặt cầu S(O;r) và mặt. của nó hoặc biết một đường kính của mặt cầu đó. O • • • M B A I. MẶT CẦU VÀ CÁC KHÁI NIỆM LIÊN QUAN ĐẾ MẶT CẦU 1. Mặt cầu Tập hợp tất cả các điểm M trong