S6 chuyên đề 8 nguyên lí dirichlet

CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ S6-CHUYÊN ĐỀ NGUN LÍ DIRICHLET PHẦN I TĨM TẮT LÝ THUYẾT Nội dung nguyên lí Nếu nhốt n.m + r (trong ú m, n, r ẻ Ơ * ) th vào n chuồng phải có chuồng chứa khơng m + thỏ Chứng minh Giả sử ngược lại chuồng chứa không m thỏ tổng số thỏ nhốt n chuồng khơng + r Vậy phải có chuồng chứa m.n thỏ :Mâu thuẫn với giả thiết số thỏ mn không m + thỏ Nhận xét Bản thân nguyên li Dirichlet đơn giản dễ hiểu, nhiên việc ứng dụng nguyên lí lại không đơn giản Vấn đề phát “chất Dirichlet “ toán , dạng tốn sau xác định đâu chuồng đâu thỏ.Có trường hợp chuồng thỏ gần có sẵn, có trường hợp phải “xây chuồng , tạo thỏ” PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: Toán chia hết Khi chia số a cho số m ¹ ln có m khả số dư 0,1,…., m- (“m chuồng “).Do vậy, chia m + số khác a1,a2, , am+1 cho m ta có m + số dư (“ m + thỏ”) ln có hai phép chia có số dư.Giả sử hai số bị chia hai phép chia aj £ j < i £ m + ) Ta có ( - aj )Mm Bài 1: Chứng minh tìm số có dạng 19781978 197800 chia hết cho 2012 Lời giải Trang (với CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ 1978,19781978, ,19781978 1978 144444424444443 2013 so 1978 Xét dãy số : Khi chia số hạng dãy cho 2012 có a = 19781978 1978 144444424444443 m so 1978 hai phép chia có số dư Giả sử hai số hạng dãy hai phép chia b = 19781978 1978 144444424444443 n so 1978 ( với £ n < m £ 2013) Hiệu a b chia hết cho 2012 hay a - b = 19781978 197800 14444444244444443{ M2012 m- n so 1978 4n so (đpcm) Nhận xét: Phương pháp để giải dạng toán tạo dãy số (theo cấu tạo số) từ yêu cầu toán (“tạo thỏ”) Sau áp dụng ngun lí Dirichlet cho số hạng dãy số (mỗi số hạng thay cho “thỏ”, 2012 số “chuồng”) Bài 2: a ,a , ,am Cho dãy m số tự nhiên Chứng minh tồn số hạng chia hết cho m tổng số hạng liên tiếp dãy chia hết cho m(m ẻ Ơ *) Li gii Xột dóy số b1 = a1,b2 = a1 + a2, .,bm = a1 + a2 + + am Khi chia số hạng dãy cho m xảy hai trường hợp sau :  Có phép chia hết , chẳng hạn : bk Mm , ta có điều phải chứng minh : (a1 + a2 + + ak )Mm  Khơng có phép chia hết Khi tồn hai phép chia có số dư , chẳng hạn bi ,bj chia cho m ( vơi £ j < i £ m )  (bi  b j )m hay (a j 1  a j 2   )m , ta có điều phải chứng minh Nhận xét: Phương pháp “tạo thỏ “ ví dụ dựa vào phép tốn cộng u cầu tính liên tiếp số hạng dãy ban đầu đề Bài 3: Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Cho bốn số tự nhiên phân biệt a > b > c > d Chứng minh rằng: P = (a - b)(a - c)(a - d)(b - c)(b - d)(c - d)M 12 Lời giải Chia bốn số phân biệt a,b,c, d cho có hai phép chia có số dư hiệu hai số bị chia chia hết cho tồn hiệu hai số bốn số a,b,c,d chia hết cho Do P chia hết cho (1) Trong bốn số a,b,c, d có hai số có số dư chia cho P chia hết cho 4;trái lại , chia bốn số cho có đủ bốn trường hợp số dư 0,1,2,3 trong bốn số a,b,c,d có hai số chẵn , hai số (b - d)M2 lẻ, giả sử a,c chẵn b, d lẻ (a - c)M Do P chia hết cho (2) Từ (1),(2) (3,4)=1 suy P M3, hay P M 12 (đpcm) Bài 3: Chứng minh 19 số tự nhiên liên tiếp ta ln tìm số có tổng chữ số chia hết cho 10 Lời giải Trong 19 số tự nhiên liên tiếp tồn 10 số tự nhiên liên tiếp có chữ số hàng chục giống , kí hiệu chữ số hàng chục a (các chữ số hàng trăm, hàng nghìn, ….(nếu có ) giống nhau), cịn chữ số hàng đơn vị dãy 0;1;2;3;…;9 Do tổng chữ số số dãy 10 số tự nhiên liên tiếp, tồn số có tổng chữ số chia hết cho 10 Bài 4: Cho 12 số tự nhiên khác có hai chữ số Chứng minh khơng tồn hai số có hiệu số có hai chữ số Lời giải Có 12 số tự nhiên khác nhau, mà có 11 số dư phép chia cho 11, tồn hai số có số dư phép chia cho 11 Hiệu chúng số chia hết cho 11, số có hai chữ số Bài 5: Chứng minh 11 số tự nhiên tồn số có hiệu chia hết cho 10 Lời giải Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Với 11 số tự nhiên chia cho 10 ta 11 số dư, mà số tự nhiên chia cho 10 có 10 khả dư ; ; ; ; ; Vì có 11 số dư mà có 10 khả dư, theo nguyên lí Đi-rích-lê, tồn số chia cho 10 có số dư hiệu chúng chia hết cho 10 (đpcm) Bài 6: Chứng minh tồn số có dạng 19941994 199400 chia hết cho 1995 Lời giải Ta có 19941994 199400 = 19941994 1994  100 Xét 1995 số có dạng: 1994 ; 19941994 ; ; +) Nếu số chia hết cho 1995 dễ dàng có điều phải chứng minh +) Nếu số khơng chia hết cho 1995 chia số cho 1995 có 1994 khả dư ; ; ; ; 1994 Vì có 1995 số dư mà có 1994 khả dư, theo ngun lí Đi-rích-lê tồn số chia cho 1995 có số dư, hiệu chúng chia hết cho 1995 Khi 1994 199400 chia hết cho 1995 (đpcm) Bài 7: Chứng minh tồn số tự nhiên k cho (1999^k - 1) chia hết cho104 Lời giải Xét 104 số có dạng: 1999^1 ; 1999^2 ; ; 1999^104 Lấy tất số chia cho 104 có 103 khả dư ; ; ; ; 103 (chú ý: khơng có số dư 1999 104 hai số nguyên tố nên 1999 mũ không chia hết cho 104) Mà dãy số có 104 số nên có hai số chia cho 104 có số dư Gọi hai số có số dư chia cho 104 1999^a 1999^b (với a > b) Ta có: 1999^a - 1999^b ⋮ 104 => 1999^b[1999^(a-b) – 1] ⋮ 104 Mà UCLN(1999^b, 104) (vì hai số nguyên tố nhau) nên 1999^(a-b) – ⋮ 104 Đặt k = a – b, ta có 1999^k – ⋮ 104 (đpcm) Bài 8: Chứng minh tồn số viết hai chữ số chia hết cho 2003 Lời giải Xét 2003 số có dạng ; 11 ; 111 ; ; +) Nếu có số chia hết cho 2003 ta sô 11 1100 00 ⋮ 2003 (đpcm) Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ +) Nếu số chia hêt cho 2003 có 2002 khả dư ; ; ; ; 2002 Mà dãy số có 2003 số hạng nên có hai số chia cho 2003 có số dư Gọi hai số có số dư chia cho 2003 Khi 11 11 m chu so 111 111 n chu so (với n > m) 111 111 11 11 11 110 00000 n chu so n  m chu so - m chu so = ⋮ 2003 (đpcm) Dạng 2: Toán suy luận Bài 1: Có 10 đội bóng thi đấu với vịng tròn lượt , đội phải đấu trận với đội khác Chứng minh vào lúc có hai đội đấu số trận Lời giải Rõ ràng 10 đội bóng có đội chưa đấu trận đội cịn lại khơng có đội thi đấu trận Như đội có số trận đấu từ đến từ đến Vậy theo nguyên lí Dirichlet phải có hai đội có số trận đấu Bài 2: Trong 45 học sinh làm kiểm tra khơng có bị điểm có học sinh điểm 10 Chứng minh tìm học sinh có điểm kiểm tra ( điểm kiểm tra số tự nhiên từ đến 10) Lời giải Số học sinh có điểm kiểm tra từ đến : 45 – =43 Ta có : 43 = 8.5 + Như , phân chia 43 học sinh vào loại điểm kiểm tra ( từ đến ) theo nguyên lí Dirichlet ln tồn + = học sinh có điểm kiểm tra giống (đpcm) Bài 3: Có 17 nhà Tốn học viết thư cho trao đổi vấn đề khoa học , người trao đổi với 16 người lại cặp người trao đổi với vấn đề Chứng minh có nhà Toán học trao đổi với vấn đề Lời giải Gọi A nhà Tốn học 17 nhà Tốn học A phải trao đổi với 16 người lại vấn đề khoa học ( kí hiệu vấn đề I,II,III) Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Vì 16 = 3.5 + nên A phải trao đổi với + = nhà Toán học khác vấn đề ( theo ngun lí Dirichlet) Gọi nhà Tốn học trao đổi với A vấn đề (chẳng hạn vấn đề 1) A1, A2, , A6 Ta thấy nhà Toán học lại trao đổi với vấn đề nên có hai khả xảy ra: 1) Nếu có nhà Tốn học trao đổi với vấn đề I với A có nhà Tốn học trao đổi vấn đề I 2) Nếu khơng có nhà Tốn học trao đổi với vấn đề I , nhà Toán học trao đổi với vấn đề II III.Theo ngun lí Dirichlet , có nhà Toán học trao đổi với vấn đề ( II III) Vậy ln có nhà Tốn học trao đổi với vấn đề Nhận xét: Trong ví dụ ta phải phân chia toán thành hai lớp sử dụng hai lần nguyên lí Dirichlet : Lần thứ với 16 thỏ chuồng ; lần thứ hai với thỏ chuồng Bài 4: Chứng minh tồn số tự nhiên gồm toàn chữ số chia hết cho 2013 Lời giải 11 { Xét 2014 có dạng 1,11,111,…., 2014sè1 Theo nguyên lý Dirichlet tồn hai số có số dư chia a = 11 b = 11 { { n sè1 cho 2013 Giả sử hai số , ksè1 với n>k k a - b = 11 1.10 M2013 { Khi n- ksè1 k Vì (2007,10 ) = nên số c = 11 { n - ksè1 chia hết cho 2013 Bài 5: Cho số tự nhiên phân biệt a1 > a2 > a3 > a4 > a5 Xét tích P = (a1 - a2)(a1 - a3)(a1 - a4)(a1 - a5)(a2 - a3)(a2 - a4)(a2 - a5)(a3 - a4)(a3 - a5)(a4 - a5) P M228 Lời giải Trang Chứng minh CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Ta có 288 = 2 Chứng minh P M3 a a Xét số a1 , a2 , a3 , a4 , : Ta thấy tồn hai số có số dư chia cho 3, giả sử => (a1 - a2)M3 a2,a3,a4,a5 Lại xét số lại tồn số có số dư chia cho 3, giả sử a4 a5 => (a4 - a5)M3 Do P M9 (1) Chứng minh P M2 Trong số cho có số tính chẵn lẻ Nếu có số chẵn, số lẻ, chẳng hạn : Khi đó: a1 = 2k1 a2 = 2k2 a3 = 2k3 a4 = 2k4 + a5 = 2k5 + , , , , P = 16(k1 - k2)(k1 - k3)(k2 - k3)(k4 - k5).M Trong số k1, k2, k3 có số tính chẵn lẻ, chẳng hạn k1 k2 , (k1 - k2)M2 Vậy P M32 Nếu có số lẻ, số chẵn chứng minh tương tự ta có P M32 Vậy mọi trường hợp ta có P M32 (2) Từ (1), (2) (9,32)=1 suy P M9, 32 hay P M288 (đpcm) Bài 6: { } 1;2;3; ;2n Chứng minh n + số thuộc tập hợp ln tìm hai số mà số bội số Lời giải Viết n+1 số lấy dạng k k k a1 = 1b1,a2 = 2b2, ,an+1 = n+1bn+1 Ta có: £ b1,b2, ,bn+1 £ 2n - số m, n cho Bài 7: Trang bn = bm b1,b2, ,bn+1 số lẻ, Mặt khác khoảng từ đến 2n-1 có n số lẻ nên tồn hai Khi đó, hai số an am có số bội số (đpcm) CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Xét 100 số tự nhiên < a1,a2, ,a100 £ 100 có tổng 200 Chứng minh 100 số ln tồn vài số có tổng 100 Lời giải Nếu a1 = a2 = = a100 = 2 Nếu a1 ¹ a2 ta chọn 50 số có tổng 100 ta lập dãy sau a1,a2,a1 + a2,a1 + a2 + a3 + + a1 + a2 + + a99 ( số hạng có giá trị từ đến 199) - Nếu tồn số hang dãy chia hết cho 100 số hạng 100 - Nếu khơng có số hạng chia hết cho 100 100 số chia cho 100 có hai số hạng có số dư Hiệu chúng cho ta tổng cần tìm Bài 8: Cho 69 số tự nhiên khác phân biệt không vượt 100 Chứng minh chọnđược số 69 số thỏa mãn tổng ba số số lại Lời giải Giả sử 69 số cho £ a1 + a3 < a1 + a4 < < a1 + a69 £ 100 Khi a1 £ 32 Xét hai dãy sau: < a1 + a3 < a1 + a3 < < a1 + a69 £ 132(1) £ a3 - a2 < a4 - a2 < < a69 - a2 £ 132(2) Từ (1) (2) ta có 134 số hạng có giá trị từ đến 132, suy có số số thuộc dãy, chẳng hạn: a1 + am = an - a2 a1 < a2 < am mà a ;a ;a ;a (với £ m < n £ 69) tức ta tìm số n m với a1 + a2 + am = an (đpcm) Bài 9: Chứng minh 39 số tự nhiên liên tiếp ln có số có tổng cácchữ số chia hết cho 11 Lời giải Giả sử 39 số tự nhiên liên tiếp a1 < a2 < < a39 Trong 20 số hạng dãy có hai số tận có số (trong hai số này) có chữ số đứng trước số tận khác Gọi số N Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Xét số N + 1, N + 2, , N + 19 thuộc 39 số cho Khi đó: S(N + i ) = S(N ) + i với i = 1,2, ,9 S(N + 19) = S(N ) + 10 (kí hiệu S(a) tổng chữ số a) Trong 11 số tự nhiên liên tiếp S(N ), S(N ) + 1, , S(N ) + 9, S(N ) + 10 ln có số chia hết cho 11 với m Ỵ 11, chẳng hạn: S(N + m)M {1;2; ;9;19} Vậy N + m số thỏa mãn Bài 10: Cho 15 số tự nhiên phân biệt, khác 0, không lớn 28 Chứng minh 15 số ln tìm số mà số tổng hai số lại cặp số mà số gấp đôi số Lời giải Gọi 15 số tự nhiên xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn : Xét dãy số: a1,a2, ,a15 b1 = a2 - a1,b2 = a3 - a1, ,b14 = a15 - a1 Các số hạng dãy số có giá trị từ đến 27 đơi khác Þ Dãy số a1,a2, ,a15;b1,b2, ,b14 có 29 số hạng nhận 28 giá trị khác (từ đến 28) Theo nguyên lí Dirichlet, tồn hai số nhau, chẳng hạn: Hay am+1 - a1 = an Û am+1 = a1 + an - Nếu n = bm = an (1 £ m £ 14,1 £ n £ 15) am+1 = 2a1 - Nếu n ¹ 1thì số a1, an ,am+1 Vậy ta việc chọn số phân biệt a1,an,am+1 am+1 = a1 + an số a1,am+1 thỏa mãn yêu cầu đề Bài 11: Chọn người Chứng minh có người có số người quen người Lời giải Mỗi người số người có khả số người quen (từ đến 4) Ta xét hai trường hợp sau: Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Nếu có người khơng quen số người cịn lại rõ ràng khơng có quen người Như vậy, người mà có khả số người quen (từ đến 3) nên theo ngun lí Dirichlet có hai người có số người quen Nếu người có người quen Khi người mà có khả số người quen (từ đến 4), theo nguyên lí Dirichlet có hai người có số người quen Bài 12: Có đội bóng thi đấu với vòng tròn lượt, đội đấu trận với đội khác Chứng minh vào thời điểm có ba đội cặp đấu với chưa đấu với trận Lời giải Giả sử đội bóng đá A, B, C, D, E, F Xét đội A, Vì A phải đấu từ đến trận nên theo nguyên lí Dirichlet ta suy Hoặc A đấu A chưa đấu với đội khác Khơng tính tổng qt, giả sử A đấu với B, C, D - Nếu B, C, D cặp chưa đấu với tốn chứng minh - Nếu B, C, D có đội đấu với nhau, ví dụ C đội A, B, C cặp đấu với Như lúc có đội cặp đấu với chưa đấu với trận Bài 13: Một đồi thông có 800 000 thơng Trên thơng có khơng q 500 000 Chứng minh có thơng có số Lời giải Ta tưởng tượng thơng "thỏ", có 800.000 "thỏ" nhốt vào không 500.000 "chiếc lồng" Lồng ứng với thơng có cây, lồng ứng với thơng có v.v Số thỏ lớn số lồng, theo ngun tắc Điriclê có lồng nhốt khơng thỏ nghĩa có thơng có số Bài 14: Một lớp học có 40 học sinh Chứng minh có học sinh có tháng sinh giống Lời giải Một năm có 12 tháng Ta phân chia 40 học sinh vào 12 tháng Nếu tháng có khơng q học sinh sinh số học sinh khơng q: 3.12 = 36mà 36 < 40: vô lý Trang 10 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Vậy tồn tháng có học sinh trùng tháng sinh ( 40 thỏ 40 học sinh, 12 lồng 12 tên tháng) Bài 15: Cho dãy số gồm số tự nhiên a1, a2, a3, a4, a5 Chứng minh tồn số chia hết cho tổng số số liên tiếp dãy cho chia hết cho Lời giải Ta thành lập dãy số gồm số sau đây: S1 = a1 S2 = a1 + a2 S3 = a1 + a2 + a3 S4 = a1 + a2 + a3 + a4 S5 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 - Nếu cách Si ( i = 1, 5) chia hết cho tốn chứng minh - Nếu khơng có số chia hết cho đem chia số Si cho số dư có giá trị từ đến Có số dư mà có giá trị (5 thỏ, lồng) Theo nguyên tắc Điriclê phải có số dư có giá trị Hiệu chúng chia hết cho Hiệu tổng liên tiếp Bài 16: Với 39 số tự nhiên liên tiếp, hỏi ta tìm số mà tổng chữ số chia hết cho 11 hay không? Lời giải Từ 20 số dãy ta tìm số mà chữ số hàng đơn vị 0, hai số phải có số có chữ số hàng chục khác Giả sử N số đó, ta gọi S tổng chữ số N Ta có dãy số N ; N + 1; N + 2; N + 9; N + 19là 11 số nằm 39 số cho trước mà tổng chữ số chúng S; S + 1; S + 2; ;S + 9; S + 10 Đó 11 số tự nhiên liên tiếp, phải có số chia hết cho 11 Bài 17: Trang 11 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Chứng minh 52 số tự nhiên tùy ý, chí có cặp gồm hai số cho tổng hiệu chúng chia hết cho 100 Lời giải Để làm xuất số "thỏ" số "lồng ta làm sau: Trong tập hợp số dư phép chia cho 100 ta lấy cặp số cho tổng cặp 100 thành lập thành nhóm sau: (0 ; 0), (1 ; 99), (2 ; 98), (3 ; 97), (4 ; 96), (5 ; 95), (6 ; 94) (49 ; 51), (50 ; 50) Chú ý có 50 cặp vậy, ta thêm vào cặp (0, 0) có 51 cặp (51 lồng) - Đem chia 52 số tự nhiên cho 100 có 52 số dư (52 thỏ) - Có 52 số dư mà có 51 nhóm, theo ngun tắc Điriclê phải có số dư rơi vào nhóm Rõ ràng cặp số tự nhiên ứng với cặp số dư hai số tự nhiên có tổng hiệu chia hết cho 100 (đpcm) Bài 18: Chứng minh 19 số tự nhiên ta ln ln tìm số mà tổng chữ số chia hết cho 10 Lời giải Trước hết ta chứng minh n số tự nhiên liên tiếp tồn số chia hết cho n (Các bạn tự chứng minh điều này) Với 19 số tự nhiên liên tiếp ln ln tồn 10 số liên tiếp có chữ số hàng chục nhau, cịn chữ số hàng đơn vị có giá trị từ đến Vì tổng chữ số số 10 số làm thành dãy số gồm có 10 số tự nhiên liên tiếp, tồn số chia hết cho 10 (đpcm) Bài 19: Một trường học có 1000 học sinh gồm 23 lớp Chứng minh phải có lớp có từ 44 học sinh trở lên Lời giải Giả sử 23 lớp lớp có khơng 43 học sinh Khi số học sinh là: 43.23 = 989 học sinh (ít 1000 – 989 = 11 học sinh) Theo ngun lí Dirichlet phải có lớp có từ 44 học sinh trở lên Trang 12 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Nhận xét: Các cháu học sinh để ý, với dạng tốn này, đề thường u cầu chứng minh có lớp, (hoặc tương tự) có học sinh Như vậy, với dạng điều quan trọng cần ra, đâu thỏ, đâu chuồng Với số 1, đọc đề xong nhìn thấy số học sinh (như số thỏ) cịn số lớp số chuồng Nhận xét thêm cách giải, thực nói áp dụng nguyên lý Dirichle, cháu thấy chứng minh nguyên lý này, việc giả sử ngược lại (phương pháp phản chứng) Để hiểu rõ hơn, tiếp tục Bài 20: Một lớp có 50 học sinh Chứng minh có học sinh có tháng sinh giống Phân tích: Đọc đề thấy có học sinh, đề yêu cầu chứng minh học sinh có tháng sinh Việc “cùng tháng sinh” hiểu “nhốt chuồng” Như vậy, chuồng tháng sinh, cịn học sinh là“thỏ”.Hướng dẫn giải Giả sử có khơng q học sinh có tháng sinh giống Một năm có 12 tháng, số học sinh lớp có khơng q: 12.4=48 (học sinh) Theo ngun lí Dirichlet phải có học sinh có tháng sinh giống Bài 21: Có sáu loại học bổng khác Hỏi phải có sinh viên để chắn có người nhận học bổng Phân tích: Bài tốn này, đề khơng u cầu chứng minh có Mà ngược lại, đề yêu cầu tìm số học sinh để thỏa mãn điều kiện có trước Bây phân tích để nhận đâu “thỏ”, đâu “chuồng” Nào ý yêu cầu đề “ít người nhận học bổng nhau”, vậy, người “thỏ” cịn loại học bổng “chuồng” Để giải toán ngược này, làm tương tự, giả sử không thỏa mãn đề bài, tức loại học bổng có tối đa người… Lời giải Giả sử loại học bổng có người => số người 5.6 = 30người Nếu ta lấy 31 người, theo nguyên lý Dirichle, tồn loại học bổng mà có người nhận Trang 13 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Nhận xét: Ta thấy 31 = 30 + 1, vậy, ta việc tìm số lớn để khơng thỏa mãn đề (chính 5×6 = 30) cộng thêm thành số nhỏ thỏa mãn đề Bài 22: Trong 45 học sinh làm kiểm tra, khơng có bị điểm 2, có học sinh điểm 10 Chứng minh tìm học sinh có điểm kiểm tra (điểm kiểm tra số tự nhiên) Phân tích: Đề cho 45 học sinh, (chính số “thỏ”) Nhưng số chuồng chưa biết xác Chúng ta cần cẩn thận với kiện “khơng có bị điểm 2, có học sinh điểm 10″ Như điểm cóthể từ 10 Nhưng có người 10 tức cịn 43 người lại điểm từ (có số – tương ứng “chuồng”) Lời giải Có 43 học sinh phân thành loại điểm (từ đến 9) Giả sử loại điểm điểm khơng q học sinh lớp học có: 5.8 = 40 học sinh, học sinh so với 43 Theo nguyên lý Dirichlet tồn học sinh có điểm kiểm tra Bài 23: Một lớp học có 50 học sinh, có học sinh thiếu nhiều tập thiếu tập Chứng minh tồn 17 học sinh thiếu số tập (trường hợp không thiếu tập coi thiếu bài) Phân tích: Bài để ý kiện: “có học sinh thiếu nhiều tập thiếu tập” Þ học sinh lại thiếu 0, 1, tập (tức có loại thiếu tập) Loại bỏ học sinh thiếu đi, lại 50 – = 49 bạn Lời giải Ngoài bạn học sinh thiếu ta 49 bạn Giả sử loại tập có 16 học sinh Số học sinh không 16.3 = 48(thiếu học sinh) Theo ngun lí Dirichlet có 17 học sinh thiếu số tập Dạng 3: Sự tương hỗ Bài 1: Có đấu thủ thi đấu cờ, người đấu trận với đấu thủ khác Chứng minh suốt thời gian thi đấu, ln tồn hai đấu thủ có số trận đấu Trang 14 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Lời giải Gọi lồng 0, 1, 2, 3, thứ tự chứa đấu thủ đấu 0, 1, 2, 3, trận Cũng ý hai lông chứa người Như có lồng, mà có người, tồn người lồng tức tồn hai đấu thủ có số trận đấu Bài 2: Cho người tùy ý CMR số có người có số người quen (hiểu A quen B B quen A) Phân tích: Chú trọng đến câu hỏi “2 người có số người quen nhau” Từ hiểu người đóng vai trị số thỏ Ta tạo lồng sau: Lời giải Gọi lồng chứa người có số người quen Gọi lồng chứa người có số người quen … Gọi lồng chứa người có số người quen Như ta có lồng Nếu lồng có chứa lồng phải trống Ngược lại lồng có chứa lồng phải trống Vậy thực chất có lồng nhốt thỏ nên có người phịng tức hai người có số người quen Bài 3: Có 10 đội bóng thi đấu với đội phải đấu trận với đội khác CMR vào lúc có hai đội đấu số trận (kể số trận đấu 0) Phân tích: Hiểu tương tự toán Lời giải Gọi A0 phịng chứa đội có số trận đấu Gọi A1 phịng chứa đội có số trận đấu …………… Gọi A9 phòng chứa đội có số trận đấu Nếu phịng A0 có đội phịng A9 khơng có đội ngược lại phịng A9 có đội phịng A0 khơng có đội Vậy thực chất có phịng sử dụng mà lại có đội nên có đội vào chung phịng hay có đội có số trận đấu Trang 15 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Bài 4: Có đội bóng thi đấu với (mỗi đội phải đấu trận với đội khác) CMR vào lúc có đội cặp đấu với chưa đấu với trận Lời giải Giả sử đội bóng A, B, C, D, E, F Xét đội A: Theo nguyên lý Điriclê ta suy ra: A phải đấu khơng đấu với đội khác Khơng tính tổng quát, giả sử A đấu với B, C, D + Nếu B, C, D cặp chưa đấu với tốn chứng minh + Nếu B, C, D có đội đấu với nhau, ví dụ B C đội A, B, C cặp đấu với Như lúc có đội cặp đấu với chưa đấu với trận Bài 5: Có 17 nhà tốn học trao đổi với vấn đề Mỗi người tra đổi với người vấn đề CMR có nhà tốn học trao đổi với vấn đề (A B, B C, C A) Phân tích: Tương tự 17 điểm nối với màu tồn tam giác với cạnh màu tức nhà toán học trao đổi với vấn đề Lời giải Một nhà toán học trao đổi với 16 nhà toán học khác vấn đề Þ Theo nguyên lý Điricle có người người trao đổi vấn đề, giả sử vấn đề I người lại trao đổi với vấn đề: + TH1: Nếu có người trao đổi vấn đề I tốn chứng minh + TH2: Nếu khơng có người trao đổi vấn đề người trao đổi vấn đề II III Một người trao đổi với người lại vấn đề II III Theo ngun lý Điricle có người người trao đổi vấn đề, giả sử vấn đề II Ba người lại tiếp tục trao đổi với nhau: + TH1: Nếu có người trao đổi với vấn đề II tốn chứng minh + TH2: Nếu khơng có người trao đổi với vấn đề II người trao đổi với vấn đề III Þ Bài tốn chứng minh Vậy ln có nhà tốn học trao đổi với vấn đề Dạng 4: Sự xếp Bài 1: Trang 16 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Cho bảng vuông x Trên 16 ô bảng, ta đặt 16 số tự nhiên từ đến 16 Chứng minh tồn hai ô kề (tức hai ô có cạnh chung ) cho hiệu số hai ô lớn Lời giải Chuyển từ sang kề gọi bước Xét hai ô ghi số số 16 chuyển từ ô ghi số đến ô ghi số 16 cần không bước chuyển (nhiều bước theo hàng ngang, bước theo hàng dọc) Tồn bước chuyển có hiệu lớn Thật giả sử tất bước chuyển nhỏ từ số 1, qua không bước chuyển tăng thêm không 12, không đạt đến số 16 Vậy tồn hai kề có hiệu số hai lớn Bài 2: Viết 16 số, số có giá trị 1, 2, 3, Ghép thành cặp số cặp số Chứng minh tồn hai cặp số mà tồng số hai cặp Lời giải Tổng hai số cặp cặp số có giá trị nhỏ là: + = 2, có giá trị lớn là: + = Như tổng nhận giá tri: (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) Theo nguyên lý Dirichlet, tồn hai tổng nhau, tức tồn hai cặp có tổng Dạng 5: Bài tốn hình học Ngun lí mở rộng sau: Nếu có m vật đặt vào n ngăn kéo m > k.n có ngăn kéo chứa k + vật Với mở rộng này, ta cịn giải thêm nhiều tốn khác Bài 1: Trong tam giác có cạnh (đơn vị độ dài, hiểu đến cuối viết) lấy 17 điểm Chứng minh 17 điểm có hai điểm mà khoảng cách chúng không vượt Lời giải Chia tam giác có cạnh thành 16 tam giác có cạnh (hình 1) Trang 17 CHUN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Vì 17 > 16, theo nguyên lí Đi-rích-lê, tồn tam giác cạnh có chứa điểm số 17 điểm cho Khoảng cách hai điểm ln khơng vượt q (đpcm) Bài 2: Trong hình vng cạnh 7, lấy 51 điểm Chứng minh có điểm 51 điểm cho nằm hình trịn có bán kính Lời giải Chia hình vng cạnh thành 25 hình vng nhau, cạnh hình vng nhỏ 5/7 (hình 2) Vì 51 điểm cho thuộc 25 hình vng nhỏ, mà 51 > 2.25 nên theo ngun lí Đi-ríchlê, có hình vng nhỏ chứa điểm (3 = + 1) số 51 điểm cho Hình vng cạnh có bán kính đường trịn ngoại tiếp là: 2 7 7     98  5  5  1 100 (đpcm) Hình trịn hình trịn bán kính 1, chứa hình vng ta Bài 3: Trong mặt phẳng cho 2003 điểm cho điểm có điểm cách khoảng không vượt Chứng minh rằng: tồn hình trịn bán kính chứa 1002 điểm Lời giải Lấy điểm A 2003 điểm cho, vẽ đường trịn C1 tâm A bán kính + Nếu tất điểm nằm hình trịn C1 hiển nhiên có đpcm + Nếu tồn điểm B mà khoảng cách A B lớn ta vẽ đường trịn C2 tâm B bán kính Khi đó, xét điểm C số 2001 điểm lại Xét điểm A, B, C, AB > nên theo giả thiết ta có AC ≤ BC ≤ Nói cách khác, điểm C phải thuộc C1 C2 => 2001 điểm khác B A phải nằm C1 C2 Theo ngun lí Đi-rích-lê ta có hình trịn chứa 1001 điểm Tính thêm tâm hình trịn hình trịn hình trịn bán kính chứa 1002 điểm 2003 điểm cho Bài 4: Trang 18 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Cho hình bình hành ABCD, kẻ 17 đường thẳng cho đường thẳng chia ABCD thành hai hình thang có tỉ số diện tích 1/3 Chứng minh rằng, 17 đường thẳng có đường thẳng đồng quy Lời giải Gọi M, Q, N, P trung điểm AB, BC, CD, DA (hình 3) Vì ABCD hình bình hành => MN // AD // BC ; PQ // AB // CD Gọi d 17 đường thẳng cho Nếu d cắt AB E ; CD F ; PQ L LP, LQ đường trung bình hình thang AEFD, EBCF Ta có: S(AEFD) / S(EBCF) = 1/3 S(EBCF) / S(EBFC) = 1/3 => LP / LQ = 1/3 LQ / LP = 1/3 Trên PQ lấy hai điểm L1, L2 thỏa mãn điều kiện L1P / L1Q = L2Q / L2P = 1/3 L trùng với L1 L trùng với L2 Nghĩa d cắt AB CD d phải qua L1 L2 Tương tự, MN lấy hai điểm K1, K2 thỏa mãn điều kiện K1M / K1N = K2N / K2M = 1/3 d cắt AD BC d phải qua K1 K2 Tóm lại, đường thẳng số 17 đường thẳng cho phải qua điểm L1 ; L2 ; K1 ; K2 Vì 17 > 4.4 nên theo ngun lí Đi-rích-lê, 17 đường thẳng có đường thẳng (5 = + 1) qua điểm L1 ; L2 ; K1 ; K2 (5 đường thẳng đồng quy, đpcm) Dạng 6: Sự trùng lặp - Học sinh thuộc nội dung nguyên lý Đọc tốn phân biệt yếu tố đóng vai trị “thỏ”, yếu tố đóng vai trị “lồng” Học sinh số thỏ, số lồng - Cách phân biệt đơn giản nhất: Số thỏ lớn số lồng Bài 1: Trong 45 học sinh làm kiểm tra khơng có bị điểm 2, có học sinh điểm 10 CMR tìm học sinh có điểm kiểm tra (điểm kiểm tra số tự nhiên từ đến 10) Phân tích: “thỏ” 43 học sinh, “lồng” loại điểm từ đến Lời giải Có 45 – = 43 (học sinh) loại điểm từ đến Do 43 : = (dư 3) Theo Ngun lý Điricle có học sinh có điểm kiểm tra Bài 2: Một trường học có 24 lớp gồm 900 học sinh Chứng minh có lớp với sĩ số 38 học sinh trở lên Trang 19 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Phân tích: Chia 900 học sinh vào 24 lớp có ý nghĩa tương tự nhốt 900 thỏ vào 24 lồng Từ áp dụng nội dung nguyên lý để giải toán: Lời giải Có 900 học sinh chia vào 24 lớp, mà 900: 24 = 37 (dư 12) Theo nguyên lý Điricle tồn lớp có từ 37 + = 38 (học sinh) trở lên Bài 3: Trong lớp học có 30 học sinh Khi viết tả em phạm 14 lỗi, em khác phạm số lỗi CMR có học sinh mắc số lỗi (kể người mắc lỗi) Phân tích: Trong tốn “thỏ” 29 học sinh (trừ em mắc 14 lỗi), “lồng” loại lỗi (gồm 14 loại: lỗi, lỗi, lỗi, …, 13 lỗi) Lời giải Có 30 học sinh em phạm 14 lỗi, số lại 29 em phạm lỗi từ đến 13 lỗi (14 loại lỗi) Do 29: 14 = (dư 1) Theo Ngun lý Điricle có em mắc số lỗi Bài 4: Trong kỳ thi tốn học có thí sinh vào chung khảo Thể lệ thi sau: Mỗi thí sinh phải giải tốn Mỗi tốn tính điểm Mỗi tốn sai không làm bị trừ điểm Hãy chứng tỏ thí sinh có thí sinh điểm Biết điểm thấp điểm Phân tích: số “thỏ” dường học sinh, “lồng” nhỉ? Ta phải đặc biệt ý đến nội dung câu hỏi “ít thí sinh điểm nhau” liên tưởng đến nội dung nguyên lý giống thỏ nhốt chung lồng Từ tìm yếu tố lồng số điểm đạt Giải Vì thí sinh phải giải tốn Mỗi tốn tính điểm Mỗi tốn sai khơng làm bị trừ điểm nên ta có trường hợp sau: Nếu số điểm là: = 20 (điểm) Nếu số điểm là: 4 - = 14 (điểm) Nếu số điểm là: – = (điểm) Nếu số điểm là: – = (điểm) Nếu không điểm Trang 20