thuvienhoclieu com thuvienhoclieu com S6 CHUYÊN ĐỀ 8 NGUYÊN LÍ DIRICHLET PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 Nội dung nguyên lí Nếu nhốt (trong đó ) con thỏ vào cái chuồng thì phải có ít nhất một chuồng chứa k[.]
thuvienhoclieu.com S6-CHUN ĐỀ NGUN LÍ DIRICHLET PHẦN I TĨM TẮT LÝ THUYẾT Nội dung nguyên lí Nếu nhốt (trong chứa khơng ) thỏ vào chuồng phải có chuồng thỏ Chứng minh Giả sử ngược lại chuồng chứa khơng q q thỏ tổng số thỏ nhốt thỏ :Mâu thuẫn với giả thiết số thỏ khơng chuồng khơng Vậy phải có chuồng chứa thỏ Nhận xét Bản thân nguyên li Dirichlet đơn giản dễ hiểu, nhiên việc ứng dụng nguyên lí lại không đơn giản Vấn đề phát “chất Dirichlet “ toán , dạng tốn sau xác định đâu chuồng đâu thỏ.Có trường hợp chuồng thỏ gần có sẵn, có trường hợp phải “xây chuồng , tạo thỏ” PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: Toán chia hết Khi chia số chia cho số ln có khả số dư 0,1,…., số khác ta có số dư (“ có hai phép chia có số dư.Giả sử hai số bị chia hai phép chia ) Ta có ( (“m chuồng “).Do vậy, thỏ”) ln (với Bài 1: Chứng minh tìm số có dạng chia hết cho 2012 Lời giải Xét dãy số : Khi chia số hạng dãy cho 2012 có hai phép chia có số dư Giả sử hai số hạng dãy hai phép chia Hiệu ( với chia hết cho 2012 hay (đpcm) thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Nhận xét: Phương pháp để giải dạng toán tạo dãy số (theo cấu tạo số) từ yêu cầu toán (“tạo thỏ”) Sau áp dụng ngun lí Dirichlet cho số hạng dãy số (mỗi số hạng thay cho “thỏ”, 2012 số “chuồng”) Bài 2: Cho dãy số tự nhiên Chứng minh tồn số hạng chia hết cho tổng số hạng liên tiếp dãy chia hết cho Lời giải Xét dãy số Khi chia số hạng dãy cho Có phép chia hết , chẳng hạn : xảy hai trường hợp sau : , ta có điều phải chứng minh : Khơng có phép chia hết Khi tồn hai phép chia có số dư , chẳng hạn chia cho ( vơi ) , ta có điều phải chứng minh Nhận xét: Phương pháp “tạo thỏ “ ví dụ dựa vào phép toán cộng yêu cầu tính liên tiếp số hạng dãy ban đầu đề Bài 3: Cho bốn số tự nhiên phân biệt Chứng minh rằng: Lời giải Chia bốn số phân biệt cho có hai phép chia có số dư hiệu hai số bị chia chia hết cho tồn hiệu hai số bốn số chia hết cho Do P chia hết cho (1) Trong bốn số có hai số có số dư chia cho P chia hết cho 4;trái lại , chia bốn số cho có đủ bốn trường hợp số dư 0,1,2,3 trong bốn số lẻ, giả sử chẵn lẻ có hai số chẵn , hai số Do P chia hết cho (2) Từ (1),(2) (3,4)=1 suy (đpcm) Bài 3: thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Chứng minh 19 số tự nhiên liên tiếp ta ln tìm số có tổng chữ số chia hết cho 10 Lời giải Trong 19 số tự nhiên liên tiếp tồn 10 số tự nhiên liên tiếp có chữ số hàng chục giống , kí hiệu chữ số hàng chục (các chữ số hàng trăm, hàng nghìn, ….(nếu có ) giống nhau), chữ số hàng đơn vị dãy 0;1;2;3;…;9 Do tổng chữ số số dãy 10 số tự nhiên liên tiếp, tồn số có tổng chữ số chia hết cho 10 Bài 4: Cho 12 số tự nhiên khác có hai chữ số Chứng minh khơng tồn hai số có hiệu số có hai chữ số Lời giải Có 12 số tự nhiên khác nhau, mà có 11 số dư phép chia cho 11, tồn hai số có số dư phép chia cho 11 Hiệu chúng số chia hết cho 11, số có hai chữ số Bài 5: Chứng minh 11 số tự nhiên tồn số có hiệu chia hết cho 10 Lời giải Với 11 số tự nhiên chia cho 10 ta 11 số dư, mà số tự nhiên chia cho 10 có 10 khả dư ; ; ; ; ; Vì có 11 số dư mà có 10 khả dư, theo nguyên lí Đi-rích-lê, tồn số chia cho 10 có số dư hiệu chúng chia hết cho 10 (đpcm) Bài 6: Chứng minh tồn số có dạng 19941994 199400 chia hết cho 1995 Lời giải Ta có 19941994 199400 = 19941994 1994 100 Xét 1995 số có dạng: 1994 ; 19941994 ; ; +) Nếu số chia hết cho 1995 dễ dàng có điều phải chứng minh +) Nếu số không chia hết cho 1995 chia số cho 1995 có 1994 khả dư ; ; ; ; 1994 Vì có 1995 số dư mà có 1994 khả dư, theo ngun lí Đi-rích-lê tồn số chia cho 1995 có số dư, hiệu chúng chia hết cho 1995 Khi 1994 199400 chia hết cho 1995 (đpcm) Bài 7: Chứng minh tồn số tự nhiên k cho (1999^k - 1) chia hết cho104 Lời giải thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Xét 104 số có dạng: 1999^1 ; 1999^2 ; ; 1999^104 Lấy tất cả các số chia cho 104 sẽ chỉ có 103 khả dư là ; ; ; ; 103 (chú ý: sẽ không có số dư vì 1999 và 104 là hai số nguyên tố cùng nên 1999 mũ cũng không chia hết cho 104) Mà dãy số có 104 số nên sẽ có ít nhất hai số chia cho 104 có cùng số dư Gọi hai số có cùng số dư chia cho 104 là 1999^a và 1999^b (với a > b) Ta có: 1999^a - 1999^b ⋮ 104 => 1999^b[1999^(a-b) – 1] ⋮ 104 Mà UCLN(1999^b, 104) là (vì là hai số nguyên tố cùng nhau) nên 1999^(a-b) – ⋮ 104 Đặt k = a – b, ta có 1999^k – ⋮ 104 (đpcm) Bài 8: Chứng minh tồn số viết hai chữ số chia hết cho 2003 Lời giải Xét 2003 số có dạng ; 11 ; 111 ; ; +) Nếu có một số chia hết cho 2003 thì ta được sô 11 1100 00 ⋮ 2003 (đpcm) +) Nếu không có một số nào chia hêt cho 2003 thì sẽ có 2002 khả dư là ; ; ; ; 2002 Mà dãy số có 2003 số hạng nên sẽ có ít nhất hai số chia cho 2003 có cùng số dư Gọi hai số có cùng số dư chia cho 2003 là Khi đó - = và (với n > m) ⋮ 2003 (đpcm) Dạng 2: Tốn suy luận Bài 1: Có 10 đội bóng thi đấu với vòng tròn lượt , đội phải đấu trận với đội khác Chứng minh vào lúc có hai đội đấu số trận Lời giải Rõ ràng 10 đội bóng có đội chưa đấu trận đội cịn lại khơng có đội thi đấu trận Như đội có số trận đấu từ đến từ đến Vậy theo ngun lí Dirichlet phải có hai đội có số trận đấu Bài 2: Trong 45 học sinh làm kiểm tra khơng có bị điểm có học sinh điểm 10 Chứng minh tìm học sinh có điểm kiểm tra ( điểm kiểm tra số tự nhiên từ đến 10) Lời giải Số học sinh có điểm kiểm tra từ đến : 45 – =43 thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Ta có : 43 = 8.5 + Như , phân chia 43 học sinh vào loại điểm kiểm tra ( từ đến ) theo ngun lí Dirichlet ln tồn + = học sinh có điểm kiểm tra giống (đpcm) Bài 3: Có 17 nhà Tốn học viết thư cho trao đổi vấn đề khoa học , người trao đổi với 16 người lại cặp người trao đổi với vấn đề Chứng minh có nhà Toán học trao đổi với vấn đề Lời giải Gọi A nhà Toán học 17 nhà Tốn học A phải trao đổi với 16 người lại vấn đề khoa học ( kí hiệu vấn đề I,II,III) Vì 16 = 3.5 + nên A phải trao đổi với + = nhà Toán học khác vấn đề ( theo ngun lí Dirichlet) Gọi nhà Tốn học trao đổi với A vấn đề (chẳng hạn vấn đề 1) Ta thấy nhà Toán học lại trao đổi với vấn đề nên có hai khả xảy ra: 1) Nếu có nhà Tốn học trao đổi với vấn đề I với A có nhà Tốn học trao đổi vấn đề I 2) Nếu khơng có nhà Tốn học trao đổi với vấn đề I , nhà Tốn học trao đổi với vấn đề II III.Theo ngun lí Dirichlet , có nhà Tốn học trao đổi với vấn đề ( II III) Vậy ln có nhà Toán học trao đổi với vấn đề Nhận xét: Trong ví dụ ta phải phân chia toán thành hai lớp sử dụng hai lần nguyên lí Dirichlet : Lần thứ với 16 thỏ chuồng ; lần thứ hai với thỏ chuồng Bài 4: Chứng minh tồn số tự nhiên gồm toàn chữ số chia hết cho 2013 Lời giải Xét 2014 có dạng 1,11,111,…., Theo ngun lý Dirichlet tồn hai số có số dư chia cho 2013 Giả sử hai số Khi Vì , với n>k nên số chia hết cho 2013 Bài 5: thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Cho số tự nhiên phân biệt Xét tích Chứng minh Lời giải Ta có Chứng minh Xét số : Ta thấy tồn hai số có số dư chia cho 3, giả sử Lại xét Do => số lại tồn số có số dư chia cho 3, giả sử => (1) Chứng minh Trong số cho có số tính chẵn lẻ Nếu có số chẵn, số lẻ, chẳng hạn : , , , , Khi đó: Trong số có số tính chẵn lẻ, chẳng hạn , Vậy Nếu có số lẻ, số chẵn chứng minh tương tự ta có Vậy trường hợp ta có Từ (1), (2) (9,32)=1 suy (2) hay (đpcm) Bài 6: Chứng minh số thuộc tập hợp ln tìm hai số mà số bội số Lời giải Viết n+1 số lấy dạng Ta có: số m, n cho số lẻ, Mặt khác khoảng từ đến 2n-1 có n số lẻ nên tồn hai Khi đó, hai số có số bội số (đpcm) thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Bài 7: Xét 100 số tự nhiên có tổng 200 Chứng minh 100 số ln tồn vài số có tổng 100 Lời giải Nếu Nếu ta chọn 50 số có tổng 100 ta lập dãy sau ( số hạng có giá trị từ đến 199) - Nếu tồn số hang dãy chia hết cho 100 số hạng 100 - Nếu khơng có số hạng chia hết cho 100 100 số chia cho 100 có hai số hạng có số dư Hiệu chúng cho ta tổng cần tìm Bài 8: Cho 69 số tự nhiên khác phân biệt không vượt 100 Chứng minh chọnđược số 69 số thỏa mãn tổng ba số số lại Lời giải Giả sử 69 số cho Khi Xét hai dãy sau: Từ (1) (2) ta có 134 số hạng có giá trị từ đến 132, suy có số số thuộc dãy, chẳng hạn: (với mà tức ta tìm số với (đpcm) Bài 9: Chứng minh 39 số tự nhiên liên tiếp ln có số có tổng cácchữ số chia hết cho 11 Lời giải Giả sử 39 số tự nhiên liên tiếp Trong 20 số hạng dãy có hai số tận có số (trong hai số này) có chữ số đứng trước số tận khác Gọi số N Xét số thuộc 39 số cho Khi đó: với thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com (kí hiệu S(a) tổng chữ số a) Trong 11 số tự nhiên liên tiếp 11, chẳng hạn: Vậy ln có số chia hết cho với số thỏa mãn Bài 10: Cho 15 số tự nhiên phân biệt, khác 0, không lớn 28 Chứng minh 15 số ln tìm số mà số tổng hai số lại cặp số mà số gấp đôi số Lời giải Gọi 15 số tự nhiên xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn : Xét dãy số: Các số hạng dãy số có giá trị từ đến 27 đôi khác Dãy số có 29 số hạng nhận 28 giá trị khác (từ đến 28) Theo nguyên lí Dirichlet, tồn hai số nhau, chẳng hạn: Hay - Nếu n = - Nếu số Vậy ta việc chọn số phân biệt số thỏa mãn yêu cầu đề Bài 11: Chọn người Chứng minh có người có số người quen người Lời giải Mỗi người số người có khả số người quen (từ đến 4) Ta xét hai trường hợp sau: Nếu có người khơng quen số người cịn lại rõ ràng khơng có quen người Như vậy, người mà có khả số người quen (từ đến 3) nên theo ngun lí Dirichlet có hai người có số người quen Nếu người có người quen Khi người mà có khả số người quen (từ đến 4), theo nguyên lí Dirichlet có hai người có số người quen Bài 12: Có đội bóng thi đấu với vòng tròn lượt, đội đấu trận với đội khác Chứng minh vào thời điểm có ba đội cặp đấu với chưa đấu với trận thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Lời giải Giả sử đội bóng đá A, B, C, D, E, F Xét đội A, Vì A phải đấu từ đến trận nên theo nguyên lí Dirichlet ta suy Hoặc A đấu A chưa đấu với đội khác Khơng tính tổng quát, giả sử A đấu với B, C, D - Nếu B, C, D cặp chưa đấu với tốn chứng minh - Nếu B, C, D có đội đấu với nhau, ví dụ C đội A, B, C cặp đấu với Như lúc có đội cặp đấu với chưa đấu với trận Bài 13: Một đồi thơng có thơng Trên thơng có khơng q Chứng minh có thơng có số Lời giải Ta tưởng tượng thông "thỏ", có 800.000 "thỏ" nhốt vào khơng q 500.000 "chiếc lồng" Lồng ứng với thơng có cây, lồng ứng với thông có v.v Số thỏ lớn số lồng, theo nguyên tắc Điriclê có lồng nhốt khơng thỏ nghĩa có thơng có số Bài 14: Một lớp học có 40 học sinh Chứng minh có học sinh có tháng sinh giống Lời giải Một năm có 12 tháng Ta phân chia 40 học sinh vào 12 tháng Nếu tháng có khơng q học sinh sinh số học sinh khơng q: mà : vơ lý Vậy tồn tháng có học sinh trùng tháng sinh ( 40 thỏ 40 học sinh, 12 lồng 12 tên tháng) Bài 15: Cho dãy số gồm số tự nhiên Chứng minh tồn số chia hết cho tổng số số liên tiếp dãy cho chia hết cho Lời giải Ta thành lập dãy số gồm số sau đây: thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com - Nếu cách chia hết cho tốn chứng minh - Nếu khơng có số chia hết cho đem chia số Si cho số dư có giá trị từ đến Có số dư mà có giá trị (5 thỏ, lồng) Theo ngun tắc Điriclê phải có số dư có giá trị Hiệu chúng chia hết cho Hiệu tổng liên tiếp Bài 16: Với 39 số tự nhiên liên tiếp, hỏi ta tìm số mà tổng chữ số chia hết cho 11 hay khơng? Lời giải Từ 20 số dãy ta tìm số mà chữ số hàng đơn vị 0, hai số phải có số có chữ số hàng chục khác Giả sử N số đó, ta gọi S tổng chữ số N Ta có dãy số 11 số nằm 39 số cho trước mà tổng chữ số chúng Đó 11 số tự nhiên liên tiếp, phải có số chia hết cho 11 Bài 17: Chứng minh 52 số tự nhiên tùy ý, chí có cặp gồm hai số cho tổng hiệu chúng chia hết cho 100 Lời giải Để làm xuất số "thỏ" số "lồng ta làm sau: Trong tập hợp số dư phép chia cho 100 ta lấy cặp số cho tổng cặp 100 thành lập thành nhóm sau: (0 ; 0), (1 ; 99), (2 ; 98), (3 ; 97), (4 ; 96), (5 ; 95), (6 ; 94) (49 ; 51), (50 ; 50) Chú ý có 50 cặp vậy, ta thêm vào cặp (0, 0) có 51 cặp (51 lồng) - Đem chia 52 số tự nhiên cho 100 có 52 số dư (52 thỏ) - Có 52 số dư mà có 51 nhóm, theo nguyên tắc Điriclê phải có số dư rơi vào nhóm Rõ ràng cặp số tự nhiên ứng với cặp số dư hai số tự nhiên có tổng hiệu chia hết cho 100 (đpcm) Bài 18: Chứng minh 19 số tự nhiên ta ln ln tìm số mà tổng chữ số chia hết cho 10 Lời giải thuvienhoclieu.com Trang 10 thuvienhoclieu.com Trước hết ta chứng minh n số tự nhiên liên tiếp tồn số chia hết cho n (Các bạn tự chứng minh điều này) Với 19 số tự nhiên liên tiếp ln ln tồn 10 số liên tiếp có chữ số hàng chục nhau, chữ số hàng đơn vị có giá trị từ đến Vì tổng chữ số số 10 số làm thành dãy số gồm có 10 số tự nhiên liên tiếp, tồn số chia hết cho 10 (đpcm) Bài 19: Một trường học có 1000 học sinh gồm 23 lớp Chứng minh rằng phải có ít nhất một lớp có từ 44 học sinh trở lên Lời giải Giả sử 23 lớp mỗi lớp có không quá 43 học sinh Khi đó số học sinh là: học sinh (ít học sinh) Theo nguyên lí Dirichlet phải có ít nhất một lớp có từ 44 học sinh trở lên Nhận xét: Các cháu học sinh để ý, với dạng toán này, đề bài thường yêu cầu chứng minh có ít nhất lớp, (hoặc tương tự) có ít nhất học sinh Như vậy, với dạng này điều quan trọng là chúng ta cần chỉ ra, đâu là thỏ, đâu là chuồng Với bài số 1, đọc đề xong cái là nhìn thấy số học sinh (như là số thỏ) còn số lớp chính là số chuồng Nhận xét thêm về cách giải, thực nói là áp dụng nguyên lý Dirichle, các cháu có thể thấy chúng ta chứng minh nguyên lý này, bằng việc giả sử ngược lại (phương pháp phản chứng) Để hiểu rõ hơn, chúng ta tiếp tục bài Bài 20: Một lớp có 50 học sinh Chứng minh rằng có ít nhất học sinh có tháng sinh giống Phân tích: Đọc đề chúng ta thấy có học sinh, đề bài yêu cầu chứng minh học sinh có cùng tháng sinh Việc “cùng tháng sinh” ở có thể hiểu “nhốt cùng chuồng” Như vậy, chuồng ở chính là tháng sinh, còn học sinh là“thỏ”.Hướng dẫn giải Giả sử có không quá học sinh có tháng sinh giống Một năm có 12 tháng, đó số học sinh của lớp có không quá: 12.4=48 (học sinh) Theo nguyên lí Dirichlet phải có ít nhất học sinh có tháng sinh giớng Bài 21: Có sáu loại học bổng khác Hỏi phải có sinh viên để chắn có người nhận học bổng Phân tích: thuvienhoclieu.com Trang 11 thuvienhoclieu.com Bài toán này, đề bài không yêu cầu chúng ta chứng minh có ít nhất gì đấy một gì đấy nữa Mà ngược lại, đề bài yêu cầu chúng ta tìm ít nhất số học sinh để thỏa mãn điều kiện có ít nhất các bài trước Bây giờ chúng ta phân tích để nhận đâu là “thỏ”, đâu là “chuồng” nhé Nào hãy chú ý yêu cầu đề bài “ít nhất người cùng nhận học bổng nhau”, vậy, người ở chính là “thỏ” còn loại học bổng chính là “chuồng” Để giải bài toán ngược này, chúng ta cũng làm tương tự, giả sử không thỏa mãn đề bài, tức mỗi loại học bổng chỉ có tối đa người… Lời giải Giả sử mỗi loại học bổng chỉ có người => số người là người Nếu ta lấy 31 người, đó theo nguyên lý Dirichle, tồn tại loại học bổng mà có ít nhất người nhận Nhận xét: Ta thấy 31 = 30 + 1, vậy, ta chỉ việc tìm số lớn nhất để không thỏa mãn đề bài (chính là 5×6 = 30) cợng thêm sẽ thành số nhỏ nhất thỏa mãn đề bài Bài 22: Trong 45 học sinh làm bài kiểm tra, không có bị điểm dưới 2, chỉ có học sinh được điểm 10 Chứng minh rằng ít nhất cũng tìm được học sinh có điểm kiểm tra bằng (điểm kiểm tra là một số tự nhiên) Phân tích: Đề bài cho 45 học sinh, (chính là số “thỏ”) Nhưng số chuồng thì chúng ta chưa biết chính xác Chúng ta cần cẩn thận với các dữ kiện “không có bị điểm dưới 2, chỉ có học sinh được điểm 10″ Như vậy các điểm chỉ cóthể từ cho đến 10 Nhưng chỉ có người được 10 tức là còn 43 người còn lại chỉ được điểm từ cho đến (có số – tương ứng “chuồng”) Lời giải Có 43 học sinh phân thành loại điểm (từ đến 9) Giả sử loại điểm đều là điểm của không quá học sinh thì lớp học có: học sinh, ít học sinh so với 43 Theo nguyên lý Dirichlet tồn tại học sinh có điểm kiểm tra bằng Bài 23: Một lớp học có 50 học sinh, có nhất một học sinh thiếu nhiều bài tập nhất là thiếu bài tập Chứng minh rằng tồn tại 17 học sinh thiếu số bài tập (trường hợp không thiếu bài tập coi thiếu bài) Phân tích: Bài này chúng ta để ý dữ kiện: “có nhất một học sinh thiếu nhiều bài tập nhất là thiếu bài tập” các học sinh còn lại chỉ thiếu 0, 1, hoặc bài tập (tức là có loại thiếu bài tập) Loại bỏ học sinh nhất thiếu bài đi, còn lại 50 – = 49 bạn Lời giải Ngoài bạn học sinh nhất thiếu bài ta còn 49 bạn thuvienhoclieu.com Trang 12 Giả sử mỗi loại bài tập có 16 học sinh Số học sinh không quá thuvienhoclieu.com (thiếu học sinh) Theo nguyên lí Dirichlet có ít nhất 17 học sinh thiếu một số bài tập Dạng 3: Sự tương hỗ Bài 1: Có đấu thủ thi đấu cờ, người đấu trận với đấu thủ khác Chứng minh suốt thời gian thi đấu, ln tồn hai đấu thủ có số trận đấu Lời giải Gọi lồng 0, 1, 2, 3, thứ tự chứa đấu thủ đấu 0, 1, 2, 3, trận Cũng ý hai lông chứa người Như có lồng, mà có người, tồn người lồng tức tồn hai đấu thủ có số trận đấu Bài 2: Cho người tùy ý CMR số có người có số người quen (hiểu A quen B B quen A) Phân tích: Chú trọng đến câu hỏi “2 người có số người quen như nhau” Từ hiểu người đóng vai trị số thỏ Ta tạo lồng sau: Lời giải Gọi lồng chứa người có số người quen Gọi lồng chứa người có số người quen … Gọi lồng chứa người có số người quen Như ta có lồng Nếu lồng có chứa lồng phải trống Ngược lại lồng có chứa lồng phải trống Vậy thực chất có lồng nhốt thỏ nên có người phòng tức hai người có số người quen Bài 3: Có 10 đội bóng thi đấu với đội phải đấu trận với đội khác CMR vào lúc có hai đội đấu số trận (kể số trận đấu 0) Phân tích: Hiểu tương tự tốn Lời giải Gọi A0 là phịng chứa đội có số trận đấu Gọi A1 là phòng chứa đội có số trận đấu …………… Gọi A9 là phịng chứa đội có số trận đấu thuvienhoclieu.com Trang 13 thuvienhoclieu.com Nếu phịng A0 có đội phịng A9 khơng có đội ngược lại phịng A9 có đội phịng A0 khơng có đội Vậy thực chất có phịng sử dụng mà lại có đội nên có đội vào chung phịng hay có đội có số trận đấu Bài 4: Có đội bóng thi đấu với (mỗi đội phải đấu trận với đội khác) CMR vào lúc có đội cặp đấu với chưa đấu với trận Lời giải Giả sử đội bóng A, B, C, D, E, F Xét đội A: Theo nguyên lý Điriclê ta suy ra: A phải đấu khơng đấu với đội khác Khơng tính tổng qt, giả sử A đấu với B, C, D + Nếu B, C, D cặp chưa đấu với tốn chứng minh + Nếu B, C, D có đội đấu với nhau, ví dụ B C đội A, B, C cặp đấu với Như lúc có đội cặp đấu với chưa đấu với trận Bài 5: Có 17 nhà toán học trao đổi với vấn đề Mỗi người tra đổi với người vấn đề CMR có nhà tốn học trao đổi với vấn đề (A B, B C, C A) Phân tích: Tương tự 17 điểm nối với màu à luôn tồn tam giác với cạnh màu tức nhà toán học trao đổi với vấn đề Lời giải Một nhà toán học trao đổi với 16 nhà toán học khác vấn đề Þ Theo nguyên lý Điricle có người người trao đổi vấn đề, giả sử vấn đề I người lại trao đổi với vấn đề: + TH1: Nếu có người trao đổi vấn đề I tốn chứng minh + TH2: Nếu khơng có người trao đổi vấn đề người trao đổi vấn đề II III Một người trao đổi với người lại vấn đề II III Theo ngun lý Điricle có người người trao đổi vấn đề, giả sử vấn đề II Ba người lại tiếp tục trao đổi với nhau: + TH1: Nếu có người trao đổi với vấn đề II tốn chứng minh + TH2: Nếu khơng có người trao đổi với vấn đề II người trao đổi với vấn đề III Þ Bài tốn chứng minh Vậy ln có nhà tốn học trao đổi với vấn đề Dạng 4: Sự xếp Bài 1: thuvienhoclieu.com Trang 14 thuvienhoclieu.com Cho bảng vuông x Trên 16 ô bảng, ta đặt 16 số tự nhiên từ đến 16 Chứng minh tồn hai ô kề (tức hai có cạnh chung ) cho hiệu số hai lớn Lời giải Chuyển từ sang ô kề gọi bước Xét hai ô ghi số số 16 chuyển từ ô ghi số đến ô ghi số 16 cần không bước chuyển (nhiều bước theo hàng ngang, bước theo hàng dọc) Tồn bước chuyển có hiệu lớn Thật giả sử tất bước chuyển nhỏ từ số 1, qua khơng bước chuyển tăng thêm không 12, không đạt đến số 16 Vậy tồn hai ô kề có hiệu số hai lớn Bài 2: Viết 16 số, số có giá trị 1, 2, 3, Ghép thành cặp số cặp số Chứng minh tồn hai cặp số mà tồng số hai cặp Lời giải Tổng hai số cặp cặp số có giá trị nhỏ là: + = 2, có giá trị lớn là: + = Như tổng nhận giá tri: (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) Theo nguyên lý Dirichlet, tồn hai tổng nhau, tức tồn hai cặp có tổng Dạng 5: Bài tốn hình học Ngun lí mở rộng sau: Nếu có m vật đặt vào n ngăn kéo m > k.n có ngăn kéo chứa k + vật Với mở rộng này, ta cịn giải thêm nhiều toán khác Bài 1: Trong tam giác có cạnh (đơn vị độ dài, hiểu đến cuối viết) lấy 17 điểm Chứng minh 17 điểm có hai điểm mà khoảng cách chúng không vượt Lời giải Chia tam giác có cạnh thành 16 tam giác có cạnh (hình 1) Vì 17 > 16, theo ngun lí Đi-rích-lê, tồn tam giác cạnh có chứa điểm số 17 điểm cho Khoảng cách hai điểm ln khơng vượt q (đpcm) Bài 2: Trong hình vuông cạnh 7, lấy 51 điểm Chứng minh có điểm 51 điểm cho nằm hình trịn có bán kính thuvienhoclieu.com Trang 15 thuvienhoclieu.com Lời giải Chia hình vng cạnh thành 25 hình vng nhau, cạnh hình vng nhỏ 5/7 (hình 2) Vì 51 điểm cho thuộc 25 hình vng nhỏ, mà 51 > 2.25 nên theo ngun lí Đi-ríchlê, có hình vng nhỏ chứa điểm (3 = + 1) số 51 điểm cho Hình vng cạnh có bán kính đường trịn ngoại tiếp là: (đpcm) Hình trịn hình trịn bán kính 1, chứa hình vng ta Bài 3: Trong mặt phẳng cho 2003 điểm cho điểm có điểm cách khoảng không vượt Chứng minh rằng: tồn hình trịn bán kính chứa 1002 điểm Lời giải Lấy điểm A 2003 điểm cho, vẽ đường trịn C1 tâm A bán kính + Nếu tất điểm nằm hình trịn C1 hiển nhiên có đpcm + Nếu tồn điểm B mà khoảng cách A B lớn ta vẽ đường trịn C2 tâm B bán kính Khi đó, xét điểm C số 2001 điểm cịn lại Xét điểm A, B, C, AB > nên theo giả thiết ta có AC ≤ BC ≤ Nói cách khác, điểm C phải thuộc C1 C2 => 2001 điểm khác B A phải nằm C1 C2 Theo nguyên lí Đi-rích-lê ta có hình trịn chứa 1001 điểm Tính thêm tâm hình trịn hình trịn hình trịn bán kính chứa 1002 điểm 2003 điểm cho Bài 4: Cho hình bình hành ABCD, kẻ 17 đường thẳng cho đường thẳng chia ABCD thành hai hình thang có tỉ số diện tích 1/3 Chứng minh rằng, 17 đường thẳng có đường thẳng đồng quy Lời giải Gọi M, Q, N, P trung điểm AB, BC, CD, DA (hình 3) Vì ABCD hình bình hành => MN // AD // BC ; PQ // AB // CD Gọi d 17 đường thẳng cho Nếu d cắt AB E ; CD F ; PQ L LP, LQ đường trung bình hình thang AEFD, EBCF Ta có: S(AEFD) / S(EBCF) = 1/3 S(EBCF) / S(EBFC) = 1/3 => LP / LQ = 1/3 LQ / LP = 1/3 thuvienhoclieu.com Trang 16 thuvienhoclieu.com Trên PQ lấy hai điểm L1, L2 thỏa mãn điều kiện L1P / L1Q = L2Q / L2P = 1/3 L trùng với L1 L trùng với L2 Nghĩa d cắt AB CD d phải qua L1 L2 Tương tự, MN lấy hai điểm K1, K2 thỏa mãn điều kiện K1M / K1N = K2N / K2M = 1/3 d cắt AD BC d phải qua K1 K2 Tóm lại, đường thẳng số 17 đường thẳng cho phải qua điểm L1 ; L2 ; K1 ; K2 Vì 17 > 4.4 nên theo nguyên lí Đi-rích-lê, 17 đường thẳng có đường thẳng (5 = + 1) qua điểm L1 ; L2 ; K1 ; K2 (5 đường thẳng đồng quy, đpcm) Dạng 6: Sự trùng lặp - Học sinh thuộc nội dung nguyên lý Đọc toán phân biệt yếu tố đóng vai trị “thỏ”, yếu tố đóng vai trị “lồng” Học sinh số thỏ, số lồng - Cách phân biệt đơn giản nhất: Số thỏ lớn số lồng Bài 1: Trong 45 học sinh làm kiểm tra khơng có bị điểm 2, có học sinh điểm 10 CMR tìm học sinh có điểm kiểm tra (điểm kiểm tra số tự nhiên từ đến 10) Phân tích: “thỏ” 43 học sinh, “lồng” loại điểm từ đến Lời giải Có 45 – = 43 (học sinh) loại điểm từ đến Do 43 : = (dư 3) Theo Nguyên lý Điricle có học sinh có điểm kiểm tra Bài 2: Một trường học có 24 lớp gồm 900 học sinh Chứng minh có lớp với sĩ số 38 học sinh trở lên Phân tích: Chia 900 học sinh vào 24 lớp có ý nghĩa tương tự nhốt 900 thỏ vào 24 lồng Từ áp dụng nội dung ngun lý để giải tốn: Lời giải Có 900 học sinh chia vào 24 lớp, mà 900: 24 = 37 (dư 12) Theo nguyên lý Điricle tồn lớp có từ 37 + = 38 (học sinh) trở lên Bài 3: Trong lớp học có 30 học sinh Khi viết tả em phạm 14 lỗi, em khác phạm số lỗi CMR có học sinh mắc số lỗi (kể người mắc lỗi) Phân tích: Trong tốn “thỏ” 29 học sinh (trừ em mắc 14 lỗi), “lồng” loại lỗi (gồm 14 loại: lỗi, lỗi, lỗi, …, 13 lỗi) Lời giải Có 30 học sinh em phạm 14 lỗi, số cịn lại 29 em phạm lỗi từ đến 13 lỗi (14 loại lỗi) Do 29: 14 = (dư 1) Theo Ngun lý Điricle có em mắc số lỗi thuvienhoclieu.com Trang 17 thuvienhoclieu.com Bài 4: Trong kỳ thi tốn học có thí sinh vào chung khảo Thể lệ thi sau: Mỗi thí sinh phải giải tốn Mỗi tốn tính điểm Mỗi tốn sai khơng làm bị trừ điểm Hãy chứng tỏ thí sinh có thí sinh điểm Biết điểm thấp điểm Phân tích: số “thỏ” dường học sinh, “lồng” nhỉ? Ta phải đặc biệt ý đến nội dung câu hỏi “ít thí sinh bằng điểm nhau” và liên tưởng đến nội dung ngun lý nó giống như 2 thỏ nhốt chung một lồng Từ tìm yếu tố lồng ở số điểm đạt Giải Vì thí sinh phải giải tốn Mỗi tốn tính điểm Mỗi tốn sai không làm bị trừ điểm nên ta có trường hợp sau: Nếu số điểm là: = 20 (điểm) Nếu số điểm là: 4 - = 14 (điểm) Nếu số điểm là: – = (điểm) Nếu số điểm là: – = (điểm) Nếu khơng điểm Như có thí sinh dự thi có loại điểm nên theo nguyên lý Điricle có thí sinh điểm PHẦN III.BÀI TOÁN TRONG ĐỀ THI HSG6 Bài 1: Trong phịng họp có n người, tìm người có số người quen số người dự họp Phân tích: Phòng họp có n người, có thể coi là n “thỏ” rồi này Bây giờ chúng ta xác định đâu là “chuồng” Hãy đọc kỹ đề bài yêu cầu gì, chúng ta sẽ nhìn “chuồng” “tìm được người có số người quen số những người dự họp là nhau” => số người quen giống nhau, hay chính là nhốt cùng “chuồng” Như vậy, số người quen chính là số “chuồng” Ta thấy người có thể quen với người, người, ….hoặc nhiều nhất là n-1 người cuộc họp… Lời giải Số người quen người phòng họp nhận giá trị từ đến Rõ ràng phịng khơng thể đồng thời có người có số người quen (tức khơng quen ai) có người có số người quen (tức quen tất cả) Vì theo số lượng người quen, ta phân n người thành nhóm Vậy theo ngun lí Dirichlet tồn tai nhóm có người, tức ln tìm người có số người quen thuvienhoclieu.com Trang 18 Bài 2: thuvienhoclieu.com Trong lưới vng kích thước 5.5, người ta điền ngẫu nhiên vào ô giá trị 0,1 2, sau tính tổng tất ô theo hàng ; theo cột theo hai đường chéo Chứng minh tồn hai tổng có giá trị Phân tích: Hãy đọc kỹ đề bài yêu cầu, chúng ta sẽ thấy “thỏ” và “chuồng” “Tồn tại ít nhất tổng có giá trị bằng nhau” thỏ chính là tổng (hàng ngang, dọc, chéo), còn giá trị chính là “chuồng” Vấn đề của chúng ta là chúng ta cần tìm các giá trị có thể của tổng Ta thấy một tổng ô sẽ có giá trị nhỏ nhất là 0, lớn nhất là 10 Lời giải Gọi tổng S1,S2, S12 Có tất 12 tổng Ta nhận thấy tổng nhận giá trị {0, 1, 2…., 9, 10} Có tất 11 giá trị khác Từ đó, theo nguyên lý Dirichlet ta suy điều cần chứng minh Bài 3: Giả sử nhóm người cặp hai bạn thù Chứng tỏ nhóm có ba người bạn lẫn có ba người kẻ thù lẫn Lời giải Gọi A người Trong số người nhóm có ba người bạn A có ba người kẻ thù A, điều suy từ ngun lí Dirichlet, người khác bạn thù A Trong trường hợp đầu ta gọi B,C,D bạn A ba người có hai người bạn họ với A lập thành ba người bạn lẫn nhau, ngược lại, tức ba người B,C,D khơng có bạn chứng tỏ họ ba người thù lẫn Tương tự chứng minh trường hợp có ba người kẻ thù A (ĐPCM) Bài 4: Có đấu thủ thi đấu cờ, người đấu trận với đấu thủ khác Chứng minh suốt thời gian thi đấu, tồn hai đấu thủ có số trận đấu Lời giải Ta có số trận đấu người 0,1,2,3,4 Nhưng khơng thể có lúc người đấu trận người chưa đấu trận nào, nên có tối đa loại số trận đấu Vận dụng nguyên lý Dirichlet ta có có người có số trận đấu Bài 5: Có học sinh làm một bài thi gồm câu hỏi Nếu trả lời đúng được điểm, trả lời sai bị trừ điểm Nếu số điểm bị trừ nhiều số điểm đạt được thì tính bị điểm Hỏi có thể có học sinh bằng điểm được hay không??? thuvienhoclieu.com Trang 19 thuvienhoclieu.com Phân tích và gợi ý giải: Bài này đề bài lại hỏi theo kiểu có hay không, chúng ta hãy bình tình Nếu một chúng ta đã hiểu bản chất của bài toán dạng này thì sẽ không gì làm chúng ta sợ hay mất tự tin được cả “Hai học sinh bằng điểm nhau” Học sinh chính là “thỏ”, điểm chính là “chuồng” Vấn đề bài toán trở thành tìm số điểm có thể (số chuồng), từ đó sẽ giúp chúng ta trả lời được câu hỏi của đề bài Đề thi gồm bài, xảy các trường hợp sau: - Đúng hết câu => 12 điểm - Đúng câu, sai câu => 5×2 -1 = điểm - Đúng câu, sai câu => 4×2 -2×1 = điểm - Đúng câu, sai câu => 3×2 – 3×1 = điểm - Đúng câu, sai câu => 2×2 – 4x = điểm - Đúng dưới câu => dễ thấy sẽ bị điểm Nhìn lại ta thấy chỉ có 0,3,6,9,12 điểm tức là chỉ có loại điểm, có học sinh => có học sinh cùng điểm thuvienhoclieu.com Trang 20 ... Bài 3: thuvienhoclieu. com Trang thuvienhoclieu. com Chứng minh 19 số tự nhiên li? ?n tiếp ta ln tìm số có tổng chữ số chia hết cho 10 Lời giải Trong 19 số tự nhiên li? ?n tiếp tồn 10 số tự nhiên li? ?n... bài ta còn 49 bạn thuvienhoclieu. com Trang 12 Giả sử mỗi loại bài tập có 16 học sinh Số học sinh không quá thuvienhoclieu. com (thiếu học sinh) Theo nguyên li? ? Dirichlet có ít nhất... trao đổi với vấn đề Dạng 4: Sự xếp Bài 1: thuvienhoclieu. com Trang 14 thuvienhoclieu. com Cho bảng vuông x Trên 16 ô bảng, ta đặt 16 số tự nhiên từ đến 16 Chứng minh tồn hai kề (tức hai có cạnh