Chuyên đề 8 nguyên hàm hàm vô tỉ và hàm lôgarit lê hoành phò

CHUYÊN Đề - NGUYÊN HÀM HÀM VÔ Tỉ VÀ HÀM LƠGARIT KIếN THứC TRọNG TÂM Ngun hàm vơ tỉ: Với   1 thì: x 1 u 1   x dx     C ;  u u '.dx     C  m Các biến đổi: chia tách, thêm bớt, khai triển, nhân chia lượng liên hợp, mũ phân số Các dạng tích phân vơ tỉ: b  dx : nhân hợp liên hiệp (trục mẫu) px  q  px  r b xk dx : trục tử xk a  a b dx   x  m  x  n  : Đặt t  xm  xn a b  a px x m dx : Đặt u  x  m b  k  x dx : Đặt x  k sin t k cos t a b  a x m :Đặt t  x  x  m b  x  mdx : Đặt u  x  m , dv  dx a b   x    a dx px  qx  r : Đặt t  x     R  x, k  x dx : Đặt x  k sin t k cos t  R  x, k  x dx : Đặt x  k tan t k cot t b a b a  Trang n a m  a n ,…   R  x, b x  k dx : Đặt x  a  b  R  x; x    x  n  a k k sin t cos t  x    dx : Đặt t  n  x    R  x,  x      x  dx : Đặt x         sin b t a   R  x, b px  qx  r dx : Đặt a px  qx  r  t  x p px  qx  r  t  x r Nguyên hàm mũ lôgarit:  e dx  e x x  e u ' dx  e c u ax  a dx  ln a  c u c au  a u '.dx  ln a  c  a  0, a  1 x u Các dạng tích phân phần: b  P  x  e x dx : Đặt u  P  x  , dv  e x dx a b x  ln xdx : Đặt u  ln x, dv  x dx a b e x sin  xdx : Đặt u  e x , dv  sin  xdx a b e x cos  xdx : Đặt u  e x , dv  cos  xdx a CÁC BÀI TOÁN Bài tốn 8.1: Tính a)   x  x dx b)  x  x  x  dx Hướng dẫn giải  12  32 34 x  x dx    x  x  dx  x  x  C   a)  b)  x 3   56  116 74 32 x  x  dx    x  x  x  dx  x  x  x  C 11    Trang Bài tốn 8.2: Tính a)  x x x dx x2     dx x x  b)  Hướng dẫn giải    x x x a)  dx     x  dx  x  C x x  x     1   b)     dx     x  dx  x  x  C x  x  x  Bài tốn 8.3: Tính a) I   dx x3 x4 b) J   dx , a  0, b  c ax  b  ax  c Hướng dẫn giải 7 a) I   b) J    x   x  dx  3     x  4  C x      21   bc   1     x   dx x           ax  b  ax  c dx a b  c    ax  b  Bài tốn 8.4: Tính a) E     ax  c  C x  x 4  2dx b) F   xdx x2 Hướng dẫn giải  1   x 2  dx    x   dx  x3   C x  x  a) E   x b) F  x22      x   dx   3 x  2  C dx  x  x        x2    Bài tốn 8.5: Tính: a) A    x  3 x  3dx b) B  1 Hướng dẫn giải Trang x dx a) Đổi biến: Đặt t  x   x  t   dx  2t.dt A  2  2t  3 dt  2  2t  3t  dt  t  2t  C   x  3  x  1  C 5 b) Đặt t   x  x  1  t   dx  2 1  t  dt Q  2 t 1  1 dt  2 1   dt t  t   t  ln t   C  2 Bài tốn 8.6: Tính: a)     x  ln  x  C dx x 1 x  b)  x 9 dx Hướng dẫn giải a) Đặt t   x  x  t   dx  2t.dt  1 x t dt   dx  2  1   dt x t 1  t 1     2 dt      dt  2t  ln t   ln t   C  t 1 t 1    x  ln  x 1 C 1 x 1 b) Đặt t   x  x  t   dx  2t.dt  1 x t dt   dx  2  1   dt x t 1  t 1     2 dt      dt  2t  ln t   ln t   C  t 1 t 1    x  ln  x 1 C 1 x 1  b) Đặt t  x  x   dt  1     dx  x2   x dx x2  Trang  dt t  dx x 9  dt  ln t  C  ln x  x   C t 7/3  Bài toán 8.7: Tính: a) K  x 1 dx 3x  b) L   dx x 1  x 1 Hướng dẫn giải t3 1 a) Đặt t  3x   x   dx  t 2dt 3 t  Khi x  t  1, x  K    t  2t  dt  31 b) L   22   t5 t3  46      15  15 3 1 3  2  x   x  dx    x  1   x  1   3 1  a /2 a Bài tốn 8.8: Tính: a) A   a  x dx 2  b) B  0 dx a  x2 Hướng dẫn giải a) Đặt x  a sin t với   t   dx  a cos t Khi x  t  0, x  a t   /2 Aa   /2 cos t cos tdt  a   a2 cos tdt  2  /2  1  cos 2t  dt  /2 a  sin 2t   a2  t    2 0 b) Đặt x  a sin t với   Khi x  t  0; x   /6 B  a cos tdt  a cos t  /6 t   dx  a cos tdt a  t    dt  Trang b Bài tốn 8.9: Tính: a) C  b dx  b) D  x b  x  b dx Hướng dẫn giải    dx  x2  b  x a) Đặt t  x  x  b  dt  1   b  2b  C b dt  ln t t b  2b b  b b) D    ln   x  bdx  x  x  b b b 2  x2  b  b x b b b nên D   2  x2 x2  b b dx  b  D  b  x b 2 Bài tốn 8.10: Tính: a) K  b  x b  dx  dt t dx x b dx  b  ln  2  x2 dx x4   b   b dx b) L   x 1/2   1 dx x x4  Hướng dẫn giải t a) Đặt x   dx  1/2 1 dt t2 K    t  t dt   b) L   1/2  15 2  t d  t    2       1 3  1/2 1  x dx  dx   x  1/2  1 x2  x     x x  1 2   1 13     ln x    x      ln   x x 13     1/2  Bài tốn 8.11: Tính: a) A  x  x dx b) B   x5  x dx Hướng dẫn giải Trang     t    dx  cot dt 2  a) Đặt x  sin t   Khi x  t  0, x  t   /2 A  sin t cos tdt    /2    /2  sin 2tdt  /2  cos 4t  sin 4t    t    8 0 16 b) Đặt t   x  x   t  xdx  tdt Khi x  t  1, x  t  B   1  t  2  t7  t  t  dt    t  2t  1 t dt    t  t    105 7 2 Bài tốn 8.12: Tính: a) I  a/ x dx  b) J  x2  x   Hướng dẫn giải 1  x  x    x    ,  x  x  1 '  x  2  a) Ta có  1 3 Đặt x  A   x      B  x  1  C     Đồng A  1, B  2, C   nên   1 2x  1   I    x      2 0  1  1  x   x    2 2     2x     x  x   ln  x   x  x       Trang     dx    xdx a2  x2  a  x2   3 1    ln 1    3 a/ xdx  b) J  a2  x2  a2  x2 xdx Đặt t   a  x  dt  a 1   dt  t t  J a 1 a 1 a 1 2 a2  x2  2a   a  4096 Bài tốn 8.13: Tính: a) K    xdx   t  1 dt xdx 128 x2  x  b) L   dx x2  5x  Hướng dẫn giải a) Đặt x  t12 dt  12t11dt Khi x  128 t  2, x  4096 t   t14 t4  K  12  dt  12   t  t   dt t 1 t 1  2  t10 t   12    ln t    10 5  b) Đặt t  2  464  31   12   ln  5 1   x 2  x 3  1  x   x   dt    dx x  2 x     1   dt     dx   x 2 x 3  L 2 dx  x   x  3 : 2dt  t  ln t 1 dx  x   x  3 2 1  ln  2dt t 2 1 Bài tốn 8.14: Tính: a) A    x  1 dx x2  2x  1/2 b) B   x Hướng dẫn giải Trang dx  1 x  1 dt  x    dx   x 1 t t a) Đặt t  1/2 dt A  Đặt u  t  t   t2 1 1 /2  Do A   1 dt t2 1  du u  1 du 1 /2    ln u  1  ln u 1  2t 2dx b) Đặt t  x   x   dt  1 t  x2  2 x2  2 3/2 dt D   3t   t 1    ln   t   3/2  1   dt 1 t 1     t  3/2  6  12 3 ln  23  Bài toán 8.15: Tính: a) I n  1  1  x  n n 1 x n  b) J n  x n  xdx dx Hướng dẫn giải a) I n   xn  xn  1  x  n  n 1  xn dx   1    xd  n  xn 0  n  xn x n  xn dx   xn 1  xn  n  xn  xn  dx   n n n  1  x   x 1 xn xn  n  dx   dx  n n n n 1  x n  n  x n 1  x   x b) u  x n , dv   xdx Khi du  nx n1dx, v   Jn   x  1 x  3 1  x  2n n1  x  x  1  xdx 0 Trang dx  0 Vậy J n  2n 2n J n1  J n1  J n   J n  2n  2n  n  1 2n1.n! J  2n  2n  3.5  2n  3 x Bài tốn 8.16: Tìm hàm số f số thực a  thỏa mãn điều kiện:  a f t  dt   x với x  t2 Hướng dẫn giải Gọi F  t  nguyên hàm hàm số f t  t2 Theo định nghĩa tích phân, ta có với x  F  x  F a   x Cho x  a ta a  F  x   F     x nên F '  x   f  x 1    f  x   x3 x x x Bài tốn 8.17: Tính: a)  2 x 3  x dx b)  5x 1  5 x  3x dx Hướng dẫn giải a)  2 x 3  x 4x 6x 9x dx     2.6   dx  2  C ln ln ln x x x x 5 x x   5x 1  5 x    1 3x 3 5 x  b)  dx   x       dx   C    ln 3x   ln Bài toán 8.18: Tính: a) e sin x cos xdx b) e x dx  e x Hướng dẫn giải a) e sin x cos xdx   esin x d  sin x   esin x  C t b) Đặt t  e x dt  e x dx  dx  dt 1 1  1  dx  dt  dt     e x  e x  t  t  t 1   t    t  t  dt Trang 10  1 ex 1 ln t   ln t    C  ln x C  2 e 1 Bài tốn 8.19: Tính: a)  1  tan x  e2 x dx b)  x  1 dx  x 1  xe  x Hướng dẫn giải a)  1  tan  e2 x dx   1  tan x  tan x  e2 x dx    tan x.e2 x  dx  tan x.e2 x  C b) Đặt t   xe x dt   x  1 e x dx  x  1 dx  x 1  xe  x t 1 xe x  1     dt  ln  C  ln C t  xe x  t 1 t    Bài tốn 8.20: Tính: a) I  x3 e x dx b) J  e x 9 dx Hướng dẫn giải   a) Đặt u  x3 , v '  e x J  x3 e x dx  e x x3  x e x dx Đặt u  x , v '  e x  x e dx  x e x  x  2 xe x dx  xe x  I  Do J  e x x3  3x  x   C b) Đặt t  3x   3x  t   dx  J tdt t te dt Đặt u  t , v '  et  tet dt  t.et  et  C  nên J   3x  9e Bài tốn 8.21: Tính: a) x 9 e  ln xdx x 9 C b)  x ln xdx Hướng dẫn giải a) Đặt u  ln x, dv  dx Khi du  dx, v  x Ta có: x  ln xdx  x ln x   x x dx  x ln x   dx  x ln x  x  C Trang 11 32 b) Đặt u  ln x, v '  x  u '  , v  x Ta có: x  32 12 32 32 x ln xdx  x ln x   x dx  x ln x  x  C 3 Bài tốn 8.22: Tính: a)   ln x  x dx b)  x ln x dx 1 x Hướng dẫn giải a)   ln x  x dx    ln x  d  ln x   ln x  C x x2 , du  xdx Khi du  b) Đặt u  ln ,v  1 x x 1  x   x ln x x2 x x dx  ln   dx 1 x 1 x 1 x x2 x  x2 x 1   ln    1 dx  ln  ln  x  x  C 1 x 1 x  1 x 2 Bài tốn 8.23: Tìm ngun hàm a) I  x3 ln  x  dx b) J  x cos  x  dx   Hướng dẫn giải a) Đặt u  ln  x  , dv  x3dx Khi du  x4 dx, v  x x ln  x  x ln  x  x x3   dx   C Ta có: I  4 16 b) Đặt u  x , dv  cos  x  dx Khi du  xdx, v   sin  x  x sin  x    x sin  x  dx Ta có: J  Đặt u  x, dv  sin  x  dx Khi du  dx, v   x sin  x  dx   cos  x  : x cos  x  cos  x  x cos  x  sin  x   dx   C 2 x sin  x  x cos  x  sin  x    C nên J  2 Trang 12 Bài tốn 8.24: Tính: a) I  sin  ln x  dx b) J  e x  cos x  x sin x  dx   Hướng dẫn giải a) Đặt u  ln x x  eu nên dx  eu du A   sin u.eu du   sin ud  eu   sin u.eu   cos u.eu du  sin u.eu   cos u.d  eu   sin u.eu  cos u.eu   sin u.eu du Từ suy A  x  sin  ln x   cos  ln x    C b) Đặt u  e x , dv  cos x Khi du  xe x dx, v  sin x 2 e x2 cos xdx  e x sin x   xe x sin xdx 2 nên J  e x  cos x  x sin x   e x sin x  C  2 x Bài tốn 8.25: Tính: a) K   x  1 e dx b) L  x x   e x dx Hướng dẫn giải a) Đặt u  x  x  1, dv  e x dx Khi du   x  1 dx, v  e x 1 0 K   x 21  x  1 e x    x  1 e x dx  3e     x  1 e x dx Đặt tiếp u  x  1, dv  dx K   e  1 b) Đặt u  x3  2, dv  e x dx Khi du  3x dx, v  e x L  e  x    3 x 2e x dx x 0 Dùng tích phân phần lần L  ln Bài tốn 8.26: Tính: a) A   ln dx ex 1 b) B  xe x  1  x  dx Hướng dẫn giải a) Đặt u  x  x  1, dv  e x dx Khi du   x  1 dx, v  e x 1 0 K   x  x  1 e x    x  1 e x dx  3e     x  1 e x dx Trang 13 Đặt tiếp u  x  1, dv  dx K   e  1 b) Đặt u  x3  2, dv  e x dx Khi du  3x dx, v  e x L  e  x    3 x 2e x dx x 0 Dùng tích phân phần lần L  ln Bài tốn 8.26: Tính: a) A  dx  ex 1 ln b) B  xe x  1  x  dx Hướng dẫn giải a) Đặt t  e x   e x  t   dx  A t 2tdt t2 1 dt  Đặt t  tan u B  1 1 ex ex dx   dx  x  x  0  b) B    e x 1 e x  e ex  dx    dx    1 x 0 1 x  1 x    Bài tốn 8.27: Tính: a) e  x cos xdx b) J   e2 x sin xdx Hướng dẫn giải a) Đặt u  cos x, dv  e x , du   sin x, v  e x   0 I  cos x.e x   e x sin xdx  1  e   sin xd  e x    1  e   sin x.e  x    e  x cos xdx  1  e  I  e Do I  1  e  I       1 b) J   1  cos x  d  22 x   e2 x 1  cos x    e x sin xdx 40 20 Dùng phần lần liên tiếp J  2  e  1 Trang 14  x  Bài toán 8.28: Tính a) I   1  x   e x dx x 0.5  1 b) J  3x 0 3x  3 x dx Hướng dẫn giải a) I  e x x 0,5 Đặt u  e  x  1x  dx    x   e dx x 0,5  x x  x  1x  , dv  dx Khi du   x   e dx, v  x x  x  x  1x  Ta có:   x   e dx  xe x x 0,5  Suy I  xe x x 0,5 2  0,5 e x x dx 0,5  e2,5 3 x b) Xét E   x dx J  E   dx   3 x 0 1 3x  3 x 1 J  E   x dx  ln  3x  3 x   ln x 3 ln ln 3 0 1 Do đó: J  1 5 ln  1   ln 3   Bài tốn 8.29: Tính: a) A  1  x2 dx  2x  b) B  x 2e x sin xdx Hướng dẫn giải a) A   1  x2  x2 dx  0  2x dx  2x Đặt x  t  1 Do A    x2 2t  t 2x  x2 dx  dt  0  2t 0  x dx  2x 1   x  x2  2x Đặt x  sin t A   1 dx    x dx b) Đặt u  x sin x, dv  e x dx Trang 15 B  e x sin x   e x  x sin x  x cos x  dx x 0 1  e sin1  2 xe sin xdx   x 2e x cos xdx x 0 Từ tính B  e sin1  sin x b) J   x dx 1  dx Bài tốn 8.30: Tính a) I   x 1  e  1 x  1 Hướng dẫn giải a) Đặt x  t dx  dt Khi x  1  t  1, x  1  t  1 Ta có I  dx dt et    1  e x  1 x2  1 1  et  1t  1 1  et  1t  1dt ex I x dx 1  e  1 x  1 nên I  I  I  t 1 dt    Vậy I  1  b) Đặt x  t dx  dt nên: J      Do J   sin xdx    sin t 3x.sin x dt   dx x 1    1 3t    cos x dx  J         Bài tốn 8.31: Tính a) A  ln x  x dx b) B  x5 ln xdx 2 Hướng dẫn giải 2x 1   dx  3ln  2ln     a) A  x ln  x  x     dx  3ln  2 x 1 x 1  2 3 b) Đặt u  ln x, dv  x5 dx Khi du  dx , v  x6 x 2  x ln x  x dx 32 B   ln     1 Trang 16 e e  Bài tốn 8.32: Tính a) C  x ln xdx b) D  x  x  1 ln xdx Hướng dẫn giải a) Đặt u  ln x, dv  xdx Khi du  2ln x dx, v  x x e e e  x2  e2 C   ln x    x ln xdx    x ln xdx  1 dx x2 ,v  Đặt u  ln x, dv  xdx Khi du  x e x2 e2 e2  1 x ln xdx  ln x  1 xdx    e  1  C  e e   b) Đặt u  ln x, dv  x  x  dx thì: e e  x3 x   x3 x 1 D     x  ln x      x  dx   x 1  e  x2 x  e3 e 2e3 e2 31   e      1 dx    3 36  1  ln x ln x dx b) J   dx x x e Bài toán 8.33: Tính: a) I   Hướng dẫn giải e a) I   1  ln x   b) J  ln xd e    x  x ln x  4ln    d 1  ln x   1  ln x   2    x  4  2 dx x   ln  1  /2 Bài toán 8.34: Tính: a) A   cos x ln  sin x  dx  b) B  ln  /4 x 1 dx x 1 Hướng dẫn giải  /2 a) A   /2  ln  sin x  d  sin x   sin x.ln  sin x   /4 /4  /2   cos xdx /4 Trang 17  /2 2 2  ln  sin x  ln  4  /4 x 1  2x  b) B   x ln    dx  3ln  6ln x 1  2 x 1  3 Bài tốn 8.35: Tính: a) C   ln x   x  1 b) D  dx   x ln x  x  x2  dx Hướng dẫn giải  ln x dx  1  a) C     ln x  d    x  1 x  x  1  x 1 3 3  ln 3 dx 1 27      dx      ln  1x x 1  16  3   x b) Đặt u  ln x  x  , dv   D  x  1.ln x  x  2  x2  thì:   dx  2ln  Bài tốn 8.36: Tính: e a) I   1  x  ln x  dx b) I   x ln x x  2ln x   x  1 Hướng dẫn giải e  a) Ta có I  1  x  ln x  dx  e 1  x ln x   1  ln x  dx  x ln x   x ln x 1  ln x  ln x e dx  x   dx   e  1  J  x ln x  x ln x 1 e e  2 dx   e Tính J  e  ln x   x ln x dx Đặt t   x ln x  dt  1  ln x  dx Khi x  t  , x  e t   e 1 e nên J   dt 1 e  ln t  ln 1  e  nên I   e  1  ln 1  e  t Trang 18 dx b) I  x  2ln x   x  1  1 2ln x  dx       dx 3   x  1  x  1    x  1 2 2 1 ln x ln x    2 dx   2 dx 3 x  1  x  1 12  x  1  x  1 Tính J  ln x   x  1 dx Đặt u  ln x, dv  dx  x  1 J  ln x  x  1 Khi du  dx 1 ,v   x  x  12 2 dx ln  1           dx x  x  12 18 1  x x   x  12  ln  x  ln      ln    ln     18  x  x   18    ln  ln  18 12 Suy I  ln  ln   2   ln    ln   12 72  18 12  ln  Bài tốn 8.37: Tính: a) I   xe x 0 x2  x  1dx x dx x e  e x  b) I  Hướng dẫn giải ln a) Ta có I   x dx  x e  e x  Đặt u  x, dv  e ex x  1 ln x  Ta có: I   x e 1 ln Tính J  e ln  e xe x x  1 dx dx Khi du  dx, v   ln  dx ln   x e 1 ln e e 1 x dx 1 x dt dx Đặt e x  t x  ln t  dx  t 1 x Khi x   t  1; x  ln  t  Trang 19 2 dt 1  J      dt  ln t  ln t  1 t t  1  t t    2  2ln  ln nên I  ln  ln 2 xe x xe x b) Ta có I   dx  dx   dx   dx 2 2    x  x  x  x  x          0 0 1 Tính xe x   x  1 xe x dx Đặt u  xe x , dv  Khi du   x  1 e x dx; v   dx  x  1 x 1 xe x 1 dx    Ta có:   x  1 e x dx  x 1 0 x 1  x  1 xe x 1 e e e     e x dx    e x dx   2 Thay vào ta I  e 2 Bài toán 8.38: Chứng minh F  x  nguyên hàm f  x  :   a) F  x   ln x   x  C; f  x   1  x2 x     C; f  x   cos x 2 4 b) F  x   ln tan  Hướng dẫn giải a) F '  x   b) F '  x    1 x x2   x  x2  1 x2   đpcm 1 x  x  2cos    tan    2 4 2 4 1     cos x x  x   2cos    sin    sin  x   2 2 4 2 4  Trang 20 Bài tốn 8.39: Tìm cực đại cực tiểu hàm số f  x   e2 x  t ln tdt ex Hướng dẫn giải Gọi F  t  nguyên hàm hàm số t ln t  0;      f '  x   F '  e  2e  F '  e  e Ta có: f  x   F e2 x  F e x , suy ra: 2x 2x x x  xe4 x  xe2 x  xe2 x  4e2 x  1 f '  x    x   x   ln Lập BBT f đạt cực tiểu x  đạt cực đại x   ln  Bài toán 8.40: Đặt I n  x ne x dx, n  * Tính I theo I n 1 với n  Suy I Hướng dẫn giải I n   x n d  ex   x n e x  n  x n1e x dx  x n e x  nI n1 Do I  x3e x  3I , I  x 2e x  2I1 , I1  xe x dx  e x  x  1  C    nên I  e x x3  3x  x   C  Bài toán 8.41: Cho I n  x n e x dx Tính I n theo I n 1 Hướng dẫn giải 1 I n   x n d  e x    x n e x   n  x n1e x dx  e  nI n1 0 e Bài toán 8.42: Cho J n    ln x  n dx Chứng minh J n1  J n  Hướng dẫn giải J n  x  ln x  n e e  n   ln x  n 1  e  nJ n1 Với  x  e   ln x   J n1  J n Do J n  e  nJ n1  e  nJ n   n  1 J n  e  đpcm Bài toán 8.43: Tính tích phân Trang 21 e n 1 x2  1 x2 ln xdx  b) I  a) I  x  x dx Hướng dẫn giải 1 1/2 1 a) I   x  x dx      x  d   x     u1/2 du 20 22 2   1    u1/2 du (đặt u    x  )   u 3/2   2  21 3 1 x2  1 x2 ln xdx b) I  dx Đặt t  ln x   dt , x  et , t 1  0, t    ln  I  x ln  t e t  et  dt Đặt u  t  du  dt , dv  et  et , chọn v  et  et  I  t  et  et    ln ln  e t  e t  dt  Cách khác: Đặt u  ln x  du  dv  5ln  dx x x2  1   dx   dx  v  x    x2 x  x  2 1  dx  1      I   x   ln x    x    ln   1   dx  ln   x   x x x x  x 1   1 1 2 1   ln      ln  2 2  BÀI LUYệN TậP Bài toán 8.1: Chứng minh F  x  nguyên hàm f  x  : a) F  x   x ln x  x; f  x   ln x b) F  x   ln tan x  C; f  x   sin x Hướng dẫn a) Dùng định nghĩa công thức đạo hàm Trang 22 b) Dùng định nghĩa công thức  ln u  '   u' u b) P  Bài tập 8.2: Tính: a) A  x  3x dx  x x2  dx Hướng dẫn 2 a) Đổi biến t   3x Kết    3x   C 2 b) Kết  x    C Bài tập 8.3: Tính a)   dx x 1 x   2x b) xdx   x2  Hướng dẫn a) Đổi biến t   x Kết   b) Kết ln  x2   C 1 x 2 x2   C Bài tập 8.4: Tính a) I   b) I   x dx   2x x2   2x2  x  x2  Hướng dẫn a) Dùng nguyên hàm phần Kết b) Kết   ln x   x  x  x  C  1 x  x2   2 Bài tập 8.5: Tính: a) I     x 1  x3dx 4 x   x   2ln x  x     C  b) J   x5  x3 x 1 dx Hướng dẫn a) Đổi biến t   x Kết 16 3 3 Trang 23 dx b) Kết 26 Bài tập 8.6: Tính: a) C  dx 0  x  x  b) D   x Hướng dẫn a) Trục thức mẫu Kết b) Kết D      ln   2 1 15 Bài tập 8.7: Tính a)  x e dx x 12 x dx b)  x 16  x Hướng dẫn a) Dùng tích phân phần lần liên tiếp   Kết x  x3  12 x  24 x  24 e x  C b) Kết x  3x ln x C  ln  ln 3  3x Bài tập 8.8: Tính: a)  ln  sin x  dx b)  ln x   x dx cos x   Hướng dẫn a) Dùng tích phân phần Kết tan x.ln  sin x   x  C   b) Kết x ln x   x   x  C 1 x dx Bài tập 8.9: Tính a) I   x ln 1 x e b) J  ln x 1 x2 dx Hướng dẫn a) Dùng tích phân phần Kết 1 x 1 x x ln  ln  xC 1 x 1 x b) Kết  e Bài tập 8.10: Tính: Trang 24 x3dx x2   /2 a) I   e sin x  /2  cos x  cos xdx b) J  e 3x sin xdx Hướng dẫn a) Tách tích phân dùng đổi biến, tích phân phần Kết e   1 3 3.e  b) Kết 34    Bài tập 8.11: Tính: a) I  ln x  dx e b) J    ln x  dx Hướng dẫn a) Dùng tích phân phần Kết ln    b) Kết e  Bài tập 8.12: Tính: a) I    x  1 e x e Hướng dẫn a) Dùng tích phân phần Kết  e b) Tách tích phân dùng đổi biến, tích phân phần Kết   x b) J   dx 62 27 Trang 25    ln xdx  3ln x 