CHƯƠNG II ĐƯỜNG TRÒN Chuyên đề 7 ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CỦA ĐƯỜNG TRÒN LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐẾN DÂY A Kiến thức cần nhớ 1 Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính 2 Tr[.]
CHƯƠNG II ĐƯỜNG TRỊN Chun đề ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CỦA ĐƯỜNG TRÒN LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐẾN DÂY A Kiến thức cần nhớ Trong dây đường tròn, dây lớn đường kính Trong đường trịn, đường kính vng góc với dây qua trung điểm dây Đảo lại, đường tròn, đường kính qua trung điểm dây khơng qua tâm vng góc với dây Trong đường trịn: Hai dây cách tâm; Hai dây cách tâm Trong hai dây đường tròn: Dây lớn dây gần tâm hơn; Dây gần tâm dây lớn OH AB; OK CD AB CD OH OK B Một số ví dụ Ví dụ Cho nửa đường trịn đường kính AB ba dây AC , AD, AE không qua tâm Gọi H K hình chiếu D AC AE Chứng minh HK AB Giải Gọi I trung điểm AD Ta có IH IK IA ID AD Suy bốn điểm K, H, A, D nằm đường trịn đường kính AD Mặt khác, HAK 90 nên KH dây cung không qua tâm đường trịn đường kính AD Trong đường trịn, đường kính dây lớn nên HK< AD Mặt khác, AD AB nên HK AB Nhận xét: Phương pháp giải ví dụ dùng AD làm trung gian, AD đường kính đường tròn lại dây cung đường trịn khác Ví dụ Cho đường trịn (O), hai dây AB, CD song song Chứng minh bốn điểm A, B, C, D bốn đỉnh hình chữ nhật Giải Tứ giác ABCD có AB // CD AB CD nên hình bình hành Suy AC // BD AC BD Qua O vẽ đường thẳng vng góc với AC H, cắt BD K Vì AC // BD nên OK BD 2 Ta có HA AC ; KB BD (tính chất đường kính vng góc với dây cung) Suy HA KB (vì AC BD ) Tứ giác ABKH có hai cạnh đối song song nên hình bình hành 90 nên hình chữ nhật, suy A 90 Hình bình hành có H Do hình bình hành ABDC hình chữ nhật Nhận xét: Dễ thấy, tứ giác ABCD hình bình hành Chỉ cịn phải chứng minh A 90 Muốn vậy, qua O ta vẽ HK vng góc với AC BD Bây phải chứng minh ABKH hình chữ nhật để suy A 90 Ví dụ Cho đường tròn (O) điểm M đường tròn M O Qua M vẽ hai dây, dây AB OM dây CD khơng vng góc với OM Chứng minh AB CD Giải Vẽ OH CD Xét HOM vuông H có OH OM ( cạnh góc vng nhỏ cạnh huyền) Suy CD AB ( dây gần tâm lớn hơn) Do AB CD Nhận xét: Trong dây qua điểm M bên đường tròn (O), dây ngắn dây vng góc với OM Ví dụ Cho đường tròn (O; R) điểm M cách O khoảng R Trên đường tròn lấy điểm A Tìm giá trị lớn góc OAM Giải Vẽ dây AB qua M 180 AOB OAB cân O nên A B A lớn AOB nhỏ AB nhỏ AB OM Khi sin A= OM R ;R OA 2 Suy A 30 Vậy max A 30 AM OM Ví dụ Cho đường tròn (O), dây AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai dây AC, BD nhau, cắt E Chứng minh OE AB Giải Vẽ OH AC ; OK BD Vì AC BD nên OH OK Ta có HOE KOE HOE KOE ; HOA KOB HOA KOB ; Do AOE BOE ; Xét AOB cân O, có OE đường phân giác nên OE đồng thời đường cao Suy OE AB C Bài tập vận dụng Đường kính dây cung 7.1 Chứng minh đường trịn hai dây khơng qua tâm khơng thể cắt trung điểm dây 7.2 Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB Trên bán kính OA, OB lấy điểm M N cho OM ON Từ M N vẽ hai tia song song cắt nửa đường tròn C D Chứng minh MC CD 7.3 Cho đường trịn (O; R) đường kính AB dây CD nằm phía AB (C, D không trùng với A B) Gọi H K hình chiếu A B đường thẳng CD Chứng minh rằng: a) H K nằm ngồi đường trịn (O); b) CH DK 7.4 Cho đường tròn (O; R) Một dây AB chuyển động đường tròn cho AOB 120 Gọi M trung điểm AB Hỏi điểm M động đường nào? 7.5 Cho bốn điểm A, B, C, D nằm đường tròn (O; R) theo thứ tự Tìm giá trị lớn diện tích tứ giác ABCD Khoảng cách từ tâm đến dây 7.6 Cho đường tròn (O; 5cm) hai dây AB, CD song song với nhau, cách 7cm Biết AB = 6cm, tính diện tích tứ giác có bốn đỉnh A, B, C, D 7.7 Cho đường tròn (O; 10cm) Hai dây AB, CD song song với nhau, tâm O cách dây AB 8cm cách dây CD 6cm Biết dây AB tâm O thuộc hai nửa mặt phẳng đối bờ CD, tính chu vi tứ giác có bốn đỉnh A, B, C, D 7.8 Cho đường tròn (O; 5cm) điểm P cho OP = 3cm Qua P vẽ dây có độ dài số nguyên Hỏi vẽ tất dây vậy? Dựng hình 7.9 Cho đường tròn (O) điểm A bên đường trịn Dựng hình thoi ABCD cho B, C, D nằm đường tròn (O) 7.10 Cho đường tròn (O; R) đoạn thẳng AB < 2R Hãy dựng dây CD cho bốn điểm A, B, C, D bốn đỉnh hình bình hành 7.11 Cho đường trịn (O; R) đoạn thẳng AB cho ba điểm A, O, B không thẳng hàng Qua A B dựng hai đường thẳng song song cắt đường tròn C, D, E, F cho bốn điểm C, D, E, F bốn đỉnh hình chữ nhật 7.12 Cho đường trịn (O) 100 đường kính Tại đầu đường kính viết số tự nhiên từ đến 99 Chứng minh tồn bốn điểm A, B, C, D đầu đường kính vẽ mà AB = CD |a – c| = |b – d| (a, b, c, d số viết tương ứng A, B, C, D) HƯỚNG DẪN GIẢI - ĐÁP SỐ 7.1 Giả sử hai dây AB CD cắt trung điểm dây Khi OM ^ AB; OM ^ CD (tính chất đường kính qua trung điểm dây) Điều vơ lí qua điểm M có hai đường thẳng AB CD vng góc với OM 7.2 Gọi H trung điểm CD Khi OH đường trung bình hình thang MCND, Suy OH / / MC Ta có OH ^ CD (đường kính qua trung điểm dây) Suy MC ^ CD 7.3 a) Ta có AH / / BK (vì vng góc với CD ) · · Suy OAH + OBK = 180o · · Do OAH OBK có số đo lớn 90o · ³ 90o Giả sử OAH Xét D OAH có góc OAH góc lớn nên OH cạnh lớn Suy OH > OA = R Vậy điểm H nằm ngồi đường trịn (O) Vẽ OM ^ CD ta OM / / AH / / BK Mặt khác, OA = OB nên MH = MK Xét D OHK có OM vừa đường cao, vừa đường trung tuyến nên tam giác cân Suy OK = OH > R Do điểm K nằm ngồi đường trịn (O) b) Ta có MH = MK ; MC = MD (tính chất đường kính vng góc với dây) Suy MH - MC = MK - MD hay CH = DK 7.4 Ta có MA = MB suy OM ^ AB Xét D AOB cân O; ·AOB = 120o nên µA = 30o Xét D AOM vng M có µA = 30o nên: 1 OM = OH = R 2 ỉ ÷ ÷ Vậy điểm M di động đường trũn ỗỗỗốO; Rứ ữ 7.5 Gi E l giao im AC BD Vẽ AH ^ BD; CK ^ BD Ta có AH £ AE; CK £ CE Suy AH + CK £ AE + CE = AC Diện tích tứ giác ABCD là: 1 S = S ABD + SCBD = BD AH + BD.CK 2 1 = BD( AH + CK ) = BD AC 2 Ta có AC BD dây cung đường tròn (O; R) nên AC £ R; BD £ R Do S £ R.2 R = R ìï BD = R ïï Dấu “=” xảy íï AC = R Û AC BD hai đường kính ïï H º K º E ïỵ Vậy maxS = R 7.6 Vẽ OH ^ AB Đường thẳng OH cắt CD K Khi OK ^ CD (vì AB / /CD ) Suy HA = 3cm CK = CD Ta có OH = OA2 - HA2 = 52 - 32 = 42 Þ OH = 4(cm) Do OK = - = 3(cm) Ta có CK = OC - OK = 52 - 32 = 16 Þ CK = 4(cm) Þ CD = 8cm 2 Diện tích hình thang ABCD là: S = ( AB + CD) HK = ( + 8) = 49 ( cm ) 7.7 Vẽ OH ^ AB cắt CD K Vì AB / /CD nên OH ^ CD Ta có OH = 8cm; OK = 6cm suy HK = 2cm Vẽ AE ^ CD AE = HK = 2cm Ta có HA2 = OA2 - OH = 102 - 82 = 36 Þ HA = 6(cm) Þ AB = 12cm KC = OC - OK = 102 - 62 = 64 Þ KC = 8(cm) Þ CD = 16cm Ta có CE = KC - KE = - = 2(cm) Xét D AEC vuông E có AC = AE + CE = 22 + 22 = Suy AC = = 2(cm) Tương tự BD = 2cm Vậy chu vi tứ giác ABCD là: 12 +16 + 2.2 = 28 + 2(cm) 7.8 Qua P vẽ đường kính CD dây AB ^ OP Ta CD dây dài AB dây ngắn (qua P ) Ta có CD =10cm PB = OB - OP = 52 - 32 = 16 Þ PB = 4(cm) Do AB = 8cm Khi dây AB quay quanh P , độ dài thay đổi nhận giá trị thực từ đến 10 Giá trị AB = nhận hai lần( tính đối xứng qua CD ) Vậy số dây có độ dài số nguyên là: +1 + = (dây) 7.9 a) Phân tích: Giả sử dựng hình thoi ABCD , hai đường chéo cắt K Ta có AC đường trung trực BD BD đường trung trực AC , AC qua O b) Cách dựng: - Dựng đường thẳng OA cắt đường tròn C C ' - Dựng đường trung trực AC cắt đường tròn B D - Nối AB, BC , CD, DA ta tứ giác ABCD hình thoi c) Chứng minh: Bạn đọc tự giải d) Biện luận: Bài tốn có hai nghiệm hình hình thoi ABCD AB ' C ' D ' 7.10 a) Phân tích: Giả sử dựng hình bình hành ABCD thỏa mãn đề bài, ta có AB / /CD AB = CD Vẽ đường kính vng góc với đường thẳng AB H , cắt CD K Vẽ dây PQ = AB vẽ OE ^ PQ Khi PQ = CD OE = OK b) Cách dựng: - Dựng dây PQ = AB dựng OE ^ PQ - Dựng đường thẳng vng góc với AB H Trên đường thẳng lấy điểm K cho OK = OE -Qua K dựng dây CD ^ OH Khi bốn điểm A, B, C , D bốn đỉnh hình bình hành c) Chứng minh: Ta có CD = PQ (vì hai dây cách tâm).Do CD = AB , Mặt khác, CD / / AB (vì vng góc với OH ) Vậy bốn điểm A, B, C , D bốn đỉnh hình bình hành d) Biện luận: - Nếu OH ¹ OK tốn có hai nghiệm hình - Nếu OH = OK tốn có nghiệm hình 7.11 * Cách dựng: - Dựng trung điểm M AB - Dựng đường thẳng MO - Qua A B dựng hai đường thẳng song song với OM , chúng cắt đường tròn C , D, E F Khi CDEF hình chữ nhật * Chứng minh: Qua O vẽ đường thẳng vng góc với CD H , cắt EF K Do AH / / BK MA = MB nên tứ giác CDEF hình chữ nhật ( xem ví dụ 2) 7.12 Hiệu hai số đầu đường kính có giá trị nhỏ ( hai số hai đầu đường kính nhau), có giá trị lớn 98 ( 99 - = 98 ) Có 99 hiệu 100 đường kính, theo ngun lí Đirichlê, tồn hai đường kính có hiệu số hai đầu Gọi hai đường kính AC BD Ta có | a - c |=| b - d | Giả sử a ³ c; d ³ b a - c = d - b Þ a + b = c + d Tứ giác ABCD có hai đường chéo nhau, cắt trung điểm đường nên hình chữ nhật Do AB = CD Nhận xét: Phương pháp giải toán sử dụng nguyên lí Đirichlê Ưu điểm phương pháp khẳng định kiện mà khơng cần mơ hình cụ thể