Đang tải... (xem toàn văn)
PHẦN I – MỘT SỐ CHỦ ĐỀ VỀ SỐ HỌC Chuyên đề QUAN HỆ CHIA HẾT TRÊN TẬP HỢP SỐ NGUYÊN I MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1 Định nghĩa phép chia Cho hai số nguyên a và b trong đó b 0 ta luôn tìm được hai số ngu[.]
Chuyên đề QUAN HỆ CHIA HẾT TRÊN TẬP HỢP SỐ NGUYÊN I MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định nghĩa phép chia Cho hai số nguyên a b b ta ln tìm hai số nguyên q r cho a bq r , với r b Trong a số bị chia, b số chia, q thương, r số dư Khi a chia cho b số dư r 0;1; 2; 3; ; b 1 Nếu r 0 a bq , ta nói a chia hết cho b hay b ước a Ký hiệu: a b hay b a Vậy a chia hết cho b tồn số nguyên q cho a bq Nếu r 0 , ta nói a chia b có số dư r Một số tính chất cần nhớ Tính chất Mọi số nguyên khác ln chia hết cho Tính chất Số nguyên a chia hết cho số nguyên b số nguyên b chia hết cho số nguyên c số nguyên a chia hết cho số nguyên c Tính chất Số nguyên a chia hết cho số nguyên b ngược lại a b Tính chất Nếu a.b m b, m 1 a m Tính chất Nếu hai số nguyên a b chia hết cho m a b m Tính chất Nếu a chia hết cho m n, m, n 1 a mn Tính chất Nếu số nguyên a chia hết cho số nguyên b số nguyên c chia hết cho số ngun d tích ac chia hết cho tích bd Tính chất Trong n số nguyên liên tiếp tồn số nguyên chia hết cho n Tính chất Nếu a b 0 với a, b số tự nhiên a n bn n N chia hết cho a b Tính chất 10 Nếu a b 0 với a, b số tự nhiên n số tự nhiên lẻ a n b n chia hết cho a b Một số dấu hiệu chia hết Đặt A a na n a 2a1a , với a n ; a n ; ; a ; a1 ; a chữ số Khi ta có dấu hiệu chia hết sau Dấu hiệu chia hết cho 2: Số tự nhiên A chia hết cho a 0; 2; 4; 6; 8 Dấu hiệu chia hết cho 5: Số tự nhiên A chia hết cho a 0; 5 Từ suy A chia hết cho 10 a 0 Dấu hiệu chia hết cho 25: Số tự nhiên A chia hết cho (hoặc 25) a1a chia hết cho (hoặc 25) Dấu hiệu chia hết cho 125: Số tự nhiên A chia hết cho 8(hoặc 125) a 2a1a chia hết cho (hoặc 125) Dấu hiệu chia hết cho 9: Số tự nhiên A chia hết cho 3(hoặc 9) tổng chữ số số A chia hết cho (hoặc 9) Dấu hiệu chia hết cho 11: Số tự nhiên A chia hết cho 11 hiệu tổng chữ số hàng lẻ tổng chữ số hàng chẵn số chia hết cho 11 Đồng dư thức Định nghĩa: Cho m số nguyên dương Nếu hai số nguyên a b cho số dư chia cho m ta nói a đồng dư với b theo modun m Kí hiệu a b mod m Một số tính chất đồng thức Tính chất Nếu a b mod m b a mod m Tính chất Nếu a b mod m b c mod m a c mod m Tính chất Nếu a b mod m c d mod m a c b d mod m Nếu a b mod m c d mod m a c b d mod m Tính chất 4: Nếu a b mod m , d ước chung a b, biết d, m 1 Khi ta có a b mod m d d Định lý Fermat p Nếu p số nguyên tố a không chia hết cho p a 1 mod p Ước chung lớn bội chung nhỏ a) Định nghĩa ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ Ước chung lớn hai hay nhiều số số lớn tập hợp ước chung số Bội chung nhỏ hai hay nhiều số số nhỏ khác tập hợp bội chung số Kí hiệu ước chung lớn a b là: ƯCLN(a, b) (a, b) Kí hiệu bội chung nhỏ a b là: BCNN(a, b) [a, b] b) Một số ý ƯCLN - BCNN Hai số a b gọi nguyên tố ƯCLN chúng Nếu a chia hết cho b ƯCLN(a, b) = b ƯCLN(a, 1) = BCNN(a, 1) = a Nếu ƯCLN(a, b) = BCNN(a, b) = ab c) Một số tính chất ước chung lớn bội chung nhỏ Với a, b, k số tự nhiên khác ƯCLN(ka, kb) = k.ƯCLN(a, b) Với a, b, k số tự nhiên khác BCNN(ka, kb) = k.BCNN(a, b) Với a b số tự nhiên khác a.b = ƯCLN(a, b).BCNN(a, b) II MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA Bài tập quan hệ chia hết tập số thường có số dạng sau Chứng minh phép chia hết, phép chia có dư Tìm số dư phép chia Tìm điều kiện biến để xẩy quan hệ chia hết hai biểu thức Sử dụng tính chất chia hết để giải phương trình nghiệm nguyên, giải tốn số phương, chứng minh hai số nhau, chứng minh phân số tổi giản… Tìm ƯCLN, BCNN chứng minh ƯCLN, BCNN thỏa mãn tính chất Các dạng tập minh họa thơng qua ví dụ sau đây: Ví dụ Cho x, y, z số nguyên dương phân biệt Chứng minh rằng: 5 x y y z z x chia hết cho x y y z z x Lời giải Đặt a x y; b y z ta z x a b Bài toán quy chứng minh a b a b chia hết cho 5ab a b Ta có: a b a b 5a b 10a b 10a b 5ab 5ab a 2a b 2ab b 5ab a b 2a b 2ab 5ab a b a ab b 2ab a b 2 5ab a b a ab b 2 Dễ thấy 5ab a b a ab b 5ab a b 5 5 Do a b a b chia hết cho 5ab a b hay ta x y y z z x chia hết cho x y y z z x Ví dụ Cho x, y, z số nguyên thỏa mãn x y y z z x x y z Chứng minh x y z chia hết cho 27 Lời giải Nếu x, y, z có số dư khác chia cho số x y ; y z ; z x không chia hết cho 3, mà ta lại có x y z chia hết cho Điều mâu thuẫn với giả thiết toán Nếu ba số x, y, z có hai số chia cho có số dư Khi x y ; y z ; z x có hiệu chia hết cho Mà ta lại có x y z không chia hết cho Điều mâu thuẫn với giả thiết toán Nếu ba số x, y, z chia cho cho số dư, x y ; y z ; z x chia hết cho Nên suy x y y z z x chia hết cho 27 Từ ta x y z chia hết cho 27 Vậy toán chứng minh 3 Ví dụ Cho a, b, c số nguyên Chứng minh a b c 9 ba số a, b, c chia hết cho Lời giải Với a, b, c số nguyên ta có a 3q1 r1 ; b 3q r2 ; c 3q r3 với q1 ; q ; q số nguyên số dư r1 ; r2 ; r3 1; 0;1 Dễ thấy r13 r1 ; r23 r2 ; r33 r3 Từ ta 3 a 3q1 r1 9k1 r1 ; b3 3q r2 9k r1 ; c 3q r3 9k r3 3 Khi ta a b c 9 k1 k k r1 r2 r3 3 Mà theo giả thiết ta có a b c 9 Do nên ta suy r1 r2 r3 9 Dễ thấy r1 r2 r3 3 , suy r1 r2 r3 0 Do r1 ; r2 ; r3 1; 0;1 nên từ r1 r2 r3 0 suy r1 ; r2 ; r3 có số Điều có nghĩa ba số a, b, c có số chia hết cho Ví dụ Tìm k để tồn số tự nhiên n cho n k 4 với k 0;1; 2; 3 Lời giải Giả sử tồn số k 0;1; 2; 3 để tồn số tự nhiên n cho n k 4 Khi ta xét trường hợp sau Trường hợp 1: Nếu n 4q với q số tự nhiên Khi n k 16q k Do để n k 4 k 4 nên suy k 0 Trường hợp 2: Nếu n 4q 1 với q số tự nhiên Khi n k 16q 8q k Do để n k 4 k 4 nên suy k 1 Trường hợp 3: Nếu n 4q với q số tự nhiên Khi n k 16q 16q k Do để n k 4 k 4 nên suy k 0 Vậy với k 0 k 1 ln tồn số tự nhiên n để n k 4 Ví dụ Chứng minh n 2n chia hết cho với số nguyên dương n Lời giải Ta chứng minh toán phương pháp quy nạp toán học Với n 1 , ta có 2.12 9 3 (đúng) Giả sử mệnh đề với n, tức ta có n 2n 3 Ta cần chứng minh mệnh đề với n Thật vậy, ta có n 1 n 1 n 1 2n 4n 2n 6n 13n 2n 7n 6n 6n 2 Để ý n 2n 2n 7n 3 6n 6n 3 Do ta n 1 n 1 3 Vậy theo nguyên lý quy nạp ta n 2n chia hết cho với số nguyên dương n Ví dụ Chứng minh 52n chia hết cho với số nguyên dương n Lời giải Với n 1 , ta có 52 328 (đúng) Giả sử mệnh đề với n, tức ta có 52n 8 Ta cần chứng minh mệnh đề với n Thật vậy, ta có n 1 25.52n 24.52n 52n Để ý 52n 8 24.52n 8 Do ta 52 n 1 8 Vậy theo nguyên lý quy nạp ta 52n chia hết cho với số nguyên dương n Ví dụ Cho 2014 số tự nhiên x1 ; x ; ; x 2014 Chứng minh tồn số chia hết cho 2014 số số có tổng chia hết cho 2014 Lời giải Xét dãy số sau S1 x1 ; S x1 x ; S x1 x2 x ; ; S 2014 x1 x x 2014 Nếu số S1 ; S ; S ; ; S 2014 có số chia hết cho 2014 tốn chứng minh Nếu số S1 ; S ; S ; ; S 2014 khơng có số chia hết cho 2014 Khi dãy số tồn hai số có số dư chia cho 2014 Khơng tính tổng qt ta giả sử hai số S i S j với i j 2014 Khi ta S j S i 2014 hay ta x1 x x j x1 x2 xi 2014 Suy xi 1 xi 2 x j 2014 Vậy toán chứng minh Nhận xét: Ta tổng quát hóa toán sau: Cho n số tự nhiên x1 ; x ; ; x n Chứng minh n số có số chia hết cho n số số có tổng chia hết cho n Ví dụ Cho số nguyên a1 ; a ; ; a n Đặt A a1 a a n B a13 a 23 a 3n Chứng minh A chia hết cho B chia hết cho Lời giải Trước hết ta chứng minh bổ đề: Với số ngun a ta ln có a a 6 Thật vậy, ta có a a a 1 a a 1 Ta thấy ba số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho có số chia hết cho 3, lại có nguyên tố nên ta suy a a a 1 a a 1 6 Xét hiệu 3 3 3 sau B A a1 a a n a1 a a n a1 a1 a a a n a n 3 Áp dụng bổ để ta a1 a1 6; a a 6; ; a n a n 6 Do ta B A 6 Suy A chia hết cho B chia hết cho m n Ví dụ Cho a, m , n số nguyên dương với a 1 Chứng minh a 1 a 1 m chia hết cho n Lời giải Điều kiện cần: Giả sử a m a n Do a, m , n số nguyên dương với a 1 nên suy a m 0 m n m n Do từ a 1 a 1 ta suy a 1 a 1 nên m n Đặt m qn r với q,r N,0 r n qn r qn m r r Do a a a a 1 a 1 qn m n n r n Nhận thấy a 1 a 1 a 1 a 1 nên ta suy a 1 a 1 Mà ta có r n nên a r a n nên suy a r 0 r 0 Vậy ta m qn hay m chia hết cho n Điều kiện đủ: Giả sử m chi hết cho n Khi đặt m nq với q số tự nhiên q nq m n n n Ta có a a a a 1 a q an q an q 1 Từ suy a 1 a 1 m n Vậy tốn chứng minh Ví dụ 10 Cho số nguyên phân biệt tùy ý a1 ; a ; a ; a ; a Xét tích sau P a a a a a1 a a a a a a a a a a a a a a a Chứng minh P chia hết cho 288 Lời giải Ta có 288 25.32 , 1 nên để chứng minh P chia hết cho 288 ta chứng minh P chia hết cho 32 Chứng minh P chia hết cho 32 Theo ngun lí Dirchlet bốn số nguyên phân biệt a1 ; a ; a ; a tồn hai số nguyên có số dư chia cho hay tồn hai số ngun có hiệu chia hết cho 3, khơng tính tổng qt ta giả sử hai số a1 ; a , a1 a 3 Xét tương tự cho bốn số nguyên phân biệt a ; a ; a ; a ta cung hiệu chia hết cho Như P ln tồn hai hiệu chí hết cho Từ suy P chia hết cho hay P chia hết cho 32 Chứng minh P chia hết cho Cũng theo nguyên lí Dirichlet năm số nguyên phân biệt tùy ý a1 ; a ; a ; a ; a ln tồn ba số có tính chẵn lẻ Ta xét trường hợp sau + Trường hợp 1: Trong năm số có bốn số có tính chẵn lẻ, bốn số tạo sau hiệu hia hết cho 2, suy P chia hết cho hay P chia hết cho + Trường hợp 2: Trong năm số có ba số có tính chẵn lẻ, khơng tính tổng quát ta giả sử ba số a1 ; a ; a Khi a1 ; a ; a số lẻ ta suy a ; a số chẵn, ta bốn hiệu a1 a ;a a ; a a ; a a số chẵn Còn a1 ; a ; a số chẵn ta suy a ; a số lẻ, ta bốn hiệu a1 a ; a1 a ; a a ; a a số chẵn (6 hiệu cịn lại lẻ, khơng chia hết cho 4) Mặt khác năm số a1 ; a ; a ; a ; a tồn hai hiệu chia hết cho Do bốn hiệu a1 a ; a1 a ; a a ; a a có hai hiệu chia hết cho (do hiệu lại lẻ) Suy a1 a a1 a a a a a 2 hay P chia hết cho Vậy hai trường hợp ta P chia hết cho Như ta P chia hết cho 32 nên P chia hết cho 288 Ví dụ 11 Cho x, y số nguyên khác thỏa mãn 44 Chứng minh x y 1 x 1 Lời giải x4 y4 số nguyên y 1 x 1 x4 a y4 c ; , a, b,c,d Z a, b c,d 1 Đặt y 1 b x 1 d Theo giả thiết ta có a c ad bc số nguyên, nên ta suy ad bc bd b d bd Suy ta ad bc b nên adb , mà ta có a, b 1 nên suy db Hồn tồn tương tự ta bd Từ ta b d 4 Lại có x x 1 ; y y 1 nên a c x4 y4 số nguyên nên suy ac bd b d y 1 x 1 Mà ta có a, b c,d 1 nên suy b d 1 Từ suy y4 x4 Z; Z nên ta y x 1 y 1 x 1 44 44 4 44 Ta có x y x y x x x y 1 x 1 44 Do y 1 x 1 nên y 1 x 1 lại có x 1 x 1 44 Do ta suy x y 1 x 1 2 2 Ví dụ 12 Cho a, b số nguyên Chứng minh ab a b a b chia hết cho 30 Lời giải Ta có: ab a b a b a b ab a ab b 2 a b ab a 1 a 1 ab b 1 b 1 Với số nguyên a b ab a 1 a 1 ab b 1 b 1 chia hết cho 2 2 Để chứng minh ab a b a b chia hết cho 30 ta cần chứng minh ab a b2 a b chia hết cho Xét trường hợp sau: Nếu hai số nguyên a b có số chia hết cho 5, ab a b a b chia hết cho Nếu a b có số dư chia cho ta a b chia hết ab a b2 a b chia hết cho Nếu a b có số dư khác chia cho ta a b chia hết cho 2 2 Từ ta suy ab a b a b chia hết cho 2 2 Như trường hợp ta có ab a b a b chia hết cho 2 2 Do nguyên tố nên từ kết ta suy ab a b a b chia hết cho 30 Ví dụ 13 Cho a, b, c số tự nhiên đơi có số dư khác phép chia cho Chứng minh ba số A 3a b c; B 3b c a; C 2a 2b c có số chia hết cho Lời giải Xét hai số D 4a c c a 5a; E 4b c 5b c b Do a, b, c đơi có số dư khác chia ta có c a; c b; a b khơng chia hết cho Do D E không chia hết cho Ta xét số sau: A B 3a b c 3b c a 2 a b A C 3a b c 2a 2b c a b A D 3a b c 4a c b a A E 3a b c 4b c 3 a b B C 3b c a 2a 2b c b a B D 3b c a 4a c 3 b a B E 3b c a 4b c a b C D 2a 2b c 4a c 2 b a C E 2a 2b c 4b c 2 a b D E 4a c 4b c 4 a b Nhận thấy tất số khơng chia hết cho Từ suy A, B, C, D, E có số dư khác chia cho Mà ta biết số tự nhiên chia cho có số dư khác 0, 1, 2, 3, Từ suy số A, B, C, D, E có số chia hết cho Mà ta biết D E không chia hết Do ba số A, B, C có số chia hết cho Ví dụ 14 Tìm cặp số nguyên dương x, y thỏa mãn x chia hết cho y y chia hết cho x Lời giải Từ điều kiện toán ta suy x y; y x Từ ta x y x , x, y số nguyên dương nên suy y x y x y x Ta xét trường hợp sau: Nếu y x , ta x 1y x 1y Suy x 1 x 1 y y y 1; + Với y 1 ta x 2 + Với y 2 ta x 3 10