4.1.Cd. Quan He Chia Het Tren Tap So Nguyen.doc

CHƯƠNG I CHUYÊN ĐỀ QUAN HỆ CHIA HẾT I LÝ THUYẾT 1 Định nghĩa 2 Tính chất Nếu a chia hết cho cả m và n, trong đó m, n là hai số nguyên tố cùng nhau thì a chia hết cho m n Nếu tích a b chia hết cho c, t[.]

CHUYÊN ĐỀ: QUAN HỆ CHIA HẾT I LÝ THUYẾT Định nghĩa: Tính chất: Nếu a chia hết cho m n, m, n hai số nguyên tố a chia hết cho m.n Nếu tích a.b chia hết cho c, (b; c) = a chia hết cho c Với p số nguyên tố Nếu a.b chia hết cho p a chia hết cho p b chia hết cho p Khi chia n + số nguyên dương liên tiếp cho n  n 1 nhận hai số dư Trong n  n 1 số ngun liên tiếp, ln có số chia hết cho n Nếu  a; b  d tồn hai số nguyên x, y cho: ax  by d n n n n n n Ta có: a  b  a  b   a   b   a  b  a  b  n n n n n n Ta có: a  b  a  b   a   b   a  b  a  b  với n số tự nhiên lẻ Giả sử a, b, c số nguyên dương, ta có tính chất sau a b  a c bc a c  (ma  nb)cm, n  Z bc Nếu  Nếu  a b  a [b,c] ( BCNN) Nếu  a c a b   a b.c a c (b, c) 1  abc  a c (b, c) 1  p  P( songuyento)  abp Nếu  Nếu  Nếu a b  a b Nếu a n b n  a b(n  Z  )  a p   b p Trong n số nguyên liên tiếp có số chia hết cho n 10 Tính chất chia hết tổng, hiệu, tích a m  a b m a)    b m b) a m  a n m(n  N )  ab m Trang a c c)   abcd bd II LUYỆN TẬP Dạng 1: SỬ DỤNG TÍCH CÁC SỐ LIÊN TIẾP Phương pháp giải : Để chứng minh biểu thức A(n) chia hết cho số m, ta phân tích A(n) thành nhân tử, có nhân tử m  A(n)m Nếu m hợp số, ta phân tích m thành tích thừa số đôi nguyên tố nhau, chứng minh A(n) chia hết cho tất số Khi chứng minh A(n) chia hết cho m thực chất ta xét trường hợp số dư chia A(n) cho m Bài 1: Chứng minh với số nguyên dương n ta có: n3  5n6 HD: 3 Ta có: n  5n  n  n   6n , ta cần chứng minh n  n6  n  n  1  n  1 6 Do n  n  1  n  1 tích số nguyên liên tiếp nên chia hết cho Bài 2: Chứng minh : n3  11n6, n  Z HD: 3 Ta có: n  11n n  n  12n n  n  1  12n n  n  1  n  1  12n Vì n  n  1  n  1 ba số nguyên liên tiếp  n  n  1  n  1 6 12n6  n3  11n6 Bài 3: Chứng minh a a  a 2(a  N ) b a  a 3(a  Z ) c d a  a 5;6;30(a  Z ) a  a 7, 42(a  Z ) HD: a Ta có : a  a a(a  1)2 b a  a a(a  1)(a  1) (a  1)a (a  1)3 c a  a a(a  1) a (a  1)(a  1) (a 1)       2,3 6  5.6 30  2 2 a  a  a ( a  1)( a  1)  a ( a  1)[( a  4)  5)]= (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2)  n ( n  1)                5 5 d a  a a (a  1) a (a  1)(a  a  1)(a  a  1) Nếu a 7k (k  Z )  a 7 Nếu a 7k  1(k  Z )  a  49k  14k 7 Trang Tương tự ta xét a = 7k + 2,3,4,5,6 chia hết cho (đpcm) Bài 4: Chứng minh a b n3  11n 6 mn(m  n )6 HD: a n3  11n n3  n  12n n(n  1)(n  1)  12  n      6 b mn(m  n ) mn[( m  1)  (n  1)]= mn(m-1)(m+1)  mn(n  1)( n  1)             6 6 6 Bài 5: Chứng minh với n lẻ a b A n  4n  38 C n12  n8  n  1512 c D n  10n2  9384 HD: a Ta có: n  4n  (n  1)(n  3) Vì n số lẻ nên n + n + tích hai số chẵn liên tiếp nên chia hết cho n12  n8  n  (n8  1)( n  1) (n4  1) (n  1) (n  1) ( n  1) ( n  1) b 16.[ (n  1) (n  1)  24.2 2.2 2.2 512  k(k+1)]          24 22 chan  22 chan  2 c n  10n  (n  n )  (9n  9) n2 (n  1)(n  1)  9(n  1)(n  1) (n  3)(n  1)(n  1)(n  3) Đặt n = 2k + ( k thuộc Z ) D (2k  2)2k (2k  2)(2k  4) 16 k (k  1)(k 1)(k  2)  D 384         24 Bài 6: Chứng minh số A n3 (n  7)  36n 5040n  N HD: A n3 (n  7)  36n n[n (n  7)  36] n[(n  n)  36] n(n  7n  6)(n  n  6) n(n  1)(n  2)(n  3)(n  1)(n  2)(n  3) Là tích số nguyên liên tiếp Tồn bội bội Tồn bội ( chia hết cho 9) Tồn bội có bôi nên chia hết cho 16 Vậy A chia hết cho 5040 Trang Bài 7: Chứng minh A 3n  14n3  21n  10n 24 HD: A 3n  14n3  21n2  10n n(3n3  14n  21n  10) n(3n3  3n  11n  11n  1on  10) A n( n  1)(3n  11n  10) n(n  1)(3n  6n  5n  10) n(n  1)(n  2)(3n  5) n(n  1)( n  2)(3n   4) A (3n  9)n(n  2)  4n(n  1)(n  2) 3n(n  1)(n  2)(n  3)  4n(n  1)(n  2)                8 24 6 24 Bài 8: Chứng minh rằng: A n5  5n3  4n120 22.3.5n  Z HD: A n5  5n3  4n n(n4  5n  4) n(n  n3  n3  n  4n  4n  4n  4) n(n  1)(n3  n  4n  4) A n(n  1)(n  1)(n  2)(n  2) tích số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 8.5.3=120 Bài 9: Chứng minh với n chẵn ta có: A n3  6n  8n48 HD: A n3  6n  8n48 n(n  2)(n  4) Đặt n = 2k  A 2k (2k  2)(2k  4) 8 k (k 1)(k  2)  A48       6 Bài 10: Chứng minh với n lẻ : A n8  n  n  n 1152n  N HD: 1152 = 9.27 = 32.27 A n (n6  n  n  1) n [(n  n2 )  (n  1] n (n2  1)(n4  1) n (n  1)2 (n  1) A [ n(n-1)(n+1)]2 (n2  1)  A9(1)      3 9 Vì n lẻ nên n – n + số chẵn liên tiếp  có số chia hết cho  tích số chẵn chia hết cho 8, mặt khác n2 + số chẵn  chia hết cho  A82.2 27 (2) Từ (1)(2)  A27.32 ( dpcm) Bài 11: Chứng minh rằng: A n  n  1  2n  1 6, n  N HD: Ta có: A n  n  1   n  1   n     n  1 n  n  1  n  n  1  n   6 Bài 12: Chứng minh rằng: m3  3m  m  348, m lẻ HD: Vì m số lẻ, Đặt m 2 k  1,  k  N  2 Khi ta có : A m  3m  m   m  3  m  1  m  1  m  1  m  3 Trang Thay m 2 k  vào A ta : A 8  k    k  1 k Vì k  k  1  k   tích ba số tự nhiên liên tiếp nên 6 Vậy A48 Bài 13: Chứng minh rằng: n4  4n3  4n2  16n384, n chẵn HD: Vì n chẵn, Đặt n 2 k ,  k  N  , Khi ta có: A n  4n3  4n2  16n n  n   n2  , Thay n 2k vào A ta được:   A 16  k    k  1 k  k  1 , Vì  k    k  1 k  k  1 tích số tự nhiên liên tiếp Nên chia hết cho Bài 14: Chứng minh rằng: B n  5n  4n120,  n  N  HD: 2 Ta có: B n  n  5n   n  n  1  n   n  n  1  n  1  n    n   120 Bài 15: Cho n số nguyên, Chứng minh A n  14n3  71n  154 n  12024 HD: Ta cần chứng minh A3 A8 , ta có : A n  14n3  71n2  154n  120 n3  n    12n2  n    47n  n    60  n   A  n    n  n  3  9n  n  3  20  n  3   n    n  3  n  n  3   n    A  n    n  3  n    n  5 , Vì A tích số tự nhiên liên tiếp => A3 Ngoài số nguyên liên tiếp có hai số chẵn liên tiếp, số 2 số  Vậy A 8 Bài 16: Chứng minh rằng: n4  6n3  11n2  6n24 HD: Ta có: A n  6n3  11n2  6n n  n  1  n    n  3 tích số nguyên liên tiếp nên A3 Và A tích số nguyên liên tiếp, nên có số chẵn, số chia hết cho số chia hết cho 4, Nên A8 Bài 17: CMR: n  2n3  n  2n chia hết cho 24 với n  Z HD: 2 Ta có: n  2n  n  2n n  n  n     n    n  n  1  n  1  n   Trang tích số tự nhiên liên tiếp nên có số chia hết cho số chia hết chia hết cho chia hết cho a a a3 Bài 18: Chứng minh rằng:   số nguyên với a nguyên HD: Ta có: a a a3 a  a  1  a   Vì a  a  1  a   tích số nguyên liên tiếp    6 => 6 Bài 19: Chứng minh rằng: n5  n30, n HD: Ta có: A n  n  n  1 n  n  1  n  1 , tích số nguyên liên tiếp nên chia hết cho Mặt khác: A n5  n  n  1 n  n  1 n    n    n  1 n  n  1  n     n  1 n  n  1   Thấy  n    n  1 n  n  1  n   tích số nguyên liên tiếp nên A5 Bài 20: Chứng minh rằng: n3  1964n48,  n chẵn HD: Vì n số chẵn, Đặt n 2 k,  k  N  Khi ta có : n  1964 n 8  k  1 k  k  1  3888k Vì  k  1 k  k  1 tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho Bài 21: Chứng minh rằng: n    n  64, n lẻ HD: Vì n lẻ, Đặt n 2k  1,  k  N  , Khi ta có: A n    2n2   n   , 2 Thay n 2k  vào ta được: A 16  k  k   , Vì k  k  k  k  1  22  k  k  4  A64   Bài 22: Chứng minh rằng: n4  6n2  764, n lẻ HD: 2 Vì n lẻ, Đặt: n 2k  1,  k  N  , Khi đó: A n  6n   n  1  n  7 , Thay n 2k  vào ta được: A 16k  k  1  k  k   Trang Bài 23: Chứng minh rằng: A n2  4n  38, n lẻ HD: Ta có: A  n  1  n  3 , Vì n số lẻ, Đặt n 2k  1,  k  N   A  2k    2k   8 Bài 24: Chứng minh rằng: tổng lập phương ba số nguyên liên tiếp chia hết cho HD: Gọi số nguyên liên tiếp là: n  1; n; n  1,  n  Z  3 Gọi A  n  1  n3   n  1 3n3  3n  18n  9n  3  n  1 n  n  1   n2  1  18n Thấy:  n  1 n  n  1 3   n  1 n  n  1 9 Vậy A9 Bài 25: Cho a, b, c số nguyên Chứng minh : a3  b  c 6 a  b  c 6 HD: 3 3 3 Xét A a  b  c  a  b  c  a  a    b  b    c  c  Mà a  a a  a  1  a  1 tích số nguyên liên tiếp nên a  a  1  a  1 6 Như A 6 => a3  b3  c 6  a  b  c6 Bài 26: Chứng minh rằng: n12  n8  n  1512, n lẻ HD: Vì n lẻ, Đặt n 2k  1,  k  N  , Khi đó: A n12  n8  n   n  n   n  n          n  1  2 Thay n 2k  vào A ta được: A 64  k  k  1   2k  2k  1  n  1 Bài 27: Cho A( x) 2 x  x3  x  13 x  CMR: A( x) 6x  Z HD: Ta có: A( x) 2 x  x  x  13x  ( x  3)( x  2)( x 1)(2 x  1) Suy ra: A( x) ( x  3)( x  2)( x  1)(2 x   3) 3( x  3)( x  2)( x  1)  2( x  3)( x  2)( x  1)( x  1) 6 Bài 28: Cho B( x) x  x3  13 x  14 x  24( x  Z ) CMR: B( x)6 HD: Ta có: B( x) x  x  13x  14 x  24 ( x  3)( x  1)( x  2)( x  4) Suy ra: B( x) ( x  3)( x  1)( x  2)( x   6) ( x  3)( x  2)( x  1)( x  2)  6( x  3)( x  1)( x  2)                   6 Bài 29: CMR C ( x) n8  4n  6n  4n5  n 16n  Z Trang 6 HD: Ta có: C ( x) n (n4  4n3  6n2  4n 1) n 4[(n (n 1)  3n ( n 1)  3n(n 1)  (n 1)]-(n+1)n (n3  3n  3n 1) Suy ra: C ( x) n (n  1)(n  1)3 [n(n+1)]4 24 16(dpcm) Bài 30: Tìm số tự nhiên n cho:  n  5  n   6n HD: 2 Ta có: A  n  5  n  6 n  11n  30 12n  n  n  30  n  n  1 3 (1)  n2  n6 n  n  30  n     12 n  n Vì cần chứng minh  (2) 30n 306n Từ (1)  n 3k n 3k  1,  k  N  Từ (2)  n   1;2;3;5;6;10;15;30  n   1;3;10;30 thỏa mãn Bài 31: Chứng minh 1900 số tự nhiên liên tiếp có số có tổng chữ số chia hết cho 27 HD: Giả sử 1900 số tự nhiên liên tiếp là: n, n  1, n  2, , n  1989 (1) Trong 1000 số tự nhiên liên tiếp: n, n  1, n  2, , n  999 phải có số chia hết cho 1000, giả sử n0 , Khi n0 có tận chữ số Giả sử tổng chữ số n0 s 27 số n0 , n0  9, n0  19, , n0  899 Có tổng chữ số là: s, s  1, s  2, , s  26 , có số chia hết cho 27 Bài 32: Cho a,b bình phương hai số nguyên lẻ liên tiếp, CMR: ab  a  b  chia hết cho 48 ta có: ab  a  b   a  1  b  1 , HD: Vì a,b bình phương hai số nguyên lẻ liên tiếp nên: 2 a  2n  1 ; b  2n  3 với n  Z 2 Nên ab  a  b  (a  1)(b  1)   2n  1  1   2n  3  1 16n  n  1  n   Nên chia hết cho 16 chia hết chia hết cho 48 Bài 33: Cho m, n hai số phương lẻ liên tiếp, CMR: mn – m – n chia hết 192 HD: Trang Đặt m (2k  1) ; n (2k  1) (k  Z )  A (m  1)(n  1) [(2k-1)2  1][(2k+1)2  1] (4k  4k )(4k  4k ) 16k (k  1)(k  1) Ta chứng minh A chia hết cho 64 A (k  1).k k (k  1)  A16.2.2 64; A 16k ( k  1)k (k  1)  A3  A64.3 192            2 2 3 Bài 34: Cho n số tự nhiên, chứng minh rằng: a n5 n 7n3 5n n     sô tu nhiên 120 12 24 12 b B n(n  1)(3n  2) 12 HD: n5 n 7n3 5n n n5  10n  35n  50n  24n n(n 10n3  35n  50n  24)       a 120 12 24 12 120 120 n(n 1)(n  2)( n  3)( n  4)  120 b B n(n  1)(3n  2) n(n  1)(n  1)(3n  2) Lại có: n + + n – = 2n chia hết n + n – tính chẵn lẻ N + 3n + = 4n + chia hết n 3n + tính chẵn lẻ Do A ln có số chẵn Vậy B 3  B 12 Bài 35: Cho x, y số nguyên, CMR: A x y  xy 30 HD: Ta có : A x5 y  xy xy( x   y 1) xy( x  1)  xy( y  1) x( x  1)( x 1)( x 1) y  xy( y 1)( y  1)( y 1) A  x( x  1)( x  1)[(x  4)  5]  xy ( y  1)( y  1)[(y  4)  5]                     30 30 Bài 36: CMR: Với x, y hai số nguyên ta có : A  xy ( x  15 y)  xy( y  15 y )30 HD: A xy ( x  15 y )  xy ( y  15 y ) x y  15 xy  xy  15 xy xy ( x  y )  30  xy    Bai _ 35 30 Bài 37: Cho n số nguyên dương nguyên tố với 10 CMR : A n  140 HD: Vì (n,10) =  (n, 2) (n,5) 1 Ta có : n  (n  1)(n  1)(n 1)8 tích hai số chẵn liên tiếp Ta chứng minh A chia hết cho Xét n = 5k + ; n = 5k + ; n = 5k + ; n = 5k + thỏa mãn chia hết cho Trang Bài 38: Cho n số x1, x2, …xn số nhận giá trị -1 CMR: Nếu x1x2 + x2x3 + … +xnx1 = n chia hết cho HD: Đặt y1 = x1x2 ; y2 = x2x3 ; … ; yn = xnx1  y1 y2 yn nhận giá trị -1  y1  y2   y n 0 Suy số y1, ….yn số số có giá trị = với số số có giá trị = -1 suy n chẵn suy n = 2k Ta có : y1.y2….yn = (x1.x2…xn)2 = Có k số n số y1 , y2 , … , yn = k số n số y1 ,… yn -1 Vậy k phải chẵn Suy k = 2q n = 4q chia hết cho (đpcm) Bài 39: Có số có chữ số, thỏa mãn: Chia hết cho có số HD: Ta có: 30000 số có chữ sô chia hết cho ( 10000 đến 99999 có 90000 số, cách số có số chia hết cho ) Ta đếm số số chia hết cho mà không chứa chữ số Giả sử: abcde(a 0;0 a, b, c, d , e 9.a, b, c, d , e 3) có cách chọn a ; b,c,d chọn cách Ta có: a + b + c + d + e chia hết cho a  b  c  d 3  e 0, 6,9  Nếu a  b  c  d 3du1  e 2,5,8(du 2) a  b  c  d 3du  e 1, 4, 7(du1)  Vậy có cách chọn e suy có 8.9.9.9.3 = 17496 số chia hết khơng chứa thừa số Suy có: 30000 – 17496 = 12504 số thỏa mãn toán Dạng 2: XÉT TẬP HỢP SỐ DƯ TRONG PHÉP CHIA Bài 1: Chứng minh với số tự nhiên n ta có : A n  2n  7  7n  7 6 HD: Ta có : n 7n  số chẵn với số tự nhiên n nên A2 Lấy n chia cho ta : n 3k  r  k  N ,0 r 2  Với r 0  n 3k  A3 Với r 1  n 3k  2 n  6k  93  A 3 Với r 2  n 3k   7n  21k  153  A 3 Trang 10 Nên m  15  n2 5  n5  mn5 , ĐPCM Bài 12: Tìm tất số nguyên x cho : x  8x  x x  HD: 2 2 Ta có : x  8x  x  x  x  1   x  1  x  8x   x  8x  Nếu x  0  x  thỏa mãn Nếu x 8  x   x   x   1; 2  x   0;2 Bài 13: Cho hai số tự nhiên a, b, Chứng minh rằng: 5a2  15ab  b 49  3a  b7 HD: Ta có: 5a2  15ab  b 49  5a2  15ab  b 7  9a  6ab  b 7   3a  b  7  3a  b7 2 Mặt khác: 3a  b7  3a  b 7k  k  Z   b 7k  3a  5a  15ab  b 5a2  15a  7k  3a    7k  3a  49 3ak  a2 49   Bài 15: Cho a, b số nguyên dương cho a2  b chia hết cho tích a.b Tính giá trị biểu thức: A  a2  b ab HD:  a da1 ,  a1; b1  1 , ta có: a2  b d  a1  b1  ab d a1b1  b db1 Gọi d  a; b    Vì a2  b ab  a12  b12 a1b1  a12  b12 a1 b1  a12 b1 b12 a1 Vì  a1; b1  1  a1 b1 b1 a1  a1 b1 1 Vậy A  d a12  b12  d a1b1   2.d a 2 2 d a 2 Bài 16: Cho m, n hai số nguyên tố Hãy tìm ước số chung lớn hai số A m  n B m  n2 HD: Gọi d UCLN  A; B  , Vì  m; n  1  A, B tính chẵn lẻ : 2mn  A  B d 2mn  2n 2nAd  2n d Nếu A, B chẵn m, n lẻ d chẵn, Từ (1) => 2d  d 2 Nếu A, B lẻ d lẻ, Từ  1  n d , tương tự : m d Trang 13 (1) Vì  m; n  1  d 1 n Bài 17: Cho số tự nhiên n  , Chứng minh rằng: 10 a  b,   b  10  ab6 HD: Ta có: n 10a  b  b2  ab2 , ta cần chứng minh ab3 Mặt khác : n 10 a  b  n có chữ số tận b n k r Đặt n 4k  r,  k , r  N ,0 r 3  16 Nếu r 0  2n 16k có tận  b 6  ab 6 n x r k n Nếu r 3   2  16  1 10  tận 2r  b 2r  10a 2n  x 2r 16k  3  a3  ab6   5 5 Bài 18: Cho số tự nhiên n 1 , Chứng minh rằng: S 1     n      n  HD: Đặt: A 2      n  n  n  1 Mặt khác, với n lẻ ta có: an  b n a  b,(a, b  N * ) 5 5 Nên 2S   n      n  1    n  1 n     2S  15   n  1   5      n  2      n  1  1   2n n 5 Mà  n; n  1 1  S n  n  1 2 A  S A Bài 19: Cho p 1 1     ,  p, q  Z  Chứng minh p1979 q 1319 HD: Ta có: 1 p  1             q  1319  1318  2  1       1319     1  1        659   1319   660  p  1   1   1979 A p.B           q     q B 1979 A  660 1319   661 1318   1319 660   1979  p 1979 Mà B  * Bài 20: Cho a1 , a2 , a3 , an   1;  1 ,  n  N  , thỏa mãn: a1a2  a2 a3  a3a4   an a1 0 , Chứng minh rằng: n4 HD: Trang 14 Đặt x1 a1a2 , x2 a2 a3 , , xn ana1  x1 , x2 , x3   1;  1 , Hơn x1  x2   xn 0 Thì số -1 Giả sử có m số m số -1 (m  N * )  n 2m x1x x3 xn   1 m x1 x2 x3 xn  a1a2 an  1 Từ ta m số chẵn => n chia hết cho   a  b   a  b 77 Bài 21: Tìm hai số nguyên dương a, b cho: ab  a  b   HD: Ta có:  a  b   a  b 7ab  a  b   a2  ab  b    a  ab  b 73 Vì ab  a  b   Chọn b 1  a2  a  73  a Dạng 3: CHỨNG MINH PHẢN CHỨNG  49, n  N Bài 1: Chứng minh : S n2  3n  38  HD: Giả sử tồn số tự nhiên n để S n2  3n  3849 2 Khi đó: S n  3n  38   n   n  4n  , Mà S 49  S 7   n   7  n  27  n 7t  , thay vào S ta được:  49 trái với giả sử, Vậy S không chia hết cho 49 với số tự nhiên S 49 t  t  28  S    n  15, n  Z Bài 2: Chứng minh: n2  n   HD: 2 Giả sử: n  n  215  n  n  23  n  n  1  3 (1)  n 3k  ,k  Z  n 3k     Từ (1)  n   n2   n  1  n  1 3 Lại có: n2  n  n2   n    mâu thuẫn với giả thiết, Vậy n2  n    15  121, n  N Bài 3: Chứng minh rằng: n2  3n   HD: Trang 15 Giả sử: n2  3n  5121  n2  3n  511  n  12 n  20 11  4n  12 n   1111   n    1111 Nhưng A n2  3n  511 A  121 11   121 Bài 4: Xét phân số A  n2  Hỏi có phân số tự nhiên n khoảng từ đến 2002 n5 cho phân số A chưa tối giản HD: Giả sử A chưa tối giản Đặt d  n  4; n  5  d  Ta có:  n  5  n2  d  10n  21d  10  n  5  29d  29d  d 29 Ngược lại:   * 2 Nếu n  529  n  29k ,  k  N   n  29  29m  5k  1 29  A tối giản * Do đó, ta cần tìm n cho n  29k ,  k  N   n 2002  m 69 Vậy có tất 69 giá trị m n có 69 giá trị để A chưa tối giản  343, n  N Bài 5: Chứng minh rằng: 9n3  9n  3n  16  HD: Bài 6: Có tồn số tự nhiên n cho n2  n  249 không HD: Giả sử tông số tự nhiên n để 2 n2  n  249  n  4n  849   2n  1  749   n  1 7 Vì số nguyên tố  2n  17   n  1  749 từ  749 ( vơ lý) Bài 7: Chứng minh rằng: n2  n  19, n  N * HD: Giả sử tồn số tự nhiên n cho n  n  19   n    n  1  39 Vì số nguyên tố nên  n   3  n  1 3 Nếu  n   3   n    n  1  33 không chia hết cho Nếu  n  1 3   n    n  1 3 không chia hết cho Bài 8: Chứng minh rằng: 4n2  4n  18289, n  N HD: Trang 16 Giả sử tồn số tự nhiên n để 4n2  4n  18289   2n  1  17172   n  1 17 2  289 Vì 17 số nguyên tố nên  2n  1 17   2n  1 289 Khi đó:  n  1  17  2 Bài 9: Tìm tất cặp số nguyên dương  a; b  cho:  a  b   a b  1 HD: 2 * 2 Gỉả sử a  b a b   k  N : a  b k  a b  1  a  k b  ka  b  Đặt m ka  b,  m  Z   a  k mb , Do a, b, k  N *  m  N * , ta có:  m  1  b  1 mb  m  b  a  k  ka   a  1  k  ka  1 , * Vì m, b  N   m  1  b  1 0  k  a  1 , Do k , a  N *  a  0 ta có : TH1 : k  a  1 0  a 1 thay vào đẳng thức ta :  m  1  b  1  a  1  k  ka  1  m  1  m 2   b  2 b 3 Ta được:  m  1  b  1 2   TH2: k  a  1 1  k a  1  k 1 a 2 , Thay k 1, a 2 vào đẳng thức ta được:  m  1  b  1  a  1  k  ka  1 ta được:  m  1  b  1 0  m b 1 Nếu m 1 từ a  k mb  b 3 Vậy cặp số  a; b   1;2  ,  1;3 ,  2;1 ,  2;3 n n Dạng 4: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT: A B  A B  Phương pháp giải: a n  b n a  ba, b  Z , a b, n  N a n  bn a  ba, b  Z , a  b, n  N , (n : le) a n  bn a  ba, b  Z , a b, n  N , (n : chan) Bài 1: Chứng minh a 251  17 b 270  370 13 c 1719  1917 18 d 24 n  115n  N HD: a Ta có: 251  (23 )17  17 23  7 Trang 17 b 270  370 (22 )35  (32 )35 435  935 4  13 1719  1917 (1719  1)  (1917  1)       c 18 d 24 n  (24 ) n  1n 24  15n  N 18 Bài 2: Chứng minh a 11n 2  122 n1 133 b 5n 2  26.5n  82 n 1 59 c 7.52 n  12.6n 19 d 20n  16 n  3n  1323(nlasotunhienchan) HD: a n n 11n 2  122 n1 112.11n 12.122 n 121.11n  12.144 n (133  12).11n 12.144n 133.11  11n )     12(144       b n 5n 2  26.5n  82 n 1 25.5n  26.5n  8.82 n 51.5n  8.64n (59  8).5n  8.64 n 59.5  8(64n  5n )      c n 7.52 n  12.6 n 7.52 n  (19  7).6 n 19.6  7(25n  n )     19 133 59 19 20n  16n  3n  (20 n  3n )  (16n  1) (20n  1)  (16n  3n )               d 20  16 1 20  16 3 Bài 3: Chứng minh A 2005n  60 n  1897n  168n 2004, n  N HD: Ta có: 2004 12.167 , ta cần chứng minh A12, A167 n n n n Ta có : A  2005  1897    168  60  n n Áp dụng tính chất : a  b  a  b  , với n tự nhiên a  b 0 n n n n Khi : 2005  1897  2005  1897 168  60  168  60  => Vậy A 12 n n n n Tương tự : A  2005  168    1897  60  Khi A167 n n n n n Bài 4: Cho n  N , CMR : A 5   1     91 HD: Ta cần chứng minh A7 A13 n n n n n n n n Ta có : A 25   18  12  25  18    12   n n Áp dụng tính chất : a  b  a  b   A 7 n n n n Tương tự : A  25  12    18    A13 Bài 5: Cho n  N , Chứng minh rằng: 62 n  19n  n1 17 HD: Trang 18 133 59 2n n n 1 n n n n n n n Ta có: A 6  19  36  19  2.2  36     19   n n Vì 36   36  34  19n  n 17 Bài 6: Chứng minh rằng: 13  33  53  73 23 HD: 3 3 3 3 Ta có: A 1           8N  8M 8 Bài 7: Chứng minh rằng: 28n.56 n  1980 n  441n  11979, n  N HD: 8n 6n n 6n n n n Ta có: A 2  1980  441    441    1980   Vì 46 n  441n 4000000 n  441n 3999559 1980 n  1n 1979 Bài 8: Chứng minh rằng: 36 n  26 n 35, n  N HD: n n Ta có: 36 n  26 n  36    26   36   M  33  23   33  23  M 35.19 M 35 Bài 9: CMR với số tự nhiên n ta có : 5n 2  26.5n  82n 1 59 HD: n n n n n n n Ta có: 5n 2  26.5n  82n 1 59 = 51.5  8.64  59    8.64 59.5   64   n Vì  64    64   nên ta có đpcm Bài 10: Chứng minh a A 42 n1  3n2 13 b B n.28n  26n  27 27 HD: a n A 4.16 n  9.3n 4.16 n  4.3n  9.3n  4.3n 4.(16 n  3n ) 13.3      13 b B n.28n  n  27n  27 n(28n  1)  27( n  1)        13 27 27 Bài 11: Cho an 22 n1  2n1  1; bn 22 n1  2n1  CMR: Với số tự nhiên n có hai số an bn chia hết cho HD: Ta xét trường hợp Nếu an bn chia hết cho  an  bn 5 Ta có: an  bn 2.2n1 22 n 2 / Trang 19  an 5 an bn (22 n1  1)2  (2n1 )2 42 n 1  2.22 n1   22 n2 42 n 1  1(4  1) 5( n : le)    bn 5 Bài 12: Chứng minh rằng: 92 n  1415 HD: 2n 2n n Ta có:  14 9   15  81  1  15 80 n  155 Bài 13: Chứng minh rằng: A 20n  16n  3n  1232, n  N HD: Tách 232 17.19 n n n Khi đó: A  20     16  1 n n n Lại có: 20   20  3 M 17M 17 , 16   16  1 N 17N 17 Khi đó: A17 n n n Mặt khác: A  20  1   16   , n n n Mà 20   20  1 P 19.P 19 16   16  3 Q 19.Q19  A19 Bài 14: Chứng minh rằng: nn  n2  n  1 n  1 , n  HD: Với n 2  nn  n  n  1 n  1 1 n n Với n   A n  n  n   n  n    n  1 n nn    n  1 n  n  1 n n  n n     n  1     2  n  1 n n  n n   n2   n  1  n n     n2    n  1   n  1 M  n  1         Bài 15: Chứng minh rằng: 32 n1  22 n2 7, n  N HD: n Ta có: 32 n1  22 n2 3.32 n  2.2 n 3.9n  4.2 n 3     4.2 n 7.M  7.2 n 7 4 Bài 16: Chứng minh rằng: mn  m  n  30, m, n  N HD: 4 2 2 Ta có: mn  m  n  mn  m  1  m  1  mn  n  1  n  1 30 Bài 17: Chứng minh rằng: A 3n  6372, n  N , n 2 n số chẵn HD: Trang 20