Cac Bdt Phu Quan Trong 23.4.23.Doc

CÁC BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ QUAN TRỌNG CẦN NHỚ (Áp dụng cho các số thực không âm, mẫu số dương) * Các kết quả dưới đây, khi đi thi, kiểm tra Học sinh phải chứng minh lại trước khi áp dụng 1) 2; 2 a b b a b[.]

CÁC BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ QUAN TRỌNG CẦN NHỚ (Áp dụng cho số thực không âm, mẫu số dương) * Các kết đây, thi, kiểm tra Học sinh phải chứng minh lại trước áp dụng: a b b 1)  2; a  2 b b a a 2) a  b  c 3 abc , a  b  c  d 4 abcd 3) 2(a  b ) (a  b) 4ab với a,b Nếu lấy cần điều kiện khơng âm 4) a  b  c ab  bc  ca => 3(a  b  c ) (a  b  c)2 => x y  y z  z x xyz ( x  y  z ) 5)  a  b  c  3(ab  bc  ca ) Cộng vế (4) với 2(ab+bc+ca) ta (5)  ( xy  yz  zx) 3 xyz  x  y  z  3( xy yz  yz.zx  zx.xy ) 1 2  6)   a b a b a2  b2 7) 2 x  y ( x  y  ) a b a b 1 3     a b c a b c a  b2  c2 2 x  y  z 8) x  y  z   a b c a b c a  b ab(a  b) 3 10) a  ab  b  (a  b)2  (a  b )2  (a  b)2 4 11) a  ab  b  (a  b)2  (a  b)2  (a  b)2 4 9) a  b3   a  b4 ; a 1 ; a  a 1  (a  b) a  ab  b2 a  b2 2 a  ab  b  12) 2(a  b )  a  b 4 2    a  b  ( a  b) ( a  b) a b 4   a b  2( )     2(a  b ) (a  b) 4ab 13) 3( x  y  z ) x  y  z x y z     3 xyz xyz y z x 14) Với a, b 0 a mn  b mn  (a m  b m )(a n  b n ) (*) Thật BĐT cần chứng minh tương đương với ( a m  b m )(a n  b n ) 0 điều hiển nhiên a n  bn  a  b   Tổng quát ta có    n (**) a n  bn  a  b   a n  b n   a b   Thật áp dụng (*) ta có     2      n 15) Với a, b, c 0 a mn  b mn  c mn  (a m  b m  c m )(a n  b n  c n ) (*) Thật ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: ( a  b m )(a n  b n )  (b m  c m )(b n  c n )  (c m  a m )(c n  a n ) 0 mà điều hiển nhiên m n an  bn  cn  a  b  c   Tổng quát ta có:  Thật áp dụng (*) ta có: 3   a n  bn  c n  a  b  c   a n  b n   c n    a  b  c   a n   b n   c n          3 3        Áp dụng bất đẳng thức ta có: n n an  n bn  n bn  n a  n b  n c     3   n a b c n a  n b  n c  3 n 1  1 1  n n     n a b c  a b c Tương tự ta có:   3     n 1 1   Do    suy n  n  n 3   a b c a b c a b c  a b c  1   16) với ab 1 , a, b dương a  b  1  ab 17) 1 với  ab 1 , a, b dương   a  b  1  ab 18) b a ab   với a,b không âm a  b  1  ab 19) Một số kết suy từ bất đẳng thức Cô si (Chứng minh BĐT Holder) +  a  b3   x3  y   m3  n3   axm  byn  (*) (Bất đẳng thức Holder) Áp dụng BĐT Cauchy ta có: a3 x3 m3 3axm    3 3 3 a b x  y m n a3  b3    x  y   m3  n3  b3 y3 n3 3byn    3 3 3 a b x  y m n a3  b3    x  y   m3  n3  Cộng hai bất đẳng thức chiều ta suy ra:  a 3  b3   x3  y   m3  n3   axm  byn  3axm  3byn a  b3   x  y   m  n3   20) Tương tự ta chứng minh (BĐT Holder với dãy số không âm): a  b3  c3   x3  y3  z   m3  n3  p   axm  byn  czp  21)  a  b   b  c   c  a    a  b  c   ab  bc  ca  8abc (Dùng đẳng thức  a  b   b  c   c  a   abc  a  b  c   ab  bc  ca  để chứng minh) 22) 4[a 2b  b2c  c a  abc( a  b  c)] (a  b  c)(a  b)(b  c)(c  a ) 23) abc (b  c  a )(c  a  b)(a  b  c ) 9a 2b 2c (a  b  c )(a  b  c )(b  c  a )(c  a  b)(a  b  c ) 2 2 2 24)  a  b  c   a  b  c  3  a b  b c  c a  a 25)  b  c   a  b  c  3  ab  bc  ca  1 ;   2 (1  a) (1  b)  ab  a  b   a  c  a  bc k  x  k  y k  k  x  y ; k  x  k  y  k  z 2k  k  x  y  z 26) 27) k  x  k  y k  k  x  y ; k  x  k  y  k  z 2k  k  x  y  z Với k, x, y, z không âm 28) Với a, b, c không âm thỏa mãn: a  b  c k với k ≥ Khi đó: a) k  2bc  2a  b  c  b)  a  b  c   2k   bc  c) a  b  c  abc  2k k ============================================================ * Bất đẳng thức AM-GM (Trung bình cộng - Trung bình nhân) Ở VN hay gọi Bất đẳng thức Cô si: a1  a2  a3   an n  a1a2 a3 an n Với 0 Dấu = xảy a1 a2  an * Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz-Bunhiacopxki (C-S, B-C-S) Ở VN hay gọi Bất đẳng thức Bunhiacopxki Sách hay gọi Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz (Cô si Svác): ( a12  a2   an )( x12  x2   xn ) (a1 x1  a2 x2   an xn ) a a1 a2    n Với xi khác x1 x2 xn * Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz (Bất đẳng thức cộng mẫu, Bất đẳng thức Schwarz ): Dấu = xảy a a1 a2 an (a1  a2   an ) a12 a2    n     Với xi > Dấu = xảy x1 x2 xn x1 x xn x1  x2   xn * Điểm rơi vị trí mà đẳng thức xảy mệnh đề cần chứng minh