Trong toán học, nguyên lý chuồng bồ câu, nguyên lý hộp hay nguyên lý ngăn kéo Dirichlet có nội dung là nếu như một số lượng n vật thể được đặt vào m chuồng bồ câu, với điều kiện n > m, thì ít nhất một chuồng bồ câu sẽ có nhiều hơn 1 vật thể.1 Định lý này được minh họa trong thực tế bằng một số câu nói như trong 3 găng tay, có ít nhất hai găng tay phải hoặc hai găng tay trái. Đó là một ví dụ của một đối số đếm, và mặc dù trông có vẻ trực giác nhưng nó có thể được dùng để chứng minh về khả năng xảy ra những sự kiện không thể ngờ tới, tỉ như 2 người có cùng một số lượng sợi tóc trên đầu, trong 1 đám đông lớn có một số người mặc kiểu quần áo giống nhau, hoặc bất thình lình trong hộp thư nhận được một số lượng cực lớn thư rác1.Người đầu tiên đề xuất ra nguyên lý này được cho là nhà toán học Đức Johann Dirichlet khi ông đề cập tới nó với tên gọi nguyên lý ngăn kéo (Schubfachprinzip). Vì vậy, một tên gọi thông dụng khác của nguyên lý chuồng bồ câu chính là nguyên lý ngăn kéo Dirichlet hay đôi khi gọi gọn là nguyên lý Dirichlet (tên gọi gọn này có thể gây ra nhầm lẫn với nguyên lý Dirichlet về hàm điều hòa). Trong một số ngôn ngữ như tiếng Pháp, tiếng Ý và tiếng Đức, nguyên lý này cũng vẫn được gọi bằng tên ngăn kéo chứ không phải chuồng bồ câu.Nguyên lý ngăn kéo Dirichlet được ứng dụng trực tiếp nhất cho các tập hợp hữu hạn (hộp, ngăn kéo, chuồng bồ câu), nhưng nó cũng có thể được áp dụng đối với các tập hợp vô hạn không thể được đặt vào song ánh. Cụ thể trong trường hợp này nguyên lý ngăn kéo có nội dung là: không tồn tại một đơn ánh trên những tập hợp hữu hạn mà codomain của nó nhỏ hơn tập xác định của nó. Một số định lý của toán học như bổ đề Siegel được xây dựng trên nguyên lý này.
TỔ HỢP CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ DIRICHLET I Nguyên lý Dirichlet Nguyên lý Dirichlet - gọi nguyên lý chim bồ câu (The Pigeonhole Principle) nguyên lý lồng nhốt thỏ nguyên lý xếp đồ vật vào ngăn kéo (The Drawer Principle) - đưa nguyên tắc phân chia phần tử lớp Nguyên lý Dirichlet bản: Nếu nhốt n thỏ vào n chuồng có chuồng chứa hai thỏ Nguyên lý Dirichlet mở rộng: Nếu nhốt n thỏ vào m 2 chuồng tồn chuồng có n m 1 n 1 m thỏ m Nguyên lý Dirichlet dạng tập hợp: Cho A B hai tập hợp khác rỗng có số phần tử hữu hạn, mà số lượng phần tử A lớn số lượng phần tử B Nếu với quy tắc đó, phần tử A cho tương ứng với phần tử B, tồn hai phần tử khác A mà chúng tương ứng với phần tử B Dùng nguyên lý người ta dễ dàng chứng minh tồn đối tượng với tính chất xác định II Phương pháp ứng dụng Nguyên lý Dirichlet tưởng chừng đơn giản vậy, cơng cụ có hiệu dùng để chứng minh nhiều kết sâu sắc toán học Nguyên lý Dirichlet áp dụng cho tốn hình học, điều thể qua hệ thống tập sau: Để sử dụng nguyên lý Dirichlet ta phải làm xuất tình nhốt “thỏ” vào “chuồng” thoả mãn điều kiện: + Số ‘thỏ” phải nhiều số chuồng + “Thỏ” phải nhốt hết vào “chuồng”, khơng bắt buộc chuồng phải có thỏ Thường phương pháp Dirichlet áp dụng kèm theo phương pháp phản chứng Ngồi cịn áp dụng với nguyên lý khác III Một số ví dụ minh họa Ví dụ Cho bảng vng kích thước 10.10 gồm 100 vng đơn vị Điền vào ô vuông bảng số nguyên dương không vượt 10 cho hai số hai ô vuông chung cạnh chung đỉnh nguyên tố Chứng minh bảng ô vng cho có số xuất 17 lần Lời giải Xét hình vng cạnh 2x2 , hình vng có hình vng nhỏ ln chung cạnh chung đỉnh nên tồn nhiều số chẵn, nhiều số chia hết cho có số lẻ khơng chia hết cho Bảng 10x10 chia thành 25 hình vng có cạnh 2x2 nên có 50 số lẻ không chia hết cho Từ đến 10 có số lẻ khơng chia hết cho 1,5,7 Áp dụng nguyên lý Dirichlet ta 50 ba số xuất 17 lần Ví dụ Trong hình chữ nhật kích thước 1x2 ta lấy 6n điểm với n số nguyên dương Chứng minh tồn hình trịn có bán kính chứa khơng n số điểm cho Lời giải Chia cạnh hình chữ nhật thành n đoạn 2n đoạn nhau, đoạn có độ dài Nối điểm chia đường thẳng song songvới cạnh n hình chữ nhật ta n.2n 2n hình vng nhỏ với cạnh Nếu hình n vng chứa khơng q điểm tổng số điểm cho khơng 3.2n 6n (trái với giả thiết) Do phải tồn hình vng chứa khơng điểm Rõ ràng hình vng cạnh nội tiếp đường trịn bán kính đường trịn chứa n 2n đường tròn đồng tâm bán kính n Ví dụ Cho bảng vuông gồm nxn ô vuông Mỗi ô vuông ghi số 1; 0; Chứng minh không tìm bảng vng mà tổng số cột, hàng, đường chéo số khác Lời giải Do nhận ba số 0; 1; nên có trường hợp tất hàng cột đường chéo nhận giá trị nhận giá trị 2 Do tổng số cột hàng đường chéo có giá trị nhỏ 0.n 0 giá trị lớn 2.n 2n Như tổng số hàng, cột, đường chéo nhận 2n giá trị 0;1; 2; ; 2n Do bảng ô vuông n.n nên có n hàng, n cột hai đường chéo Do có 2n tổng nhận 2n giá trị số nguyên từ đến 2n Theo ngun tắc Dirichlet phải có tổng có giá trị Điều có nghĩa khơng tìm bảng vng mà tổng số cột, hàng, đường chéo số khác Ví dụ Ở vịng chung kết cờ vua có bạn tham gia Hai bạn phải đấu với trận người phải gặp đủ đấu thủ Chứng minh thời điểm đấu, có hai đấu thủ đấu số trận Lời giải Giả sử số trận thi đấu bạn tham gia thi đấu cờ vua a1 ; a ; ; a Do hai bạn thi đấu với trận nên ta có a i 7, i 8 Xét trường hợp sau: Tính đến thời điểm có bạn chưa đấu trận suy khơng có bạn đấu đủ trận Khi a i 6, i 8 tồn a k a m có nghĩa có hai đấu thủ đấu số trận Tính đến thời điểm xét, bạn đấu ván Khi ta có a i 7, i 8 , tồn a k a m có nghĩa có hai đấu thủ đấu số trận Vậy tốn chứng minh Ví dụ Cho 40 số nguyên dương a1 ,a , ,a19 b1 , b2 , , b 21 thoả mãn hai điều kiện: a a a19 200 b1 b2 b 21 200 Chứng minh tồn bốn số phân biệt a i ; a j ; b k ; bp với i, j 19;1 k, p 21 thỏa mãn điều kiện a i a j ; b k bp a j a i b p bk Lời giải Xét tổng có dạng a m bn với a m a1 ; a ; ; a19 bn b1 ; b2 ; ; b 21 Do tập hợp a1 ; a ; ; a19 có 19 phần tử tập hợp b1 ; b ; ; b21 có 21 phần tử nên, nên ta có tất 19.21 399 tổng dạng a m bn Chú ý a a a 19 200 b1 b2 b 21 200 nên a m b n 400 Nên tổng a m b n nhận giá trị nguyên dương từ đến 400 Đến ta xét trường hợp sau: Nếu tổng nhận đủ 399 giá trị từ đến 400 Khi từ giả thiết toán ta được: a1 b1 2 a19 b21 400 a1 b1 1 a19 b21 200 a1 a19 ; b1 b 21 Từ ta suy a19 a1 b21 b1 199 Nếu tổng không nhận đủ 399 giá trị từ đến 400 Khi với 399 tổng theo ngun lý Dirichlet tồn hai tổng có giá trị a i a j ; b k b p a j b k b p a i Khơng tính tổng qt ta giả sử hai tổng a i a j ; b k bp a j a i b p bk Từ suy Vậy tốn chứng minh Ví dụ Trong tranh giải vơ địch quốc gia bóng đá có 20 đội tham gia Số nhỏ trận đấu để đội ln tìm đội chơi với Lời giải Ta chia 20 đội thành nhóm, nhóm 10 đội đội nhóm thi đấu với Rõ ràng cách xếp thoả mãn điều kiện toán tất có 90 trận đấu Do nhóm đội thi đấu với trận nên tổng nhóm có 45 trận (mỗi đội nhóm đấu trận) Ta chứng minh điều kiện tốn thoả mãn số trận đấu lớn 90 * Giả sử ngược lại ta tìm đội A đấu số trận k 8 Nếu k=0 đội 19 đội lại đấu với nên tổng số trận * Xét k 8 19.18 171 > 90 Ta ký hiệu đội đấu với A X Các đội khơng đấu với A Y, X k; Y 19 k Dĩ nhiên đội Y đấu với không hai đội thuộc Y A thành đội mà đội chơi với + Trong nhóm Y có 19-k đội đội Y đấu với nên tổng số trận nhóm Y là: (19 k)(19 k 1) (19 k)(18 k) 2 + Giả sử X có P cặp khơng chơi với Do đội Y phải đấu với đội P cặp X Giả sử P cặp có m đội đội m đội đấu với có tối đa P m.(m 1) trận, hiển nhiên ta có m.(m 1) k.(m 1) 2P m nên số trận đội P Y đấu với 2 k (m 1)(19 k) 2P 2.(19 k) (19 k) P P k 8 nên dấu = có P = k k + Trong nhóm X có k đội, có P cặp khơng chơi với nên số trận nhóm X là: k(k 1) P Đội A đấu với nhóm X k trận Như vậy, tồn đội A nhóm đội X, Y tổng số trận cần thiết để thỏa mãn đề (3 đội ln tìm đội chơi với nhau) lớn bằng: k+[ [k k k 1 k k 1 P] P ] 19 k 18 k 19 k 18 k 2 k 18k 9.19 k 90 90 Vậy số trận đấu cần phải tiến hành 90 Ví dụ Chứng minh 39 số tự nhiên liên tiếp ln tồn số có tổng chữ số chia hết cho 11 Lời giải Xét tập hợp 39 số tự nhiên liên tiếp S a1 ; a ; ; a 39 , a i 1 a i 1, i 38 Trong tập a1 ; a ; ; a 20 tồn hai số có tận 10 Do hai số tồn số có chữ số hàng chục nhỏ 9, kí hiệu số A Bc0 c 8, c , B Xét 11 số A; A 1; A 2; ; A 9; A 19 Nhận xét rằng: + 11 số thuộc tập S + 11 số có tổng chữ số 11 số tự nhiên liên tiếp tổng là: s A ; s A 1; s A 2; ; s A 9; s A 10 ,với s A tổng chữ số A Trong 11 số tự nhiên liên tiếp tồn số chia hết cho 11 Do vậy, ta có điều phải chứng minh Ví dụ Cho tập A 1; 2; 3; ;16 Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ cho tập gồm k phần tử A tồn hai số phân biệt a, b mà a b2 số nguyên tố Lời giải Nếu a, b chẵn a b2 hợp số Do tập X A có hai phần tử phân biệt a, b mà a b2 số ngun tố X khơng thể chứa số chẵn Suy k 9 Ta chứng tỏ k 9 giá trị nhỏ cần tìm Điều có ý nghĩa với tập X gồm phần tử A tồn hai phần tử phân biệt a, b mà a b số nguyên tố Để chứng minh khẳng định ta chia tập A thành cặp hai phần tử phân biệt a, b mà a b2 số nguyên tố, ta có tất cặp 1; , 2; , 5; , 6;11 , 7;10 , 9;16 , 12;13 , 14;15 Theo nguyên lý Dirichlet phần tử X có hai phần tử thuộc cặp ta có điều phải chứng minh Ví dụ Cho 2014 số tự nhiên Chứng minh số số có số chia hết cho 2014 có số số mà tổng số chia hết cho 2014 Lời giải Gọi 2014 số tự nhiên cho a1 ,a , ,a 2014 Xét dãy S1 a1 ; S a1 a ; ; S 2014 a a a 2014 Chia tất số hạng dãy cho 2014 ta có trường hợp sau: Trường hợp 1: Nếu có số hạng dãy chia hết cho 2014 tốn chứng minh Trường hợp 2: Nếu khơng có số hạng dãy chia hết cho 2014 có tất 2014 phép chia mà số dư gồm 1, 2, , 2013 theo ngun lý Dirichle có hai số hạng dãy có số dư chia cho 2014 Gọi hai số hạng S i S j Khơng tính tổng quát, giả sử i j 2014 S i a1 a a i S j a1 a a i a j Lúc S j S i 2014 a i 1 a j 2014 Từ ta có điều phải chứng minh Ví dụ 10 Chứng minh từ 53 số tự nhiên ln chọn 27 số mà tổng chúng chia hết cho 27 Lời giải Ta chứng minh từ số tự nhiên ln tìm số mà tổng chúng chia hết cho Thật vậy, số tự nhiên chia cho có phần dư 0, Nếu số dư có số 0, số 1, số tổng ba số tự nhiên tương ứng với ba số dư chia hết cho Nếu số dư nhận không số 0, 1, theo nguyên tắc Dirichlet tồn số dư nhận giá trị tổng ba số tự nhiên tương ứng chia hết cho Từ 53 số tự nhiên cho chọn số mà tổng chúng a chia hết cho Xét 50 số lại chọn số mà tổng a chia hết cho Lặp lại lập luận từ 53 số ta chọn 17 bộ, gồm số có tổng a 1, a2, … a17 cho tổng chia hết cho Chứng minh tương tự nhận thấy từ số tự nhiên mà số chia hết cho ta chọn số có tổng chia hết cho Vậy từ 17 số ta chọn gồm số có tổng b1 , b2 , , b5 cho bi 9 với i 1; 2; 3; 4; 5 Từ số chia hết cho b1 , b2 , , b5 chọn số mà tổng chúng chia hết cho 27 Tổng số tổng 27 số ban đầu Vậy từ 53 số tự nhiên ln chọn 27 số mà tổng chúng chia hết cho 27 Ví dụ 11 Trong giải bóng đá có 12 đội tham dự, thi đấu vịng trịn lượt(hai đội thi đấu với trận) a) Chứng minh sau bốn vòng đấu(mỗi đội thi đấu trận) ln tìm ba đội đơi chưa thi đấu với b) Khẳng định cịn khơng đội thi đấu trận Lời giải a) Có 12 đội mà đội thí đấu trận nên ln tìm hai đội chưa thi đấu với Gọi hai đội A B Vì A B thi đấu trận nên 10 đội cịn lại ln tìm hai đội chưa thi đấu với A B Gọi hai đội C Ba đội A, B, C chưa thi đấu với trận nên ba đội A, B, C ba đội cần tìm b) Ta chia 12 đội bóng thành hai nhóm, nhóm đội Trong nhóm đơi thi đấu với Như 12 đội này, đội thi đấu trận Xét ba đội tùy ý, theo ngun lý Dirichlet ln tìm hai đội nhóm Như ba đội bóng ln tìm hai đội thí đấu với Do khẳng định khơng cịn đội thi đấu trận Ví dụ 12 Cho X tập hợp gồm 700 số nguyên dương đôi khác nhau, số không lớn 2006 Chứng minh tập hợp X ln tìm hai phần tử x, y cho x – y thuộc tập hợp E 3; 6; 9 Lời giải 700 Theo nguyên lý Dirichlet 700 số có 234 số có số dư chia cho Gọi 234 số a1 a a 234 2006 Giả sử không tồn hai số a i ; a j thỏa mãn a i a j 3; 6; 9 a i a j 12 (vì a i a j 3 a i a j ) Trong 234 số trên, hai số kề nhau 12 đơn vị nên a 234 a1 233.12 2796 2006 , điều vô lý Như ta có điều phải chứng minh Chú ý: + Ta làm chặt tốn cách giảm số số cho ban đầu tăng giá trị cho số nhận Ta làm chặt toán cách thay 700 số thành 504 số Gọi 504 số nguyên dương đôi khác cho a1 a a 504 2006 Xét 504 4 2016 số nguyên dương sau: a1 a1 a1 a1 Vì số bảng a 503 a 504 … a2 a 503 a 504 … a2 a 503 a 504 … a2 a 503 a 504 … nhận giá trị nguyên từ đến 2006 2015 nên theo a2 2016 nguyên lý Dirichlet, có 2 số nhận giá trị hay có hai số 2015 nhau, suy điều phải chứng minh Ví dụ 13 Giả sử bàn cờ hình chữ nhật có 3x7 vng sơn đen trắng Chứng minh với cách sơn màu bàn cờ ln tồn hình chữ nhật gồm góc màu Lời giải Bàn cờ có hàng, hàng có vng Xét hàng hàng 3, có cột vậy, cột có nên có cách sơn màu 1 Ta có cột nên theo ngun lý Đi lê tồn 2 cột có cách sơn Do bàn cờ ln tồn hình chữ nhật gồm góc màu Ví dụ 14 Cho năm số nguyên dương đôi phân biệt cho số chúng khơng có ước số ngun tố khác Chứng minh năm số tồn hai số mà tích chúng số phương Lời giải Gọi số cho a1 ; a ; a ; a ; a số khơng có ứơc số ngun tố khác nên số có dạng a i 2x 3y với xi ; y i số tự nhiên i i Xét cặp số x1 ; y1 , x2 ; y , x3 ; y , x ; y , x ; y cặp số nhận giá trị bốn trường hợp sau (số chẵn; số chẵn), (số chẵn; số lẻ), (số lẻ; số lẻ) (số lẻ; số chẵn) nên theo ngun lý Dirichlet có cặp số nhận dạng giá trị Khơng tính tổng qt giả sử x1 ; y1 , x ; y nhận giá trị dạng( số chẵn; số lẻ) Khi x1 x y1 y số chẵn nên a1 a 2 x1 y1 x2 3y 2 x1 x2 y y2 phương Do ta có điều phải chứng minh Ví dụ 15 Cho lưới vng kích thước 5x5 Người ta điền vào ô lưới số 1; 0; Xét tổng số tính theo cột, theo hàng theo đường chéo Chứng minh tất tổng ln tồn hai tổng có giá trị Lời giải Có tất 12 tổng gồm tổng theo cột, tổng theo hàng tổng theo đường chéo Mỗi tổng gồm năm số hạng mà số hạng nhận ba số hoặc Do tổng số nguyên Gọi tổng S i với i 1; 2; 3; ;12 thỏa mãn S i 5 Vậy S i nhận mười giá trị 5; 4; 3; ; 0;1; ;5 Mà ta lại có 12 tổng S i nên theo nguyên lý Dirichlet có hai tổng nhận giá trị Vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 16 Cho n 3 số nguyên dương a1 ; a ; a ; ; a n đôi khác Tìm giá trị lớn n cho tổng ba số n số ln số ngun tố Lời giải Dễ thấy với n 3 ta ln tìm số nguyên dương thỏa mãn yêu cầu toán Với n 4 ta xét trường hợp sau: Trường hợp 1: Với n 4 , ta tìm bốn số nguyên dương 1, 3, 7, thỏa mãn yêu cầu toán Trường hợp 2: Với n 5 , ta chứng minh ln tìm ba số có tổng lớn chia hết cho Thật vậy, số nguyên chia cho có số dư hoặc Theo nguyên lý Dirichlet số nguyên dương có hai số có số dư chia cho + Nếu có nhiều số có số dư chí cho có số có số dư chia cho Chọn số tổng chúng chia hết cho + Nếu có số có số dư r với r 0;1; 2 loại hai số này, ta cịn lại số có số dư khác r Theo ngun lý Dirichlet có số có số dư khác r số cịn lại có số dư khác số dư hai số Như số ln tồn số có số dư khác chia cho Chọn số tổng chúng chia hết cho Do số nguyên dương ta ln chọn số có tổng chia hết cho tổng lớn nên khơng phải số ngun tố Từ suy n 5 khơng thỏa mãn u cầu toán Vậy giá trị lớn thỏa mãn yêu cầu tốn n 4 Ví dụ 17 Mỗi đỉnh hình lập phương điền số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; Hai đỉnh khác điền hai số khác Người ta tính tổng hai số hai đỉnh kề Chứng minh tổng tính có hai tổng Lời giải Do đỉnh hình lập phương nhận giá trị khác từ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; Do ta tính tổng hai số hai đỉnh kề nên ta có 12 tổng Khi tổng số nguyên dương nhận giá trị thuộc tập 3; 4; 5; ;13;14;15 Ta chứng minh 12 tổng đồng thời nhận giá trị 3, 4, ,6 đồng thời nhận giá trị 12, 13, 14, 15 10