Trong lý thuyết số, chia hết là một quan hệ hai ngôi trên tập các số nguyên. Quan hệ này cũng có thể mở rộng cho các phần tử trên một vành. Quan hệ chia hết gắn liền với nhiều khái niệm quan trọng trong lý thuyết số như số nguyên tố, hợp số, định lý cơ bản của số học...12392811 (Để là một phép chia hết, phép chia đó phải được đáp ứng một yêu cầu: không có dư).
BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Chứng minh từ 53 số tự nhiên ln chọn 27 số mà tổng chúng chia hết cho 27 1 1 1 Bài Cho a, b, c số nguyên khác thỏa mãn a b c a b c Chứng minh a b c chia hết cho Bài Cho số nguyên a1 ; a ; ; a n Đặt A a1 a a n B a 15 a 52 a 5n Chứng minh A chia hết cho 30 B chia hết cho 30 Bài Chứng minh A n n chia hết cho 60 với số nguyên dương n Bài Chứng minh với số tự nhiên n lớn n n 1 ln tìm số tự nhiên a, b, c thỏa mãn a b chia hết cho c x3 x Bài Cho x y số nguyên dương thỏa mãn số nguyên dương xy Chứng minh tồn số nguyên dương z cho x y z xyz Bài Chứng minh tồn hai số nguyên x, y không chia hết cho 2011 thỏa mãn điều kiện x 8043y 4.2011n , với n số tự nhiên khác Bài Cho số nguyên a, b, c, d Chứng minh P chia hết cho 12 với: P b a c a d a c b d b d c x2 y2 Bài Tìm tất số nguyên dương x, y cho số nguyên ước x y 1995 Bài 10 Cho hai số nguyên dương a b Đem chia a b cho a b ta thương q dư r Xác định cặp số a, b cho q r 1977 Bài 11 Tìm số nguyên lớn chia hết cho tất số nguyên dương bé bậc ba Bài 12 Chứng minh với số nguyên dương n n khơng chia hết cho Bài 13 Tìm chữ số x, y phép tính sau: 10910 23673xy67459221723401 41 Bài 14 Giả sử m, n số tự nhiên với n Chứng minh m không chia hết cho n Bài 15 Tìm số nguyên dương k nhỏ cho tập k phần tử tập hợp 1; 2; 3; ; 50 chứa hai phần tử a b thỏa mãn ab chia hết cho a b Bài 16 Xét phân số A n2 Hỏi có số tự nhiên n thỏa mãn n5 n 2015 mà phân số A chưa tối giản Bài 17 Cho n số nguyên dương chẵn cho a, b hai số nguyên dương nguyên tố Tìm a b biết a n b n chia hết cho a b Bài 18 Cho n số nguyên dương Xét phương trình 1 với x, y x y n số nguyên dương a) Phương trình có 2016 nghiệm ngun dương x; y khơng b) Tìm số n nhỏ để phương trình có 2013 nghiệm nguyên dương x; y Bài 19 Tìm tất ba số nguyên dương m; n; l thỏa mãn điều kiện sau: 2 m n m, n ; n l n,l ; l m l, m Bài 20 Cho số nguyên x1 ; x ; ; x 2015 Viết số nguyên theo thứ tự khác ta y1 ; y ; ; y 2015 Chứng minh A x1 y1 x y x 2015 y 2015 chia hết cho Bài 21 Cho n số nguyên a1 ; a ; a ; ; a n nhận giá trị thỏa mãn a1a a 2a a na1 0 Chứng minh n chia hết cho Bài 22 Chứng minh A 2 n n n n , n N * chia hết cho n không chia hết cho Bài 23 Tồn hay không số tự hiên n thỏa mãn 2003n chia hết cho 10 2004 Bài 24 Tìm số nguyên dương a b cho a ab b chia hết cho 42 n 8 Bài 25 Tìm số nguyên dương n để A 48 n5 có giá trị số nguyên dương Bài 26 Ba số nguyên dương a, p, q thỏa mãn điều kiện: i) ap chia hết cho q ii) aq chia hết cho p Chứng minh a pq p q 2 Bài 27 Chứng minh với số nguyên m, n mn m – n 6 Bài 28 Tìm tất số ngun tố p có dạng p a b2 c với a, b, c số nguyên dương cho a b c chia hết cho p Bài 29 Cho số tự nhiên a, b, c thỏa mãn a b2 c 2051 Chứng minh tích abc chia hết cho không chia hết cho 12 Bài 30 Cho a, b số nguyên dương cho a 1 b 1 số nguyên Gọi d b a ước số a b Chứng minh d a b 2 Bài 31 Cho ba số tự nhiên x, y, z thoả mãn: x y z Chứng minh xy 12 Bài 32.Giả sử a b số nguyên dương cho a b a b ab số nguyên Gọi d ước số chung a b Chứng minh rằng: d a b (Kí hiệu x số nguyên lớn không vượt x) Bài 33 Cho a, b, c số nguyên cho 2a b, 2b c, 2c a số phương a) Biết ba số phương chia hết cho Chứng minh tích a b b c c a chia hết cho 27 b) Tồn hay không số nguyên thỏa mãn điều kiện ban đầu cho a b b c c a không chia hết cho 27 43 Bài 34 Chứng minh với n N 32 n 1 chia hết cho 11 Bài 35 Giả sử a, b, c số nguyên cho a b c chia hết cho Chứng minh a, b, c đồng thời chia hết cho Bài 36 Chứng minh 10 số nguyên dương liên tiếp không tồn hai số có ước chung lớn Bài 37 Chứng minh n số nguyên dương 12013 2013 n 2013 chia hết cho n n 1 Bài 38 Cho p số nguyên tố Tìm p để tổng ước nguyên dương p4 số phương Bài 39 Cho số tự nhiên có hai chữ số, biết số chia hết cho Chứng minh hiệu lập phương hai chữ số số chia hết cho Bài 40 Cho a, b hai số nguyên dương thỏa mãn a 20 b 13 chia hết cho 21 Tìm số dư phép chia A 4a b a b cho 21 n n n n n Bài 41 Chứng minh n số nguyên dương 25 chia hết cho 65 Bài 42 Cho số tự nhiên A 155 * 710 * * 16 Hay thay dấu * ba chữ số phân biệt tự đến để A chia hết cho 396 Bài 43 Cho 2014 số tự nhiên Chứng minh số số có số chia hết cho 2014 có số số mà tổng số chia hết cho 2014 Bài 44 Giả sử n số nguyên dương a1 , a , , a n số nguyên lẻ Đặt A n a 14 a 24 a 4n Chứng minh A n chia hết cho 16 n chia hết cho 16 Bài 45 Chứng minh p số nguyên tố lớn p 1 p 1 chia hết cho 24 Bài 46 Tìm số ngun x, y khơng nhỏ cho xy chia hết cho x 1 y Bài 47 a) Tìm số nguyên dương bé để F n 4n 20n 48 chia hết cho 125 44 Bài 48 Ta tìm hai số nguyên dương x, y cho z x2 số nguyên dương xy Bài 49 Tìm tất cặp số nguyên dương m; n cho m n2 số m 3n nguyên Bài 50 Tìm cặp số nguyên dương x, y cho x4 số nguyên dương x2 y Bài 51 Tìm số dư phép chia số nguyên dương S a b ba cho 5, a 222 với 2004 chữ số b 333 với 2005 chữ số x3 y3 Bài 52 Cho x, y số nguyên khác thỏa mãn số nguyên y 1 x 1 2016 Chứng minh x y 1 Bài 53 Tìm tất số hữu tỉ x, y cho x y 1 số nguyên x y Bài 54 Tìm tất cặp số nguyên dương x; y cho 4x 6x chia hết cho 2xy Bài 55 Tìm số nguyên dương n nhỏ cho n chia hết cho 2011 Bài 56 Cho số nguyên dương x, y thỏa mãn x x chia hết cho xy Tính giá trị biểu thức A x2 x xy Bài 57 Tìm số nguyên dương x y thỏa mãn a) 4x 8x chia hết cho 4xy b) 2xy chia hết cho x 1 y 1 c) x chia hết cho xy d) x x chia hết cho xy Bài 58 Tìm số nguyên dương x y cho x chia hết cho xy Bài 59 Trong dãy số gồm số nguyên dương theo thứ tự tăng dần thỏa mãn số đứng sau bội số đứng trước tổng sáu số 79 Tìm dãy số mà số thứ sáu có giá trị lớn 45 Bài 60 Cho n số nguyên dương số nguyên dương a1 ; a ; a ; ; a n có tổng 2n Chứng minh tồn số số số nguyên dương có tổng n Bài 61 Cho số nguyên dương n thoả mãn n, 10 1 Chứng minh rằng: n 40 Bài 62 Chứng minh A n 5n 2n 10n chia hết cho 49 với số n chia dư không chia hết cho 49 trường hợp cịn lại Bài 63 Tìm số tự nhiên n cho số 2015 viết thành tổng n hợp số viết thành tổng n hợp số Bài 64 Cho m n hai số nguyên dương thỏa mãn điều kiện 3m 5n chia hết cho chứng minh 3n 5m chia hết cho Bài 65 Chọn 100 số tự nhiên khác cho số không vượt qua 2015 số chia 17 dư 10 Chứng minh 100 số ln chọn ba số có tổng khơng lớn 999 Bài 66 Cho x y số nguyên Biết 2x 3xy y 16x 22y x 3xy 2y x y chia hết cho 97 Chứng minh xy 12x 15y chia hết cho 97 Bài 67 Tìm cặp số nguyên dương a; b cho 2a chia hết cho b 2b chia hết cho a 2014 Bài 68 Chứng minh không tồn số nguyên n thỏa mãn 2014 1 chia hết cho n 2012n Bài 69 Cho P x x 3x 14x Tìm số số tự nhiên x nhỏ 100 mà P x chia hết cho 11 Bài 70 Tìm dạng tổng quát số nguyên dương n thỏa mãn M n.4 n 3n chia hết cho Bài 71 Cho số nguyên dương x, y, z biểu thức P x y2 y z2 z x2 x y z y z x z x y 2xyz Chứng minh P số nguyên chia hết cho 46 x2 y Bài 72 Cho x, y số nguyên thỏa mãn Chứng minh x y 40 Bài 73 Tìm tất số nguyên dương n số nguyên tố p thỏa mãn đồng thời n điều kiện n 2p p 1 chia hết cho n p HƯỚNG DẪN GIẢI Bài Ta chứng minh từ số tự nhiên ln tìm số mà tổng chúng chia hết cho Thật vậy, số tự nhiên chia cho có phần dư 0, Nếu số dư có số 0, số 1, số tổng ba số tự nhiên tương ứng với ba số dư chia hết cho Nếu số dư nhận không số 0, 1, theo nguyên tắc Dirichlet tồn số dư nhận giá trị tổng ba số tự nhiên tương ứng chia hết cho Từ 53 số tự nhiên cho chọn số mà tổng chúng a chia hết cho Xét 50 số lại chọn số mà tổng a chia hết cho Lặp lại lập luận từ 53 số ta chọn 17 bộ, gồm số có tổng a 1, a2, … a17 cho tổng chia hết cho Chứng minh tương tự nhận thấy từ số tự nhiên mà số chia hết cho ta chọn số có tổng chia hết cho Vậy từ 17 số ta chọn gồm số có tổng b1 , b , , b cho bi 9 với i 1; 2; 3; 4; 5 Từ số chia hết cho b1 , b , , b chọn số mà tổng chúng chia hết cho 27 Tổng số tổng 27 số ban đầu Vậy từ 53 số tự nhiên ln chọn 27 số mà tổng chúng chia hết cho 27 1 1 1 1 0 Bài Từ giả thiết ta a b c ab bc ca a b c Từ suy a b c 0 Dễ dàng chứng minh a b c 0 a b c 3abc Do ta suy a b c chia hết cho 47 Bài Trước hết ta chứng minh bổ đề: Với số ngun a ta ln có a a 30 Thật vậy, ta có a a a 1 a a 1 a a 1 a a 1 a a a 1 a a 1 a a 1 a a 1 Ta thấy ba số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho có số chia hết cho 3, lại có nguyên tố nên ta suy a 1 a a 1 6 Từ ta a a 6 Mà ta lại có a a 1 a a 1 a 5 a 1 a a 1 5 nên a a 5 Mà nguyên tố nên suy a a 30 Xét hiệu sau B A a15 a 52 a 5n a a a n a 15 a a 25 a a n5 a n 5 Áp dụng bổ để ta a a1 30; a a 30; ; a n a n 30 Do ta B A 30 Suy A chia hết cho 30 B chia hết cho 30 2 Bài Ta có A n n n 1 n 1 n n 60 3.4.5 Do 3, 4, nguyên tố với theo đôi nên để chứng minh A chia hết cho 60 ta cần chứng minh A chia hết cho 3, cho 4, cho Dễ thấy n 1 n n 1 3 nên suy A 3 Nếu n số chẵn ta có n 4 , cịn n số lẻ n 1 n 1 4 Do ta ln có A 4 Ta cần chứng minh A chia hết cho Chú ý n có chữ số tận 0; 1; 4; 5; 6; + Nếu n có chữ số tận n 5 + Nếu n có chữ số tận n 15 + Nếu n có chữ số tận n 15 Do ta ln có A 5 Kết hợp kết ta suy A 60 Bài Xét số tự nhiên n , ta đặt a n 2; b n n 1; c n 48 Dễ thấy n a; b; c n 1 Ta có n 1 n 1 n 1 2n n 1 n 2 n 1 2n n 1 n 1 n 1 2n 2n 2n 2n c a2 b2 n n n 2 2 2 2 2 2 2 Do suy a b chia hết cho c toán chứng minh x3 x Bài Từ giả thiết số nguyên dương ta suy x x xy 1 hay xy x x xy 1 Do x, xy 1 nên ta suy x xy 1 2 Từ ta x xy xy 1 , suy x xy x 1 x x y x 1 Cũng x, xy 1 nên ta x y xy 1 Từ suy tồn số nguyên dương z thỏa mãn x y z xy 1 x y z xyz Từ ta có điều phải chứng minh 2 n 2 n Bài Ta có x 8043y 4.2011 x 4.2011 1 y 4.2011 Đặt a 2011 , ta chứng minh tồn hai số nguyên x y không chia hết 2 n cho a thỏa mãn điều kiện x 4a 1 y 4a Thât vậy, ta sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh Với n 1 , ta có x y 1 thỏa mãn yêu cầu toán Giả sử toán với n, từ tồn hai số nguyên x y không chia hết cho 2 n a thỏa mãn điều kiện x 4a 1 y 4a Ta chứng minh toán với n 2 n Thật vậy, từ x 4a 1 y 4a suy ax a 4a 1 y 4a 2 n 1 4a n 1 x 2 y 2 x 4a 1 y 4a 1 Ta có hai cách phân tích 49 2 2 x y x 4a 1 x y x 4a 1 y 4a 1 4a 1 2 2 2 2 x y x 4a 1 xy x 4a 1 y Hoặc 4a 1 4a 1 2 2 x 4a 1 x 4a 1 X X 2 Đặt Y x y Y x y 2 n 1 2 n 1 2 Khi ta 4a X 4a 1 Y1 4a X 4a 1 Y2 Đến ta xét trường hợp sau Nếu Y1 khơng chia hết cho a, ta có X Y1 2ay a nên X không chia hết cho a n 1 2 Kết hợp với hệ thức 4a X 4a 1 Y1 suy X Y1 thỏa mãn yêu cầu toán trường hợp n Nếu Y2 khơng chia hết cho a, ta có X Y2 2ay a nên X không chia hết cho a n 1 2 Kết hợp với hệ thức 4a X 4a 1 Y2 suy X Y2 thỏa mãn yêu cầu toán trường hợp n Bài toán với n Như theo ngun lí quy nạp tốn chứng minh Bài Ta có 12 3.4 3, 1 nên để chứng minh P chia hết cho 12 ta chứng minh P chia hết cho Chứng minh P chia hết cho Theo ngun lí Dirichlet bốn số ngun a, b, c, d ln tồn hai số có số dư chia cho Khơng tính tổng quát ta giả sử hai số a b, b a chia hết cho Do P chia hết cho Chứng minh P chia hết cho Một số nguyên chia cho có số dư 0, 1, 2, + Nếu bốn số a, b, c, d chia cho có hai số có số dư, khơng tính tổng qt ta giả sử hai số a b, ta b a chia hết cho 50