6 cực trị biên và một số kỹ thuật trong chứng minh bất Đẳng thức

6 cực trị biên và một số kỹ thuật trong chứng minh bất Đẳng thức 6 cực trị biên và một số kỹ thuật trong chứng minh bất Đẳng thức 6 cực trị biên và một số kỹ thuật trong chứng minh bất Đẳng thức 6 cực trị biên và một số kỹ thuật trong chứng minh bất Đẳng thức 6 cực trị biên và một số kỹ thuật trong chứng minh bất Đẳng thức 6 cực trị biên và một số kỹ thuật trong chứng minh bất Đẳng thức 6 cực trị biên và một số kỹ thuật trong chứng minh bất Đẳng thức 6 cực trị biên và một số kỹ thuật trong chứng minh bất Đẳng thức

Ngày ……… tháng ……… năm 2024

CHỦ ĐỀ CỰC TRỊ TẠI BIÊN VÀ MỘT SỐ KỸ THUẬT TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC I LÝ THUYẾT

1 Khái niệm “Cực trị tại biên”

Trong một số bất đẳng thức đối xứng, dấu đẳng thức không chỉ xảy ra khi giá trị của các biến bằng nhau mà xảy ra tại các điểm biên của khoảng xác định của biến Khi đó, ta nói bất đẳng thức đạt dấu bằng tại biên Nếu đề yêu cầu tìm GTLN hoặc GTNN của biểu thức thì ta nói

biểu thức đạt cực trị tại biên

Ví dụ Cho các số thực ,a b thoả mãn 1a b,  và 2 a  Tìm GTLN của b 3 P a2b2

Hướng dẫn giải

Từ 1a b,  2 

Nhận xét: Trong ví dụ trên, biểu thức P đã đạt GTLN tại biên

2 Các bất đẳng thức phụ dấu đẳng thức đạt tại biên

Hotline: 0989.15.2268

II BÀI TẬP TRÊN LỚP Dạng 1 Kỹ thuật tạo tích

Bài 1 (Chọn học sinh giỏi toán 9 thành phố Hà Nội, 2013 – 2014)

Cho các số thực a b c, , thoả mãn a b c  6 và 0 a b c, ,  4 Tìm giá trị lớn nhất của

P a b c ab bc ca   a b c   ab bc ca    ab bc ca  36 8 28(Dấu đẳng thức xảy ra khi a b c , ,  4;2; 0 và các hoán vị)

Vậy MaxP 28 a b c , ,  4;2; 0 và các hoán vị

Bài 2 (Chọn học sinh giỏi toán 9 thành phố Hà Nội, 2021 – 2022)

Với các số thực a b c, , thỏa mãn 0a b c, , 1 và a bc 2, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

ab bc ca

    Khi đó

Bài 3 (Chọn học sinh giỏi vòng 2, quận Đống Đa, Hà Nội, 2023)

Với , , ,a b c d là các số nguyên dương thoả mãn a   bcd 2024 Tìm GTLN và GTNN của biểu thức 1 1 1 1

Cũng do 0a b c d e, , , ,  nên ta có 1

a1bcde1 0 abcdebcde   a 1b1cde1 0 bcdecde  b 1c1de1 0 cdede   c 1d1e1 0 de   ed 1

Từ đó suy ra P  (Dấu đẳng thức xảy ra khi 4 a b c d e , , , ,  0,1,1,1,1 và các hoán vị)

Bài toán tổng quát:

Dấu đẳng thức xảy ra khi a b c , ,  1, 0, 0 và các hoán vị

Bài 6 (Thi thử chuyên lần 1, THCS Cầu Giấy)

Với ,a b và c là các số thực không âm thoả mãn điều kiện 0a b c, ,  Tìm giá trị lớn nhất 1của biểu thức 3

Đặt t  3abc    Ta sẽ chứng minh 0 t 1

Dạng 2 Kỹ thuật sắp thứ tự các biến kết hợp với tạo tích

Bài 7 Chứng minh rằng: Nếu y nằm giữa x và z và x y z, , là các số không âm thì

Giả sử z y x thì dấu đẳng thức xảy ra khi z 0;x y

Bài 8 (Chọn học sinh giỏi toán 9 thành phố Hà Nội, 2017 – 2018)

Cho x y z, , thoả mãn x y z  3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P  với dấu bằng đạt được tại x y z, ,  = (0, 1, 2) (và các hoán vị vòng quanh của bộ này) Bất đẳng thức 1

.3

y  Đánh giá tương tự, ta cũng có

(Dấu đẳng thức xảy ra khi a b c 1)

Bài 10 Cho , ,a b c là các số không âm thoả mãn a  bc 3 Chứng minh rằng: 1

(Dấu đẳng thức xảy ra khi a b c 1)

Dạng 3 Kỹ thuật sử dụng các bất đẳng thức phụ (dấu đẳng thức đạt tại biên)

Bài 11 (Kiểm tra học kì II toán 9, Ams, 2021 – 2022)

Với các số thực không âm , ,a b c thoả mãn a   Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: bc 1

Dạng 4 Kỹ thuật sử dụng tính chất đơn điệu của hàm bậc nhất

Bài 12 Cho các số thực không âm , ,a b c thoả mãn a   Tìm GTNN của biểu thức bc 3

 222

N  a b c  abc

Hướng dẫn giải

Dự đoán điểm rơi: a    bc 1

Bởi vậy ta sẽ chứng minh N 27 2 

cMax f tMax ff

f  c  c   c   

2) Chứng minh rằng: 3 2  1 1 1 452