6 cực trị biên và một số kỹ thuật trong chứng minh bất Đẳng thức

6 cực trị biên và một số kỹ thuật trong chứng minh bất Đẳng thức 6 cực trị biên và một số kỹ thuật trong chứng minh bất Đẳng thức 6 cực trị biên và một số kỹ thuật trong chứng minh bất Đẳng thức 6 cực trị biên và một số kỹ thuật trong chứng minh bất Đẳng thức 6 cực trị biên và một số kỹ thuật trong chứng minh bất Đẳng thức 6 cực trị biên và một số kỹ thuật trong chứng minh bất Đẳng thức 6 cực trị biên và một số kỹ thuật trong chứng minh bất Đẳng thức 6 cực trị biên và một số kỹ thuật trong chứng minh bất Đẳng thức

Ngày ……… tháng ……… năm 2024

CHỦ ĐỀ CỰC TRỊ TẠI BIÊN VÀ MỘT SỐ KỸ THUẬT TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

I LÝ THUYẾT

1 Khái niệm “Cực trị tại biên”

Trong một số bất đẳng thức đối xứng, dấu đẳng thức không chỉ xảy ra khi giá trị của các biến bằng nhau mà xảy ra tại các điểm biên của khoảng xác định của biến Khi đó, ta nói bất đẳng thức đạt dấu bằng tại biên Nếu đề yêu cầu tìm GTLN hoặc GTNN của biểu thức thì ta nói

biểu thức đạt cực trị tại biên

Ví dụ Cho các số thực , a b thoả mãn 1a b,  và 2 a  Tìm GTLN của b 3 P a2b2

Hướng dẫn giải

Từ 1a b,  2   

  

2 2

3 2



 

           

Hay P  (Dấu đẳng thức xảy ra 5  a 1;b hoặc 2 a2;b  ) 1

Vậy MaxP 5  a 1;b  hoặc 2 a 2;b 1

Nhận xét: Trong ví dụ trên, biểu thức P đã đạt GTLN tại biên

2 Các bất đẳng thức phụ dấu đẳng thức đạt tại biên

1) 2 2  2

, 0

a b  ab a b (Đẳng thức xảy ra khi a  hoặc 0 b  ) 0

2) a b a  b a b ,  (Đẳng thức xảy ra khi 0 a  hoặc 0 b  ) 0

3 Tính chất đơn điệu của hàm số bậc nhất

Xét hàm số bậc nhất: y  f x axb a 0 với m   x n

Trường hợp 1 a  thì 0 m x n Min f x  f m 

   và m x n Max f x  f n 

Trường hợp 2 a  thì 0 m x n Min f x  f n 

   và m x n Max f x  f m 

Tóm lại:       ; 

m x n Min f x Min f m f n

   và       ; 

m x n Max f x Max f m f n

Nhận xét: GTLN và GTNN của f x nói trên đạt được tại biên  

Hotline: 0989.15.2268

II BÀI TẬP TRÊN LỚP

Dạng 1 Kỹ thuật tạo tích

Bài 1 (Chọn học sinh giỏi toán 9 thành phố Hà Nội, 2013 – 2014)

Cho các số thực a b c, , thoả mãn a b c  6 và 0 a b c, ,  4 Tìm giá trị lớn nhất của

P a b c ab bc ca 

Hướng dẫn giải

Ta có

0a b c, ,  4 4a 4b 4c abc 0

16 4a 4b ab4 c abc 0

64 16 a b c 4 ab bc ca 0

8

ab bc ca

   

Khi đó

P a b c ab bc ca   a b c   ab bc ca    ab bc ca  36 8 28 (Dấu đẳng thức xảy ra khi a b c , ,  4;2; 0 và các hoán vị)

Vậy MaxP 28 a b c , ,  4;2; 0 và các hoán vị

Bài 2 (Chọn học sinh giỏi toán 9 thành phố Hà Nội, 2021 – 2022)

Với các số thực a b c, , thỏa mãn 0a b c, , 1 và a bc 2, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P

Hướng dẫn giải

Tìm GTLN của P (Kỹ thuật Cauchy ngược dấu)

3

3 3

P



suy ra 12

13

P 

P  a b c 

Tìm GTNN của P

Vì 0a b c, , 1 nên 1a1b1cabc 0 1a b c  ab bc ca  0

1

ab bc ca

   

Khi đó

1 1 1 1 1 1

P

1 1 1 1 1

ab bc ca

 

(Dấu đẳng thức xảy ra khi a b c , ,  1,1, 0 và các hoán vị)

2

P  khi a b c , ,  1,1, 0 và các hoán vị

Bài 3 (Chọn học sinh giỏi vòng 2, quận Đống Đa, Hà Nội, 2023)

Với , , ,a b c d là các số nguyên dương thoả mãn a   b c d 2024 Tìm GTLN và GTNN của biểu thức 1 1 1 1

T

   

Hướng dẫn giải

Từ giả thiết , , ,a b c d là các số nguyên dương suy ra 1a b c, , 2021

Ta có 1 a 2021a1a2021 0 a22022a2021 0

2021

Chứng minh tương tự với , ,b c d rồi cộng theo vế các bất đẳng thức thu được

2022.4 2024

T    (Dấu đẳng thức xảy ra khi a b c d , , ,  1,1,1,2021 và các

hoán vị)

Vậy Max 6064

2021

T  khi a b c d , , ,  1,1,1,2021 và các hoán vị

Bài 4 Cho các số thực , , , ,a b c d e thoả mãn 0a b c d e, , , ,  Chứng minh rằng: 1

4

P

Hướng dẫn giải

Do 0a b c d e, , , ,  nên dễ có 1

1

P

abcde

   



Cũng do 0a b c d e, , , ,  nên ta có 1

a1bcde1 0 abcdebcde   a 1

b1cde1 0 bcdecde  b 1

c1de1 0 cdede   c 1

d1e1 0 de   e d 1

Hotline: 0989.15.2268

Cộng các bất đẳng thức trên theo vế Thu được:

4 4 1

a    b c d e abcde  abcde

Từ đó suy ra P  (Dấu đẳng thức xảy ra khi 4 a b c d e , , , ,  0,1,1,1,1 và các hoán vị)

Bài toán tổng quát:

Cho các số thực a i 0;1 , i 1,n Chứng minh rằng:

n

n

a a a  a a a   a a a   

Bài 5 Cho các số thực , ,x y z thoả mãn 0x y z, ,  Chứng minh rằng: 1

x   y z xyyz zx  xyz 

Hướng dẫn giải

Ta có

0x y z, , 1   1 1 2 ,1 2 ,1 2x  y  z  1

1 1 2x 1 2y 1 2z 1

Lại có

1 2 x1 2 y1 2 z

1 2.x y z 2 xy yz zx 4xyz

         

1 2.VT

 

Suy ra 1 1 2 1 2 1 2  1  1

1

Dấu đẳng thức xảy ra khi a b c , ,  1, 0, 0 và các hoán vị

Bài 6 (Thi thử chuyên lần 1, THCS Cầu Giấy)

Với ,a b và c là các số thực không âm thoả mãn điều kiện 0a b c, ,  Tìm giá trị lớn nhất 1 của biểu thức 3

1

a b c

abc

 

Hướng dẫn giải

Ta có 0a b c, ,  nên 1   

Cộng (1) và (2) theo vế thu được: 2 3

2

1

abc

abc



Đặt t  3abc    Ta sẽ chứng minh 0 t 1

2 2

2

1

t

          

   luôn đúng với mọi 0  t 1

Vậy Max 5

2

P  khi a   b c 1

Dạng 2 Kỹ thuật sắp thứ tự các biến kết hợp với tạo tích

Bài 7 Chứng minh rằng: Nếu y nằm giữa x và z và x y z, , là các số không âm thì

 2

xy yz zx y x z

Hướng dẫn giải

Ta có y nằm giữa x và z nên x y z y0 xz xy yz y2 0

2

xz y xy yz

xy zx x y xyz

xy yz zx yz x y xyz y z x zx y z x

Giả sử z y x thì dấu đẳng thức xảy ra khi z 0;x y

Bài 8 (Chọn học sinh giỏi toán 9 thành phố Hà Nội, 2017 – 2018)

Cho x y z, , thoả mãn x y z  3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P

Hướng dẫn giải

Ta sẽ chứng minh 1

6

P  với dấu bằng đạt được tại x y z, ,  = (0, 1, 2) (và các hoán vị vòng quanh của bộ này) Bất đẳng thức 1

6

P  tương đương với

, 3

3

         

Một cách tương đương, ta phải chứng minh

 

1. 1 3

y   z   x   Không mất tính tổng quát, giả sử y nằm giữa x và z Ta có

Hotline: 0989.15.2268

  2

y   y y   y  y

12 16

y

y   Từ đó

12 16

y   Đánh giá tương tự, ta cũng có

12

Do y nằm giữa x và z nên có

x z x z

xy yz zx y x z  y    x y z  (3)

Từ (2) và (3) ta thu được (1) Vậy min 1

6

P 

Bài 9 Cho , , a b c là các số không âm thoả mãn a  b c 3 Chứng minh rằng:

a bb cc aabc

Hướng dẫn giải

Không mất tính tổng quát giả sử b nằm giữa a và c Khi đó a b c b   0

2

ac b ab bc

b c c a abc bc

2 2 27

a c a c

(Dấu đẳng thức xảy ra khi a b c 1)

Bài 10 Cho , , a b c là các số không âm thoả mãn a  b c 3 Chứng minh rằng:

1

Hướng dẫn giải

c  a  b 

1

a b b c c a abc

     luôn đúng theo chứng minh trên

(Dấu đẳng thức xảy ra khi a b c 1)

Dạng 3 Kỹ thuật sử dụng các bất đẳng thức phụ (dấu đẳng thức đạt tại biên)

Bài 11 (Kiểm tra học kì II toán 9, Ams, 2021 – 2022)

Với các số thực không âm , ,a b c thoả mãn a   Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: b c 1

P  a  b  b  c  c  a

Hướng dẫn giải

Tìm MinP

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky, chẳng hạn  2 2    2

a  b   a b Tìm MaxP

Áp dụng bất đẳng thức 2 2  2

, 0

x y  xy x y  (dấu đẳng thức xảy ra khi x  hoặc 0 0

y  )

Chẳng hạn  2  2

a  b  ab  a b

Dạng 4 Kỹ thuật sử dụng tính chất đơn điệu của hàm bậc nhất

Bài 12 Cho các số thực không âm , ,a b c thoả mãn a   Tìm GTNN của biểu thức b c 3

 2 2 2

N  a b c  abc

Hướng dẫn giải

Dự đoán điểm rơi: a    b c 1

Bởi vậy ta sẽ chứng minh N 27  2  

7 a b c 14 ab bc ca 6abc 27

7 ab bc ca 3abc 18 0

      73c ab 7 3c c18 0

Xét f t   73c t 7 3c c18 với  2  2

3 0

Khi đó      

2

3

0 ;

4

c Max f t Max f f

   

  

Ta có

 0 7 3  18 7 3 2 9 0

2 4

f  c  c   c   



 

 2    2  

 

 

Hotline: 0989.15.2268

  2 

Từ đó suy ra Max f x  0 N 27

Vậy MinN 27   a b c 1

III BÀI TẬP VỀ NHÀ

Bài 1 Cho , ,a b c là các số thực thoả mãn 0a b c, ,  Tìm GTLN của biểu thức: 1

 3 3 3  2 2 2 

2

T  a b c  a bb cc a

Bài 2 Cho , ,a b c  và 0 a  b c 2022 Tìm GTNN và GTLN của

P  a b b c c a

Bài 3 Với , ,a b c thoả mãn a1,b1, 0  và c 1 a   Tìm GTLN và GTNN của b c 3

P

ab bc ca

 



 

Bài 4 Cho 1a b c, ,  2

1) Chứng minh rằng: a b c 1 1 1 10

     



2) Chứng minh rằng: 3 2  1 1 1 45

2

     

Bài 5 Cho , ,a b c thoả mãn 0a b c, ,  và 1 abbc ca  Tìm GTLN và GTNN của biểu 1 thức P  a 2019b c

Bài 6 Với 1a b c, ,  Tìm GTNN của biểu thức: 2

P ab ab bc bc ca ca

Bài 7 Cho , ,a b c không âm thoả mãn a   Chứng minh rằng: b c 2

a b b c c a  abc

Bài 8 (HOMC, Junior 2019) Cho các số thực không âm , ,a b c thoả mãn a   Tìm b c 3 GTLN của biểu thức M 3abbcca2abc

- Hết -