Skkn kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức cosi trong chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị đại số

1 Tên sáng kiến “KĨ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC COSI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM CỰC TRỊ ĐẠI SỐ” Lĩnh vực áp dụng sáng kiến : Giáo dục Thời gian áp dụng sáng kiến : Từ năm học 2012 - 2013 đến Tác giả : Họ tên : Tô Thị Bình Năm sinh : 1983 Nơi thường trú : Xóm - Bình Hịa - Giao Thủy - Nam Định Trình độ chun mơn : Đại học sư phạm Tốn Chức vụ : Giáo viên Nơi làm việc : Trường THCS Giao Thủy - Giao Thủy - Nam Định Địa : Trường THCS Giao Thủy - Giao Thủy - Nam Định Điện thoại : 03503 508 486 Tỉ lệ đóng góp tạo sáng kiến: 96% Đơn vị áp dụng sáng kiến : Tên đơn vị : Trường THCS Giao Thủy - Giao Thủy - Nam Định Địa : Khu 4A TT Ngô Đồng - Giao Thủy - Nam Định Điện thoại : 03503 737 456 skkn BÁO CÁO SÁNG KIẾN “KĨ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC COSI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM CỰC TRỊ ĐẠI SỐ” A- ĐIỀU KIỆN HỒN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN: “Giáo dục hệ trẻ, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” nghiệp lớn lao mà Đảng Bác Hồ mong chờ ngành giáo dục Song song với việc giảng dạy đại trà công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, đào tạo người có óc sáng tạo, có tư sắc bén phục vụ đất nước Qua năm giảng dạy nhận thấy, bên cạnh việc cung cấp hệ thống kiến thức kĩ cho học sinh, người thầy cần tìm tòi, khai thác hệ thống kiến thức nâng cao nhằm bồi dưỡng phát triển tư suy luận Toán học cho học sinh khiếu với mong muốn em trở thành chủ nhân tương lai có khả tư nhạy bén, linh hoạt, sáng tạo, có độ tin cậy cao nhằm đáp ứng yêu cầu ngày cao kinh tế thời đại công nghiệp đại Trong quá trình giải toán ở nhà trường, chuyên đề bất đẳng thức cực trị là chuyên đề hay và khó Chính vì vậy mà đề thi vào 10 thi vào chuyên, thi học sinh giỏi câu hỏi khiến nhiều thí sinh sợ Đa số học sinh gặp bất đẳng thức hay tốn cực trị thường hay lúng túng, khơng biết nên xuất phát từ đâu? Phương pháp giải thế nào? Với vai trò là một giáo viên dạy môn Toán, muốn học sinh nắm được các phương pháp và kỹ thuật bản nhất để chứng minh bất đẳng thức, từ đó không thấy sợ gặp dạng toán này mà ngược lại có niềm yêu thích và đam mê tìm hiểu nó Bất đẳng thức hay dùng để giải vấn đề nêu bất đẳng thức Cosi bất đẳng thức cổ điển có nhiều ứng dụng giải tốn Đề tài bất đẳng thức không không lạ chọn lẽ mảng kiến thức tơi thích nhiều có nhiều năm dạy đội tuyển học sinh giỏi Tỉnh thi vào 10 skkn Với mong muốn góp phần cơng sức nhỏ nhoi việc bồi dưỡng học sinh giỏi nhằm rèn luyện khả sáng tạo học tốn cho học sinh để em tự phát huy lực độc lập sáng tạo mình, nhằm góp phần vào cơng tác chăm lo bồi dưỡng đội ngũ HSG toán ngành giáo dục huyện nhà Tôi xin chia sẻ trao đổi đồng nghiệp kinh nghiệm: “KĨ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC COSI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM CỰC TRỊ ĐẠI SỐ” Như biết bất đẳng thức thật gần gũi, quen thuộc với học sinh lớp 9, nhiên lại công cụ hiệu dùng để chứng minh bất đẳng thức khác tìm cực trị Việc áp dụng lại chuyện khác khơng đơn giản… Đề tài ta bồi dưỡng lực học tốn cho học sinh dùng việc dạy ơn thi vào trường THPT chuyên, thi học sinh giỏi Mong quý đồng nghiệp đóng góp ý kiến để sáng kiến kinh nghiệm hồn thiện B MƠ TẢ GIẢI PHÁP: I Mô tả giải pháp trước tạo sáng kiến: Hiện nay, bồi dưỡng học sinh giỏi là một những nhiệm vụ trọng tâm của giáo dục và đào tạo Là giáo viên dạy toán trường THCS trực tiếp bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi, nhận thấy người thầy giáo giỏi không phải là người có khả “nhồi nhét” lượng kiến thức đồ sộ cho học sinh, mà phải là người thời gian ngắn nhất, truyền thụ được cho học sinh những kiến thức cần thiết nhất một cách hiệu quả nhất và tối ưu nhất Muốn người thầy phải hướng dẫn học sinh có các kiến thức và kỹ cần thiết nhất để giải toán và vận dụng linh hoạt kiến thức nhiều tình khác từ đó tạo hứng thú cho học sinh học tập và sáng tạo Qua thực tế giảng dạy môn Toán 8, ôn thi học sinh giỏi, thi vào 10 chuyên không chuyên nhận thấy chương trình THCS phần bất đẳng thức, cực trị chun đề khó, nhiều học sinh chí giỏi lo ngại tránh né Hơn nữa, thời lượng dành cho nó rất ít Do đó, skkn mạnh dạn làm sáng kiến này với mong muốn là một tài liệu nhỏ giúp học sinh đỡ khó khăn gặp một số bài bất đẳng thức có dạng hoặc có thể vận dụng được bất đẳng thức làm cơng cụ để giải toán Trước có sáng kiến đứng trước toán chứng minh bất đẳng thức toán cực trị đại số có sử dụng bất đẳng thức trên, sử dụng bất đẳng thức nhiều lần, học sinh lung túng định hướng khó khăn, “mị kim đáy bể” Năm học 2011 – 2012, phân cơng dạy đội tuyển học sinh giỏi mơn Tốn cấp Tỉnh Là giáo viên tuổi nghề cịn tơi gặp khơng khó khăn công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, phần ảnh hưởng tới chất lượng đội tuyển (có học sinh đạt giải nhì, học sinh đạt khuyến khích Sau năm dạy đội tuyển, phần “vỡ vạc” cơng việc mình, ln trăn trở tơi nhận thấy rằng: học sinh khơng đạt nhiều giải cao, phải học sinh ong chăm chỉ, quen với tư lối mòn: giải toán dạng chuẩn mực, khả khải quát, tư cấp độ cao hạn chế? Năm học 2012 – 2013, thay đổi nội dung phương pháp dạy đội tuyển Khi học sinh quen với dạng toán chuẩn mực, đưa cho học sinh toán phức tạp mà sau đọc xong nội dung, học sinh khơng có định hướng Từ năm học 2012 – 2013 trở đi, công tác bồi dưỡng học sinh giỏi giành nhiều thời gian trọng dạng toán chứng minh bất đẳng thức tìm cực trị thơng qua hai bất đẳng thức không đơn giản chút Trong khuôn khổ viết này, xin trình bày phần nhỏ dạng Tốn này, “KĨ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC COSI TRONG CHỨNG MINH BÂT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM CỰC TRỊ ĐẠI SỐ” II Mơ tả giải pháp sau có sáng kiến: A MỘT SỐ QUY TẮC KHI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC COSI Quy tắc song hành: Đa số bất đẳng thức có tính đối xứng nên sử dụng nhiều bất đẳng thức chứng minh toán để định hướng cách giải nhanh skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Quy tắc dấu bằng: Dấu “=” bất đẳng thức có vai trị quan trọng Nó giúp ta kiểm tra tính đắn chứng minh, định hướng cho ta cách giải Chính giải toán chứng minh bất đẳng thức toán cực trị ta cần rèn luyện cho thói quen tìm điều kiện dấu số khơng u cầu trình bày phần Quy tắc tính đồng thời dấu bằng: Chúng ta thường mắc sai lầm tính xảy đồng thời dấu “=” áp dụng liên tiếp song hành nhiều bất đẳng thức Khi áp dụng liên tiếp song hành nhiều bất đẳng thức dấu “=” phải thỏa mãn với điều kiện biến Quy tắc biên: Đối với tốn cực trị có điều kiện ràng buộc cực trị thường đạt vị trí biên Quy tắc đối xứng: Các bất đẳng thức có tính đối xứng vai trị biến bất đẳng thức dấu “=” thường xảy vị trí biến Nếu tốn có điều kiện đối xứng dấu “=”xảy biến giá trụ cụ thể B BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI VÀ CÁC KĨ THUẬT SỬ DỤNG I KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Bất đẳng thức AM – GM viết tắt “arithmetic and geometric means”, nghĩa trung bình cộng trung bình nhân Cách chứng minh hay sử dụng phương pháp quy nạp kiểu Cô si (Cauchy) nên nhiều người lầm tưởng Cô si phát bất đẳng thức này, hay gọi bất đẳng thức bất đẳng thức Cauchy (Cô si) Bất đẳng thức Cauchy tổng quát : Cho ta ln có số thực khơng âm Dấu “=” xảy * Thông thường chương trình THCS ta thường áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai ba số (tức n = n = 3) Cách chứng minh hai trường hợp cụ thể đơn giản Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an  Một vài hệ quan trọng:    Cho số dương ( ): ta có:  Bất đẳng thức BCS Cho số dương ( ): ta có: Dấu “=’ xảy  Hệ quả(Bất đẳng thức Svác-xơ) Cho hai dãy số ta ln có: Dấu “=’ xảy Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Cho hàm biến thực xác định D   Các bất đẳng thức phụ hay dùng Với số thực a, b, c, x, y, z dương ta có: a Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an b c d e f g h Ví dụ Ví dụ Cho x, y, z dương thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn * Phân tích: + Dự đốn dấu “=” xảy x = y = z = + Biểu thức cần tìm giá trị nhỏ bậc hai nên ta nghĩ đến bất đẳng thức AM – GM cho hai số + Dựa vào giải thiết, kết hợp với dầu “=” xảy đó, ta có : * Giải: Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có: Cộng vế ba bất đẳng thức trên, ta Dấu “=” xảy x = y = z = Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Ví dụ Chứng minh với a, b, c dương ta ln có: Giải: Ta có: (do ) Ta có: Tương tự với số hạng lại, suy BĐT cho tương đương với: Hồn tồn chứng minh BĐT cuối ln áp dụng BĐT Cô-si cho số dương Dấu “=” xảy Ví dụ Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a+ b + c = Tìm giá trị nhỏ * Phân tích: + Ln lưu ý dùng bất đẳng thức AM – GM bậc có xu hướng giảm + Do đó, để sử dụng giả thiết, suy nghĩ tự nhiên bình phương hai vế M lên trước dùng bất đẳng thức AM – GM * Giải: Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có: Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Suy Vậy maxM = a = b =c =1 Ví dụ Cho số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức (Đề thi HSG Tỉnh Thanh Hóa năm học 2014 - 2015) Giải : Từ: ta có: Lại có Đặt (với ) Có Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an mà Dấu "=" xảy t = hay Vậy giá trị nhỏ P Ví dụ Cho a, b, c số thục không âm thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn * Phân tích: - Dự đốn dầu “=” xảy a = b = c = - Ta không áp dụng bất đẳng thức AM – GM tử bậc chúng “chênh” - Do đó, ta nghĩ đến mẫu * Giải Vậy maxA = a = b = c = Trong khuôn khổ chương trình cấp 2, để vận dụng bất đẳng thức Cô – si hay bất đẳng thức khác phải chứng minh bất đẳng thức tổng quát áp dụng Tuy nhiên, khuôn khổ viết này, xin phép không chứng minh lại mà áp dụng bất đẳng thức số bất đẳng thức nói viết 10 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn