Skkn bất đẳng thức cô si và các kĩ thuật sử dụng i kiến thức cần nhớ

o Bả B BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI VÀ CÁC KĨ THUẬT SỬ DỤNG m I KIẾN THỨC CẦN NHỚ: ật Bất đẳng thức AM – GM viết tắt “arithmetic and geometric means”, nghĩa trung bình cộng trung bình nhân Cách chứng minh hay sử dụng phương pháp quy nạp kiểu Cơ si (Cauchy) nên nhiều người lầm tưởng Cô si phát bất đẳng thức này, hay gọi bất đẳng thức bất đẳng thức Cauchy (Cô si) Bất đẳng thức Cauchy tổng quát : Cho ta ln có số thực khơng âm Dấu “=” xảy * Thông thường chương trình THCS ta thường áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai ba số (tức n = n = 3) Cách chứng minh hai trường hợp cụ thể đơn giản  Một vài hệ quan trọng:    Cho số dương ( ): ta có:  Bất đẳng thức BCS Cho số dương ( ): ta có: Dấu “=’ xảy  Hệ quả(Bất đẳng thức Svác-xơ) Cho hai dãy số ta ln có: o Bả m ật Dấu “=’ xảy Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Cho hàm biến thực xác định D   Các bất đẳng thức phụ hay dùng Với số thực a, b, c, x, y, z dương ta có: a b c d e f g h Ví dụ Ví dụ Cho x, y, z dương thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn * Phân tích: + Dự đốn dấu “=” xảy x = y = z = o Bả + Biểu thức cần tìm giá trị nhỏ bậc hai nên ta nghĩ đến bất đẳng * Giải: Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có: Cộng vế ba bất đẳng thức trên, ta Dấu “=” xảy x = y = z = Ví dụ Chứng minh với a, b, c dương ta ln có: 1 + + ≥ a ( 1+b ) b ( 1+c ) c ( 1+a ) 1+abc Giải: Ta có: 1  abc  abc  abc       3 a1  b  b1  c  c1  a   abc a 1  b  b 1  c  c 1  a  (do  abc  )  abc  abc  a1  b   a  ab1  c  1 a b  c   1  1   1 a 1  b  a 1  b  a 1  b  1 b Ta có: a1  b  Tương tự với số hạng lại, suy BĐT cho tương đương với:  1 a b  c     b c 1  a     c a 1  b    a1  b    b  1   b1  c    c  1   c1  a    a  1         1 a a 1  b     b b 1  c     c c 1  a         6    a   b  c   b   c 1  a   c   a 1  b  ật + Dựa vào giải thiết, kết hợp với dầu “=” xảy đó, ta có : m thức AM – GM cho hai số o Bả Hồn tồn chứng minh BĐT cuối ln áp dụng BĐT Cô-si cho m số dương Dấu “=” xảy a  b  c  nhỏ * Phân tích: + Ln lưu ý dùng bất đẳng thức AM – GM bậc có xu hướng giảm + Do đó, để sử dụng giả thiết, suy nghĩ tự nhiên bình phương hai vế M lên trước dùng bất đẳng thức AM – GM * Giải: Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có: Suy Vậy maxM = a = b =c =1 Ví dụ Cho số thực dương thỏa mãn ật Ví dụ Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a+ b + c = Tìm giá trị C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an o Bả m Tìm giá trị nhỏ biểu thức ật (Đề thi HSG Tỉnh Thanh Hóa năm học 2014 - 2015) Giải : Từ: ta có: Lại có Đặt (với ) Có mà Dấu "=" xảy t = hay Vậy giá trị nhỏ P Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an o Bả Ví dụ Cho a, b, c số thục không âm thỏa mãn a + b + c = Tìm giá m ật trị lớn * Phân tích: - Dự đoán dầu “=” xảy a = b = c = - Ta không áp dụng bất đẳng thức AM – GM tử bậc chúng “chênh” - Do đó, ta nghĩ đến mẫu * Giải Vậy maxA = a = b = c = Trong khn khổ chương trình cấp 2, để vận dụng bất đẳng thức Cô – si hay bất đẳng thức khác phải chứng minh bất đẳng thức tổng quát áp dụng Tuy nhiên, khuôn khổ viết này, xin phép không chứng minh lại mà áp dụng bất đẳng thức số bất đẳng thức nói viết II CÁC KĨ THUẬT KHI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI VÀO CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM CỰC TRỊ ĐẠI SỐ - Kỹ thuật tách ghép số - Kỹ thuật đổi biến số - Phương pháp chọn điểm rơi - Kỹ thuật nhân thêm hệ số - Kỹ thuật hạ bậc Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an o Bả - Kỹ thuật cộng thêm m - Kỹ thuật Cosi ngược dấu Đây kỹ thuật số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức cô si Kỹ thuật giới thiệu cho học sinh trung bình trở lên 1.1 Kỹ thuật tách ghép bản: Ví dụ Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng:  a  b  b  c  c  a   8abc Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:  a  b  b  c  c  a   ab bc ac  8abc (đpcm) Ví dụ Cho số thực dương a, b, c, d Chứng minh rằng:  a  b  c  d  ac  bd  Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: ac  bd  a  b  c  d     ac  bd  a c   a  b  c  d  b d  a  b  c  d  1 a c  1 b d  1ab cd           1 2ab cd  2ab cd  2ab cd   a  b  c  d  (đpcm) a  c  Ví dụ Cho số thực dương a, b, c thỏa b  c Chứng minh rằng: c a  c   c b  c   ab Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: c  a  c   c b  c  ab  c  a  c c  b  c  b a a b 1c ac 1c bc       2b a  2a b  1c c 1c c   1    1   2b a 2a b   c a  c   c  b  c   ab (đpcm) Ví dụ Cho số thực dương a, b Chứng minh rằng: 16ab a  b    a  b  Giải:Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn ật Kỹ thuật tách ghép số C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Ví dụ Cho số thực dương a, b Chứng minh rằng: a b   a  b 1 b a Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: ab  a b  ab a   ab b   a b          b a  2b   2a   2b 2a  2 ab a ab b a b 2 2  a  b 1 2b 2a 2b 2a (đpcm) 1.2 Kỹ thuật tách nghịch đảo Ví dụ Chứng minh với mọi x > 1, ta có x −5+ ≥3 x−1 Dấu đẳng thức (dấu bằng) xảy ? Gợi ý: Trong toán có chứa hai số hạng dạng nghịch đảo Vì có số hạng   x−1  nên phần cịn lại phải biểu diễn thành thừa số của x - Vậy ta phải viết lại vế trái sau: x −5+ 1 =4 (x −1)+ −1 x−1 x −1  (*) Vì x > 1nên x – > Áp dụng bất đẳng thức Côsi (2) cho số dương 4(x-1) x−1 , ta có: x −5+ 1 =4 (x −1)+ −1≥2 4( x−1 ) −1=3 x−1 x −1 x−1 √ Dấu “=” xảy ( x−1)= ⇔ x= x−1 (vì x > 1) Ví dụ Cho a, b, c dương a2 + b2 + c2 = Tìm giá trị nhỏ biểu thức a3 P b2   b3 c2   Gợi ý a3 Ta có: b2   a3 b2   b2  a 3a  33  16 64 (1) Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn c3 a2  ật ab  m  4ab   a  b     a  b   4.       a  b 2     (đpcm) 2 o Bả 16ab a  b   4. 4ab  a  b  C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 3 b a2   c3 a2   (2), ật c3 + m c +13 b ≥ √ c +3 √ c +3 16 + o Bả b a2  c 3c  33  16 64 (3) Lấy (1) + (2) + (3) ta được: P a  b2  c    a  b2  c  16 (4) Vì a2 + b2 + c2 =3 Từ (4) P 3 P giá trị nhỏ a = b = c = a2  a2 1 Ví dụ Chứng minh rằng:  , a  R Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a2  a 1  a2 11 a 1  a2 1  a 1 2 a2 1 a2 1 2 (đpcm)  a2  A   a  1     , a  1  a 1  Ví dụ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Giải:  a  2a    A   a  1   a      a  1  1   a  1     a 1  2     a  1   a    a 1  2  2 a  1  Cauchy 1   2 a  1 22 22  a  1  a  1 2 a  1  Dấu “=” xảy 24 a  a  1 hay Vậy GTNN A  2  Ví dụ Chứng minh rằng: a  , a  b   a  b  b  1 Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an  a  b  b  1 o Bả a  b  1   b  1  m 1 2  a  b   b  1  b  1 2  b  1  b  1   a  b  1  2  a  b   b  1  b  1 2   a  b  ật 1.1.3 Kỹ thuật ghép đối xứng Trong kỹ thuật ghép đối xứng ta cần nắm số thao tác sau: Phép cộng: ab bc ca    a  b  c  2  2 a  b  c    a  b    b  c    c  a  abc  ab bc ca ,  2  Phép nhân: a b c   ab  bc  ca   a , b, c   Ví dụ Cho ba số thực dương a, b, c thỏa abc  Chứng minh bc ca ab    a  b  c 3 a b c Giải:  bc b  c c  a a  b bc ca ab ca ab         2   b c  a b c a b c  a  bc ca   ca ab   ab bc              b   b c   c a   a 2  Vậy bc ca 2 a b   ca ab 2 b c ab bc c a   2 a b c  a b c  a b c  a  b  c  33 a b c  a  b  c 3 bc ca ab    a  b  c 3 a b c Ví dụ Cho ABC, AB  c, BC  a, CA  b, p  abc Chứng minh  p  a  p  b  p  c   abc Giải:  Ta có: 10 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn