Skkn bất đẳng thức cô si và các kĩ thuật sử dụng

B BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI VÀ CÁC KĨ THUẬT SỬ DỤNG I KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Bất đẳng thức AM – GM viết tắt “arithmetic and geometric means”, nghĩa trung bình cộng trung bình nhân Cách chứng minh hay sử dụng phương pháp quy nạp kiểu Cô si (Cauchy) nên nhiều người lầm tưởng Cô si phát bất đẳng thức này, hay gọi bất đẳng thức bất đẳng thức Cauchy (Cô si) Bất đẳng thức Cauchy tổng quát : Cho a , a , , a n ( n 2) a2 a1 ta ln có  a2 an a a a n n n a1  an số thực không âm n Dấu “=” xảy * Thơng thường chương trình THCS ta thường áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai ba số (tức n = n = 3) Cách chứng minh hai trường hợp cụ thể đơn giản Một vài hệ quan trọng: a1 a2 a2 1 a1 a2 an 2n số dương ( n Cho n an ) ( a1   ( a1 b1 ) ( a n v ô ùi an n a1  0, i 1, n v ô ùi  a2 Z ,n b2 ) ( a n ): 0, i an 1, n a , a , , a n , b1 , b , , b n bn ) n a a a n n b b b n Bất đẳng thức BCS Cho 2n số dương ( n ( a b1 a b2 Dấu “=‟ xảy Z ,n  ): a nbn ) a1 a2 b1 b2 a , a , , a n , b1 , b , , b n 2 ( a1 a2 an  bn  ta có: a n ) ( b1 b2 ( q u y ùc n e áu b i  bn ) 0) Hệ quả(Bất đẳng thức Svác-xơ) Cho hai dãy số a , a , , a n v a ø b , b , , b n v ô ùi b i skkn i 1, n ta ln có: ta có: 2 a1 a2 b1 b2 ( a1 an  bn Dấu “=‟ xảy b1 a1 a2 b1 b2 a2  an ) b2  bn an  bn Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ f ( x , x , , x n ) Cho hàm biến thực xác định D n f ( x1 , x , , x n ) M ax f M 0 0 ( x1 , x , , x n ) D m 0 ( x1 , x , , x n ) m 0 ( x1 , x , , x n ) D D D : f ( x1 , x , , x n ) f ( x1 , x , , x n ) M in f ( x1 , x , , x n ) M M D D : f ( x1 , x , , x n ) M Các bất đẳng thức phụ hay dùng Với số thực a, b, c, x, y, z dương ta có: a b c 1 a b ab 1 a b c x y a b a z b c xy yz zx d x e a f a g a y z 3( xy b b b 2(a yz zx ) b) 3 a c b ab bc ca a b y z b c c a h x y 2 y z 2 z x xyz x Ví dụ Ví dụ Cho x, y, z dương thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn A xy x y 2 zy z y 2 xz x z 2 * Phân tích: + Dự đoán dấu “=” xảy x = y = z = skkn + Biểu thức cần tìm giá trị nhỏ bậc hai nên ta nghĩ đến bất đẳng thức AM – GM cho hai số + Dựa vào giải thiết, kết hợp với dầu “=” xảy đó, ta có : x 2 y 4 xy, x yz * Giải: Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có: xy x y xy 2 x y 2 zy z y zy z y 2 xz x 2 z xz x 2 z 2 Cộng vế ba bất đẳng thức trên, ta 2(x 2A y z ) x y z 12 A Dấu “=” xảy x = y = z = Ví dụ Chứng minh với a, b, c dương ta ln có: 1 a b b c c a abc abc Giải: Ta có: a 1 b b 1 c c a abc a 1 abc b b c abc c a a (do abc ) Ta có: abc a 1 abc b a a b 1 a b ab a c b a b b c b Tương tự với số hạng lại, suy BĐT cho tương đương với: a b c b c a 1 a 1 a b a b a 1 b b a c a b b 1 b b c c b 1 c c c b c a c c a a a c Hoàn tồn chứng minh BĐT cuối ln áp dụng BĐT Cô-si cho số dương Dấu “=” xảy skkn a b c Ví dụ Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a+ b + c = Tìm giá trị nhỏ a M b b c c a * Phân tích: + Ln lưu ý dùng bất đẳng thức AM – GM bậc có xu hướng giảm + Do đó, để sử dụng giả thiết, suy nghĩ tự nhiên bình phương hai vế M lên trước dùng bất đẳng thức AM – GM * Giải: M a b b c c a b b a c c 2a a b 2b c c 2c a a b Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có: a b bc ab ac cb ab ac c b c a c a b M a b a b c c 2 ab ab cb ac a ab b b cb cb c 3a 3b 3c Suy M c ac ac a Vậy maxM = a = b =c =1 Ví dụ Cho số thực dương a,b,c thỏa mãn a b Tìm giá trị nhỏ biểu thức P bc a (2b b c a b ca c) a b (2a b a 4ab c) c(a b) (Đề thi HSG Tỉnh Thanh Hóa năm học 2014 - 2015) skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Giải : Từ: a b b a a c b b a c (a b )( a ab a b b ) 2(a 2 b ) ab ta có: a b 2ab c(a b )( a ab a b b ) 2(a 2 b ) c(a ab b) c(a ab b) ab Lại có bc ac a (2b c) b (2 a abc(a (b c ) c) b (ac) abc(2b c) c) a b b c (b c abc(2 a b c c a c) 2abc(a (ab a b c a ac) 2 c(a b bc ca ) c) b) 2abc(a b c) c(a b) bc ac a (2b c) b (2 a c) c (a ab b) bc ca ab c(a b) ab Đặt c(a t b) 3t P ab Có 3t (1 t) (t 3t t )( t t) t) 22t 12) t t) 22t 12) (với t ) t 7t 8t 32t t (1 t) 24 8 t (1 (1 2 (1 mà (t )( t t (1 t) t (t (0; ] )( t 22t t (1 Dấu "=" xảy t = hay Vậy giá trị nhỏ P a t) a b b c 12) 8 3 t (0; ] c Ví dụ Cho a, b, c số thục không âm thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn A ab c b c bc a a ca b c b a * Phân tích: - Dự đốn dầu “=” xảy a = b = c = - Ta không áp dụng bất đẳng thức AM – GM tử bậc chúng “chênh” Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an - Do đó, ta nghĩ đến mẫu * Giải ab c A b bc a c a b c a ca b c c b a b c a b ab c a 2 bc a c b c bc a ac ca b a c a b ba a b c b (ab bc ca ) (a b c) Vậy maxA = 3 a = b = c = Trong khuôn khổ chương trình cấp 2, để vận dụng bất đẳng thức Cô – si hay bất đẳng thức khác phải chứng minh bất đẳng thức tổng quát áp dụng Tuy nhiên, khuôn khổ viết này, xin phép không chứng minh lại mà áp dụng bất đẳng thức số bất đẳng thức nói viết II CÁC KĨ THUẬT KHI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI VÀO CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM CỰC TRỊ ĐẠI SỐ - Kỹ thuật tách ghép số - Kỹ thuật đổi biến số - Phương pháp chọn điểm rơi - Kỹ thuật nhân thêm hệ số - Kỹ thuật hạ bậc - Kỹ thuật cộng thêm - Kỹ thuật Cosi ngược dấu Kỹ thuật tách ghép số Đây kỹ thuật số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức cô si Kỹ thuật giới thiệu cho học sinh trung bình trở lên Kỹ thuật tách ghép bản: 1.1 Ví dụ Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: a b b c c a abc Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: a b b c c a ab bc ac (đpcm) abc Ví dụ Cho số thực dương a, b, c, d Chứng minh rằng: ac bd a b c d Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: ac a bd b c a a d c b c d a b a c b c b c c a d a b d d Ví dụ Cho số thực dương a, b, c thỏa a c c d bd b b c ac a d b a b c d a b c d (đpcm) d c a c c b c Chứng minh rằng: ab Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: c a c c b c c b ab c a a c c b c c a c b c b c b a a c b c a c c a a a c b c b c 1 b (đpcm) ab Ví dụ Cho số thực dương a, b Chứng minh rằng: 16 ab a b a b a b b a a b Giải:Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: 16 ab a b ab a b ab a b a b 2 ab Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: a b ab a ab b a b b a 2b 2a 2b 2a ab ab a 2b ab b 2a (đpcm) Ví dụ Cho số thực dương a, b Chứng minh rằng: a 2b b a b (đpcm) 2a Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn a b C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 1.2 Kỹ thuật tách nghịch đảo Ví dụ Chứng minh với x > 1, ta có 4x x Dấu đẳng thức (dấu bằng) xảy ? Gợi ý: Trong tốn có chứa hai số hạng dạng nghịch đảo Vì có số hạng x nên phần cịn lại phải biểu diễn thành thừa số x - Vậy ta phải viết lại vế trái sau: 4x 4(x x 1) (*) x Vì x > 1nên x – > Áp dụng bất đẳng thức Côsi (2) cho số dương 4(x-1) x 4x 4(x x 1) x 4(x 1 ) 1 x Dấu “=” xảy 4(x 1 1) x x , ta có: 1 (vì x > 1) Ví dụ Cho a, b, c dương a2 + b2 + c2 = Tìm giá trị nhỏ biểu thức a P b b c c a 3 Gợi ý b c c a 3 c c b b 3 a Ta có: a c 2 a b 13 2 b 3b 3 16 16 3 a a 3a 64 (1) (2), 3 c 16 Lấy (1) + (2) + (3) ta được: 3c 64 (3) a P 2 b c 16 a b c (4) Vì a2 + b2 + c2 =3 Từ (4) P giá trị nhỏ P a = b = c = Ví dụ Chứng minh rằng: a 2 , a a R Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an a a 1 a a 2 a 2 a a 2 a Ví dụ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A (đpcm) a 2 a 2 a 2 , a Giải: A a 2 a 2a a a a 2 1 a 2 1 a a 1 a a Cauchy 1 a 2 2 a a Dấu “=” xảy a A 2 1 a Vậy GTNN hay 2 2 a 2 Ví dụ Chứng minh rằng: a a b b , a b Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: b a a b b a b 1 b 2 a b b b b a b b 1 a b b b 1.1.3 Kỹ thuật ghép đối xứng Trong kỹ thuật ghép đối xứng ta cần nắm số thao tác sau: a Phép cộng: a b b 2 a Phép nhân: b b abc c c a b c 2 a ab c a c bc ab b ca , bc b c c a,b,c a ca Ví dụ Cho ba số thực dương a, b, c thỏa abc Chứng minh Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an b c c a a a b b a b c c Giải: b c c a a a b b bc c a c a a Ví dụ Cho ca ab a b c ab ab bc a b b c c a bc ca a b b ca ab b c c b b b c bc ca a a ca a c ab bc b b Vậy ca a c a b a b b c ab bc c a c c a a b b c c 3 c ABC , AB c , BC a , CA a b, p b c Chứng minh c p p a p b p c abc Giải: p a Ta có: p b p c p a p p a b p b p b p p b 2 p a c p p c p c p b p b c a a 2 p c a abc Ví dụ Cho a, b, c số dương Chứng minh : a b b c c c a a a b b c Gợi ý : Áp dụng BĐT Côsi cho hai số thực dương ta có : a b b c c a b b c c a Tương tự , cho số hạng lại, cộng ba BĐT lại với ta điều phải chứng minh Nhận xét :* Phương pháp mà làm toán người ta thường gọi phương pháp tách gép cặp BĐT Côsi Vì lại 10 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn