Đang tải... (xem toàn văn)
Đường tròn tâm O bán kính R, kí hiệu (O;R), là hình gồm các điểm cách O một khoảng bằng R. Nếu A nằm trên đường tròn (O;R) thì OA=R Nếu A nằm trong đường tròn (O; R) thì OAR. 2. Định lí về sự xác định một đường tròn Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn. Tâm O của đường tròn đi qua ba điểm A, B, C là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC.
CHƯƠNG II: ĐƯỜNG TRÒN Chuyên đề SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRỊN TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRỊN A.Kiến thức cần nhớ Cách xác định đường tròn Một đường trịn xác định khi: • Biết tâm bán kính • Biết đoạn thẳng đường kính • Biết ba điểm nó: Qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng ta vẽ đường tròn Tâm đường tròn giao điểm đường trung trực ABC Tam giác nội tiếp Đường trịn ngoại tiếp tam giác • Đường tròn (O) qua ba đỉnh tam giác ABC gọi đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, tam giác ABC gọi tam giác nội tiếp đường trịn (O) • Tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) ; - Nếu BC đường kính A 90 ; - Nếu A 90 BC đường kính (h.6.2) Tâm đối xứng Trục đối xứng Đường trịn có tâm đối xứng trục đối xứng Tâm đối xứng tâm đường tròn Trục đối xứng đường kính đường trịn B Một số ví dụ Ví dụ Chứng minh rằng: a) Bốn đỉnh hình chữ nhật nằm đường tròn; b) Bốn đỉnh hình thang cân nằm đường trịn Giải a) Trong hình chữ nhật ABCD, hai đường chéo vừa cắt trung điểm đường nên OA OB OC OD Bốn đỉnh A, B, C, D cách điểm O nên chúng nằm đường tròn (O;OA) Nhận xét: Bốn đỉnh hình chữ nhật nằm đường trịn có tâm giao điểm hai đường chéo b) Vẽ đường trung trực AB BC chúng cắt O Vì ABCD hình thang cân nên đường trung trực AB đường trung trực CD Ta có: OA OB (vì O nằm đường trung trực AB) OB OC (vì O nằm đường trung trực BC) OC OD (vì O nằm đường trung trực CD) Suy OA OB OC OD , bốn đỉnh A, B, C, D hình thang cân nằm đường tròn Nhận xét: Phương pháp chung để chứng minh nhiều điểm nằm đường tròn ví dụ chứng minh điểm cách điểm Ví dụ Cho tam giác ABC vuông A Vẽ điểm D đối xứng với A qua BC, điểm E đối xứng với A qua trung điểm O BC Chứng minh điểm A, B, C, D, E thuộc đường trịn Giải Tam giác ABC vng A nên ba điểm A, B, C nằm đường tròn (O) đường kính BC Điểm D đối xứng với A qua đường kính BC nên D nằm đường trịn đường kính BC Điểm E đối xứng với A qua tâm O đường tròn nên E nằm đường tròn (O) Tóm lại, điểm A, B, C, D, E thuộc đường trịn (O) Ví dụ Cho đường trịn (O) đường kính AB dây AC Trên tia AC lấy điểm M cho C trung điểm AM Chứng minh điểm C di động đường trịn (O) điểm M nằm đường tròn cố định Giải Xét ABC có AB đường kính đường trịn (O) nên ACB 90 Xét ABM có BC vừa đường cao vừa đường trung tuyến nên ABM cân B Suy BM BA (không đổi) Vậy điểm M nằm đường tròn ( B; BA) Đó đường trịn cố định Nhận xét: Để chứng minh điểm nằm đường tròn cố định ta chứng minh điểm cách điểm cố định khoảng khơng đổi Ví dụ Cho đường tròn (O) điểm K cố định ngòai đường tròn Đường thẳng KO cắt đường tròn A B (A nằm K B) Gọi M điểm đường trịn Chứng minh KA KM KB Giải Điểm K nằm ngồi đường trịn, điểm A,M,B nằm đường trịn OK OA OM OB • Xét ba điểm M, K, O ta có: KM MO OK Suy KM OK OM KM OK OA (vì OA OM ) Do KM KA (1) (dấu “=” xảy M A ) • Xét ba điểm M, O, K ta có: KM OK OM ; KM OK OB (vì OB OM ) Do KM KB (2) (dấu “=” xảy M B ) Từ (1) (2) ta KA KM KB Nhận xét: Trong đoạn thẳng nối K với điểm đường trịn KA đoạn thẳng ngắn nhất; KB đoạn thẳng dài Ví dụ Cho tam giác ABC Vẽ đường tròn qua A, B có tâm D nằm đường thẳng AC Vẽ đường trịn qua A, C có tâm E nằm đường thẳng AB Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Chứng minh OA DE Giải Đường tròn ( D) qua A B nên: DA DB (1) Đường tròn (O) qua A B nên: OA OB (2) Từ (1) (2) suy đường thẳng OD đường trung trực AB, OD AB Chứng minh tương tự ta đựợc OE đường trung trực AC Xét ADE có O giao điểm hai đường cao nên O trực tâm, suy OA DE Nhận xét: Phương pháp giải ví dụ dựa vào tính chất: Tâm đường tròn qua hai điểm A, B nằm đường trung trực đoạn thẳng AB Ví dụ Cho đường tròn (O; R) 10 điểm M , M , , M 10 Chứng minh tồn điểm A đường tròn cho AM AM AM 10 10 R Giải Vẽ đường kính CD Ta có CD 2 R Xét ba điểm M , C, D ta có: CM DM CD 2 R Tương tự, CM DM CD 2 R … CM 10 DM 10 CD 2 R Cộng vế bất đẳng thức ta (CM CM CM10 ) ( DM1 DM DM10 ) 20 R • Nếu CM CM CM 10 10 R điểm A cần tìm điểm C • Nếu CM CM CM 10 10 R DM DM DM10 10 R Khi điểm A cần tìm điểm D C Bài tập vận dụng • Chứng minh nhiều điểm thuộc đường tròn 6.1 Cho năm điểm A, B, C, D, E Biết qua bốn điểm A, B, C, D vẽ đường trịn, qua bốn điểm B, C, D, E vẽ đường tròn Chứng minh năm điểm A, B, C, D, E thuộc đường tròn 90 Gọi E, F, G, H trung điểm AB, BD, 6.2 Cho tứ giác ABCD có C D DC CA Chứng minh bốn điểm E, F, G, H nằm đường tròn 6.3 Cho đường tròn (O; R) điểm A ngòai đường tròn Lấy bốn điểm M, N, P, Q thuộc đường tròn (O) Trên tia AM, AN, AP, AQ lấy điểm M , N , P, Q cho M, N, P, Q trung điểm AM , AN , AP, AQ Chứng minh bốn điểm M , N , P, Q nằm đường trịn 6.4 Cho hình thoi ABCD, A 60 Gọi E, F,G, H trung điểm AB, BC, CD, DA Chứng minh điểm B, D, E, F, G, H thuộc đường trịn 6.5 Cho hình chữ nhật ABCD, AB a, BC b(a b) Gọi H hình chiếu D AC K hình chiếu C BD a) Chứng minh bốn điểm C, D, H, K thuộc đường tròn b) Gọi M trung điểm AB, tìm điều kiện a b để điểm C, D, H, K M thuộc đường tròn 6.6 Cho tam giác ABC Ba đường cao AD, BE, CF cắt H Gọi I, J, K trung điểm HA, HB, HC Gọi M, N, P trung điểm AB, BC CA Chứng minh rằng: a) Bốn điểm M, P, K, J thuộc đường tròn; b) Sáu điểm M, P, K, J, I, N thuộc đường trịn; c) Chín điểm M, P, K, J, I, N, D, E, F thuộc đường trịn • Chứng minh điểm thuộc đường tròn cố định 6.7 Cho tam giác ABC, cạnh BC cố định, đường trung tuyến BM 1,5cm Chứng minh điểm A thuộc đường tròn cố định 6.8 Cho đường tròn (O;3cm) Lấy điểm A đường trịn Qua A vẽ tia Ax OA Trên tia Ax lấy điểm B cho AB 4 cm Gọi H hình chiếu A OB Chứng minh H thuộc đường tròn cố định 6.9 Cho đoạn thẳng AB 4 cm Trên AB lấy điểm C cho AC 1cm Vẽ tia Cx, lấy điểm M cho AMC ABM Chứng minh điểm M thuộc đường trịn cố định • Dựng đường tròn 6.10 Dựng đường tròn qua hai điểm A B cho trước có tâm nằm đường thẳng d cho trước 6.11 Cho đường thẳng d điểm A cách d 1cm Dựng đường tròn (O) có bán kính 1,5cm qua A có tâm nằm đường thẳng d • Các dạng khác 6.12 Cho tam giác ABC Trên tia BC lấy điểm M, tia CB lấy điểm N cho BM BA, CN CA Vẽ đường tròn (O) ngoại tiếp tam gác AMN Chứng minh tia AO tia phân giác góc BAC 6.13 Cho hình thoi ABCD cạnh Gọi R1 R2 bán kính đừơng trịn ngoại tiếp tam giác ABD ABC Chứng minh R12 R2 4 R12 R2 6.14 Cho đường tròn qua điểm A Chứng minh có hình trịn chứa tâm hình trịn khác 6.15 Cho 99 điểm cho ba điểm tồn hai điểm có khỏang cách nhỏ Chứng điểm cho có 50 điểm nằm đường trịn có bán kính 6.16 Đố Hai người chơi trò chơi sau: Mỗi người đặt đồng xu lên bìa hình trịn Người cuối đặt đồng xu lên bìa người thắng Muốn thắng phải chơi nào? (Các đồng xu không chồng lên nhau) 6.17 Cho đường tròn (O;3) Lấy sáu điểm bên đường trịn, khơng có điểm trùng với O khơng có hai điểm thuộc bán kính Chứng minh tồn hai điểm điểm có khoảng cách nhỏ 6.18 Cho sáu điểm thuộc hình trịn (O; r ) , điểm khơng có điểm trùng với O Chứng minh tồn hai điểm sáu điểm có khỏang cách nhỏ r 6.19 Cho bảy điểm thuộc hình trịn (O; r ) khoảng cách hai điểm khơng nhỏ r Chứng minh bảy điểm trùng với tâm hình trịn HƯỚNG DẪN GIẢI - ĐÁP SỐ 6.1 Đường tròn qua bốn điểm A, B, C, D đường tròn qua bốn điểm B, C, D, E có ba điểm chung B, C, D nên chúng phải trùng Vậy năm điểm A, B, C, D, E thuộc đường trịn 6.2 Xét ABD có EF đường trung bình Suy EF //AD EF AD Chứng minh tương tự ta đựơc: HG //AD HG AD Vậy EF //HG EF HG Suy tứ giác EFGH hình bình hành Ta có FGD BCD ; HGC ADC (cặp góc đồng vị) Do FGD HGC BCD ADC 90 , dẫn tới FGH 90 90 nên hình chữ Hình bình hành EFGH có G nhật Suy bốn điểm E, F, G, H nằm đường tròn 6.3 Trên tia AO lấy điểm O cho O trung điểm AO Xét AOM có OM đường trung bình nên OM 2OM 2R Chứng minh tương tự ta được: ON OP OQ 2 R Vậy bốn điểm M , N , P, Q thuộc đường tròn (O; R) 6.4 Vì ABCD hình thoi nên AC BD (tại O) AC đường phân giác góc A 30 Do A1 A Đặt độ dài cạnh hình thoi a Xét tam giác AOB, AOD vuông O có: A A 30 nên OB OD a 2 Theo tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông ta có: a OE OF OG OH a Vậy OB OD OE OF OG OH a Suy điểm B, D, E, F, G, H thuộc đường tròn O; với O giao điểm hai 2 đường chéo hình thoi 6.5 a) Gọi O trung điểm CD Theo tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vng ta có: a OH OK OC OD Vậy bốn điểm H, K, C, D nằm đường tròn tức đường trịn đường kính CD b) Dễ thấy tứ giác AMOD hình chữ nhật Suy OM AD b Điểm M thuộc đường trịn đường kính CD a a OM OC OD b a 2b 2 Vậy điểm C, D, H, K, M thuộc đường tròn a 2b 6.6 a) Dùng tính chất đường trung bình tam giác ta chứng minh tứ giác MPKJ hình bình hành Ta có JK //BC ; MJ //AD Mà AD BC nên MJ JK Do tứ giác MPKJ hình chữ nhật Suy bốn điểm M, P, K, J thuộc đường trịn (O) đường kính MK PJ b) Chứng minh tương tự ta tứ giác MIKN hình chữ nhật Suy bốn điểm M,I, K, N thuộc đường tròn (O) đường kính MK IN Hai đường trịn (O) có chung đường kính MK nên chúng trùng Suy điểm M, P, K, J, I, N thuộc đường a O; 2 trịn đường kính MK IN c) Tam giác FMK vng F nên điểm F nằm đường trịn đường kính MK Chứng minh tương tự ta điểm E thuộc đường trịn đường kính PJ, điểm D thuộc đường trịn đường kính IN Từ suy điểm M, P, K, J, I, N, D, E, F thuộc đường tròn 6.7 Trên tia đối tia BC lấy điểm O cho BO BC Suy BM đường trung bình ABC Do OA 2 BM 3cm Điểm A cách điểm O cho trước khoảng 3cm nên điểm A thuộc đường trịn (O;3cm) Đó đường trịn cố định 6.8 Xét AOB vng tạo A ta có: OB OA2 AB 32 42 25 Do OB 5(cm) Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng AOB ta có OH.OB OA OH OA2 32 1,8(cm) OB Vậy điểm H đường trịn (O;1,8cm) Đó đường trịn cố định 6.9 AMC ABM có: A chung; AMC ABM (giả thiết) nên AMC ∽ ABM (g.g) suy AM AC AB AM AM AB AC 4.1 4 AM (2cm) Do M đường trịn (A; 2cm) Đó đường trịn cố định 6.10 • Phân tích: Tâm O phải thỏa mãn hai điều kiện: - Od ; - O nằm đường trung trực AB • Cách dựng: - Dựng đường trung trực AB cắt đường thẳng d O - Dựng đường trịn (O; OA) , đường trịn phải dựng • Chứng minh: Theo cách dựng, đường trịn (O; OA) có tâm O nằm đường thẳng d Mặt khác, O nằm đường trung trực AB nên OA OB Do đường trịn (O; OA) qua A B • Biện luận: - Nếu d khơng vng góc với AB tốn có nghiệm hình - Nếu d AB khơng phải đường trung trực AB tốn khơng có nghiệm hình - Nếu d đường trung trực AB tốn có vơ số nghiệm hình 6.11 • Phân tích: Tâm O phải thỏa mãn hai điều kiện: - Od ; - O ( A;1,5cm) • Cách dựng: - Dựng đường tròn ( A;1,5cm) cắt đường thẳng d tạo O - Dựng đường tròn (O;1,5cm) Đó đường trịn phải dựng • Chứng minh: Bạn đọc tự giải • Biện luận: Bài tốn có hai nghiệm hình, đường trịn (O;1,5cm) (O;1,5cm) 6.12 Đường tròn (O) qua hai điểm A M nên điểm O nằm 10 đường trung trực AM Mặt khác BAM tam giác cân nên đường trung trực AM đường phân giác góc B Tương tự, điểm O nằm đường trung trực AN đường phân giác C Xét ABC , hai đường phân giác góc B góc C cắt O, suy tia AO tia phân giác góc BAC 6.13 Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD Mỗi đường chéo đường trung trực đường chéo Vẽ đường trung trực AB cắt AB M, cắt AC I cắt BD K Xét ABD có I tâm đường tròn ngoại tiếp IA R1 Xét ABC cso K tâm đường tròn ngoại tiếp KB R2 OA AB MA AI AOB ∽ AMI (g.g), suy OA 1 2OA 4OA2 R1 R1 R1 AOB ∽ KMB (g.g), suy OB AB MB KB OB 1 2OB 4OB R2 R2 R2 (1) (2) 2 Từ (1) (2) suy R R 4 OA OB R12 R2 4 AB 4 Suy R12 R2 4.R12 R2 Do R12 R2 6.14 Gọi O1,O2 , , O6 tâm đường tròn qua A Nối A với O1,O2 , , O6 ta tia 11 • Nếu có hai tia AOm AOn trùng độ dài đoạn thẳng AOm lớn độ dài đoạn thẳng AOn hình trịn tâm Om chứa tâm On • Nếu tia phân biệt, chúng tạo thành góc đỉnh A khơng có điểm chung, tổng chúng 360 tồn góc nhỏ 60 , giả sử AO 60 O O , từ O 60 , dẫn tới O A Xét O1 AO2 , giả sử O1 A O2 A O 2 Suy O1 A O1O2 Khi hình tròn (O1 ) chứa tâm O2 Nếu O1 A O2 A chứng minh tương tự ta có hình trịn (O2 ) chứa tâm O1 6.15 Gọi A số 99 điểm cho Vẽ đường tròn ( A;1) Nếu tất 98 điểm cịn lại nằm đường trịn tốn giải xong Nếu B điểm khơng nằm đường trịn ( A;1) AB 1 Vẽ đường tròn ( B;1) Gọi C điểm số 97 điểm lại Theo đề bài, ba điểm tồn hai điểm có khoảng cách nhỏ Ta có AB 1 AC , C nằm đường tròn ( A;1) BC , C nằm đường trịn ( B;1) Như hai đường tròn ( A;1) ( B;1) chứa tất 99 điểm cho Theo nguyên lí Đi-rich-lê, phải có hai đường trịn chứa 50 điểm 6.16 Tấm bìa hình trịn nên tâm đối xứng tâm bìa Người trước thắng chơi theo “chiến thuật” sau” A: Đặt đồng xu tâm miếng bìa B: Đặt đồng xu thứ hai lên bìa vị trí A: Đặt đồng xu thứ ba vị trí đối xứng với đồng xu thứ hai qua tâm Cứ B cịn đặt đồng xu vị trí bìa A đặt đồng xu tạo vị trí đối xứng với qua tâm Như A thắng 6.17 Vẽ bán kính qua sáu điểm cho Có sáu bán kính nên tồn hai bán kính tạo với góc nhỏ 360 : 60 Giả sử bán kính OM, ON theo thứ tự qua hai điểm A B 12 60 nên tồn hai góc A B Xét OAB có O phải lớn 60 B suy AB OA OM 3 Giả sử B 60 Do O Vậy AB 6.18 Vẽ bán kính qua sáu điểm cho Nếu có hai điểm sáu điểm thuộc bán kính khoảng cách hai điểm nhỏ r, toán chứng minh Nếu khơng có hai điểm sáu điểm thuộc bán kính có sáu bán kính, tồn hai bán tạo với góc nhỏ 360 : 60 , giả sử AOB 60 Xét OAB có AOB 60 nên tồn hai góc A B phải lớn 60 B suy AB OA r Giả sử B 60 Do O 6.19 Ta chứng minh phương pháp phản chứng Giả sử khơng có điểm trùng với tâm hình trịn Vẽ bán kính qua bảy điểm cho Khơng có hai điểm thuộc bán kính (vì chúng thuộc bán kính khoảng cách chúng nhỏ bán kính, trái giả thiết) Bảy góc đỉnh O khơng có điểm chung, có tổng 360 nên tồn góc nhỏ 60 , giả sử góc AOB Xét AOB có AOB 60 nên hai góc cịn lại phải lớn 60 Giả sử 60 , suy AB OA r (trái giả thiết) B Vậy tồn điểm trùng với tâm hình trịn 13