Chuyen de ve quan he chia het

[r]

GV: TRÇn thu h»ng

Chuyên đề: Chuyên đề:

TÝnh chÊt chia hết tập hợp số

Tính chất chia hết tập hợp số

tự nhiên

tự nhiên

Đà Bắc

1/ Định nghĩa :

Cho hai số tự nhiên a vµ b (b 0) Ta nãi a chia ≠ hết cho b tồn số tự nhiên q cho a = b.q KÝ hiÖu a⋮b

2/ C¸c tÝnh chÊt vỊ chia hÕt :

* TÝnh chÊt chung :

c) Tính chất bắc cầu : Nếu ab, bc ac

b) a⋮a víi mäi sè a ≠

2/ C¸c tÝnh chÊt vỊ chia hÕt : * TÝnh chÊt chung

* TÝnh chÊt chia hÕt cđa mét tỉng, mét hiƯu

d) NÕu a⋮m, b⋮ ………m

+ HƯ qu¶ :

Nếu (a + b)m (hoặc a - bm) a …………m NÕu (a + b)⋮m (hc a - b⋮m) vµ b⋮ ………m

e) NÕu a⋮m, b⋮ ………m NÕu a⋮m,

b⋮ ………m

 a b m a b m  ;  

b m



a m 

 a b m a b m  ;   ;

2/ C¸c tÝnh chÊt vÒ chia hÕt : * TÝnh chÊt chung

* TÝnh chÊt chia hÕt cđa mét tỉng, mét hiƯu

* TÝnh chÊt chia hÕt cña mét tÝch

+Hệ quả:

Nếu am anm (n sè tù nhiªn ≠ 0).

g) NÕu a⋮m, b⋮n abmn

+ Hệ : ab an⋮bn.

2/ C¸c tÝnh chÊt vỊ chia hÕt :

* C¸c tÝnh chÊt kh¸c

h) NÕu A⋮B th× mA +nB⋮B , mA – nB⋮B

i) NÕu mét tÝch chia hÕt cho mét sè nguyên tố p tồn thừa số tÝch chia hÕt cho p

+ HƯ qu¶: anp (p số nguyên tố) ap

j) Nếu abm, b m, nguyên tố th× a⋮m k) NÕu a⋮m, a⋮n th× a⋮BCNN(m,n)

+ HƯ qu¶ :

NÕu a⋮m, a⋮n, (m,n) = th× a⋮mn

Ví dụ: số 384 chia hết cho 4

Ví dụ: số 13175 chia hết cho 25

Ví dụ: số 25104 chia hết cho 8

Ví dụ: số 34250 chia hết cho 125 cho 11

Tổng chữ số hàng lẻ trừ tổng chữ số hàng chẵn chia hết cho 11

II Phân loại số dạng toán điển hình cách giải:

* Dạng 1: Chøng minh mét biÓu thøc chia hÕt cho mét sè

Để chứng minh biểu thức chia hết cho số nào đó, ngồi việc sử dụng tính chất chia hết các dấu hiệu chia hết biết phải tuỳ theo tr ờng hợp cụ thể để kết hợp với số kiến thức

kh¸c nh :

+ C¸c tÝnh chÊt cđa c¸c phÐp to¸n, phép luỹ thừa + Tìm chữ số tận luü thõa

+ PhÐp chia cã d + CÊu t¹o sè

VÝ dơ 1:

A = (2 + 22 + 23+ 24 + 25) + (26 + 27 + 28+ 29 + 210)

+ + (296 + 297 + 298 + 299 + 2100)

= 2 (1 + + 22 + 23 + 24) + 26 (1 + + 22 + 23 + 24) +

+

… 96 (1 + + 22 + 23 + 24)

= 2.31 + 26 31 + +296 31

= 31(2 + 26 + + 296)

VËy A⋮31

- Ph ơng pháp : Chia tổng A thành nhóm thích hợp để biến đổi dạng A = 31.Q áp dụng tính chất

Cho A = + 22 + 23 + + 299 + 2100 Chøng minh r»ng A⋮31

- Ph ơng pháp : Tìm ch÷ sè tËn cïng cđa 34n+1 + råi sư

dơng dÊu hiƯu chia hÕt cho

VÝ dơ 2: Chøng minh r»ng 34n+1 + ⋮5 víi mäi n

Gi¶i :

34n+1 + = (34 )n + = 81n

+ =… + =…5

Ví dụ 3:

Ph ơng pháp: Vì 2.9=18 ƯCLN(2,9)=1nên cần

chứng minh biểu thức chia hết cho chia hết cho 18

Chøng minh r»ng 1033 + 8⋮18

Gi¶i :

1033 + = 10 + = 10 08 33 ch÷ sè 32 ch÷ sè

Sè 10 08 cã ch÷ sè tận nên chia hết cho 2, 33 ch÷ sè

VÝ dô

- Ph ơng pháp: Sử dụng kiến thức phép chia có d để biểu diễn a, b tìm hiệu chúng

Chứng tỏ hai số tự nhiên a b chia

cho sè tù nhiªn c cã cïng sè d th× hiƯu a - b chia hÕt cho c.≠

Gi¶i : Ta cã a = cq1 + r (0 r < ≤

c)

b = cq2 + r (0 r ≤ < c)

Gi¶ sư a > b, a – b = (cq1 + r) - (cq2 + r) = cq1 + r – cq2 - r = cq1 – cq2 = c(q1 – q2)

VËy a – b⋮c

Khai thác toán:

Trong số tự nhiên liên tiếp có mét sè lµ béi cđa



VÝ dô 5: Cho n N Chøng minh r»ng : n(n + 1)(2n + 1) ∊ ⋮6

Gi¶i :

Do n(n + 1)(2n + 1) ⋮2

Ta cần chứng minh n(n + 1)(2n + 1) n(n + 1)(2n + 1) ⋮6

(V× hai số nguyên tố nhau) XÐt hai tr êng hỵp :

+NÕu n ⋮3 +NÕu n ⋮3

n(n + 1)(2n + 1) ⋮3 n(n + 1)(2n + 1)  ⋮6 Th× n = 3k + hc n = 3k + (k N)∊ Khi n = 3k + th× 2n + = 2(3k + 1) + = 6k +

3⋮3

n(n + 1)(2n + 1)⋮3 n(n + 1)(2n + 1)⋮6



Với a, b chữ số khác HÃy chứng minh: aaabbb chia hết cho 37

VÝ dô 6:

- Ph ơng pháp: Dùng cấu tạo số để biến đổi dạng A = BQ Giải:

aaabbb = 1000 aaa + bbb = 1000.111a + 111b = 111(1000a + b) = 37.3 (1000a +b)

VÝ dô 7:

Cho mét sè chia hÕt cho gåm ch÷ sè Chøng minh r»ng nÕu chun chữ số tận lên ta đ îc sè chia hÕt cho

Gi¶i:

Gäi số chia hết cho gồm chữ số là: X = abcdeg

NÕu chun ch÷ sè tận lên ta đ ợc số: Y = gabcde Đặt abcde = n X = 10n + g Y = 100000g + n

Ta cã: 10Y – X = 10(100000g +n) – (10n + g) = 1000000g + 10n – 10n –

g = 999999g ⋮7

VËy 10 Y – X chia hết cho Mà X chia hết cho Nên 10Y ⋮7

VÝ dô 8:Chøng minh r»ng 10n + 18n – chia hÕt cho 27

-Ph ơng pháp: biến đổi 10n + 18n – thành tổng số hạng chia hết cho 27

Gi¶i:

Ta cã 10n + 18n – = 10n – – 9n + 27n

= 99. – 9n + 27n=

n

9 (11 – n) + 27n n

11 – n chia hết cho 3, 9(11 – n) chia hết cho 27 n n

VËy 9(11 – n) + 27n chia hÕt cho 27 n

* D¹ng 2 :

Thay dấu * chữ số thích hợp để A = 52*2* chia hết cho 36

T×m chữ số theo điều kiện chia hết.

VÝ dơ 9:

Gi¶i :

Ph ơng pháp : Xét điều kiện để A⋮4 cho từ ú tỡm cỏc ch s

Để A36 A⋮4 vµ

Do hai chữ số tận A tạo thành số chia hết cho 4, nghĩa 2*⋮4 Hay 2* {20 ; 24 ; 28}∊

-Tr êng hỵp : A = 52*20

Để A⋮9 + + * + + phải chia hết cho 9, tức + * phải chia hết cho 9, * { ; }∊

- Tr êng hỵp : A = 52*24 LËp ln t ¬ng tù ta cã * = -Tr êng hỵp : A = 52*28 ta cã * =

VÝ dơ 10:

V× 13 : d Nªn a + b : d

Tìm chữ số a b cho a – b = vµ 7a5b1⋮3

Gi¶i :

(1)

Do a, b chữ số a b = nên :4 a vµ b  ≤ ≤ ≤ ≤ a + b 14 (2)≤ ≤



Do a b số chẵn nên a + b số chẵn (3) Từ (1),(2),(3) suy a + b∊ {8 ; 14}

Víi a + b = , a – b = Th× a = , b =6 Víi a + b = 14, a – b = Th× a = 9, b =

Ví dụ 11: Tìm chữ số a để 1aaa1⋮11

Tổng chữ số hàng lẻ + a + = a + Giải:

Tổng chữ số hàng chẵn a + a = 2a

- NÕu 2a a + 2, ta cã 2a – (a + 2) = a - 2≥

để 1aaa1⋮11 a - 2⋮11 mà a– < Nên a– = Tức a = - Nếu 2a < a + 2, ta có a + – 2a = - a

* Dạng : Tìm số tự nhiên theo điều kiện cho tr ớc

Tìm số tự nhiên x y cho: Ví dụ 12:

(2x + 1)(y – 3) = 10

- Ph ơng pháp: Xét ớc 10 Giải:

x y số tự nhiên nên 2x + y

các ớc 10 (y>3) Các ớc 10 1; 2; 5; 10 Vì 2x + số lẻ nên 2x + {1; 5}

Ta cã  : 2x + 1 y - 3 x y

1

VÝ dô 12:

n + 6=(n -1) +



Tìm số tự nhiên n cho n + ⋮ n –

V× n -1 ⋮ n –

n + ⋮ n –  7⋮n – 1

Do n – ớc n – ∊ {1; 7} Ta có bảng sau:

n – 1 7

n 8

VËy víi n = n = n + ⋮ n – Gi¶i :

VÝ dô 13:

    

aaa 1 2 3 n (n 1)n

2



 (n 1)n 111a

Tìm số có ba chữ số giống biết số viết đ ợc d ới dạng tổng số tự nhiên liên tiếp từ

Giải:

Gọi số cần tìm lµ aaa Theo bµi ta cã:

 n(n  1) 2.111.a

 n(n  1)  2.3.37a

Vì n (n+1)37 nên tồn hai thõa sè ⋮37 Mµ: (n 1)n

2

lµ số có chữ số nên (n + 1) n nhá h¬n 74

Suy n = 37 n + = 37

mÃn) (thoả 666 36.37 aaa cã ta , 36 n 37 n NÕu 703(lo¹i) 37.38 1)n (n aaa cã ta 38, n 37 n NÕu              

Tỉng KÕt

• Học thuộc định nghĩa tính chất quan h chia ht

ã Nắm dạng tập có liên quan

ã Tham khảo thêm dạng tập khác sách nâng cao

Bµi tËp tù lun

1) Cho biÕt abc chia hÕt cho 7, chøng minh r»ng: 2a + 3b + c chia hÕt cho

2)Với a, b chữ số khác HÃy chøng minh: (abab – baba) chia hÕt cho vµ 101 (a > b)

3)Chøng minh r»ng sè gåm 27 chữ số chia hết cho 27 4) Tìm chữ số a, biết 20a20a20a7

5) Tìm sè tù nhiªn n cho 18n + ⋮7

Xin kính chúc thầy cô søc kháe, h¹nh phóc,