Bài giảng Toán cao cấp C1 (Hệ đại học): Phần 1 - TS. Trần Ngọc Hội

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CƠNG NGHỆ SÀI GỊN BAN KHOA HỌC CƠ BẢN BỘ MƠN TỐN BÀI GIẢNG TỐN CAO CẤP C1 (HỆ ĐẠI HỌC) Biên soạn: TS TRẦN NGỌC HỘI TP HỒ CHÍ MINH − 2009 LƯU HÀNH NỘI BỘ Lời nói đầu _ T ập giảng Toán cao cấp C1 (Hệ đại học) biên soạn sở đề cương môn học Trường Đại học Cơng Nghệ Sài Gịn; nhằm đáp ứng u cầu nâng cao chất lượng giảng dạy giai đoạn nhà trường thực đào tạo theo học chế tín Tập giảng chứa đựng nội dung mà tác giả giảng dạy Trường Đại học Công Nghệ Sài Gòn trường đại học khác Tác giả bày tỏ lòng cảm ơn đồng nghiệp Ban Khoa học Cơ - Trường Đại học Công Nghệ Sài Gịn động viên, đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho việc biên soạn Tuy vậy, thiếu sót khơng thể tránh khỏi Tác giả mong nhận nhận xét góp ý quý đồng nghiệp cho tập giảng xin chân thành cám ơn Tp Hồ Chí Minh, tháng 09 năm 2009 Tác giả MỤC LỤC CHƯƠNG PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN A HÀM SỐ HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN HÀM SỐ SƠ CẤP B GIỚI HẠN ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT 10 HÀM TƯƠNG ĐƯƠNG 12 VÔ CÙNG BÉ (VCB) - VÔ CÙNG LỚN 16 DẠNG VÔ ĐỊNH 1∞ 22 C LIÊN TỤC ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT 23 HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT ĐOẠN 25 D - ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM 27 PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM 30 VI PHÂN 34 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP CAO 36 QUI TẮC L’HOSPITAL 38 KHAI TRIỂN TAYLOR 43 ỨNG DỤNG 47 BÀI TẬP 53 CHƯƠNG PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN A - TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH KHÁI NIỆM VỀ TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 59 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 61 TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ 67 TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC 71 TÍCH PHÂN HÀM VƠ TỈ 73 B -TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH PHÂN SUY RỘNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 78 TÍCH PHÂN SUY RỘNG 84 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 88 KHÁI NIỆM VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 90 BÀI TẬP 95 CHƯƠNG PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN KHÁI NIỆM VỀ HÀM NHIỀU BIẾN 99 ĐẠO HÀM RIÊNG 102 ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM HỢP 104 ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM ẨN 105 VI PHÂN 107 CỰC TRỊ 109 CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN 110 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT- GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 113 MỘT SỐ BÀI TOÁN KINH TẾ 115 BÀI TẬP 118 CHƯƠNG PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN A HÀM SỐ HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN 1.1 Hàm lũy thừa y = xα (α : Const) Miền xác định D hàm số y = xα phụ thuộc vào α Trường hợp α số vô tỉ, ta có D = [0; +∞) α > 0; D = (0; +∞) α < 1.2 Hàm số mũ: y = ax (0 < a ≠ : Const) Hàm số y = ax có miền xác định D = R, miền giá trị (0; +∞) 1.3 Hàm số logarit: y = logax (0 < a ≠ : Const) thức: Hàm số y = logax có miền xác định D = (0; +∞), miền giá trị R Nhắc lại số công Với < a, b ≠ 1; x, x1, x2 > y, α∈R, ta có: ⎧ y = log a x 1) ⎨ ⇔ x = a y Đặc biệt, log a = 0; log a a = ⎩x > 2) a loga x = x 3) log a (x1 x ) = log a (x1 ) + log a (x ) 4) log a ( x1 ) = log a (x1 ) - log a (x ) x2 ) = - log a (x) x 5) log a (xα ) =α log a (x) Đặc biệt, log a ( log a (x) α 7) log a x = log a b.log b x; 6) log aα (x) = log b x = (α ≠ 0) log a x log a b 8) lnx = log e x : Logarit Neâpe x lgx = log10 x : Logarit thập phân x Ví dụ: Tính A = log1325 Giải: A = log13 25 = ln 25 ≈ 1, 254947126 ln13 1.4 Hàm số lượng giác hàm ngược 1.4.1 Hàm y = sinx y =arcsinx: Với −1 ≤ a ≤ 1, ta định nghĩa: ⎧sin α = a; ⎪ arcsin a = α ⇔ ⎨ π π ⎪⎩− ≤ α ≤ Khi arcsina (−1 ≤ a ≤ 1) xác định Như vậy, y= arcsinx hàm số có tính chất sau: • Miền xác định: D = [−1;1] • π π Miền giá trị: [− ; ] 2 • π π ∀α ∈ [− ; ], ∀a ∈ [−1;1]; sin α = a ⇔ arc sin a = α 2 • y = arcsinx hàm số lẻ, nghĩa arcsin(−x) = − arcsinx Ví dụ: arcsin(1/2) = π/6; arcsin(− /2) = − arcsin( /2) = −π/3; arcsin(−1/2) = π/6; arcsin(−3/4) = − arcsin(3/4) ≈ − 0,848062079; arcsin(−4) không tồn 1.4.2 Hàm y = cosx y =arccosx: Với −1 ≤ a ≤ 1, ta định nghĩa: ⎧cos α = a; arccos a = α ⇔ ⎨ ⎩0 ≤ α ≤ π Khi arccosa (−1 ≤ a ≤ 1) xác định Như vậy, y= arccosx hàm số có tính chất sau: • Miền xác định: D = [−1;1] • Miền giá trị: [0; π] • ∀α ∈ [0; π], ∀a ∈ [−1;1]; cos α = a ⇔ arccos a = α • arccos(− x) = π − arccosx Ví dụ: arccos(1/2) = π/3; arccos(− /2) = π − arccos( /2) = π − π/6 = 5π/6; arccos(− /2) = π − arccos( /2)= 3π/4; arccos(−3/4) = π - arccos(3/4)≈ 2,418858406; arccos(− 4) không tồn 1.4.3 Hàm y = tgx y =arctgx: Với a ∈ R, ta định nghĩa: ⎧ tgα = a; ⎪ arc tga = α ⇔ ⎨ π π ⎪⎩ − < α < Khi arctga xác định Như vậy, y= arctgx hàm số có tính chất sau: • Miền xác định: D = R • Miền giá trị: (− ; ) • π π ∀α ∈ (− ; ), ∀a ∈ , tgα = a ⇔ arctga = α 2 • y = arctgx hàm số lẻ, nghĩa arctg(−x) = − arctgx π π 2 Ví dụ: arctg1 = π/4; arctg(− /3) = − arctg( /3) = − π/6; arctg(−1)= −π/4; arctg(3/4) ≈ 0,643501108; arctg(− 4) ≈ −1,3258 1.4.4 Hàm y = cotgx y =arccotgx: Với a ∈ R, ta định nghĩa: ⎧cotgα = a; arc cotga = α ⇔ ⎨ ⎩0 < α < π Khi arccotga xác định Như vậy, y= arccotgx hàm số có tính chất sau: • Miền xác định: D = R • Miền giá trị: (0; π) • ∀α ∈ (0; π), ∀a ∈ , cot gα = a ⇔ arc cot ga = α • arccotg(−x) = π − arccotgx Ví dụ: arccotg1 = π/4; arccotg(− /3) = π − arccotg( /3) = π − π/3 = 2π/3; arccotg(− ) = π − arccotg( ) = π − π/6 = 5π/6; arccotg(3/4) = π/2 − arctg(3/4) ≈ 0,927295218 arccotg(−4) = π/2 − arctg(−4) ≈ π/2 + arctg4 ≈ 2,89661399 ta sử dụng tính chất sau: 1.4.5 Tính chất: 1) Với −1 ≤ x ≤ 1, arcsinx + arccosx = π/2 2) Với x, arctgx + arccotgx = π/2 HÀM SỐ SƠ CẤP Hàm số sơ cấp hàm số xây dựng từ hàm hàm số sơ cấp qua phép toán đại số: cộng, trừ, nhân, chia phép hợp nối ánh xạ Ví dụ: y = ln(1 + 2x) hàm số sơ cấp ⎧ sin 6x ⎪ y=⎨ x ⎪⎩cos3x neáu x < 0; khơng hàm số sơ cấp x ≥ B GIỚI HẠN ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT 1.1 Định nghĩa 1) Cho hàm số f(x) xác định khoảng chứa x0 (có thể loại trừ x0) Ta nói f(x) có giới hạn L∈ R x tiến x0, f(x) gần L tùy ý x tiến sát đến x0 Ký hiệu: lim f (x) = L hay f(x) → L x → x0 x → x0 Chính xác hơn, theo ngơn ngữ tốn học, ta có: lim f (x) = L x → x0 ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀ x ∈ , 0, ∃δ > 0, ∀ x ∈ , x − δ < x ≠ x < x + δ ⇒ | f (x) − L |< ε Minh họa: 2) Cho hàm số f(x) xác định khoảng có dạng (a;x0) Ta nói f(x) có giới hạn L∈ R x tiến x0 bên trái, f(x) gần L tùy ý x tiến sát đến x0 phía bên trái Ký hiệu: lim f (x) = L hay f(x) → L x → x0− x → x −0 Chính xác hơn, theo ngơn ngữ tốn học, ta có: lim f (x) = L ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ , < x0 − x < δ ⇒|f (x) − L|< ε x→x−0 Minh họa: 3) Cho hàm số f(x) xác định khoảng có dạng (x0;b) Ta nói f(x) có giới hạn L∈ R x tiến x0 bên phải, f(x) gần L tùy ý x tiến sát đến x0 phía bên phải Ký hiệu: lim f (x) = L hay f(x) → L x → x0+ x → x +0 Chính xác hơn, theo ngơn ngữ tốn học, ta có: 10 x x2 xn xn +1 e =1+ + ec + + + 1! 2! n ! (n + 1)! x x x2 xn e =1+ + + + + o(xn ) 1! 2! n! x x x5 x2k +1 x2k +3 π k + − + (−1) + sin x = x − sin[c + (2k + 3) ] 3! 5! (2k + 1)! (2k + 3)! x x5 x2k +1 k + − + (−1) + o(x2k +2 ) sin x = x − 3! 5! (2k + 1)! 2k x2 x4 x6 x2k+2 k x + cosx = − + − + + (−1) cos[c + (k + 1)π] 2! 4! 6! (2k)! (2k + 2)! 2k x2 x4 x6 k x + o(x2k+1) cosx = − + − + + (−1) 2! 4! 6! (2k)! x n +1 n = + x + x + + x + 1−x (1 − c)n + = + x + x + + x n + o(x n ) 1−x (x < 1) x n +1 n n n +1 = − x + x − + (−1) x + (−1) 1+ x (1 + c)n + (x > −1) = − x + x − + (−1)n x n + o(x n ) 1+ x x2 x3 xn x n +1 ln(1 − x) = − x − − − − − n (n + 1)(1 − c)n +1 x2 x3 xn ln(1 − x) = − x − − − − + o(xn ) n 44 (x < 1) n x2 x3 x n +1 n −1 x n + + + (−1) + (−1) ln(1 + x) = x − n (n + 1)(1 + c)n +1 n x2 x3 n −1 x + + + (−1) + o(x n ) ln(1 + x) = x − n (x > −1) 2k +1 x x5 k x + − + (−1) + o(x 2k + ) arctgx = x − 3 2k + tgx = x + x + x + o(x ) 15 (− π π để π(Q) đạt cực đại Thông thường ta cần tìm Q = Q0 > cho π'(Q0) = π''(Q0) < 0, nữa, để phù hợp với thực tế, Q = Q0 ta phải có lợi nhuận, đơn giá tổng chi phí dương 47 Ví dụ: Một xí nghiệp sản xuất độc quyền loại sản phẩm Biết hàm cầu QD = 656 - P (P đơn giá) hàm tổng chi phí C = Q3 – 77.Q2 + 1000Q + 40000 (Q sản lượng) Hãy xác định mức sản lượng Q để xí nghiệp đạt lợi nhuận tối đa Giải Với mức sản lượng Q, để bán hết sản phẩm, xí nghiệp cần bán theo đơn giá P cho: QD = Q ⇔ 656 − P = Q ⇔ P =1312 – 2Q Khi đó: - Doanh thu xí nghiệp là: R(Q) = P.Q = (1312 – 2Q)Q - Lợi nhuận xí nghiệp là: π(Q) = R(Q) – C(Q) = (1312 – 2Q)Q – (Q3 – 77Q2 + 1000Q + 40000) = – Q3 + 75Q2 + 312Q – 40000 Cần xác định giá trị Q > để π(Q) đạt cực đại Ta có: π'(Q) = –3Q2 + 150Q + 312 Suy ra: π'(Q) = ⇔ – 3Q2 + 150Q + 312 = ⇔ Q = – (loại) hay Q = 52 Ta có: π''(Q) = – 6Q + 150 nên π''(52) < Suy π(Q) đạt cực đại Q = 52 Khi ta có số liệu sau phù hợp: - Lợi nhuận π = 38416 > - Đơn giá P = 1208 > - Tổng chi phí C = 24400 > Kết luận: Để đạt lợi nhuận cao nhất, xí nghiệp cần sản xuất với mức sản lượng Q = 52 Khi lợi nhuận tương ứng π = 38416 7.3 Bài toán thuế doanh thu Bài toán: Giả sử xí nghiệp sản xuất độc quyền loại sản phẩm Biết hàm cầu QD=D(P) (P đơn giá) hàm tổng chi phí C=C(Q) (Q sản lượng) Hãy xác định mức thuế t môt đơn vị sản phẩm để thu nhiều thuế từ xí nghiệp Phương pháp giải: Với mức thuế t đơn vị sản phẩm, xí nghiệp định mức sản lượng Q phụ thuộc vào t cho đạt lợi nhuận tối đa Với mức sản lượng Q, để bán hết sản phẩm, xí nghiệp cần bán theo đơn giá P cho QD = Q Do D(P) = Q ⇔ P = D–1(Q) Khi đó: 48 - Doanh thu xí nghiệp là: R(Q) = P.Q= D–1(Q).Q - Tiền thuế xí nghiệp phải nộp là: T(t)= Qt - Lợi nhuận xí nghiệp là: π(Q) = R(Q) – C(Q) – Qt = D–1(Q).Q – C(Q) – Qt Như nói trên, ta cần xác định Q cho π(Q) đạt cực đại Khi Q = Q(t) (Q phụ thuộc vào t) tiền thuế mà xí nghiệp phải nộp T = Q(t)t Để thu nhiều thuế từ xí nghiệp ta cần xác định giá trị t > để T = Q(t)t đạt cực đại Chú ý để phù hợp với thực tế, giá trị t tìm ta phải có sản lượng, đơn giá, lợi nhuận tổng chi phí dương Ví dụ Một xí nghiệp sản xuất độc quyền loại sản phẩm Biết hàm cầu QD= 2000 – P (P đơn giá) hàm tổng chi phí C = Q2 + 1000 Q + 50 (Q sản lượng) Hãy xác định mức thuế t đơn vị sản phẩm để thu nhiều thuế từ xí nghiệp Giải Với mức sản lượng Q, để bán hết sản phẩm, xí nghiệp cần bán theo đơn giá P cho: QD = Q ⇔ 2000 – P = Q ⇔ P = 2000 – Q Khi đó: - Doanh thu xí nghiệp là: R(Q) = P.Q= (2000 – Q)Q - Tiền thuế xí nghiệp phải nộp là: T(t) = Qt - Lợi nhuận xí nghiệp là: π(Q) = R(Q) – C(Q) – Qt = (2000 – Q)Q – (Q2 + 1000 Q + 50) – Qt = – 2Q2 + (1000 – t) Q – 50 Mức sản lượng định cho π(Q) đạt cực đại Ta có: π'(Q) = – 4Q + 1000 – t Suy ra: π'(Q) = ⇔ – 4Q + 1000 – t = ⇔ Q = Vì π''(Q) = – < nên π(Q) đạt cực đại Q = 1000 − t Khi tiền thuế mà xí nghiệp phải nộp là: T(t) = Qt = 1000t − t Ta cần xác định giá trị t > để T(t) đạt cực đại Ta có 49 1000 − t T'(t) = 1000 − 2t Suy T'(t) = ⇔ 1000 − 2t = ⇔ t = 500 Vì T''(t)= – 1/2< nên T(t) đạt cực đại t= 500 Khi ta có số liệu sau phù hợp: - Sản lượng Q = 125 > Tiền thuế thu T = 62500 - Đơn giá P = 1875 > - Lợi nhuận π = 31200 > - Tổng chi phí C = 140675 > Kết luận: Để thu nhiều thuế từ xí nghiệp, cần định mức thuế đơn vị sản phẩm t = 500 Khi tiền thuế thu T = 62500 7.4 Bài toán thuế nhập Bài toán: Cho biết hàm cung hàm cầu loại sản phẩm thị trường nội địa QS = S(P) QD = D(P) (P đơn giá) Biết giá bán loại sản phẩm thị trường quốc tế cộng với chi phí nhập (nhưng chưa tính thuế nhập khẩu) P1 < P0, P0 đơn giá điểm cân thị trường nội địa Một công ty độc quyền nhập loại sản phẩm Hãy xác định mức thuế nhập t đơn vị sản phẩm để thu từ công ty nhiều thuế (Giả sử khối lượng nhập công ty không ảnh hưởng đến giá bán thị trường quốc tế) Phương pháp giải: Gọi t mức thuế nhập đơn vị sản phẩm Mức thuế t phải thỏa điều kiện t > t + P1 < P0 Do độc quyền, công ty nhập sản phẩm để bán với đơn giá P thỏa t + P1 < P < P0 với số lượng QD – QS = D(P)–S(P) Khi lợi nhuận mà cơng ty thu là: π(P) = (P – P1 – t)[D(P) – S(P)] Tất nhiên công ty chọn đơn giá để lợi nhuận đạt cao Do ta cần xác định P cho π(P) đạt cực đại Khi P = P(t) (P phụ thuộc vào t) tiền thuế mà công ty phải nộp là: T(t) = t[D(P(t)) – S(P(t))] Để thu nhiều thuế từ công ty ta cần xác định giá trị t > để T(t) đạt cực đại Mức thuế t phải thỏa t + P1 < P0 để phù hợp với thực tế, ta phải có đại lượng tương ứng đơn giá, lượng cung, lượng cầu dương Ví dụ Cho biết hàm cung hàm cầu loại sản phẩm thị trường nội địa QS = P – 200 QD = 4200 – P (P đơn giá) Biết giá bán loại sản phẩm thị trường quốc tế cộng với chi phí nhập (nhưng chưa tính thuế) P1 = 1600 Một công ty độc quyền nhập loại sản phẩm Hãy xác định mức thuế nhập t đơn vị sản phẩm để thu từ công ty nhiều thuế Giải Trước hết ta tìm đơn giá điểm cân thị trường nội địa Ta có: QS = QD ⇔ P – 200 = 4200 – P ⇔ P = 2200 Vậy đơn giá điểm cân thị trường nội địa 50 P0 = 2200 Gọi t mức thuế nhập đơn vị sản phẩm Điều kiện: t > 0; 1600 + t < 2200 (*) Khi đó: Đơn giá P thỏa 1600 + t < P < 2200 (**) ta có - Lượng hàng mà công ty nhập là: QD – QS = (4200 – P) – (P – 200) = 4400 – 2P - Lợi nhuận mà công ty thu là: π(P) = (P – P1 – t)[ QD QS] = (P – 1600 – t)( 4400 – 2P) = – 2P2 + 2(3800 + t)P – 4400(1600 + t) Đơn giá P định cho π(P) đạt cực đại Ta có: π'(P) = – 4P + 2(3800 + t) Suy ra: π'(P) = ⇔ – 4P + 2(3800 + t) = ⇔ P = 1900 + Vì π''(P) = – < nên π(P) đạt cực đại P = 1900 + t t Khi tiền thuế mà công ty phải nộp là: T(t) = t[ QD – QS] = t (4400 – 2P) = t(600 – t) Ta cần xác định t để T(t) đạt cực đại Ta có: T'(t) = 600 – 2t Suy T'(t) = ⇔ 600 – 2t = ⇔ t = 300 Vì T''(t)= – 2< nên T(t) đạt cực đại t= 300 với T(t) = 90000 Kiểm tra ta thấy điều kiện (*); (**) thỏa số liệu sau phù hợp: - Đơn giá P = 2050 > - Lượng cung QS = 1850 > - Lượng cầu QD = 2150 > Kết luận: Để thu nhiều thuế nhập từ công ty, cần định mức thuế đơn vị sản phẩm t = 300 Khi tiền thuế thu T = 90000 7.5 Bài toán thuế xuất Bài toán Cho biết hàm cung hàm cầu loại sản phẩm thị trường nội địa QS = S(P) QD = D(P) (P đơn giá) Biết giá bán loại sản phẩm thị trường quốc tế trừ chi phí xuất (nhưng chưa trừ thuế xuất khẩu) P1 > P0, P0 đơn giá điểm cân thị trường nội địa Một công ty độc quyền xuất loại sản phẩm Hãy xác định mức thuế xuất t đơn vị sản phẩm để thu từ công ty nhiều thuế (Giả sử khối lượng xuất công ty không ảnh hưởng đến giá bán thị trường quốc tế) 51 Phương pháp giải: Gọi t mức thuế xuất đơn vị sản phẩm Mức thuế t phải thỏa điều kiện t > P1– t > P0 Do độc quyền, công ty thu mua sản phẩm với đơn giá P thỏa P0 < P < P1 – t với số lượng QS – QD = S(P) – D(P) Khi lợi nhuận mà công ty thu là: π(P) = (P1 – P – t)[ S(P) – D(P)] Tất nhiên công ty chọn đơn giá mua để lợi nhuận đạt cao Do ta cần xác định P cho π(P) đạt cực đại Khi P = P(t) (P phụ thuộc vào t) tiền thuế mà công ty phải nộp là: T(t) = t[S(P(t)) – D(P(t))] Để thu nhiều thuế từ công ty ta cần xác định giá trị t > để T(t) đạt cực đại Mức thuế t phải thỏa P1– t > P0 để phù hợp với thực tế, ta phải có đại lượng tương ứng đơn giá mua, lượng cung, lượng cầu dương Ví dụ Cho biết hàm cung hàm cầu loại sản phẩm thị trường nội địa QS = P – 200 QD = 4200 – P (P đơn giá) Biết giá bán loại sản phẩm thị trường quốc tế trừ chi phí xuất (nhưng chưa trừ thuế) P1 = 3200 Một công ty độc quyền xuất loại sản phẩm Hãy xác định mức thuế xuất t đơn vị sản phẩm để thu từ cơng ty nhiều thuế Giải Trước hết ta tìm đơn giá điểm cân thị trường nội địa Ta có QS = QD ⇔ P – 200 = 4200 – P ⇔ P = 2200 Vậy đơn giá điểm cân thị trường nội địa P0 = 2200 Gọi t mức thuế xuất đơn vị sản phẩm Điều kiện: t > 0; 3200 – t > 2200 (*) Khi đó: Công ty thu mua với đơn giá P thoả: 2200 < P < 3200 – t (**) - Lượng hàng mà công ty xuất là: QS - QD = (P – 200) – (4200 – P) = 2P – 4400 - Lợi nhuận mà công ty thu là: π(P) = (P1 – P – t)(QS – QD) = (3200 – P – t)(2P – 4400) = – 2P2 + 2(5400 – t)P – 4400(3200 – t) Đơn giá P định cho π(P) đạt cực đại Ta có π'(P) = – 4P + 2(5400 – t) Suy ra: π'(P) = ⇔ – 4P + 2(5400 – t) = ⇔ P = 2700 − Vì π''(P) = – < nên π(P) đạt cực đại P = 2700 − t Khi tiền thuế mà cơng ty phải nộp T(t) = t(QS – QD)= t (2P – 4400) = t(1000 – t) Ta cần xác định t để T(t) đạt cực đại Ta có T'(t) = 1000 – 2t 52 t Suy T'(t) = ⇔ 1000 – 2t = ⇔ t = 500 Vì T''(t)= – 2< nên T(t) đạt cực đại t= 500 với T(t) = 250000 Kiểm tra ta thấy điều kiện (*) thỏa số liệu sau phù hợp: - Đơn giá P = 2450 > thoả (**) - Lượng cung QS = 2250 > - Lượng cầu QD = 1750 > Kết luận: Để thu nhiều thuế xuất từ công ty, cần định mức thuế đơn vị sản phẩm t = 500 Khi tiền thuế thu T = 250000 BÀI TẬP Tính giới hạn sau: (1 − cos x)2 a) lim x →0 ln(cos 4x) + 3sin x + + tgx − sin 2x b) lim x →0 c) lim x →0 − cos x + ln(1 + tg2 2x) + 2arcsin3 x − cos4x + sin2 x d) lim x→0 arcsin(x3 + tg2 3x) + 2arcsin2 x − cos3 2x + sin2 x (x + 2x + 4)(1 − cos 2x) + (e2x − 1)2 + x e) lim x →0 ln(cos 4x) + x (x + 3x + 4) ln(c os x) + cos 2x − f ) lim x→0 (x + 2x + 2)(sin2x + x )2 (cos 2x − ex )(x + − c os x) g) lim x →0 x(cos 3x − cos x) ln(1 + e − cos x) h) lim x →1 πx πx ) + sin − e(x −1) 2 − e )(x − 1) + ln x (x3 − 1)(x2 − 2x + sin (e2x i ) lim x→−1 (x + 1) ln(x + 2) + x3 + 4x2 + 5x + + e(x+1) (1 + cos πx)(x3 + 1) − x2 + 2x + + tg(x3 − 3x − 2) + + x − 3ex−2 + x3 − 3x2 + j) lim x →2 x(e2x − e4 ) + sin πx + cos πx − 53 Tính giới hạn sau: a) lim( x2 + x x2 + x − x2 + x x2 − x ) x →+∞ b) lim( x2 + x x2 + x − x2 + x x2 − x ) x →−∞ c) lim( 3x3 + 3x2 + x + − 3x3 − x2 + 1) x →∞ d) lim x( 2x3 + x2 + 2x + + − x2 − 2x3 ) x →∞ e) lim x( x3 + x x4 + + 2x + + − x2 − x3 ) x →∞ Tính giới hạn sau: ⎛ x2 − 3x + ⎞ a) lim ⎜ ⎟ x →∞ ⎝ x − 5x + ⎠ b) lim(sin x + cos x)cot gx x →0 c ) lim(cos 2x + x )cot g x d ) lim(cos 2x + x )cot g x x → 0+ x → 0− e ) lim(cos 2x + x2 )cot g x x →0 Định tham số a, b để hàm số sau liên tục điểm ra: ⎧ e2x − cos 2x ⎪ a) y = ⎨ x + 4x ⎪a ⎩ ⎧ ln(cos 3x) ⎪ x2 ⎪ b) y = ⎨ax + b ⎪ ⎪arctg( ) x + 2x − ⎩ neáu x ≠ 0; neáu x = x = neáu x < 0; neáu ≤ x ≤ 1; x = x = neáu x > Định tham số a, b để hàm số sau liên tục R: ⎧ ⎪arctg a) y = ⎨ (x − 2)3 ⎪a ⎩ neáu x ≠ 2; neáu x = 54 ⎧ sin πx ⎪ x − 3x + ⎪⎪ b) y = ⎨ax + bx + ⎪ ln(x − 4x + 5) ⎪ ⎪⎩ − + x neáu x < 1; neáu ≤ x ≤ 2; neáu x > Tìm đạo hàm y′ = y′(x) hàm số sau: a) y=(xcos2x) 1⎞ ⎛ b) y = ⎜ x+ ⎟ x⎠ ⎝ xsin3x ln 2x Tìm đạo hàm y′ = y′(x) hàm ẩn y = y(x) định bởi: a) y= x+arctgy b) y = + yex c) x + ln y − x 2e y = Từ xác định y′(0) π d) ycosx + sinx + lny = Từ xác định y′( ) Tìm đạo hàm y′ = y′(x0) y′′ = y′′(x0) hàm số y = y(x) cho dạng tham số sau: ⎧x = a) ⎨ ⎩y = ⎧x = ⎪ b) ⎨ ⎪y = ⎩ ⎧⎪ x = c) ⎨ ⎪⎩ y = ln(1 + t) 2t − 2arctgt arctgt taïi x0 = t2 2et t + t2 taïi x0 = ln π taïi x0 = Chứng minh hàm số ⎧ ⎪ x sin y=⎨ x ⎪⎩0 x ≠ x = liên tục x = đạo hàm bên trái lẫn đạo hàm bên phải điểm 10 Chứng minh hàm số ⎧ ⎪ x sin y=⎨ x ⎪⎩0 x ≠ x=0 có đạo hàm R 11 Cho y = x Tìm dy dy(32) Tính gần 55 31 12 Cho y = arc tg x Tìm dy dy(1) Tính gần arc tg 1, 05 13.Tính giới hạn sau: a) lim x →0 x − ac sin x x − tgx x →0 1 − ) ln(1 + x) x ln|sin 2x| ln|sin 3x| f ) lim ( x →0 ln(1 + x)1+ x − ) x2 x h) lim (ln(x − 1))tg(1− x) x →1+ x →−∞ i ) lim(sin 3x) ⎛ x − 2x + ⎞ j) lim ⎜ ⎟ x +1 x → 2+ ⎝ ⎠ / ln sin x x →0+ ln (1 + x) − sin x − ex x→0 d) lim x →0 g) lim x n ex k) lim 2tgx − tg2x x(1 − cos 3x) x →0 2(tgx − sin x) − x c) lim x →0 x5 e) lim ( b) lim l) lim x →0 x − arctgx 2e − x2 − 2x − x 14 Tìm đạo hàm cấp n hàm số sau: a) y = xsinx b ) y = x2cosx c) y = x3ex d) y = e) y = x4 lnx f) y = x ex x +1 x + 2x − 15 Tìm khai triển MacLaurin hàm số sau: a) y = đến số hạng x5 − sin x b) y = cos(sin2x) đến số hạng x6 c) y = arctg(sin3x) đến số hạng x5 d) y = ln(cos2x) đến số hạng x6 e) y = arctg(1 − cos x) đến số hạng x6 16 Tìm khai triển Taylor x0 hàm số sau đến số hạng (x – x0)5: 56 ln(x − 2) a) y = xsinx; x0 = π b) y = x 2cosx; x = c) y= x 3ex ; x0 =1 d) y = e) y= x lnx; x =1 f) y = x e x π ; x0 =1 x +1 x + 2x − ; x =2 17 Tính gần xác đến 10-6: a) cos41o b) ln1,5 18 Xác định cấp vô bé sau chọn x làm vơ bé chính: a) − cos x − x2 + 2x4 b) 2x − ln(1 + x) − x2 c) x − 3tgx + x3 d) 30x − 15arctg2x + 40x3 − 96x5 19 Tìm khoảng tăng giảm cực trị hàm số y sau đây, đồng thời tìm giá trị lớn nhỏ y tập D tương ứng: a) y = x(1 − x ) ; D = [1/4 , 1]; [1/4 , 1); (1/4 , 1); (1/4 , 1]; [1/4 , + ∞) x / − x − ln | x | b) y = e D = [1 , 4]; (1 , 4]; [1 , 4); (1 , 4); [1 , + ∞); (− ∞, −1) x −5 x c) y = x e D = [4/3 , 2]; (4/3 , 2); [4/3 , 2); (4/3 , 2); (− ∞ , 4/3); [2 , + ∞); R d) y = + x − x / D = [1 , 4]; [1, 4); (1 , 4]; (1 , 4); (1, + ∞); [4 , + ∞) e) y = 5x − x − 3x + D = [−2, 0]; (−2, 0); [−2, 0); (−2 , 0]; (2, + ∞); (− ∞, 0] f) y = x4 + x2 + D = [−1, 1]; [−2, 0); (−2, 0]; (−2, 0); R g) y = x2 + x4 + D = [−1, 1]; [0, 2); ( 0, 2]; (0, 2); R 20 Tìm khoảng lồi lõm điểm uốn đồ thị hàm số sau đây: −1 / x x ; a) y = + ln | x | ; b) y = xe c) y = (x+2)e1/x 57 21 Một xí nghiệp sản xuất độc quyền loại sản phẩm Biết hàm cầu QD = 300 − P (P đơn giá) hàm tổng chi phí C = Q3 – 19Q2 + 333Q + 10 (Q sản lượng) Hãy xác định mức sản lượng Q để xí nghiệp đạt lợi nhuận tối đa 22 Một xí nghiệp sản xuất độc quyền loại sản phẩm Biết hàm cầu QD= 2640 − P (P đơn giá) hàm tổng chi phí C = Q2 + 1000 Q + 100 (Q sản lượng) Hãy xác định mức thuế t đơn vị sản phẩm để thu nhiều thuế từ xí nghiệp 23 Cho biết hàm cung hàm cầu loại sản phẩm thị trường nội địa QS = P − 200 QD = 1800 – P (P đơn giá) Biết giá bán loại sản phẩm thị trường quốc tế cộng với chi phí nhập (nhưng chưa tính thuế) P1 = 500 Một công ty độc quyền nhập loại sản phẩm Hãy xác định mức thuế nhập t đơn vị sản phẩm để thu từ công ty nhiều thuế 24 Cho biết hàm cung hàm cầu loại sản phẩm thị trường nội địa QS = P− 20 QD = 400 – P (P đơn giá) Biết giá bán loại sản phẩm thị trường quốc tế trừ chi phí xuất (nhưng chưa trừ thuế) P1 = 310 Một công ty độc quyền xuất loại sản phẩm Hãy xác định mức thuế xuất t đơn vị sản phẩm để thu từ công ty nhiều thuế 58