ở d i mổ un
Trong mửc n y, chúng tổi trẳnh b y khĂi niằm ở d i mổ un v mởt số kát quÊ vã ở d i mổ un theo [1], [3], [13] Kẵ hiằu R l mởt v nh cõ ỡn và, Z + l têp cĂc số nguyản dữỡng. ành nghắa 1.1.1 Mởt R− mổ un M khĂc khổng ữủc gồi l mổ un ỡn náu nõ cõ úng hai mổ un con l mổ un khổng v chẵnh nõ.
Bờ ã 1.1.2 Cho M l mởt R−mổ un Khi õ M l R−mổ un ỡn khi v ch¿ khi M ∼ = R/ m (nhữ R -mổ un) vợi m ∈ Max (R) ành nghắa 1.1.3 Mởt dƠy chuyãn ch°t cõ ở d i n cừa R− mổ un M l mởt dÂy tông thỹc sỹ cĂc mổ un con cừa M cõ dÔng M 0 ⊊ M 1 ⊊
⊊ M n ành nghắa 1.1.4 Mởt dƠy chuyãn ch°t cĂc mổ un con cừa mổ un M cõ dÔng 0 = M 0 ⊊ M 1 ⊊ ⊊ M n = M , trong õ M i /M i−1 l mổ un ỡn ∀i =
1, , n (tực l dÂy khổng thº bờ sung thảm), ữủc gồi l mởt chuội hủp th nh cõ ở d i n cừa mổ un M Mổ un khổng ữủc coi l cõ chuội hủp th nh cõ ở d i bơng 0 ành lỵ 1.1.5 [ ành lỵ Jordan-Holder] Cho M l mởt R− mổ un GiÊ sỷ rơng
M cõ mởt chuội hủp th nh cõ ở d i n Khi õ,
(i) Mồi dƠy chuyãn ch°t cừa M ãu cõ ở d i khổng lợn hỡn n
(ii) Mồi chuội hủp th nh cừa M ãu cõ ở d i úng bơng n
(iii) Mồi dƠy chuyãn ch°t cĂc mổ un con cừa M cõ ở d i k < n ãu cõ thº bờ sung n − k th nh phƯn º trð th nh mởt chuội hủp th nh cõa M
(iv)Mồi dƠy chuyãn ch°t cừa M cõ ở d i úng bơng n ãu l chuội hủp th nh. ành nghắa 1.1.6 Khi R− mổ un M cõ mởt chuội hủp th nh cõ ở d i n < ∞ thẳ ta nõi M cõ ở d i bơng n v kẵ hiằu l R (M ) = n
Vẵ dử 1.1.7 1 Cho V l khổng gian v²ctỡ trản trữớng K Khi õ, V cõ chiãu hỳu hÔn ⇔ V l K− mổ un Noether ⇔ V l K− mổ un Artin.
Hỡn nỳa, V l R− mổ un cõ ở d i hỳu hÔn v l K (V ) = dim K (V ).
Ghi chú 1.1.8 1 Mởt R−mổ un M ữủc gồi l mổ un Noether náu mồi dÂy tông
M 0 ⊆ M 1 ⊆ M n+1 ⊆ cĂc mổ un con cừa M ãu dứng, tực l tỗn tÔi k ∈ Z + : M k = M k+i vợi mồi i ∈ Z + Mởt v nh R ữủc gồi l mởt v nh Noether náu R l R− mổ un
2 Mởt R− mổ un M ữủc gồi l mổ un Artin náu mồi dÂy giÊm
M 0 ⊇ M 1 ⊇ M n+1 ⊇ cĂc mổ un con cừa M ãu dứng, tực l tỗn tÔi k ∈ Z + : M k = M k+i vợi mồi i ∈ Z + Mởt v nh R ữủc gồi l mởt v nh Artin náu R l R−mổ un Artin. ành lỵ 1.1.9 Cho M l mởt R− mổ un Khi õ l R (M ) < ∞ khi v ch¿ khi M vứa l mổ un Noether vứa l mổ un Artin. ành lỵ 1.1.10 Cho 0 −→ N −→ M −→ P −→ 0 l mởt dÂy khợp ngn cĂc
(ii) Khi l R (M ) , l R (N ) , l R (P ) ãu hỳu hÔn thẳ l R (M ) = l R (N ) + l R (P )
Sỹ phƠn tẵch nguyản sỡ
Trong mửc n y, chúng tổi trẳnh b y mởt số kát quÊ vã sỹ phƠn tẵch nguyản sỡ theo [3], [13], [14] Kẵ hiằu R l mởt v nh giao hoĂn câ ìn và. ành nghắa 1.2.1 Mởt i ảan I cừa v nh R ữủc gồi l mởt i ảan nguyản sỡ náu I ⊊ R v vợi mồi a, b ∈ R, ab ∈ I thẳ a ∈ I ho°c b k ∈ I vợi mởt k ∈ Z +
Ghi chú 1.2.2 1 Mội i ảan nguyản tố P cừa R l mởt i ảan nguyản sỡ.
I l i ảan cỹc Ôi thẳ ∈ I l nguyản sì.
4.GiÊ sỷ m ∈ Max (R), vẳ √ m k = √ m ∩ ∩ √ m = m nản m k l i ảan nguyản sỡ.
A ∈ | ành nghắa 1.2.3 Mổ un con thỹc sỹ N cừa R− mổ un M ữủc gồi l nguyản sỡ náu ∀α ∈ R, ∀x ∈ M, αx ∈ N ⇒ x ∈ N ho°c ∃k ∈ Z + sao cho α k M ⊆ N
Ghi chú 1.2.4 1 I ảan I cừa R l i ảan nguyản sỡ khi v ch¿ khi I l mổ un con nguyản sỡ cừa R− mổ un R
2 N l mổ un con nguyản sỡ cừa M khi v ch¿ khi vợi mồi α ∈ R , tỹ ỗng cĐu M/N − α → M/N ho°c l ỡn cĐu ho°c l lụy linh.
Bờ ã 1.2.5 (i) Cho N l mởt mổ un con cừa R−mổ un M
, l mởt i ảan cừa R °c biằt, náu a l mởt i ảan cừa R thẳ Rad R ( a ) = √ a (ii) Cho N, P l hai mổ un con cừa M Náu N ⊆ P thẳ Rad M (N ) ⊆
Mằnh ã 1.2.6 Cho N l mổ un con nguyản sỡ cừa R−mổ un M Khi õ Rad M (N ) = P l mởt i ảan nguyản tố Ta gồi N l mổ un con P
−nguyản sỡ cừa M ành nghắa 1.2.7 I ảan nguyản tố P cừa v nh R ữủc gồi l liản kát vợi R−mổ un M náu tỗn tÔi x ∈ M sao cho Ann (x) = P Têp tĐt cÊ cĂc i ảan nguyản tố liản kát cừa M ữủc kẵ hiằu l Ass R (M ) hay ỡn giÊn hỡn Ass (M ) náu R ữủc xĂc ành.
2 Cho P ∈ Spec (R) Khi õ náu P ∈ Ass (M ) thẳ tỗn tÔi mởt mổ un con N cõa M sao cho N ∼ = R/P
3 Cho R l v nh Noether v M l R− mổ un.
(i) GiÊ sỷ M ̸= 0 Kẵ hiằu F = Ann (x) | x ∈ M \ {0} Khi õ mồi phƯn tỷ tối Ôi cừa hồ F l mởt i ảan nguyản tố tực l P ∈
Mằnh ã 1.2.9 Cho N l mởt mổ un con cừa R−mổ un M Khi â Ass (N ) ⊆ Ass (M ) ⊆ Ass (N ) ∪ Ass M/N
M ành nghắa 1.2.10 Cho N l mởt mổ un con cừa R− mổ un M Mởt phƠn tẵch nguyản sỡ cừa N l mởt biºu diạn N dữợi dÔng giao cừa cĂc mổ un con nguyản sỡ cừa M
N = P 1 ∩ P 2 ∩ ∩ P r , trong õ P 1 , , P r l cĂc mổ un con nguyản sỡ cừa M
Ghi chú 1.2.11 1 Sỹ phƠn tẵch nguyản sỡ N = P 1 ∩ P 2 ∩ ∩ P r ữủc gồi l rút gồn náu \ P k ⊈ P i , ∀i = 1, r v Rad M (P i ) ̸= Rad M P j vợi 1 ⩽ i j ⩽ r
2 Mồi sỹ phƠn tẵch nguyản sỡ cừa N ãu cõ thº ữa vã dÔng rút gồn. ành lỵ 1.2.12 Mồi mổ un con thỹc sỹ cừa mởt mổ un Noether ãu cõ sỹ phƠn tẵch nguyản sỡ rút gồn.
Mằnh ã 1.2.13 Cho R l v nh Noether v M l mởt R−mổ un hỳu hÔn sinh GiÊ sỷ 0 = N 1 ∩ N 2 ∩ ∩ N r l phƠn tẵch nguyản sỡ rút gồn cừa mổ un con 0 °t P i = Rad M (N i ) , ∀i = 1, r Khi â Ass (M ) = {P 1 , , P r }.
Chiãu Krull
Trong mửc n y, chúng tổi trẳnh b y khĂi niằm chiãu Krull v mởt số kát quÊ vã chiãu theo [1], [3], [13], [14] Trữợc hát chúng tổi nhc lÔi khĂi niằm v nh phƠn bêc v mổ un phƠn bêc Kẵ hiằu R l mởt v nh giao ho¡n câ ìn và. ành nghắa 1.3.1 V nh R ữủc gồi l v nh phƠn bêc náu tỗn tÔi mởt hồ cĂc nhõm con cởng giao hoĂn (R n ) n⩾0 cừa R thọa mÂn cĂc iãu kiằn sau:
Vẵ dử 1.3.2 1 GiÊ sỷ R l mởt v nh giao hoĂn cõ ỡn và bĐt ký. Cho R 0 = R v R n = 0 vợi mồi n ⩾ 1 Khi õ R l v nh phƠn bêc v gồi l v nh phƠn bêc tƯm thữớng.
2 X²t v nh a thực n bián R = K [x 1 , , x n ] vợi K l mởt trữớng. Gồi R d l têp tĐt cÊ a thực thuƯn nhĐt bêc d , tẵnh cÊ a thực khổng Khi õ ta cõ R = R d v R d R m ⊆ R d+m vợi mồi m, d ⩾ 0 Vêy R l mởt v nh phƠn bêc. d⩾0 k i
M ành nghắa 1.3.3 GiÊ sỷ R = R n l mởt v nh phƠn bêc, R− mổ un M ữủc gồi l R− mổ un phƠn bêc náu tỗn tÔi mởt hồ cĂc nhõm con n⩾0 cởng giao hoĂn (M n ) n⩾0 cừa M thọa mÂn cĂc iãu kiằn sau:
Vẵ dử 1.3.4 V nh a thực n bián R = K [x 1 , , x n ] vợi sỹ phƠn bêc ữủc ành nghắa ð vẵ dử 1.3.2(2), khi õ R ữủc xem l R−mổ un phƠn bêc.
Nhỳng phƯn tỷ cừa R n ho°c M n trong mởt v nh phƠn bêc ho°c mởt mổ un phƠn bêc ữủc gồi l th nh phƯn thuƯn nhĐt bêc n.
Cho M l mởt R− mổ un phƠn bêc Mởt mổ un con N cừa M ữủc gồi l mổ un con phƠn bêc náu N = N n , trong õ N n = N ∩ M n Do õ mổ un thữỡng M/N cụng l mổ un phƠn bêc n⩾0 ành nghắa 1.3.5 Mởt v nh lồc R l mởt v nh R cũng vợi mởt hồ
(R n ) n⩾0 cĂc nhõm con cừa R thọa mÂn cĂc iãu kiằn sau:
Vẵ dử 1.3.6 1 GiÊ sỷ R l mởt v nh bĐt ký Cho R 0 = R v R n = 0 vợi mồi n ⩾ 1 Khi õ (R n ) n⩾0 l mởt v nh lồc cừa v nh R l gồi l mởt lồc tƯm thữớng. 2.Cho I l mởt i ảan cừa R Khi õ (I n ) n⩾0 l mởt lồc cừa R , nõ ữủc gồi l mởt lồc I− adic.
3 Cho (R n ) n⩾0 l mởt v nh lồc cừa v nh R v S l mởt v nh con cừa R õ (R n Khi ∩ S n ) n⩾0 l mởt lồc cừa S , nõ ữủc gồi l lồc cÊm sinh trản S ành nghắa 1.3.7 Cho R l mởt v nh lồc vợi lồc (R n ) n⩾0 Mởt R− mổ un M lồc l mởt R− mổ un M cũng vợi mởt lồc (M n ) n⩾0 cĂc R− mổ un con cừa M thọa mÂn cĂc iãu kiằn sau:
Vẵ dử 1.3.8 1 Cho M l mởt R− mổ un v R cõ lồc tƯm thữớng Khi õ
M cụng cõ mởt lồc tƯm thữớng ữủc ành nghắa bði M 0 = M v M n =
2 Cho I l mởt i ảan cừa R v x²t lồc I− adic cừa R ành nghắa lồc
I−adic cừa M bơng cĂch lĐy M n = I n M Khi õ M l mởt R−mổ un lồc.
Cho R l mởt v nh Noether giao hoĂn àa phữỡng vợi i ảan cỹc Ôi m Mởt i ảan I ữủc gồi l mởt i ảan ành nghắa cừa R náu m k ⊆ I
⊆ m vợi mởt k ⩾ 1. iãu n y tữỡng ữỡng vợi I ⊆ m v R/I l mổ un Artin.
Cho I l mởt i ảan ành nghắa cừa R v M l mởt R−mổ un hỳu hÔn sinh Khi õ M/IM l mổ un hỳu hÔn sinh trản R/I X²t lồc I− adic cừa R v M Khi õ ta cõ v nh phƠn bêc liản kát v mổ un phƠn bêc liản kát
GiÊ sỷ I = Rx 1 + + Rx r , khi õ v nh phƠn bêc R ∗ l Ênh ỗng cĐu cừa B = R/I [x , , x ] v M ∗ l R ∗ mổ un phƠn bêc hỳu hÔn sinh Khi õ F M ∗ (n) = l I n M/I n+1 M l mởt a thực theo n vợi deg F M ∗ (n) ⩽ r − 1, khi n ⩾ 0 Suy ra rơng, h m χ (M, I, n) = l R M/I n M = n−1 F M ∗ (i) i=0 l mởt a thực theo n vợi bêc khổng quĂ r khi n ≫ 0 ( n ừ lợn). a thực χ (M, I, n) khi n ≫ 0 ữủc gồi l a thực Hilbert cừa M tữỡng ựng vợi
I a thực n y khổng phử thuởc v o i ảan ành nghắa I Bêc cừa a thực n y ữủc kẵ hiằu d (M )
Mằnh ã 1.3.9 Cho (R, m ) l mởt v nh Noether giao hoĂn àa phữỡng vợi i ảan cỹc Ôi m v I l mởt i ảan ành nghắa cừa R v
0 −→ M ′ −→ M −→ M ′′ −→ 0 l dÂy khợp cĂc R− mổ un hỳu hÔn sinh Khi õ d (M ) = max , d M ′ , d M ′′ , Hằ quÊ 1.3.10 Náu M ′ l mổ un con cừa R− mổ un M thẳ d M ′ ⩽ d (M )
Cho R l mởt v nh giao hoĂn cõ ỡn và 1 ̸= 0 Mởt dÂy hỳu hÔn gỗm n + 1 i ảan nguyản tố P 0 ⊇ P 1 ⊇ ⊇ P n ữủc gồi l mởt dƠy chuyãn nguyản tố ở d i n Náu P ∈ Spec (R) , ch°n trản nhọ nhĐt cừa tĐt cÊ ở d i cĂc dƠy chuyãn nguyản tố vợi P = P 0 ữủc gồi l ở cao cừa P v kẵ hiằu l ht (P ) Vẳ vêy ht (P ) = 0 tực l P l i ảan nguyản tố tối tiºu cừa R
Cho I l mởt i ảan thỹc sỹ cừa R Chúng ta ành nghắa ở cao cừa I l ch°n dữợi lợn nhĐt cừa cĂc ở cao cừa cĂc i ảan nguyản tố chựa I , ht (I) = inf , ht (P ) P ⊇ I
ành nghắa 1.3.11 Chiãu cừa v nh R ữủc ành nghắa l ch°n trản nhọ nhĐt cừa tĐt cÊ ở cao cừa tĐt cÊ cĂc i ảan nguyản tố cừa R , dim R = sup , ht (P ) P ∈ Spec (R) , , nõ cỏn ữủc gồi l chiãu Krull cừa R
Vẵ dử 1.3.12 1 Cho K l 1 trữớng Khi õ dim K = 0
Ghi chú 1.3.13 1 Vợi mội i ảan I cừa R , dim R/I + ht (I) ⩽ dim R
2 Náu (R, m ) l mởt v nh Noether àa phữỡng thẳ dim R < ∞. ành nghắa 1.3.14 Cho M l mởt R− mổ un Chiãu Krull cừa M l dim (M ) = dim R/ Ann (M )
Ghi chú 1.3.15 1 Cho (R, m ) l mởt v nh Noether giao hoĂn àa ph÷ìng Khi â d (R) ⩾ dim (R).
2 Cho (R, m ) l mởt v nh Noether giao hoĂn àa phữỡng v M ̸= 0 l mởt R− mổ un hỳu hÔn sinh v °t dim (M ) = r Khi õ tỗn tÔi r ph¦n tû x 1 , , x r ∈ m sao cho l M/ (x 1 , , x r ) M < ∞. ành nghắa 1.3.16 Chiãu Chevalley δ (M ) cừa M l số tỹ nhiản nhọ nhĐt r sao cho tỗn tÔi x 1 , , x r ∈ m º l R M/ (x 1 , , x r ) M
2 Náu x = (x 1 , , x d ) l mởt hằ tham số cừa M thẳ x n 1 , , x n d công l ành lỵ 1.3.17 [ ành lỵ chiãu] Cho (R, m ) l mởt v nh Noether giao hoĂn àa phữỡng vợi i ảan cỹc Ôi m v M ̸= 0 l mởt R− mổ un hỳu hÔn sinh Khi â d (M ) = dim (M ) = δ (M ) , trong õ δ (M ) l số tỹ nhiản nhọ nhĐt r sao cho tỗn tÔi x 1 , , x r ∈ m º l R M/ (x 1 , , x r ) M < ∞.
Ghi chú 1.3.18 1 GiÊ sỷ d = dim (M ) v hằ phƯn tỷ x 1 , , x d ∈ m sao cho l R M/ (x 1 , , x d ) M < ∞ Khi õ (x 1 , , x d ) ữủc gồi l mởt hằ tham sè cõa M
1 d mởt hằ tham số cừa M , vợi mồi n 1 , , n d ∈ Z +
Ph¤m trò v h m tû
Ph¤m trò v h m tû
ành nghắa 1.4.1.1 Mởt phÔm trũ K ữủc cho bði:
(K1) Mởt lợp cĂc vêt Ob (K) m mội phƯn tỷ cừa Ob (K) ữủc gồi l mởt vêt cừa phÔm trũ K
(K2) Vợi hai vêt tũy ỵ A, B ∈ Ob (K) luổn xĂc ành mởt têp hủp MorK (A, B) v ữủc gồi l têp hủp cĂc cĐu xÔ tứ A án B sao cho vợi hai c°p khĂc nhau cừa cĂc vêt (A, B) ̸= (C, D) thẳ MorK (A, B) ∩ MorK (C, D) = ∅.
(K3) Vợi ba vêt bĐt ký A, B, C ∈ Ob (K) cõ mởt Ănh xÔ
(f, g) −→ gf gồi l ph²p nhƠn sao cho cĂc tiản ã sau Ơy thọa mÂn:
(i)Ph²p nhƠn cõ tẵnh kát hủp, nghắa l vợi ba cĐu xÔ bĐt ký f ∈
(ii)Vợi mội A ∈ Ob (K) tỗn tÔi mởt cĐu xÔ 1 A ∈ MorK (A, A), gồi l cĐu xÔ ỗng nhĐt, sao cho vợi mội B ∈ Ob (K) , vợi mội f ∈ MorK (A, B), ta cõ f 1 A v 1 B f = f, vợi 1 B ∈ MorK (B, B)
Khi phÔm trũ K Â ữủc xĂc ành trữợc º cho tiằn ta viát Mor (A, B) thay cho MorK (A, B) v kẵ hiằu
Ngo i ra ta cụng viát A ∈ K thay cho A ∈ Ob (K) , f ∈ K thay cho f ∈ Mor (K) v viát f : A −→ B thay cho f ∈ MorK (A, B).
Vẵ dử 1.4.1.2 1 PhÔm trũ cĂc nhõm G gỗm cõ
(i) Ob (G) l lợp tĐt cÊ cĂc nhõm.
(ii)Mor (A, B) = Hom (A, B) l têp hủp tĐt cÊ cĂc ỗng cĐu nhõm tứ nhõm A án nhõm B
(iii) Ph²p nhƠn l ph²p hủp th nh hai ỗng cĐu nhõm.
2 PhÔm trũ cĂc R− mổ un Mod (R) gỗm cõ
(i) Ob Mod (R) l lợp tĐt cÊ cĂc R−mổ un.
(ii) Mor (A, B) = Hom R (A, B) l têp hủp tĐt cÊ cĂc ỗng cĐu mổ un tứ
R−mổ un A án R−mổ un B
(iii) Ph²p nhƠn l ph²p hủp th nh hai ỗng cĐu mổ un. ành nghắa 1.4.1.3 Cho hai phÔm trũ C v D Mởt h m tỷ hiằp bián F tứ C án D , kẵ hiằu l F : C −→ D , l mởt quy tc °t tữỡng ựng
(i) Mội vêt A cừa C vợi mởt vêt F (A) cừa D
(ii) Mội cĐu xÔ f : A −→ B vợi mởt cĐu xÔ F (f ) : F (A) −→ F (B), sao cho cĂc iãu kiằn sau thọa mÂn
(a)Vợi mồi vêt A cừa C cõ F (1 A ) = 1 F (A).
(b)Vợi mồi cĐu xÔ f : A −→ B v g : B −→ C cõ F (gf ) = F (g) F (f ). ành nghắa 1.4.1.4 Cho hai phÔm trũ C v D Mởt h m tỷ phÊn bián F tứ C án D , kẵ hiằu l F : C −→ D , l mởt quy tc °t tữỡng ựng
(i) Mội vêt A cừa C vợi mởt vêt F (A) cừa D
(ii) Mội cĐu xÔ f : A −→ B vợi mởt cĐu xÔ F (f ) : F (B) −→ F (A), sao cho cĂc iãu kiằn sau thọa mÂn
(a)Vợi mồi vêt A cừa C cõ F (1 A ) = 1 F (A).
(b)Vợi mồi cĐu xÔ f : A −→ B v g : B −→ C cõ F (gf ) = F (f ) F (g).
H m tû a -xon
Cho R l mởt v nh Noether, a ⊆ R l mởt i ảan, M l mởt R− mổ un N ⊆ M l mởt mổ un con Kẵ hiằu
Khi õ (N :M a ) l mởt mổ un con cừa M v N ⊆ (N :M a ).
Kẵ hiằu Γ a (M ) , ữủc ành nghắa nhữ sau: Γ a (M ) := (0 :M a n ) n⩾1
Dạ thĐy Γ a (M ) l mởt mổ un con cừa M v nõ ữủc gồi l mởt a −xon cừa
Cho h : M −→ N l mởt ỗng cĐu cĂc R− mổ un Khi õ tỗn tÔi mởt ỗng cĐu cĂc R− mổ un Γ a (h) : Γ a (M ) −→ Γ a (N ) ữủc xĂc ành bði Γ a (h) (m) = h (m) vợi mồi m ∈ Γ a (M )
X²t ph²p g¡n ˆ Mội R−mổ un M ⇝ Γ a (M ). ˆ Mội R− ỗng cĐu h
Khi õ chúng ta cõ thº kiºm tra ữủc ph²p gĂn trản l mởt h m tỷ hiằp bián trản phÔm trũ Mod (R) v ữủc gồi l h m tỷ a −xon, kẵ hiằu Γ a (•).
Ghi chú 1.4.2.1 1 Mởt h m tỷ tuyán tẵnh hiằp bián tứ phÔm trũ cĂc
R−mổ un án chẵnh nõ l mởt ph²p gĂn
⇝ F (M ) F (h) F (N ) m mội R− mổ un M gĂn vợi mởt R− mổ un F (M ) v mội ỗng cĐu h : M −→ N cừa cĂc R− mổ un gĂn cho mởt ỗng cĐu cừa cĂc R− mổ un F (h) : F (M ) −→
F (N ) thọa mÂn cĂc tẵnh chĐt sau:
(i) F (id M ) = id F(M) vợi mội R−mổ un M
(ii) F (h ◦ l) = F (h) ◦ F (l), trong â l : M −→ N v h : N −→ P l c¡c ỗng cĐu cừa cĂc R− mổ un.
(iii) F (h + l) = F (h) + F (l), trong õ h, l : M −→ N l cĂc ỗng cĐu cừa cĂc
(iv) F (ah) = aF (h) vợi mồi a ∈ R v mội ỗng cĐu h : M −→ N cừa cĂc
2 GiÊ sỷ F (•) = F l mởt h m tỷ tuyán tẵnh hiằp bián tứ phÔm trũ cĂc
R−mổ un án chẵnh nõ v h : M −→ N l mởt ỗng cĐu cừa cĂc R−mổ un. Khi â
(i) Náu h l mởt ¯ng cĐu thẳ F (h) l mởt ¯ng cĐu v F h −1 = F (h) −1 (ii) Náu h = 0 thẳ F (h) = 0
3 Cho F l mởt h m tỷ hiằp bián tứ phÔm trũ cĂc R−mổ un án chẵnh nõ (i) H m tỷ F ữủc gồi l khợp náu mội dÂy khợp ngn cừa cĂc R− mổ un thẳ
0 −→ F (N ) −→ F (M ) −→ F (P ) −→ 0 l mởt dÂy khợp cĂc R−mổ un.
(ii) H m tỷ F ữủc gồi l khợp trĂi náu mội dÂy khợp cừa cĂc R−mổ un thẳ
0 −→ F (N ) −→ F (M ) −→ F (P ) l mởt dÂy khợp cĂc R− mổ un.
(iii) H m tỷ F ữủc gồi l khợp phÊi náu mội dÂy khợp cừa cĂc R− mổ un thẳ
F (N ) −→ F (M ) −→ F (P ) −→ 0 l mởt dÂy khợp cĂc R−mổ un.
(iv)H m tỷ F l khợp náu F vứa l khợp trĂi, vứa l khợp phÊi.
−→ i e e e ỗng cĐu cừa cĂc ối h • v l • i
Mổ un ối ỗng iãu v mổ un ối ỗng iãu àa phữỡng
Mổ un ối ỗng iãu
ành nghắa 1.5.1.1 DÂy cĂc R− mổ un ã ã ã −→ M i−1 d i−1 i
−→ ã ã ã sao cho im d i−1 ⊆ ker d i vợi mồi i ∈ Z ữủc gồi l mởt ối phùc cõa c¡c
R−mổ un, kẵ hiằu (M • , d • ). ành nghắa 1.5.1.2 Cho (M • , d • ) , (N • , e • ) l hai ối phực cừa cĂc R− mổ un. Mởt ỗng cĐu cừa cĂc ối phực h • : (M • , d • ) −→ (N • , e • ) l mởt hồ h i cĂc ỗng cĐu cừa cĂc R− mổ un h i l biºu ỗ sau giao hoĂn
Mằnh ã 1.5.1.3 Cho h • : (M • , d • ) −→ (N • , e • ) v l • : (N • , e • ) −→ (P • , f • ) l hai ỗng cĐu cừa cĂc ối phực cừa cĂc R− mổ un Khi õ hồ l i ◦ h i xĂc ành mởt ỗng cĐu cừa cĂc ối phực cừa cĂc
−→ P • , f • ỗng cĐu cừa cĂc ối phực l • ◦ h • = l i ◦ h i ữủc gồi l hủp th nh cừa hai Ghi chú 1.5.1.4 1 Hồ ( id M i ) i∈Z xĂc ành mởt ỗng cĐu cừa cĂc ối phực cừa cĂc R− mổ un
3 k • ◦ (l • ◦ h • ) = (k • ◦ l • ) ◦ h • , trong â h • : (M • , d • ) −→ (N • , e • ) , l • : (N • , e • ) −→ (P • , f • ) v k • : (P • , f • ) −→ (Q • , g • ) l cĂc ỗng cĐu cừa c¡c èi phùc.
4 Cho (M • , d • ) v (N • , e • ) l hai ối phực cừa cĂc R−mổ un
, l têp hủp tĐt cÊ cĂc ỗng cĐu cừa cĂc ối phực cừa cĂc R−mổ un tứ ối phực (M • , d • ) án ối phực (N • , e • ) Têp n y l mởt R− mổ un vợi ph²p toĂn cởng v ph²p toĂn nhƠn ữủc ành nghắa bði
, trong â h • = h i i ∈ Z. ành nghắa 1.5.1.5 Cố ành n ∈ Z Khi õ mổ un ối ỗng iãu thự n cừa ối phực (M • , d • ) cừa cĂc R− mổ un ữủc ành nghắa l
Mằnh ã 1.5.1.6 Cho h • : (M • , d • ) −→ (N • , e • ) l mởt ỗng cĐu cừa cĂc ối phực cừa cĂc R−mổ un Khi õ, ta cõ
(ii) h n im d n−1 ⊆ im e n−1 vợi mồi n ∈ Z
Tứ ành nghắa 1.5.1.5 v Mằnh ã 1.5.1.6 ta cõ thº ành nghắa mởt
R− ỗng cĐu mổ un H n (h • ) nhữ sau
• , e • ) ỗng cĐu n y ữủc gồi l ỗng cĐu ối ỗng iãu thự n cÊm sinh bði ỗng cĐu cừa cĂc ối phực h •
Ghi chú 1.5.1.7 Vợi cĂc kẵ hiằu nảu trản, cố ành n ∈ Z
• , e • ), l • : (N • , e • ) −→ (P • , f • ) l cĂc ỗng cĐu cừa cĂc ối phùc.
−→ H n N • , e • xĂc ành mởt h m tỷ tuyán tẵnh hiằp bián tứ phÔm trũ cĂc ối phực cừa c¡c
R−mổ un án phÔm trũ cĂc R− mổ un. ành nghắa 1.5.1.8 H m tỷ
−→ H n N • , e • ữủc gồi l h m tỷ ối ỗng iãu thự n ành nghắa 1.5.1.9 Cho h • , l • : (M • , d • ) −→ (N • , e • ) l hai ỗng cĐu cừa cĂc ối phực cừa cĂc R− mổ un Mởt ỗng luƠn tứ h • án l • l mởt hồ (t i ) i ∈ Z cĂc ỗng cĐu cừa cĂc R− mổ un t i : M i −→ N i−1 sao cho ∀i ∈ Z, ta cõ l i − h i = e i−1 t i + t i+1 d i tực l biºu ỗ sau giao ho¡n
N i−1 // N i e i−1 kẵ hiằu h • ∼ l • ( ồc l h • ỗng luƠn vợi l • ).
Ghi chú 1.5.1.10 1 Quan hằ ỗng luƠn l mởt quan hằ tữỡng ữỡng trản Hom R (M • , d • ) , (N • , e • ) , tực l
Khi õ náu h • ∼ l • thẳ H n (h • ) = H n (l • ), ∀n ∈ Z. ành nghắa 1.5.1.11 Mởt ỗng cĐu h • : (M • , d • ) −→ (N • , e • ) ữủc gồi l mởt tữỡng ữỡng náu tỗn tÔi mởt ỗng cĐu l • : (N • , e • ) −→ (M • , d • ) sao cho l • h • ∼ id(M • ,d • ) v h • l • ∼ id(N • ,e • ).
Mằnh ã 1.5.1.12 Náu h • : (M • , d • ) −→ (N • , e • ) l mởt tữỡng ữỡng thẳ H n (h • ) l mởt ¯ng cĐu vợi n ∈ Z
−→ ã ã ã l mởt ối phực cừa cĂc R−mổ un, F l mởt h m tỷ tuyán tẵnh hiằp bián tứ phÔm trũ cĂc R−mổ un án chẵnh nõ Khi õ chúng ta thu ữủc mởt ối phực cĂc R−mổ un
2 Vợi cĂc khĂi niằm v giÊ thiát cừa phƯn 1 Náu h i i
−→ N • , e • l mởt ỗng cĐu cừa cĂc ối phực cừa cĂc R−mổ un, thẳ hồ
F h i x¡c ành mởt ỗng cĐu cừa cĂc ối phực cừa cĂc
3 Cho h • , l • ∈ Hom R (M • , d • ) , (N • , e • ) Khi â ta câ
(i) Náu (t i ) i∈Z l mởt ỗng luƠn tứ h • án l • , thẳ F (t i ) i Z l mởt hồ ỗng luƠn tứ F (h • ) án F (l • ) iãu n y dăn án hai trữớng hủp °c biằt sau:
(iii) Náu h • ∼ l • thẳ H n F (h • ) = H n F (l • ) , vợi mồi n ∈ Z.
Mổ un ối ỗng iãu àa phữỡng
ành nghắa 1.5.2.1 Mởt R−mổ un I ữủc gồi l nởi xÔ náu mội ỡn cĐu i : N −→ M cừa cĂc R− mổ un v vợi mội ỗng cĐu h : N −→ I cừa cĂc R− mổ un, tỗn tÔi mởt ỗng cĐu R− mổ un l : M −→ I cừa cĂc
R−mổ un sao cho h = l ◦ i , tực l biºu ỗ sau giao hoĂn
Ghi chú 1.5.2.2 1 GiÊ sỷ vợi mội i ảan a ⊆ R v mội ỗng cĐu cừa R− mổ un h : a −→ I tỗn tÔi mởt e ∈ I sao cho h (a) = ae vợi mồi a ∈ a Khi õ I l nởi xÔ (tiảu chuân Baer).
2 Vợi mội R− mổ un M tỗn tÔi mởt R− mổ un nởi xÔ I cũng vợi i mởt ỡn cĐu M −→ I cừa cĂc R− mổ un vẳ thá mội R− mổ un M l mởt mổ un con cừa mởt R− mổ un nởi xÔ I
• • (D , d ) ; a M (E , e ) ; a 0 1 2 ành nghắa 1.5.2.3 Cho M l mởt R− mổ un Mởt ph²p giÊi phÊi (E • , e • ) ; b cừa R−mổ un M bao gỗm mởt ối phực (E • , e • ) v mởt ỗng cĐu b
Khi õ (E • , e • ) ữủc gồi l giÊi ối phực cừa M ành nghắa 1.5.2.4 Cho M l mởt R− mổ un Mởt ph²p giÊi phÊi nởi xÔ cừa M l mởt ph²p giÊi phÊi (I • , d • ) ; a cừa M sao cho tĐt cÊ cĂc
R−mổ un I l nởi xÔ, tực l ta cõ mởt dÂy khợp
−→ I → ã ã ã vợi cĂc R− mổ un I 0 , I 1 , I 2 , l nởi xÔ.
Theo bờ ã Eckman-Schopf v bơng quy nÔp theo n , chúng ta cõ thº xƠy dỹng cĂc R− mổ un nởi xÔ I 0 , I 1 , , I n , v cĂc ỗng cĐu cừa cĂc R− mổ un sao cho d ¢y
0 → M − a → I l khợp Do õ ta cõ mằnh ã sau
Mằnh ã 1.5.2.5 Mội R−mổ un M ãu tỗn tÔi mởt ph²p giÊi phÊi nởi xÔ
(I • , d • ) ; a ành nghắa 1.5.2.6 Cho h : M −→ N l mởt ỗng cĐu cừa cĂc R− mổ un, l mởt ph²p giÊi phÊi cừa v l mởt ph²p gi£i ph£i cừa N Khi õ mởt ph²p giÊi phÊi cừa h giỳa (D • , d • ) ; a v
(E • , e • ) ; b l mởt ỗng cĐu cừa cĂc ối phực h • : (D • , d • ) ; a −→ (E • , e • ) ; b sao cho h 0 a = bh , tực biºu ỗ sau giao hoĂn
Ghi chú 1.5.2.7 1 Cho h : M −→ N l mởt ỗng cĐu cừa cĂc R− mổ un, (E • , e • ) ; b l mởt ph²p giÊi phÊi cừa M v (I • , d • ) ; a l mởt ph²p giÊi phÊi nởi xÔ cừa N Khi õ, h cõ mởt ph²p giÊi h • : E • , e •
R−mổ u n án chẵnh nõ Vợi mội R− mổ un M ta cõ thº chồn mởt ph²p giÊi nởi d 2
2 Cho h : M N l mởt ỗng cĐu cừa cĂc R mổ un, (E • , e • ) ; b l mởt ph²p giÊi phÊi cừa M v (I • , d • ) ; a l mởt ph²p giÊi phÊi nởi xÔ cừa
3.GiÊ sỷ F l mởt h m tỷ hiằp bián tứ phÔm trũ cĂc R−mổ un án chẵnh nõ Khi õ
(i) GiÊ sỷ h : M N l mởt ỗng cĐu cừa cĂc R mổ un, (E • , e • ) ; b l mởt ph²p giÊi phÊi cừa M v (I • , d • ) ; a l mởt ph²p giÊi phÊi nởi xÔ cừa N Cho h • , l • : (E • , e • ) −→ (I • , d • ) l hai ph²p giÊi cừa h Khi õ, vợi mồi n ∈ N 0, hai ỗng cĐu
(ii) °t (I • , d • ) ; a = I; (J • , e • ) ; b = J l hai ph²p giÊi phÊi nởi xÔ cừa R− mổ un v cho i • : (I • , d • ) −→ (J • , e • ) l mởt ph²p giÊi cừa id M : M −→ M Khi õ, vợi mội n ∈ N 0 ta cõ ¯ng cĐu
Cho i • , j • : (I • , d • ) −→ (J • , e • ) l c¡c ph²p gi£i cõa id M Khi â
Tiáp theo, chúng tổi s³ trẳnh b y vã viằc xƠy dỹng h m tỷ dăn xuĐt cừa mởt h m tỷ cho trữợc.
VĐn ã 1.5.2.8 1 Cho F l mởt h m tỷ hiằp bián tứ phÔm trũ cừa cĂc x¤ I M
; a M , tực l mội R−mổ un M ta cõ dÂy khợp sau:
I n l nởi xÔ Ta cõ thº viát I ∗ l ph²p gĂn
2 v gồi I ∗l sỹ chồn cừa cĂc ph²p giÊi nởi xÔ (trản cĂc R−mổ un).
Vợi mội R−mổ un M tũy ỵ, ta ành nghắa
Thêt vêy, chúng ta x²t ối phực cĂc R−mổ un ã ã ã → 0 F ( d−1 )
2 BƠy giớ cho h : M −→ N l mởt ỗng cĐu cừa cĂc R− mổ un.
Khi õ h cõ mởt ph²p giÊi h • : I M • , d • M −→ I N • , d • N sao cho biºu ỗ sau giao hoĂn, vợi cĂc dỏng l khợp a M
Theo Ghi chú 1.5.2.7(3)(i) ta cõ ỗng cĐu
Mð rởng ành nghắa (∆) cừa phƯn (1), ta cõ thº ành nghắa vợi bĐt kẳ n ∈ N 0
Khi õ ta cõ thº viát
R n F (h) xĂc ành mởt h m tỷ tuyán tẵnh hiằp bián tứ phÔm trũ cĂc R−mổ un án chẵnh nõ H m tỷ R n F (•) = R n F ữủc gồi l h m tỷ dăn xuĐt ph£i thù n cõa I ∗ I ∗
3.Chúng ta cõ thº kiºm tra ph²p gĂn R n F ( ) khổng phử thuởc v o I
Do I õ chúng ta ành nghắa R n F I = R n F v gồi h m tỷ ∗ R n F l h m tỷ dăn xuĐt thự n cõa h m tû F ∗ a a
2 ành nghắa 1.5.2.9 Cho a l mởt i ảan cừa v nh Noether R v n ∈ N 0 Ta ành nghắa h m tỷ ối ỗng iãu àa phữỡng thự n H n (•) = H n l h m tỷ dăn xuĐt phÊi thự n R n Γ (•) = R n Γ a cừa h m tỷ a −xon Γ a (•) Nhữ vêy
H n (•) = R n Γ a (•) , ∀ n ∈ N 0 ành nghắa 1.5.2.10 Cho R l v nh Noether v giÊ sỷ n ∈ N 0 Mổ un ối ỗng iãu thự n cừa R− mổ un M tữỡng ựng vợi i ảan a ữủc ành nghắa l
Ghi chú 1.5.2.11 1 Vợi mội R−mổ un M tỗn tÔi ph²p giÊi nởi xÔ (I • , d • ) ; a cừa M , vẳ vêy ta cõ dÂy khợp
−→ I → I → ã ã ã vợi cĂc R− mổ un nởi xÔ I i Tiáp theo, tĂc ởng h m tỷ Γ a cho giÊi ối phùc t÷ìng ùng l d −1 ã ã ã → 0 −→ I −→ 0
Sau õ Ăp dửng ối ỗng iãu thự n cho ối phực n y ta ữủc
2 Cho h : M −→ N l mởt ỗng cĐu cĂc R− mổ un ỗng cĐu ối ỗng iãu àa phữỡng thự n ựng vợi i ảan a cÊm sinh bði h ữủc ành nghắa nhữ ỗng cĐu cừa cĂc R−mổ un
H n (h) : H n (M ) −→ H n (N ) ành lỵ 1.5.2.12 GiÊ sỷ (R, m ) l mởt v nh Noether àa phữỡng vợi i ảan cỹc Ôi m v cho M l mởt R− mổ un khĂc khổng hỳu hÔn sinh, vợi dim M = d ⩾ 1 Khi â
(iii) H n (M ) l R− mổ un Artin vợi mồi n ∈ N 0. ành nghắa 1.5.2.13 Cho a ⊆ R l mởt i ảan Mởt R−mổ un M ữủc gồi l
Ghi chú 1.5.2.14 1 Cho R l mởt v nh Noether v a ⊆ R l mởt i ảan cừa
R Khi õ náu M l mởt R− mổ un bĐt kẳ thẳ Γ a (M ) l a −xon.
2 Cho x ∈ a v M l a −xon Khi â ph²p nh¥n
M − x → M m −→ xm l ìn c§u khi v ch¿ khi M = 0.
4 Cố ành mởt i ảan a Cho
P → 0 l mởt dÂy khợp ngn cừa cĂc R− mổ un Khi õ ta cõ dÂy khợp
Mằnh ã 1.5.2.15 Cho a l mởt i ảan cừa v nh Noether R , M l mởt R− mổ un. Khi â
(i) Mổ un ối ỗng iãu àa phữỡng H n (M ) l a −xon, vợi mồi n > 0
(ii) Náu M l mởt R− mổ un a −xon thẳ H n (M ) = 0 vợi mồi n > 0
Mổ un phƠn số suy rởng 26
Mổ un phƠn số suy rởng
Cho (R, +, ã) l mởt v nh giao hoĂn cõ ỡn và 1 ̸= 0 v n l mởt số nguyản dữỡng Kẵ hiằu D n (R) l têp cĂc ma trên tam giĂc dữợi cĐp n vợi cĂc phƯn tỷ thuởc R Vợi H ∈ D n (R), chúng ta dũng kẵ hiằu |
H| º ch¿ ành thực cừa H v dũng T º ch¿ ma trên chuyºn và Kẵ hiằu N 0 l têp cĂc số nguyản khổng Ơm v Z + l têp cĂc số nguyản d÷ìng. ành nghắa 2.1.1 ( [18, 2.1] ) Cho n l mởt số nguyản dữỡng Têp con
U cừa R n = R ì ì R ữủc gồi l têp con tam giĂc náu cĂc iãu kiằn sau Ơy thọa mÂn
(ii) Náu (u 1 , , u n ) ∈ U thẳ u α 1 , , u α n ∈ U vợi mồi số nguyản dữỡng
(iii)Vợi mồi (u 1 , , u n ) ∈ U v (v 1 , , v n ) ∈ U luổn tỗn tÔi (w 1 , , w n ) ∈ U sao cho w i ∈ (Ru 1 + + Ru i ) ∩ (Rv 1 + + Rv i ) , vợi mồi i = 1, n, tữỡng ữỡng tỗn tÔi nhỳng ma trên tam giĂc dữợi H , K ∈ D n (R) sao cho
Vẵ dử 2.1.2 1 Cho S l têp nhƠn õng cừa v nh R Khi õ S l mởt têp con tam giĂc Thêt vêy,
(iii)∀a, b ∈ S, ta cõ c = ab ∈ S thọa mÂn c ∈ Ra ∩ Rb
2 Cho R l mởt v nh giao hoĂn cõ ỡn và °t U = (1, 1) ⊆ R 2 Khi õ l mởt têp con tam giĂc, thêt vêy U
Trong suốt phƯn n y, chúng ta giÊ sỷ rơng U l mởt têp con tam giĂc cừa R n vợi n ∈ Z +
Chúng ta cõ adj (H) H = |H|I n vợi adj (H) = H ∗ l ma trên phử hủp cừa ma trên H ∈ D n (R).
Bờ ã 2.1.3 ([18, 2.2]) Cho (u 1 , , u n ) , (v 1 , , v n ) ∈ U v giÊ sỷ tỗn tÔi
Chựng minh °t H = h ij Theo giÊ thiát ta cõ
Chùng minh Gi£ sû H = h ij v K = k ij °t
Ph²p chựng minh ữủc kát thúc.
Bờ ã 2.1.4 ([18, 2.3]) Cho (u 1 , , u n ) , (v 1 , , v n ) ∈ U v giÊ sỷ tỗn tÔi
|DH| − |DK| ∈ Rv 1 + + Rv n−1 , trong õ D l ma trên ữớng ch²o diag (v 1 , , v n ).
Theo giÊ thiát, ta cõ
(h ii − k ii ) v i = h ii Σ h ij u j − k ii Σ k ij u j + h 2 u i
= h ii Σ h ij u j − k ii Σ k ij u j + (h ii − k ii ) (h ii + k ii ) u i
Ph²p chựng minh ữủc kát thúc.
Mằnh ã 2.1.5 ([18, 2.4]) Cho M l mởt R− mổ un X²t quan hằ ∼ trản M ì U ữủc ành nghắa nhữ sau: Vợi b, c ∈ M v (u 1 , , u n ) , (v 1 , , v n ) ∈ U , b, (u 1 , , u n )
⇔ tỗn tÔi (w 1 , , w n ) ∈ U v hai ma trên tam giĂc dữợi H , K ∈ D n (R) thọa mÂn
M Khi õ quan hằ ∼ l mởt quan hằ tữỡng ữỡng trản M ì U
Chựng minh Quan hằ ∼ cõ tẵnh phÊn xÔ v tẵnh ối xựng
Thêt vêy, vợi mồi b, (u 1 , , u n ) ∈ M ì U , ta cõ
Khi õ tỗn tÔi (w 1 , , w n ) ∈ U v hai ma trên H , K ∈ D n (R) thọa mÂn
Khi õ tỗn tÔi s ′ 1 , , s ′ n , t ′ 1 , , t ′ n ∈ U v H , K , P , Q ∈ D n (R) sao cho
Vẳ U l têp con tam giĂc cừa R n nản tỗn tÔi (v 1 , , v n ) ∈ U v X , Y ∈ D n (R) sao cho
Theo Bờ ã 2.1.3, ta câ v vẳ
Vẳ U l têp con tam giĂc cừa R n nản v 2 , , v 2 ∈ U v D n (R) õng kẵn vợi i
M °t D l ma trên ữớng ch²o diag (v 1 , , v n ), theo Bờ ã 2.1.4, ta cõ
1 n ph²p nhƠn nản DXH , DYQ ∈ D n (R).
Vêy ∼ l mởt quan hằ tữỡng ữỡng Ph²p chựng minh ữủc kát thúc i i ành nghắa 2.1.6 ([18, 2.5]) Vợi cĂc kẵ hiằu trong 2.1.5, vợi b ∈ M, (u 1 , , u n )
∈ U , lợp tữỡng ữỡng ựng vợi quan hằ ∼ chựa b, (u 1 , , u n ) ữủc kẵ hiằu b, (u 1
Têp cĂc lợp tữỡng ữỡng tữỡng ựng vợi quan hằ ∼ ữủc kẵ hiằu
Tiáp theo, chúng tổi s³ xƠy dỹng ph²p toĂn cởng v ph²p nhƠn vổ hữợng trản têp U −n M v kiºm tra U −n M l mởt R− mổ un Trữợc hát chúng tổi trẳnh b y hai bờ ã sau Ơy.
Chựng minh Tỗn tÔi (w 1 , , w n ) ∈ U v X , Y ∈ D n (R) sao cho
X u = w = Y v vợi w = [w 1 w n ] T Kẵ hiằu D = diag (w 1 , , w n ) Khi õ, ta cõ
Hìn núa DX u = w 2 w 2 T = DY v v DX , DY
Ph²p chựng minh ữủc kát thúc.
Chựng minh Theo giÊ thiát, tỗn tÔi (v 1 , , v n ) , (w 1 , , w n ) ∈ U v P , P ′ , Q , Q ′
Hỡn nỳa, tỗn tÔi (r 1 , , r n ) v X , Y ∈ D n (R) sao cho X v = r = Y w , vợi r = [r 1 r n ] T
Ph²p chựng minh ữủc kát n 1 n
Hỡn nỳa XP s = r = YQ t v H s = u = K t Theo Bờ ã 2.1.7, ta cõ
(u , , u ) = u ′ , , u ′ ành lỵ 2.1.9 ([18, 2.8]) Têp U −n M l mởt R− mổ un vợi ph²p toĂn cởng v ph²p toĂn nhƠn vổ hữợng ữủc ành nghắa nhữ sau:
= |H|a + |K|b (u 1 , , u n ) , vợi sỹ lỹa chồn bĐt ký (u 1 , , u n ) ∈ U v H , K ∈ D n (R) sao cho H s = u = K t , vợi s = [s 1 s n ] T , u = [u 1 u n ] T , t = [t 1 t n ] T ; v vợi mồi r ∈
Mổ un U −n M ữủc gồi l mổ un phƠn số suy rởng cừa R− mổ un M tữỡng ựng têp con tam giĂc U cừa R n
Chựng minh Theo Bờ ã 2.1.8, ph²p toĂn cởng ữủc xĂc ành
I n = = I n nản ta cõ kát quÊ trản.
Hỡn nỳa U −n M, + l mởt nhõm Abel.
Dạ d ng kiºm tra ph²p nhƠn vổ hữợng xĂc ành Thêt vêy,
Ph²p chựng minh ữủc kát thúc.
Mởt số tẵnh chĐt v vẵ dử 39 Chữỡng 3 Mổ un phƠn số suy rởng v ối ỗng iãu àa phữỡng,
Trong mửc n y, chúng tổi trẳnh b y mởt số tẵnh chĐt vã mổ un phƠn số suy rởng v mởt số vẵ dử vã têp con tam giĂc Kẵ hiằu N 0 l têp cĂc số nguyản khổng Ơm, Z + l têp cĂc số nguyản dữỡng, U l têp con tam giĂc cừa R n , vợi n ⩾ 1. Mằnh ã 2.2.1 ([18, 2.8]) 1 Cho f : M −→ N l mởt ỗng cĐu tứ
R−mổ un M án R− mổ un N nh xÔ U −n f : U −n M −→ U −n N ữủc xĂc ành bði
U −n M Khi õ U −n f l ỗng cĐu cừa cĂc R mổ un.
2 U −n (•) l mởt h m tỷ cởng tẵnh hiằp bián tứ phÔm trũ cĂc R− mổ un án chẵnh nõ.
Suy ra tỗn tÔi (u 1 , , u n ) ∈ U v H , K ∈ D n (R) sao cho
2 X²t ph²p gĂn tứ phÔm trũ cĂc R− mổ un án chẵnh nõ.
(ii)Vợi mội ỗng c§u Ta câ
(iii)Vợi mồi f, g : M −→ N , ta cõ U −n (f + g) : U −n M −→ U −n N
Suy ra U −n (f + g) = U −n (f ) + U −n (g) Ph²p chựng minh ữủc kát thúc Mằnh ã 2.2.2 ([18, 2.9]) H m tỷ U −n (•) l khợp phÊi.
M −→ g M ′′ −→ 0 l mởt dÂy khợp ngn cừa cĂc
Vẳ gf = 0 nản U −n gf = U −n g U −n f = U −n 0 = 0 Suy ra im U −n f ⊆ ker U
Tiáp theo chúng ta chựng minh ker U −n g ⊆ im U −n f Thêt vêy, b
Vẳ g l to n cĐu nản ∃ m 1 , , m n−1 ∈ M sao cho g (m i ) = m i ′′ , ∀i =
Hỡn nỳa U −n g l to n cĐu Thêt vêy, c
Ph²p chựng minh ữủc kát thúc.
Vẵ dử 2.2.3 ([18, 3.1]) 1 Cho S l mởt têp nhƠn õng cừa v nh giao hoĂn cõ ỡn và R Ta cõ S −1 R−mổ un cĂc thữỡng S −1 M cừa R−mổ un M tữỡng ựng vợi S Dạ d ng kiºm tra ữủc S l mởt têp con tam giĂc cừa R 1 v S −1 M l mởt
R−mổ un phƠn số suy rởng cừa M tữỡng ựng vợi têp con tam giĂc S cừa R 1 Cử thº, x²t têp
, v quan hằ hai ngổi ∼, vợi mồi (a, s) , (b, t) ∈ M ì S ,
2 Ph²p gĂn tứ phÔm trũ cĂc R− mổ un án chẵnh nõ
3 Nhên x²t rơng h m tỷ U −n (•) nõi chung khổng l khợp Thêt vêy, °t
, l mởt têp con tam giĂc cừa Z ì Z Ph²p nhúng θ : 2 Z −→ Z l ỡn cĐu nh xÔ U −2 θ : U −2 (2 ) U −2 khổng l ỡn cĐu, vẳ
Ghi chú 2.2.4 ([18, 3.2 v 3.3]) 1 Cho U l mởt têp con tam giĂc cừa R n °t
Khi õ U l têp con tam giĂc nhọ nhĐt cừa R n chựa U v U ữủc gồi l mð rởng cõa U
2.Tỗn tÔi nhỳng h m tỷ tữỡng ữỡng tỹ nhiản tứ phÔm trũ cĂc
R−mổ un v cĂc R− ỗng cĐu án chẵnh nõ à (•) : U −n −→ U −n xĂc ành bði, vợi mởt
3.Cho M l mởt R−mổ un v giÊ sỷ U ữủc mð rởng Cho m ∈ M v
Vẵ dử 2.2.5 ([18, 3.4]) Cho f 1 , , f n l n phƯn tỷ cố ành cừa R , °t f
Khi õ U f l têp con tam giĂc cừa R n Chúng ta s³ kẵ hiằu
Ghi chú 2.2.6 Nhỳng mổ un phƠn số suy rởng °c biằt ữủc mổ tÊ trong Vẵ dử 2.2.5 cõ sỹ quan trồng °c biằt, chúng tổi s³ ch¿ ra rơng mởt mổ un phƠn số suy rởng bĐt kẳ U −n M , trong õ U l mởt têp con tam giĂc cừa R n , cõ thº ữủc xem nhữ l giợi hÔn thuên cừa nhỳng mổ un M f vợi f ∈ U
1 Trữợc hát, ành nghắa quan hằ ⩽ trản U nhữ sau:
Khi õ ⩽ l mởt tiãn thự tỹ trản U Thêt vêy,
Hỡn nỳa (U, ⩽ ) l mởt têp ành hữợng Thêt vêy,
Theo Vẵ dử 2.2.5, ta cõ U f ⊆ U Chúng ta cõ mổ un M f v xƠy dỹng mởt R− ỗng cĐu ρ f : M f −→ U −n M xĂc ành bði ρ f m f α 1 , , f α n
Hỡn nỳa, vợi mội (α 1 , , α n ) ∈ ( Z + ) n , tỗn tÔi (β 1 , , β n ) ∈ ( Z + ) n v K ∈
Khi õ, chúng ta cõ thº xƠy dỹng R− ỗng cĐu π gf : M f −→ M g ρ f 1 , , f n
Chúng ta kiºm tra dạ d ng
(ii) Vợi f ⩽ g ⩽ k , ta cõ π kf = π kg π gf
Do õ M f f ∈U , π gf l mởt hằ thuên trản têp ành hữợng U
Vẳ ρ g = π gf = ρ f vợi mồi f, g ∈ U thọa mÂn f ⩽ g nản dăn án mởt R− ỗng cĐu ρ : lim M f −→ U −n M f ∈U
Tứ cĂc kát quÊ trản, chúng ta cõ thº kiºm tra kát quÊ sau Ơy.
Mằnh ã 2.2.7 ([18, 3.5]) Vợi cĂc kẵ hiằu nảu trản, ρ : lim M f −→ U −n M l mởt ¯ng cĐu f ∈U
Vẵ dử 2.2.8 ([18, 3.6]) Cho U l mởt têp con tam giĂc cừa R n v cho m l mởt số nguyản dữỡng sao cho 1 ⩽ m < n °t
Khi õ V l mởt têp con tam giĂc cừa R m v V ữủc gồi l hÔn chá cừa
(ii)Vợi mồi (u 1 , , u m ) ∈ R m , tỗn tÔi u m+1 , , u n ∈ R sao cho
(iii)Vợi mồi (u 1 , , v m ) v (v 1 , , v m ) ∈ V , ta cõ
Vẵ dử 2.2.9 ([18, 3.7]) GiÊ sỷ (R, m ) l mởt v nh Noether giao hoĂn àa phữỡng vợi i ảan cỹc Ôi m v dim R = n ⩾ 1 X²t têp
U = (u 1 , , u n ) ∈ R n (u 1 , , u n ) l mởt hằ tham số cừa R
Theo [ 15, chữỡng IV, ành lỵ 2 ] , ta cõ U l têp con tam giĂc cừa R n GiÊ sỷ m l mởt số nguyản dữỡng sao cho 1 ⩽ m < n , têp
V = (u 1 , , u m ) ∈ R m (u 1 , , u m ) l mởt têp con cừa mởt hằ tham số cừa R
Theo vẵ dử trản, V l mởt têp con tam giĂc cừa R m
Mổ un phƠn số suy rởng v ối ỗng iãu àa phữỡng, v giÊ thuyát ìn thùc
Cho (R, m ) l mởt v nh Noether giao hoĂn àa phữỡng vợi i ảan cỹc Ôi v dim m R = n ⩾ 1 °t
(u , , u , 1) R n+1 sao cho l mởt phƯn hằ tham số cõa v u i+1 = = u n = 1
Tứ Ghi chú 2.2.4(1) v Vẵ dử 2.2.9, chúng ta cõ thº kiºm tra U n+1 l mởt têp con tam giĂc cừa R n+1 Cho M l R− mổ un bĐt kẳ, theo [19] , mổ un ối ỗng iãu àa phữỡng H n (M ) ¯ng cĐu vợi U −n−1 M m n+1
Tiáp theo, chúng tổi nhc lÔi giÊ thuyát ỡn thực ữủc ữa ra bði Hochster [5] : Cho s 1 , , s n l mởt hằ tham số bĐt kẳ cừa R , vợi mồi t ⩾ 0, s t s t ∈/ Rs + + Rs
Khi õ giÊ thuyát ỡn thực thọa mÂn khi v ch¿ khi phƠn số suy rởng
Mửc ẵch cừa chữỡng n y, chúng tổi trẳnh b y cĂc kát quÊ liản quan vã mổ un phƠn số suy rởng v ối ỗng iãu àa phữỡng v giÊ thuyát ỡn thực theo [19].
Mổ un phƠn số suy rởng v ối ỗng iãu àa phữỡng
Trong bờ ã sau, kẵ hiằu R l mởt v nh giao hoĂn cõ ỡn và v M l mởt
Bờ ã 3.1.1 ([19, 2.1]) Cho U l mởt têp con tam giĂc cừa R n , v giÊ sỷ m ∈
Chùng minh Gi£ sû u n m = 0 Khi â (w
Theo Ghi chó 2.2.4(3), ta câ h 11 h n − 1 n − 1 w n m
Ph²p chựng minh ữủc kát thúc. j −n Khi â H U
α 1 khi õ theo Vẵ dử 2.2.5, U f l têp con tam giĂc cừa R n , R− mổ un U n n
Trong bờ ã tiáp theo, giÊ sỷ R l v nh Noether, chúng ta dũng
H i (•) vợi i ⩾ 0 l h m tỷ ối ỗng iãu àa phữỡng thự i tữỡng ựng vợi i ảan a cừa v nh R theo ành nghắa 1.5.2.9.
Bờ ã 3.1.2 ([19, 2.2]) GiÊ sỷ R l v nh Noether, cho a l mởt i ảan cừa R , cho U l mởt têp con tam giĂc cừa R n sao cho u n ∈ a vợi mồi
Ta cõ Φ f n l mởt ỗng cĐu X²t ker Φ f n f n m
Theo Bờ ã 3.1.1, ta cõ ker Φ f n = {0}.
Vêy Φ f n l mởt ¯ng cĐu Vẳ Φ f n f n
= 0 Suy ra, theo Ghi chó 1.5.2.14(3)
Vẳ Φ f n l ỡn cĐu nản f n ∈ NZD R M f Ta cõ dÂy khợp ngn
Suy ra ph²p nhƠn f l ỡn cĐu Hỡn nỳa, theo Ghi chú 1.5.2.14(2) vẳ f a
U −nM ∼ = lim Mf f ∈U v suy ra tứ [17, 3.2] rơng H j U −n M = 0, ∀j ⩾ 0 Ph²p chựng minh ữủckát thúc.
Trong suốt mửc tiáp theo, chúng ta giÊ sỷ R l mởt v nh Noether giao hoĂn àa phữỡng vợi i ảan cỹc Ôi m , dim R = n (n ⩾ 1) v M l mởt R− mổ un.
Chúng tổi dũng "s.o.p" º thay cho "hằ tham số", "s.s.o.p" º thay cho
"mởt phƯn hằ tham số".
Theo Vẵ dử 2.2.9 v Ghi chú 2.2.4(1), dạ thĐy rơng U i l mởt têp con tam f f f f f f
Chú ỵ rơng U (x) i ⊂ U i vợi mồi i giĂc cừa R i vợi mội i ⩾ 1 Cho mởt s.o.p x 1 , , x n cừa R do õ x = (x 1 , , x n ) ∈ U n , chúng ta °t U (x) i l mð rởng [xem 2.2.4(1)] cừa têp con tam gi¡c x α 1 , , x α i
α j ∈ Z + vợi mồi j = 1, i cừa R i , trong õ x r = 1 khi r > n
2 Cho (V i ) i ∈ Z + l mởt hồ nhỳng têp thọa mÂn
(i) V i ⊆ U i v V i l têp con tam giĂc cừa R i vợi mội i ∈ Z +
(iv) Tỗn tÔi mởt s.o.p y 1 , , y n cừa R sao cho (y 1 , , y n ) ∈ V n
Nhên x²t rơng hồ têp U (x) i i Z + thọa mÂn cĂc tẵnh chĐt (i) án (v) trong (2) Tứ cĂc dỳ liằu trản, chúng ta xƠy dỹng mởt ối phực ữủc mổ tÊ trong bờ ã sau.
Bờ ã 3.1.4 ([19, 3.2]) Tỗn tÔi nhỳng R− ỗng cĐu e 0 : M −→ V 1 −1 M v e i : V −i M −→ V −i−1 M vợi mội i > 0 sao cho e 0 (m) = m vợi mồi m ∈ M v vợi mồi i i >
0 −→ M −→ V 1 M −→ V 2 M −→ −→ V i M −→ V i+1 M −→ l mởt ối phực cừa nhỳng R− ỗng cĐu v R− mổ un v kẵ hiằu C (V , M ) , V l hồ (V i ) i⩾1
Chú ỵ rơng theo Ghi chú 2.2.4(2), V i −i M = 0 vợi mồi i > n + 1.
Bờ ã 3.1.5 ([19, 3.3]) Cho i l mởt số nguyản sao cho 0 ⩽ i ⩽ n Khi õ dim ker e i / im e i−1 < n − i
Chựng minh Trữớng hủp i = 0, ta cõ ker e0/ im e−1 ∼ = ker e0 = m m = 0
GiÊ sỷ i > 0 Chúng ta cƯn chựng tọ rơng, náu p ∈ Ass ker e i / im e i−1 thẳ dim R/ p < n − i
Khi õ p = Ann (a) vợi a ker e i / im e i−1 v a = m
Suy ra, tỗn tÔi H = [h rs ] ∈ D i+1 (R) v (t 1 , , t i+1 ) ∈ V i+1 sao cho
Theo Bờ ã 2.1.3, ta cõ h 11 h ii t i+1 m ∈ i
Vẳ vêy, vợi mồi j = 1, , i , ta cõ t j m
Do õ t 1 , , t i , t i+1 l mởt hằ tham số cừa R Khi i = n ta cõ mƠu thuăn Vẳ Ass ker e n / im e n−1 = ∅ v dim ker e n / im e n−1 = −1 khi 0 < i < n , kát quÊ suy ra tứ [15, chữỡng IV , ành lẵ 2].
Chựng minh (i) Vẳ dim ker e i / im e i−1 < n − i , vợi mồi i = 0, , n nản theo Ghi chú 1.5.2.12(i), ta cõ i ker e i / im e i−1 = 0 vợi mồi j ⩾ n − i
(ii) Cho i l mởt số tỹ nhiản vợi 1 ⩽ i ⩽ n , v °t
(u 1 , , u i ) ∈ V i | u 1 , , u i l mởt phƯn hằ tham số cừa R ,
Tứ Ghi chú 3.1.3(i) án (v), W i l mởt têp con tam giĂc cừa R i v tỗn tÔi mởt
R− ỗng cĐu ϕ i : W i −i M −→ V i −i M xĂc ành bði ϕ i m
= m vợi mồi m ∈ M v (w 1 , , w i ) ∈ W i Chúng ta chựng tọ rơng ϕ i l to n cĐu. Cho α = m
V −i M , theo Ghi chú 3.1.3(2)(iv),(ii) tỗn t¤i (y (u 1 , , u i ) i 1 , , y i ) ∈ W i vẳ vêy tỗn tÔi (v 1 , , v i ) ∈ V i v H , K = [k rs ] ∈ D i (R) sao cho
H [u 1 u i ] T = [v 1 v i ] T = K [y 1 y n ] T r vẳ v r = k rs y s vợi mội r = 1, , i , nản (v 1 , , v i ) ∈ W i
W i −i M ∼ = V i −i M v tứ Bờ ã 3.1.2 ta cõ kát quÊ cƯn chựng minh. ành lỵ 3.1.7 ([19, 3.5]) Ta cõ V −n−1M ∼ = H n (M ) Hỡn nỳa, R− ỗng c§u tü nhiản n+1 m θ n+1 : V −n−1 M −→ U −n−1 M x¡c ành bði n +1 n+1 θ n+1 m
= m , vợi mồi m ∈ M v (v 1 , , v n+1 ) ∈ V n+1 l mởt ¯ng cĐu Do õ
Chựng minh Kẵ hiằu U l hồ (U i ) i⩾1 v °t C (U , M ) l d −1 d
0 −→ M −→ U 1 M −→ U 2 M → ã ã ã → U i M −→ U i+1 M → ã ã ã vợi mội i ⩾ 1, tỗn tÔi mởt R− ỗng cĐu θ i : V i −i M −→ U i −i M xĂc ành bði θ i m
= m vợi mồi m ∈ M v (v 1 , , v i ) ∈ V i Náu °t θ 0 : M → M l Ănh xÔ ỗng nhĐt, thẳ Θ = θ i i
: C (V , M ) −→ C (U , M ) l mởt ỗng cĐu cừa cĂc ối phực. º tiằn lủi, kẵ hiằu C (V , M ) bði C (V ) v C (U , M ) bði C (U ) ; V 0 −0 M, U 0 −0 M l M Vợi mội i = 0, , n , °t
K i = V i −i M/ ker e i , L i = U i −i M/ ker d i , θ i ′ : coker e i−1 −→ coker d i−1 , θ i ∗ : H i C (V ) −→ H i C (U ) v θ i+ : K i −→ L i l nhỳng ỗng cĐu dăn xuĐt bði Θ Thêt vêy, tỗn tÔi nhỳng biºu ỗ giao hoĂn (vợi cĂc h ng l khợp).
Tứ sỡ ỗ (1) v Hằ quÊ 3.1.6(ii) dăn án mởt hẳnh vuổng giao hoĂn n i i 1 m H n−i θ i ′
H // U n+1 M n m H m θ n trong õ hai h ng l nhỳng ¯ng cĐu, vợi mội i = 1, , n
Tữỡng tỹ tứ sỡ ỗ (2) v Hằ quÊ 3.1.6(i), chúng ta nhên ữủc hẳnh vuổng giao hoĂn
H n−i coker e i−1 ∼= // H n−i K i n−i coker i−1 ∼= n−i i trong õ hai h ng l nhỳng ¯ng cĐu, vợi mồi i = 0, , n
− 1 Tứ cĂc hẳnh vuổng (4) v (3), nhên ữủc hẳnh vuổng giao hoĂn n 1 m
// H 0 coke r d n−1 (5) trong õ cĂc h ng l nhỳng ¯ng cĐu Tuy nhiản, tứ Ghi chú 3.1.3, Bờ ã 3.1.4, 3.1.5 suy ra biºu ỗ giao hoĂn
M // 0 (6) cõ cĂc h ng l khợp Hỡn nỳa, theo 18, 3.3 (ii) mội phƯn tỷ cừa V −n−1 M bà triằt tiảu bði mởt lụy thứa cừa m , v kh¯ng ành văn úng ối vợi U
−n−1 M Tứ (6) cho ta mởt hẳnh vuổng giao hoĂn
−n−1 trong õ hai h ng l nhỳng ¯ng cĐu Vẳ θ 0 = id M , nản chúng ta nhên ữủc hẳnh vuổng giao hoĂn tứ (5) v (7)
H m (M ) // U n+1 1 M (8) trong õ cĂc h ng l nhỳng ¯ng cĐu Ph²p chựng minh ữủc kát thúc. m ∈ n t+1
Cho (R, m ) l mởt v nh Noether giao hoĂn àa phữỡng vợi i ảan cỹc Ôi m v dim R = n ⩾ 1 GiÊ sỷ x = (x 1 , , x n ) l mởt hằ tham số bĐt kẳ cừa R Chồn V = U (x) , vợi cĂc khĂi niằm trong 3.1.3, U (x) =
U (x) i i Z + Khi õ mổ un ối ỗng iãu àa phữỡng thự n , H n (M ) cõ thº xem nhữ l mổ un phƠn số rởng thổng qua hằ tham số x cừa suy R , iãu õ ữủc thº hiằn trong kát quÊ sau Hằ quÊ 3.1.8 ([19, 3.6]) Cho x = (x 1 , , x n ) l mởt hằ tham sè cõa R Khi â
tỗn tÔi j ∈ N 0 vợi 0 ⩽ j ⩽ n sao cho
Hỡn nỳa, R− ỗng cĐu tỹ nhiản U (x) −n−1 −→ U −n−1 M l mởt ¯ng cĐu.
Ùng dửng ối vợi giÊ thuyát ỡn thực
Mửc ẵch chẵnh cừa mửc n y chựng tọ rơng giÊ thuyát ỡn thực cõ thº ữủc tẵnh toĂn thổng qua nhỳng mổ un phƠn số suy rởng.
Cho (R, m ) l mởt v nh Noether giao hoĂn àa phữỡng vợi i ảan cỹc Ôi m v dim R = n ⩾ 1 Nôm 1973, Hochster [5] Â ữa ra giÊ thuyát: Cho x 1 , , x n l mởt hằ tham số bĐt ký cừa R , x t x t ∈/ Rx t+1 + + Rx t+1 vợi mồi t ⩾ 0 ành lỵ 3.2.1 ([19, 4.1]) Cho x 1 , , x n l mởt hằ tham số cừa R Khi õ phƠn số suy rởng 1
1) trong U −n−1 R l khĂc khổng khi v ch¿ khi vợi mồi t ⩾
0, x t x t ∈/ Rx + + Rx , nghắa l hằ tham số x 1 , , x n thọa mÂn giÊ thuyát ỡn thực.
Chựng minh (⇒) Náu tỗn tÔi mởt t sao cho n x t x t x t ∈ Σ
Rx t+1 , theo Ghi chó 2.2.4(3)(ii), chóng ta câ x t x t
1 n x t+1 , , x t+1 , 1 = 0, n n n n n trong U −n−1 R Tuy nhiản, ma trên ữớng ch²o D = diag x t , , x t ,
X²t ma trên ữớng ch²o diag x c−α 1 ,
Suy ra tứ Bờ ã 2.1.4, náu kẵ hiằu E l ma trên ữớng ch²o diag x c ,
= 0 trong U −n−1 R Khi õ theo Hằ quÊ 3.1.8, ta cõ
= 0, trong U (x) −n−1 R , ð Ơy chúng ta dũng kẵ hiằu trong Ghi chú 3.1.3(1) Vêy tỗn tÔi α 1 , , α n ∈ Z + v H ′ ∈ D n+1 (R) sao cho
Rx α i v ta cõ ma trên H ∈ D n+1 (R) vợi H = H ′ diag x c−α 1 , , x c−α n , 1 sao cho
Tuy nhiản, náu D = diag x c−α 1 , , x c−α n , 1 thẳ
|ED| − |EH| ∈ Rx 1 + + Rx n , vẳ
Ph²p chựng minh ữủc kát thúc.
Tứ ành lỵ 3.2.1, GiÊ thuyát ỡn thực tữỡng ữỡng vợi iãu sau Ơy Vợi mồi hằ tham sè x 1 kh¡ c khổng , , x n
Hằ quÊ 3.2.2 ([19, 4.3]) Cho y 1 , , y n l mởt hằ tham số cừa R Khi õ tỗn tÔi mởt số tỹ nhiản t ∈ N sao cho, khi h ⩾ t , hằ tham số x 1
= y h , , x n = y h 1 n thọa mÂn giÊ thuyát ỡn thực.
Chựng minh Theo Hằ quÊ 3.1.8, ta cõ U (y)−n−1 ∼ = H n (R) ̸= 0, vẳ vêy tỗn tÔi β 1 , , β n ∈ Z + sao cho n+1 m
1 β β ̸= 0 trong U (y) −n−1 R Do õ, theo Hằ quÊ 3.1.8,
1 β β ̸= 0 trong U −n−1 R °t t = max {β 1 , , β n } Kát quÊ ữủc suy ra tứ ành lỵ 3.2.1 Ph²p chựng minh ữủc kát thúc.
Ghi chú 3.2.3 1 Cho (R, m ) l mởt v nh Noether giao hoĂn àa phữỡng vợi i ảan cỹc Ôi m v dim R = d ⩾ 1 X²t mổ un phƠn số suy rởng U −d−1 R cừa R tữỡng ựng vợi U (R) d+1 Cho x 1 , , x d l mởt hằ tham số cừa R v n 1 , , n d ∈ Z + Khi õ mổ un con xiclic cõa U (R) −d−1 R sinh bði ph¥n sè suy rởng 1 ∈ U (R) −d−1 R cõ ở d i hỳu hÔn, tực l x n 1 , , x n d , 1 d+1
Sharp v Hamieh ữa ra cƠu họi trong [20]: Cho x 1 , , x d l mởt hằ tham số cừa R , cõ tỗn tÔi mởt a thực h ∈ Q [x 1 , , x d ] sao cho l
1 d khi n 1 , , n d ≫ 0, ( n 1 , , n d ừ lợn) Hiằn nay cƠu họi n y chữa cõ cƠu trÊ lới xĂc ành cho trữớng hủp d ⩾ 3 Trữớng hủp d = 1, d = 2 Â câ c¥u tr£ líi (xem [20]).
2 Trong [22], Sharp v Zakeri  ữa ra nhỳng °c trững cừa mổ un
Cohen- Macaulay suy rởng, Buchsbacm thổng qua mổ un phƠn số
Trong luên vôn chúng tổi trẳnh b y v chựng minh chi tiát mởt số kát quÊ trong [18], [19] cử thº l :
1.Chữỡng 1, chúng tổi trẳnh b y mởt số kián thực cỡ bÊn nhữ: ở d i mổ un, Sỹ phƠn tẵch nguyản sỡ, Chiãu Krull, PhÔm trũ v h m tỷ, Mổ un ối ỗng iãu v mổ un ối ỗng iãu àa phữỡng, Giợi hÔn thuên.
2.Chữỡng 2, chúng tổi trẳnh b y v chựng minh chi tiát mởt số kát quÊ vã mổ un phƠn số suy rởng trong [18] Trẳnh b y khĂi niằm têp con tam giĂc v vẵ dử ( ành nghắa 2.1.1, Vẵ dử 2.1.2); xƠy dỹng quan hằ tữỡng ữỡng trản têp M ì U vợi M l mởt R−mổ un v U l mởt têp con tam giĂc cừa R n (Mằnh ã 2.1.5); xƠy dỹng mổ un phƠn số suy rởng ( ành lỵ 2.1.9); mởt số tẵnh chĐt cừa mổ un phƠn số suy rởng v mởt số vẵ dử (Mằnh ã 2.2.1, Mằnh ã
2.2.2, Mằnh ã 2.2.7, Vẵ dử 2.2.3, Vẵ dử 2.2.5, Vẵ dử 2.2.8, Vẵ dử
3.Chữỡng 3, chúng tổi trẳnh b y v chựng minh chi tiát mởt số kát quÊ trong
[19] vã mổ un phƠn số suy rởng v ối ỗng iãu àa phữỡng (Bờ ã
3.1.1, Bờ ã 3.1.2, Bờ ã 3.1.4, Bờ ã 3.1.5, Hằ quÊ 3.1.6, ành lỵ
3.1.7, Hằ quÊ 3.1.8); °c trững giÊ thuyát ỡn thực qua phƠn số suy rởng ( ành lỵ 3.2.1, Hằ quÊ 3.2.2).
[1] Atiyah.M.F and Macdonald.I.G Introduction to commutative Algebra Reading Mass, 1969.
[2] Brodmann.M and Sharp.R.Y Local Cohomology: An Algebraic Introduc- tion with Geometric applications, Cambridge University Press Cambridge, 1998.
[4] Grothendieck.A Local cohomology Lecture Notes in Mathematics 41, Springer, Berlin, 1967.
[5] Hochster.M Contracted ideals from integral extensions of regular rings Nagoya Math J 51 (1973), 25-43.
[6] Hochster.M "Topics in the Homological Theory of Modules over Commu- tative Rings" Conference Board of the Mathematical Sciences Regional Conference Series in Mathematics 24, Amer Math Soc., Providence, R.I., 1975.
[7] Hochster.M Associated Graded Rings Derived from Integrally Closed Ide- als and the Local Homological Conjectures Preprint, University of Michi- gan, 1981.
[8] Hochster.M Canonical elements in local cohomology modules and the di- rect summand conjecture J Algebra 84 (1983), 503- 553.
[9] Kaplansky.I Commutative Rings Allyn and Bacon Boston, 1970.
[10] Kirby.D Coprimary decomposition of Artinian modules J. London Math Soc (2) 6 (1973), 571-576.
[11] Macdonald.I.G Secondary representation of modules over a commutative ring Sympos Math 11 (1973), 23-43.
[12] Macdonald.I.G and Sharp.R.Y An elementary proof of the non-vanishing of certain local cohomology modules Quart J.Math Oxford (2), 23 (1972), 197-204.