1188 môđun phân số suy rộng và một số vấn đề liên quan luận văn tốt nghiệp

BË GIO DƯC V€ €O T„O TR×ÍNG „I HÅC QUY NHÌN INH HÚU DUY MỈ UN PH…N SÈ SUY RËNG V€ MËT SÈ V‡N — LI–N QUAN LUŠN V‹N TH„C S TON HC Bẳnh nh - Nôm 2022 Bậ GIO DƯC V€ €O T„O TR×ÍNG „I HÅC QUY NHÌN INH HÚU DUY MỈ UN PH…N SÈ SUY RËNG V€ MËT SÈ V‡N — LI–N QUAN Ng nh: „I SÈ V€ L THUYT Sẩ M số: 8460104 Ngữới hữợng dăn: TS NGUYN THI HÁA i Möc löc Möc löc i Danh möc cĂc kẵ hiằu ii M Ưu Chữỡng Mởt số kián thực chuân b 1.1 di mổ un 1.2 Sỹ phƠn tẵch nguyản sỡ 1.3 Chi·u Krull 1.4 PhÔm trũ v hm tỷ 1.4.1 PhÔm trũ v hm tû 1.4.2 H m tû a-xon 1.5 Mổ un ối ỗng iÃu v mổ un ối çng i·u àa ph÷ìng 1.5.1 Mổ un ối ỗng iÃu 1.5.2 Mổ un ối ỗng iÃu a phữỡng 1.6 Giợi hÔn thuên Ch÷ìng Mỉ un ph¥n sè suy rëng 10 10 12 14 14 17 22 26 2.1 Mæ un ph¥n sè suy rëng 26 2.2 Mởt số tẵnh chĐt v vẵ dử 39 Chữỡng Mổ un phƠn số suy rởng v ối ỗng iÃu a phữỡng, v giÊ thuyát ỡn thùc 48 3.1 Mỉ un ph¥n sè suy rëng v  ối ỗng iÃu a phữỡng 48 3.2 ng dửng ối vợi giÊ thuyát ỡn thực 58 Kát luªn 60 T i li»u tham kh£o 62 ii Danh mưc cĂc kẵ hiằu Z Têp cĂc số nguyản N0 Têp cĂc số nguyản khổng Ơm Z+ Têp cĂc số nguyản d÷ìng R V nh giao ho¡n câ ìn (R, m) Vnh Noether giao hoĂn a phữỡng vợi i ảan cỹc ¤i m Mod (R) Ph¤m trị c¡c R−mỉ un AssR (M ) Têp cĂc i ảan nguyản tố liản kát cõa dimR Chi·u Krull cõa v nh R dimM Γa (•) F (•) Hn (•) Rn F R−mỉ un M Chi·u Krull cõa R−mỉ un M H m tû a−xon t÷ìng ùng vợi i ảan a Hm tỷ tứ phÔm trũ Mod (R) án chẵnh nõ Hm tỷ ối ỗng iÃu thự n tứ phÔm trũ Mod (R) án chẵnh nõ Hm tỷ dăn xuĐt thự n cừa hm tỷ F Hm tỷ ối ỗng iÃu a phữỡng thự n tữỡng ựng vợi i ảan a l i m (ã) Hm tỷ giợi hÔn thuên Hn (ã) a U i U nM U n (ã) Têp tam giĂc cừa Rn vợi n l số nguyản dữỡng Mổ un phƠn số suy rởng cừa Rmổ un M ựng vợi têp tam giĂc U cừa Rn Hm tỷ tứ phÔm trũ Mod (R) án chẵnh nõ tữỡng ựng vợi têp tam gi¡c U cõa Rn Mð ¦u Cho R l  mët v nh giao ho¡n câ ìn v  S l  mổt têp nhƠn õng cừa vnh R, M l mởt Rmổ un XƠy dỹng mởt quan hằ tữỡng ữỡng trản M × S: ∀ (a, s) , (b, t) ∈ M × S, (a, s) ∼ (b, t) ⇔ u (ta sb) = Têp thữỡng Khi õ S1M M ì S/ l mởt vợi mởt u S ữủc kẵ hiằu l a , S1M = , s a ∈ M, s ∈ S R−mæ un, vợi hai php toĂn ữủc xĂc nh bi a b ∀ s, t ∈ S−1M, v  ∀ r ∈ R, ∀ a s a b ta + sb s+ t = st a r = s s S1M, Mổ un S1M ữủc gồi l mổ un phƠn sè v  nâ l  mët c¡c kh¡i ni»m cì bÊn cừa Ôi số giao hoĂn Nôm 1982, R.Y.Sharp v H.Zakeri [18] ữa khĂi niằm têp tam giĂc U cõa Rn = R × × R vợi n l mởt số nguyản dữỡng v xƠy düng mỉ un ph¥n sè suy rëng U −nM , mội phƯn tỷ cừa nõ cõ dÔng m (u1, , un) , â m ∈ M v  (u1, , un) ∈ U Khi n = 1, U l mởt têp nhƠn õng v U 1M l mổ un phƠn số Lỵ thuyát c¡c mỉ un ph¥n sè suy rëng l  mët sü mð rëng kh¡i ni»m mỉ un ph¥n sè cõa mët mổ un theo têp nhƠn õng v nõ ữủc sỷ dửng tiáp cên giÊ thuyát ỡn thực cừa Hochster [5] Vợi mửc ẵch tẳm hiu sƠu hỡn và Ôi sè giao ho¡n chóng tỉi chån · t i: Mỉ un phƠn số suy rởng v mởt số vĐn à liản quan Trong luên vôn ny, chúng tổi trẳnh by v chùng minh chi ti¸t mët sè k¸t qu£ [18], [19] Luên vôn ngoi phƯn Mửc lửc, M Ưu, Kát luªn v  Danh mưc t i li»u tham kh£o câ chữỡng Chữỡng Mởt số kián thực chuân b Trong chữỡng ny chúng tổi trẳnh by mởt số kián thực cỡ bÊn nhữ: di mổ un, Sỹ phƠn tẵch nguyản sỡ, ChiÃu Krull, PhÔm trũ v hm tỷ, Mổ un ối ỗng iÃu v mổ un ối ỗng iÃu a phữỡng, Giợi hÔn thuên Chữỡng Mổ un phƠn số suy rởng Trong chữỡng ny, trữợc hát chúng tổi trẳnh by khĂi niằm têp tam giĂc v x¥y düng mỉ un ph¥n sè suy rëng cõa mët mổ un theo mởt têp tam giĂc Tiáp theo chúng tổi trẳnh by mởt số tẵnh chĐt cừa mổ un phƠn số suy rởng v mởt số vẵ dử và têp tam giĂc Chữỡng Mổ un phƠn số suy rởng v phữỡng, v giÊ thuyát ỡn thực ối ỗng iÃu a Trong chữỡng ny chúng tổi s trẳnh by mội mổ un M trản vnh giao hoĂn Noether a phữỡng (R, m) vợi dimR = n 1, mổ un ối m ỗng iÃu Hn (M ) câ thº xem l  mët mỉ un ph¥n sè suy rởng Tiáp theo õ chúng tổi trẳnh by ựng dửng cho giÊ thuyát ỡn thực Luên vôn ữủc hon thnh nhớ sỹ hữợng dăn v giúp ù tên tẳnh cừa thƯy hữợng dăn TS Nguyạn ThĂi Hỏa, Trữớng Ôi hồc Quy Nhìn Tỉi xin b y tä sü k½nh trång v  lỏng biát ỡn sƠu sc án ThƯy  giúp ù tổi suốt quĂ trẳnh hồc têp v thỹc hiằn luên vôn Tổi cụng xin gỷi lới cÊm ỡn án quỵ Ban lÂnh Ôo Trữớng Ôi hồc Quy Nhỡn, Phỏng o tÔo Sau Ôi hồc, Khoa ToĂn v Thống kả quỵ thƯy cổ giĂo giÊng dÔy lợp Cao hồc Ôi số v Lẵ thuyát số khõa 23  giÊng dÔy v tÔo iÃu kiằn thuên lủi cho tổi quĂ trẳnh hồc têp v thỹc hiằn à ti Tổi cụng xin by tọ lỏng biát ỡn án ngữới thƠn, bÔn b  luổn giúp ù ởng viản tổi hon thnh khõa hồc v luên vôn ny Mc dũ luên vôn ữủc thỹc hiằn vợi sỹ nộ lỹc cố gng hát sực cừa bÊn thƠn, iÃu kiằn thới gian cõ hÔn, trẳnh kián thực v kinh nghiằm nghiản cựu cỏn hÔn chá nản luên vôn khõ trĂnh khọi nhỳng thiáu sõt Tổi rĐt mong nhên ữủc nhỳng gõp ỵ cừa quỵ thƯy cổ giĂo luên vôn ữủc hon thiằn hỡn Chữỡng Mởt số kián thực chuân b Trong chữỡng ny, chúng tổi trẳnh by mởt số kián thực chuân b cho nởi dung cĂc chữỡng tiáp theo 1.1 di mổ un Trong mưc n y, chóng tỉi tr¼nh b y kh¡i ni»m ë d i mỉ un v  mët sè k¸t qu£ v· ë d i mỉ un theo [1], [3], [13] K½ hi»u R l  mët v nh câ ìn và, Z+ l tªp c¡c sè nguyản dữỡng nh nghắa 1.1.1 Mởt Rmổ un M khĂc khổng ữủc gồi l mổ un ỡn náu nõ cõ óng hai mæ un l  mæ un khæng v  ch½nh nâ Bê · 1.1.2 Cho M l  mët R−mỉ un Khi â M l  R−mỉ un ìn v  ch M = R/m (nhữ R-mổ un) vợi m Max (R) nh nghắa 1.1.3 Mởt dƠy chuyÃn cht câ ë d i n cõa R−mæ un M l  mët dÂy tông thỹc sỹ cĂc mổ un cừa Mn M cõ dÔng M0 M1 nh nghắa 1.1.4 Mởt dƠy chuyÃn cht cĂc mổ un cừa mổ un M cõ dÔng = M0 ⊊ M1 ⊊ ⊊ Mn = M , â Mi/Mi−1 l  mỉ un ìn ∀i = 1, , n (tùc l  dÂy khổng th bờ sung thảm), ữủc gồi l mởt chi hđp th nh câ ë d i n cõa mỉ un M Mỉ un khỉng ÷đc coi l  câ chi hủp thnh cõ di bơng nh lỵ 1.1.5 [ nh lỵ Jordan-Holder] Cho M l mởt Rmổ un Gi£ sû r¬ng M câ mët chi hđp th nh câ ë d i n Khi â, (i) Måi d¥y chuy·n ch°t cõa M ·u câ ë d i khỉng lỵn hìn n (ii) Måi chuéi hñp th nh cõa M ·u câ ë di úng bơng n (iii) Mồi dƠy chuyÃn cht cĂc mæ un cõa M câ ë d i k < n ·u câ thº bê sung n − k th nh ph¦n º trð th nh mët chi hđp th nh cõa M (iv)Måi d¥y chuy·n ch°t cõa M câ ë d i úng bơng n Ãu l chuội hủp thnh nh nghắa 1.1.6 Khi R−mỉ un M câ mët chi hđp th nh câ ë d i n < ∞ th¼ ta nâi M cõ di bơng n v kẵ hiằu lR (M ) = n V½ dư 1.1.7 Cho l  khổng gian vctỡ trản trữớng K Khi õ, V cõ chiÃu hỳu hÔn V l Kmổ un Noether V l  K−mỉ un Artin Hìn núa, V l R−mỉ un cõ di hỳu hÔn v lK (V ) = dimK (V ) lZ (Z30) = V Ghi 1.1.8 Mởt mồi dÂy tông Rmổ un M ÷đc gåi l  mỉ un Noether n¸u M0 ⊆ M1 ⊆ Mn+1 ⊆ c¡c mổ un cừa M Ãu dứng, tực l tỗn tÔi k Z+ : Mk = Mk+i vợi mồi i ∈ Z+ Mët v nh R ÷đc gåi l  mët v nh Noether n¸u R l  R−mỉ un Noether Mët Rmổ un M ữủc gồi l mổ un Artin náu måi d¢y gi£m M0 ⊇ M1 ⊇ Mn+1 ⊇ c¡c mæ un cõa M Ãu dứng, tực l tỗn tÔi k Z+ : Mk = Mk+i vỵi måi i ∈ Z+ Mët vnh R ữủc gồi l mởt vnh Artin náu R l Rmổ un Artin nh lỵ 1.1.9 Cho l mởt R−mæ un Khi â vøa l  mæ un Noether vøa l mổ un Artin M nh lỵ 1.1.10 Cho −→ N R−mæ (i) −→ M −→ P −→ un Khi â, lR (M ) < ∞ ⇔ lR (N ) < ∞ (ii) Khi v  lR (M ) , lR (N ) , lR (P ) lR (M ) < ∞ v  ch¿ M l  mët dÂy khợp ngn cĂc lR (P ) < Ãu hỳu hÔn thẳ lR (M ) = lR (N ) + lR (P ) 1.2 Sỹ phƠn tẵch nguyản sỡ Trong mửc ny, chúng tổi trẳnh by mởt số kát quÊ và sỹ phƠn tẵch nguyản sỡ theo [3], [13], [14] K½ hi»u R l  mët v nh giao ho¡n câ ỡn v nh nghắa 1.2.1 Mởt i ảan I cừa vnh R ữủc gồi l mởt i ảan nguyản sỡ náu I R v vợi mồi mởt k Z+ a, b ∈ R, ab ∈ I th¼ a∈I ho°c bk ∈ I vỵi Ghi chó 1.2.2 Méi i ¶an nguy¶n tè P cõa R l  mët i ¶an nguy¶n  I l  mët Cho õR náu I i ảan nguyản tố a, b ∈ R, ab ∈ I ⇒ a ∈ I ho°c b  ∈ I R Khi √I l  i ¶an cỹc Ôi thẳ I l nguyản GiÊ sỷ m nguyản sỡ sỡ Max (R), vẳ mk = √ √ √ I m ∩ ∩ m = m nản mk l i ảan nh nghắa 1.2.3 Mæ un thüc sü N cõa R−mæ un M ữủc gồi l nguyản sỡ náu k M N ∀α ∈ R, ∀x ∈ M, αx ∈ N ⇒ x ∈ N ho°c cho ∃k ∈ Z+ Ghi chó 1.2.4 I ¶an I cõa R l  i ¶an nguy¶n v  ch¿ I l  mỉ un nguy¶n cõa R−mỉ un R N l  mỉ un nguy¶n cõa M v  ch¿ vỵi måi α ∈ R, tü çng c§u M/N −α→ M/N ho°c l  ìn c§u ho°c l  lôy linh Bê · 1.2.5 (i) Cho N l  mët mæ un cõa Khi â RadM (N ) = , , R−mæ α ∈ R | ∃k ∈ Z+ un cho M α kM ⊆ N √ l mởt i ảan cừa R c biằt, náu a l mởt i ảan cừa R thẳ RadR (a) = a (ii) Cho N, P l  hai mæ un cừa M Náu N P thẳ RadM (N ) ⊆ RadM (P ) Hìn núa RadM (N ∩ P ) = RadM (N ) ∩ RadM (P ) M»nh · 1.2.6 Cho N l  mæ un nguy¶n cõa â RadM (N ) = P l  mët i ¶an nguy¶n tè Ta gåi −nguy¶n cõa M N R−mæ un M Khi l  mæ un P nh nghắa 1.2.7 I ảan nguyản tố P cừa vnh R ữủc gồi l liản kát vợi Rmổ un M náu tỗn tÔi x M cho Ann (x) = P Têp tĐt cÊ cĂc i ảan nguyản tố liản kát cừa M ữủc kẵ hi»u l  AssR (M ) hay ìn gi£n hìn Ass (M ) náu R ữủc xĂc nh Ghi 1.2.8 P Ass  ∈ (M) R Cho P ∈ Spec (R) )⇔  P ∈ Spec (R)  P Khi â n¸u N cõa M cho N ∼= R/P Cho R l  v nh Noether v  A P ∈ (x) Ass M l  R−mæ :M x (M ) th¼ m ∈ R | mx un (M ) = ∅ ⇔ M = (iii) ZDR (M ) = [ P P ∈Ass(M ) M»nh · 1.2.9 Cho N l  mët mæ un cõa â Ass (N ) ⊆ Ass (M ) ⊆ R−mæ Ass (N ) un M Ass tỗn tÔi mởt mỉ un (i) Gi£ sû M ̸= K½ hi»u F = Ann (x) | x ∈ }M \ {0} Khi õ mồi phƯn tỷ tối Ôi cừa hồ F l  mët i ¶an nguy¶n tè tùc l  P Ass (M ) (ii) Ass } Khi M/N ∈