Đang tải... (xem toàn văn)
HÀNỘI 2016 VIӊNNHÀNLÂMKHOAHỌCVÀCỌNGNGHӊNVIӊNTNAMVIӊNNTO ÁNHỌC oOo NguyenTuấnLong QUANHӊNGIỮAHӊNSỐHILBERTHIӊNUCHỈNHVÀMỌ ĐUNCOHEN MACAULAYSUYRỘNGDÃY LUẬNÁNTIẾNSĨTOÁNHỌC VIӊNNHÀNLÂMKHOAHỌCVÀCỌNGNGHӊNVIӊN[.]
VIӊNNHÀNLÂMKHOAHỌCVÀCỌNGNGHӊNVIӊNTNAMVIӊNNTO ÁNHỌC -oOo - NguyenTuấnLong QUANHӊNGIỮAHӊNSỐHILBERTHIӊNUCHỈNHVÀMỌ ĐUNCOHEN-MACAULAYSUYRỘNGDÃY LUẬNÁNTIẾNSĨTOÁNHỌC HÀNỘI-2016 VIӊNNHÀNLÂMKHOAHỌCVÀCỌNGNGHӊNVIӊNTNAMVIӊNNTO ÁNHỌC -oOo - NguyenTuấnLong QUANHӊNGIỮAHӊNSỐHILBERTHIӊNUCHỈNHVÀMỌ ĐUNCOHEN-MACAULAYSUYRỘNGDÃY Chuyên ngành: Đại so lý thuyet soMưso:62.46.01.04 LUẬNÁNTIẾNSĨTỐNHỌC TẬPTHỂHƯỚNG DẪN KHOAHỌC: GS.TSKH.NguyenTựCvờng GS.TS.LêThị ThanhNhàn Tómtắt Cho (R,m) vành Noether địa phương vàM l m ộ t R-môđun hữu hạn sinhchiềud ChoD:M=D0⊃D1⊃ ⊃Dt=H0(M)m lọc chiều củaM Một iđêanthamsốqcủaMđượcgọilàiđêanthamsốtáchbiệtcủaMnếutồntạimộthệthamsốx1, , xdsao cho q=(x1, , xd) (xdimDi+1, , xd)Di=0 với mọii=1, , t.MôđunMđượcgọilàCohen-MacaulaysuyrộngdãynếuDi/Di+1làmôđunCohen-Macaulay suy rộngvớimọii= , ,t−1 Chú ý rằngvới iđêan tham sốq củaM, tồntạicácsốnguyêne i(q;M)saochoℓ(M/qn+1M)= X i d (−1) ei(q;M) n +d−i d−i ! i= vớimọin≫0 Cácsốnguyênei(q;M)được gọilàhệ sốHilbertcủaMđốivớiq n ! d +i X ad ChúngtôixéthiệuH (n)= ℓ (M/qn+1M)− nhưmộthàm adeg(q;M) i q,M i i=0 sốbiếnn,đượcgọilàhàmhiệuchỉnhHilbert-SamuelcủaM đốivớiq,trongđó adegi(q;M)làbậcsốhọcthứicủaMđốivớiq.Vớin≫0,hàmHad q, (n) làmột đa ad M thứcP q,( n),đượcgọilàđathứchiệuchỉnhHilbert-SamuelcủaMđốivớiq.Mục M tiêucủaluậnánlànghiêncứucáchệsốHilbertcủaM,từđóđặctrưngcấutrúccủamơđunCohenMacaulaysuyrộngdãy Luậnánđượcchialàmbốnchương.TrongChương1,chúngtơinhắclạinhữngkháiniệmv àtínhchấtcầnthiết TrongChương2,chúngtơiđưaramộtchặnđềuchochỉsốchínhquyCastelnouvoMumfordcủa m đ u n ph ân bậ c l i ê n kế t đ ối vớ i c ác i đ ê a n t h am số t ch bi ệt c ủ a mơđun Cohen-Macaulaysuyrộngdãy TrongChương3,chúngtơichứngminhrằngnếuqlàmộtiđêanthamsốtách biệtcủaMthìtồntạisốngunn0saochoHad( n)≥0vớimọin≥n 0.Hơnnữa, q, M nếuMlàmơđunCohen-Macaulaysuyrộngdãythìcóthểchọnn 0độclậpvớicáchchọnq Chương4đượcdànhriêngđểchứngminhkếtquảchínhsauđâycủaluậnán:GiảsửRlàả nhđồngcấucủamộtvànhCohen-Macaulayđịaphương.Khiđó,mơđun MlàCohen-MacaulaysuyrộngdãykhivàchỉkhitậpPD(M)cácđathứcP ad( n), trongđóqchạytrêntậpcáciđêanthamsốtáchbiệtcủaM,làhữuhạn q, M Abstract Let (R,m) be a Noetherian local ring andMa finitely generatedR-module of dimensiond LetD:M = D 0⊃ D1⊃ ⊃ Dt= H 0(M) be the mdimension fil-tration ofM A parameter ideal q ofM is called adistinguished parameter idealofM if there is a system of parametersx 1, , xds u c h t h a t q = ( x1, , xd) and(xdimDi+1, , xd)Di=0 for alli=1, , t The moduleMis calledsequentiallygeneralized CohenMacaulayifDi/Di+1is a generalized Cohen-Macaulay modulefora ll i = , ,t−1.It is w e l l k no wn th a t fo r e a c h p a me t er i d e a l qo f M, t here existsintegerse i(q;M)suchthatℓ(M/qn+1M)= X i d (−1) ei(q;M) n +d−i d−i ! forall i= n≫ 0.Theseintegersei(q;M)arecalledHilbertcoefficientsofMwithrespecttoq n ! +i Xd ad n+1 WeconsiderH (n)=ℓ(M/q M)− ,afunctioninn,called adeg(q;M) i q,M i i=0 anadjustedHilbert-SamuelfunctionofMwithrespecttoq,whereadeg i(q;M)is thei-tharithmeticdegreeofMwithrespecttoq.Forn≫0,thefunctionH ad q, (n) M becomesapolynomialPad( q,n),calledanadjustedHilbert-SamuelpolynomialofM with respect to q The Maim of this thesis is studying the Hilbert coefficients ofM,from this we give a characterization of sequentially generalized CohenMacaulaymodules The thesis is divided into four chapters Chapter presents some preliminarynotionsandresults InChapter2,weestablishanuniformboundfortheCastelnouvo-Mumfordreg-ularity of the associated graded modules with respect to distinguished parameteridealsofasequentiallygeneralizedCohenMacaulaymodule InChapter3,weprovethatifqisadistinguishedparameteridealof M t h e n thereexistsanintegern 0suchthatH ad( q,n)≥ 0foralln≥ n 0.Moreover,ifMis M sequentiallygeneralizedCohen-Macaulay,thenn 0couldbechoosentobeindependentfromthechoiceofq Chapter is devoted to the proof of the following main result of the thesis:AssumethatRisahomomorphicimageofaCohenMacaulaylocalring.Then,themoduleMissequentiallygeneralizedCohenMacaulayifandonlyifthesetPD(M) ofpolynomialsPq,ad( n),whereqrunsovertheset ofalldistinguishedparameter M idealsofM, isfinite Lờicamđoan Tơixincamđoanđâylàcơngtrìnhnghiêncứucủariêngtơi.Nhữngkếtquảviếtchungvớicáctá cgiảkhácđãđượccácđồngtácgiảchophépkhiđưavàoluậnán.Các kết luậnán làmới vàchưa từngđượcaicơngbốtrongbấtkỳcơngtrìnhnàokhác Tácgiả NguyễnTuấnLong Lờicảmơn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến Thầy, GS TSKH Nguyễn Tự Cường Thầy đãdạytơinhữngbàihọcđầutiênvềĐạisốgiaohốn,hướngdẫntơitừkhihọcthạcsĩchotớinghiên cứusinh.Luậnánnàykhơngthểhồnthànhnếukhơngcósựhướngdẫnkiêntrì,tậntâmcủaThầy Đốivớitơi,Thầynhưngườicha,lnkiêntrì,mongmỏiđứacontrưởngthànhtrongkhoahọccũngnhưtrongcuộc sống.Mộtlầnnữa,tơixinđượcbàytỏlịngbiếtơnđếnThầyvàgiađình Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Cô, GS TS Lê Thị Thanh Nhàn Cô làngười bảo tơi kiến thức vỡ lịng từ cịn sinh viên đại học chođếnkhihọcnghiêncứusinh.Cơlàngườichỉđường,dẫndắttừngbướcchothếhệtrẻtrênc onđườngnghiêncứukhoahọctrongđócótơi Luận án hồn thành hướng dẫn tận tình GS TSKH NguyễnTựCườngvàGS.TS.LêThịThanhNhàn.Mộtlầnnữa,tôixingửilờicảmơnđếnThầy vàCô Tôi xin gửi lời cảm ơn đến GS TSKH Lê Tuấn Hoa, đưa nhiều góp ý đểluậnánđượcrõràng,chínhxáchơn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến anh, chị, em làm nghiên cứu sinhởViệnTốnhọc,đặcbiệtlàTS.HồngLêTrườngvàTS.PhạmHùngQ,đãcónhiềugi úpđỡ,chiasẻvớitơitrongkhoahọccũngnhưtrongcuộcsống TơixingửilờicảmơnđếnViệnTốnhọc,TrungtâmđàotạosauđạihọcViệnTốn học, phịng ban chức năng, tạo điều kiện cho tơi q trình họctậpvànghiêncứutừkhicịnlàhọcviêncaohọccủaviệnchotớihiệntại Tơi xin gửi lời cảm ơn đến Khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Thái Ngun vàKhoaTốnKinhtế,trườngĐạihọcKinhtếQuốcdânHàNộiđãtạođiềukiệnchotơitrongcơ ngtácđểtơicóthờigianhọctập,nghiêncứuvàhồnthànhluậnánnày Cuốicùng,tơixingửilờicảmơnđếnnhữngngườithântronggiađình,bố,mẹ,vợ gái Họđãchiasẻ,độngviêntơitrongsuốtthờigianhọctậpvànghiêncứu để tơi hồn thành luận án Tôi xin tặng luận án cho bố, mẹ, vợvàcongáinhỏ2tuổicủatôi Mụclục Mởđầu Chuẩnbị 12 1.1 Lọcchiều,hệthamsốtốtvàhệthamsốtáchbiệt 12 1.2 MôđunCohen-Macaulaydãy 14 1.3 ChỉsốchínhquyCastelnuovo-Mumford 17 1.4 HệsốHilbert 19 ChặnđềuchỉsốchínhquychomơđunCohen-Macaulaysuyrộngdãy 21 2.1 MơđunCohen-Macaulaysuyrộngdãy 22 2.2 ChặnđềuchỉsốchínhquychomơđunCohen-Macaulaysuyrộngdãy29 VềmộthiệuchỉnhcủahàmHilbert-Samuel 37 3.1 Bậcsốhọc 37 3.2 HàmhiệuchỉnhHilbert-Samuel 43 3.3 TínhkhơngâmcủahàmhiệuchỉnhHilbertSamueltrongmơđunCohenMacaulaysuyrộngdãy HệsốHilbertvàmôđunCohen-Macaulaysuyrộngdãy 48 54 4.1 4.2 4.3 ĐathứchiệuchỉnhHilbert-Samuel Tínhhữuhạncủatậpđ a t h ứ c h i ệ u c h ỉ n h H i l b e r t S a m u e l t r o n g môđunCohenMacaulaysuyrộngdãy 55 ĐặctrưngmôđunCohen-MacaulaysuyrộngdãyquahệsốHilbert 64 58 Danhmụccơngtrìnhcủatácgiảliênquanđếnluậnán 72 Tàiliệuthamkhảo 73 Mởđầu Cho( R,m)l m ộ t v n h g i a o h o n đ ị a p h n g N o e t h e r v i i đ ê a n c ự c đ i d u y nhấtm v M l m ộ t R môđunh ữ u h n s i n h c h i ề u d K h i đ ó , v i x =x 1, ,xdl mộthệthamsốcủaM,lncóℓ (M/xM)≥e(x;M),trongđóℓ(•)làhàmđộdàivàe(x;M) số bội củaMđối với hệ tham sốx Nếu với (hoặc tồn tại) hệ thamsốxsao choℓ(M/xM)=e(x;M) thìMđược gọi làmơđun Cohen-Macaulay Lớpmôđun Cohen-Macaulay đối tượng nghiên cứu trung tâm i s giao hoỏn.MttrongnhngmrngutiờncalpmụunCohen-Macaulayl lp mụunBuchsbaumdoJ.StuăckradW.Vogel[33]ara.MụunMcgilBuchsbaumnu tn ti mt hng sốCsao choℓ(M/xM)=e(x;M)+Cvới hệ tham sốx.Dođó,mơđunCohenMacaulaylàmộttrườnghợpđặcbiệtcủamơđunBuchsbaumvớiC=0.Tiếpsauđó,N.T.Cường -P.Schenzel-N.V.Trung[43]đãđưamộtlớpmơđun thỏa mãn tính chất tồn sốCsao choℓ(M/ xM)≤e(x;M)+Cv i m ọ i hệthamsốx ,đượcgọilàmôđunCohenMacaulaysuyrộng.HằngsốCnhỏnhất Xd−1 ! thỏamãnđiềukiệntrênxácđịnhbởiC= d−1 ℓ(Hi(M)),thườngđượcgọilà m i i=0 i số Buchsbaumvà ký hiệu làI(M), đâyH m (M) môđun đối đồng điều địaphươngthứicủaMđốivớiiđêancựcđạim.Mộthướngmởrộngkhác,lớpmôđunCohenMacaulaydãyvàmôđunCohen-Macaulaysuyrộngdãy,doN.T.Cường-L T Nhàn [12] đưa cho trường hợp địa phương Lưu ý, khái niệm môđun CohenMacaulay dãy R P Stanley [32] đưa cho trường hợp phân bậc Trongtrườngh ợ p đ ị a p h ươ n g , m ộ t lọ c c c môđ u n c o n F : M = M 0⊃ M 1⊃ ⊃ M s củaM đ ợ c gọilàlọcCohen-Macaulay(tươngứng,lọcCohen-Macaulaysuyrộng) dimMi+1