HÀNỘI 2016 VIӊNNHÀNLÂMKHOAHỌCVÀCỌNGNGHӊNVIӊNTNAMVIӊNNTO ÁNHỌC oOo NguyenTuấnLong QUANHӊNGIỮAHӊNSỐHILBERTHIӊNUCHỈNHVÀMỌ ĐUNCOHEN MACAULAYSUYRỘNGDÃY LUẬNÁNTIẾNSĨTOÁNHỌC VIӊNNHÀNLÂMKHOAHỌCVÀCỌNGNGHӊNVIӊN[.]
Lọcchiều,hệthamsốtốtvàhệthamsốtáchbiệt
F:M=M 0⊃M 1⊃ ⊃M s được gọi làthỏa mãn điều kiện chiềunếu dimM i >dimM i+1với mọii=0, , s−1.Khiđó,tanói rằnglọcFcóđộdàis.
Chúý1.1.2.( i)VìMlàmôđunhữuhạnsinhtrênvànhđịaphươngNoethernênlọc chiều luôntồntạivàlàduynhất.Hơnnữa,cho0=T p∈AssM N(p)làmộtphântíchT nguyênsơtốitiểucủa0trongM.Đặtd i =d i mD i Khiđó,D i = vớimọii=1, ,t(xem[12,Lemma4.4(i)]). dim(R/p)“d i−1 N(p)
(ii) Mọilọcthỏamãnđiềukiệnchiềuluôncóđộdàinhỏhơnhoặcbằngđộdàicủalọcchiều. (iii) Trongluậnánnày,luônkýhiệu
D:M=D 0⊃D 1⊃ ⊃D t = H 0 (M) là lọc chiều,tlà độ dài lọc chiều vàd i =dimD i với mọii=0, , t Lọc các môđunconcủaMluônđượchiểulàlọccácmôđunconthỏamãnđiềukiệnchiều.
Ví dụ 1.1.3.C h o v à n h R=k[[X, Y, Z]] các chuỗi lũy thừa hình thức trên trườngk.ĐặtI=(X)∩(Y, Z)∩(X 2 ,Y 2 ,Z 2 ) và xétR-môđunM=R/I Khi đó, dimM=2 vàMcólọcchiều
D:M= D 0⊃D 1⊃D 2= ((X)∩(Y,Z))/I, trongđóD 1=(X)/Ilàmôđunchiều1vàD 2=H 0 (M). Địnhnghĩa1.1.4.( [ 6 ] , [ 3 1 ] )Chox 1 , ,x d l àmộthệthamsốcủaMvàF:M=
(i) Hệ thamsốx 1 , , x d củaMđược gọi là mộthệ tham số tốt đối với lọcFnếu(x dimM i +1 , , x d )M∩M i =0 v ớ i m ọ ii=1 , , s.Một hệ tham số tốt củaMđối vớilọcchiềuđơngiảnđượcgọilàhệthamsốtốtcủaM.
(ii) Hệ tham sốx 1 , ,x d củaMđược gọi là mộthệ tham số tách biệt đối với lọcFnếu
(x dimM i +1 , , x d )M i =0 với mọii=1, , s Một hệ tham số tách biệt củaMđốivớilọcchiềuđơngiảnđượcgọilàhệthamsốtáchbiệtcủaM.Dễthấy,mộthệthamsốt ốtluônlàmộthệthamsốtáchbiệt.
(iii) Iđêan tham số q củaMđược gọi làiđêan tham số tốt(tương ứng,iđêan thamsố tách biệt) đối với lọcFnếu nó sinh bởi một hệ tham số tốt (tương ứng, hệ thamsố tách biệt) củaMđối với lọcF Iđêan tham số tốt (tương ứng, iđêan tham số táchbiệt) củaMđối với lọc chiều được gọi đơn giản làiđêan tham số tốt(tương ứng,iđêanthamsốtáchbiệt)củaM.
Ví dụ 1.1.5.Cho vànhk[[X, Y, Z]] các chuỗi lũy thừa hình thức trên trườngk.
XétvànhR=k[[X, Y, Z]]/[(X,Y)∩(Z)] và gọix, y, zlần lượt là ảnh củaX, Y,
Dễkiểmtrađược{y−z,x}làhệthamsốcủaR.Hơnnữa,(x)∩(z)= ( 0 ) Dođó, {y−z,x}làhệthamsốtốtvàcũnglàhệthamsốtáchbiệtcủaR.
Lưu ý rằng, khái niệm lọc chiều, hệ tham số tách biệt do P Schenzel [31] đưara Hệ tham số tốt do N T Cường-Đ T Cường [6] đưa ra, nhằm mục đích nghiêncứulớpcácmôđunCohen-MacaulaydãyvàCohen-Macaulaysuyrộngdãy.
Chú ý 1.1.6.(i) Theo [6, Lemma 2.5] luôn tồn tại hệ tham số tốt Do đó hệ thamsố tách biệt là luôn tồn tại Hơn nữa, nếu dimM >0 tập các hệ tham số tốt và tậpcáchệthamsốtáchbiệtlàvôhạn.
(ii) Một hệ tham số tốt (tương ứng, hệ tham số tách biệt) củaMluôn là hệ tham sốtốt(tươngứng,hệthamsốtáchbiệt)đốivớimọilọccácmôđunconcủaM.
Bổ đề sau chỉ ra rằng lũy thừa đủ lớn các phần tử của một hệ tham số tách biệtđốivớimộtlọccácmôđunconcủaMlàmộthệthamsốtốtcủaMđốivớilọcđó.
Bổ đề 1.1.7 Cho F:M= M 0⊃M 1⊃ .⊃M s là một lọc các môđun con của Mvàx 1 , ,x d làhệthamsốtáchbiệtcủaMđốivớilọcF.Khiđó,vớimọisốnguyêndươngn 1 , ,n d đủlớntađều cóx n 1 , ,x n d làhệtham sốtốtcủaMđốivớilọcF.
Chứngminh.Thậtv ậ y , v ớ i m ọ i s ố n g u y ê n d ư ơ n gn 1 , ,n d ,đ ặ tn=m i n{n 1 , ,n d } tal u ô n c ó (x n di +1
, ,x n d )M∩ M i i ⊆(x d+1 , ,x d ) n M∩ M i vớimọii=1, ,s.Mặt kháctheoBổđềArtin-Rees,vớinđủlớnluôntồntạisốnguyêncsaocho
MôđunCohen-Macaulaydãy
Định nghĩa 1.2.1.([12]) Một lọcF: M=M 0⊃M 1⊃ ⊃M s môđun con củaMđược gọi làlọc Cohen-Macaulaynếuℓ(M s )1, giả sử(x 1 , , x i−1)M∩N=(x 1 , , x i−1)N.Lấya=a 1 x 1+ +a i−1 x i−1+a i x i là một phầntử của (x 1 , , x i )M∩N,a j ∈ M v ớ i m ọ i j=1, i.Do đó,a i ∈((x 1 , , x i−1)M+N: M x i )=(x 1 , , x i−1)M+Nvìx 1 , , x i là dãy chính quy củaM/N.Suy raa i =b 1 x 1+ +b i−1 x i−1+ct r o n gđ ób j ∈ Mv ớ i j=1, ,i−1v àc∈ N V ìv ậ y ,a−x i c∈(x 1 , ,x i−
Bổ đề 1.2.5 ChoM l à m ộ t m ô đ u n C o h e n - M a c a u l a y d ã y v à x = x 1 , , x d l à m ộ t hệthamsốcủaM.Khiđócácmệnhđềsaulàtươngđương: m s
M Theo Chú ý 1.2.2 thìDlà lọc Cohen-Macaulay củaM DoD i−1 /D i là cácmôđun
Cohen-Macaulay, kéo theox 1 , , x d i−1 là mộtD i−1 /D i - dãy chính quy vớimọii=0, ,t−1.TheoBổđề1.2.4vàchúýrằng(x d i +1 , ,x d )D i =0tacó
Bổ đề 1.2.6 ChoM là một môđun Cohen-Macaulay dãy,x = x 1 , , x d l à m ộ t h ệ tham số tách biệt củaMv à J=(x i 1 , , x i k )là iđêan của R sinh bởi một phần hệthamsốcủax ,với1≤i 1 < < i k ≤d.Khiđó,vớimọisốnguyêndươngntacó
Chứngminh.T aluôncóJ n D i ⊆ J n M∩D i Dođó,chỉcầnchứngminhbaohàmthứcngược lại.Trướchết,đặt
1 α i =n+k−1} vàkíhiệuJ α =(x α 1 , ,x α k ).Khiđó,theoBổđề1.2.5và[13,Theorem1.1]tacó
J α M.Gọislàsốnguyêndươnglớnnhấtthỏamãnx i D i ≠0.TheoBổ đề1.2.4vàchúýrằngx i j D i =0vớimọii j > d i ,
Mộtlầnnữa,ápdụng[13,Theorem1.1]chomôđunCohen-MacaulaydãyD i tacó
ChỉsốchínhquyCastelnuovo-Mumford
E n n∈Z làS-môđunphânbậchữuhạnsinh.ChỉsốchínhquyCastelnuovo-Mumfordc ủ a E gọingắngọnlàchỉsốchínhquyđượckýhiệuvàđịnhnghĩanhưsau reg(E)=sup{n+i|[H i ( E)] n ≠ 0,i≥0}, trongđóS + = LS n Chỉsốchínhquyhìnhhọcg-reg(E)đượcxácđịnhbởi n>0 g-reg(E)=sup{n+i|[H i ( E)] n ≠ 0,i≥1}.
Mệnh đề1.3.2 ChoSlàvànhNoetherphân bậcchuẩnvà0→F→E→L→0 làdãykhớpngắncácS-môđunphânbậchữuhạnsinh.Khiđó,
(ii) reg(F)≤ max{reg(E),reg(L)+1}.
(iii) reg(L)≤max{g-reg(F)−1,reg(E)}.
ChoS làm ộ t v à n h ph ân b ậ c No e th e r v ớ iS 0 l à v à n h đị a p h ư ơn g A rt in v àE l à S-môđun phân bậc hữu hạn sinh chiềuk Ta cóE n làS 0-môđun có độ dài hữu hạn.Khiđóhà m Hi lbe r tđ ượ cxá cđ ịn hb ởih E (n)=ℓ S 0 ( E n ).H ơn n ữa , khin đủl ớntồ n tạiđathứcp E (n)bậck−1vớihệsốhữutỷđượcgọilàđathứcHilbertsaochoℓ S 0 (E n )
=p E (n) Bổ đề sau đưa ra một mối liên hệ giữa hàm Hilbert và đa thứcHilbertthôngquađốiđồngđiềuđịaphươngphânbậc.
Lưuýrằng,côngthức(∗)trongBổđề1.3.3đượcgọilàcôngthứcSerre. Định nghĩa 1.3.4.ChoSlà một vành phân bậc Noether vàElàS-môđun phân bậchữu hạn sinh Phần tử thuần nhấtz∈Sđ ư ợ c g ọ i l à p h ầ n t ử E-lọc chính quynếu(0: E z) n =0vớinđủlớn.
Chúý1.3.5.Nếu(S 0 ,n 0)làvànhđịaphươngvớitrườngthặngdưS 0 /n0vôhạnkhiđó luôn tồn tại phần tửE-lọc chính quyz∈S 1(xem [34]) NếuS 0c ó t r ư ờ n g t h ặ n g dư hữu hạn ta xétS 0[X]n 0 S 0 [X]là địa phương hóa của vành đa thức S 0[X] tại iđêannguyêntốn0 S 0 [X].KhiđóS 0 = S 0 [X]n 0 S 0 [X]làvànhđịaphươngcótrườngthặng dưvôhạn.ĐặtS ′ =S⊗ S′vàE ′ =E⊗S′.Chúýrằng i (E) n ′
Dođóreg(E)=reg(E).Nóicáchkhác,khôngmấttínhtổngquáttaluôncóthểgiảsửS 0 làvành địaphươngcótrườngthặngdưvôhạn.
ChoIlàiđêancủaR.KíhiệuG I (R)= LI n /I n+1 làvànhphânbậcliênkếtcủa RđốivớiiđêanIvàG I (M) MđốivớiI.
Hạch của toàn cấu chính tắcG q(M)−→G q(M/H 0 (M)) là một môđun phân bậc cóđộdàihữuhạn.Dođó,reg(G q(M/H 0 (M)))≤reg(G q(M)) □
Choxlà một phần tử trong iđêan tham số q củaM Gọix ∗ là ảnh củaxtrongG q(R) Kết quả sau đây so sánh chỉ số chính quy của các vành phân bậc liên kếtG q(M),G q(M/xM)vàG q(M)/x ∗ G q(M)khix ∗ làmộtphầntửG q(M)-lọcchínhquy.
HệsốHilbert
0 h G(M)(i)=ℓ(M/I n M) được gọi làhàm Hilbert-SamuelcủaMđối với iđêanI P Samuel đã chỉ ra rằng tồntại một đa thứcP I (n) bậcd=dimMvới hệ số hữu tỉ, được gọi làđa thức Hilbert-
Những số nguyêne i (I;M) được gọi làhệ số HilbertcủaMđối với iđêanI Sốnguyên dương nhỏ nhấtn 0là để hàm Hilbert-SamuelH I (n) và đa thức Hilbert-SamuelP I (n) trùng nhau được gọi làchỉ số Hilbert(postulation number) củaMứngvớiiđêanIvàđượckýhiệulàρ I (M).
Bổđề1.4.2 C h oNl à mộtmôđunconcủaM v ới dimN= s 0 Dođóreg(G q(M))= 0vìM / H 0 (M)làmột m m môđunCohen-Macaulay.Giảsửt>1vàđặta=(x i |1≤i≤d 1).DoM/D 1làmột môđunCohen-MacaulayvàtiếptụcsửdụngBổđề1.2.6,tacó q n M∩D 1=q n D 1=a n D 1 m vớimọin≥0.Dẫnđếncódãykhớpngắn
Khiđótheoquynạpvàdãykhớptrêntacó reg(G q(M))≤max{reg(G a(D 1)),reg(G q(M/D 1))}
Sau đây, chúng tôi đưa ra một chặn đều cho chỉ số chính quy của môđun phânbậc liên kết của môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy Đây cũng là kết quả chínhcủachươngnày. Địnhlý2.2.6 ChoMlàmôđunCohen-MacaulaysuyrộngdãyvàFlàlọcCohen-
Macaulaysuy rộng củaM Khiđó, tồn tại hằng sốC F saocho reg(G q(M))≤C F vớimọiiđêanthamsốtáchbiệtqcủaM đốivớiF.
Chứng minh.Giả sử lọc có dạngF: M= M 0⊃M 1⊃ .⊃M t Ta chứng minhquynạptheod=dimMrằnghằngsốC F(chỉphụthuộcvàolọcF)trongĐịnhlý 2.2.6cóthểxácđịnhbởi
Chod=1vàq=(x)làiđêanthamsốtáchbiệtcủaM.ĐặtL=H 0 (M).Khiđó,ta códãykhớpngắn
0−→K=MK n −→G q(M)−→G q(M/L)−→0, n≥0 trongđ óK n = x n M∩ L/x n+1 M∩ L÷ x n L/x n+1 L.D oM/Ll àm ô đ u n C o h e n - MacaulayvàK n =0vớimọin≥ℓ(L),tacó reg(G q(M)≤reg(G q(M/L))+ℓ(L)=ℓ(L)
Chod≥2 NếuI(F, M)=0 thìMlà một môđun Cohen-Macaulay dãy Do đó,reg(G q(M))=0 theo Mệnh đề 2.2.5 Vậy không mất tính tổng quát, ta giả sử rằngI(F,M)≥1.Mặtkhác, reg(G q(M))≤reg(G q(M/L))+ℓ(L) theoBổđề1.3.6(ii).Thêmvàođó,
I(F,M)=I(F/L,M/L)+ℓ(L) theoBổđề2.1.12.Vìvậy,cóthểgiảthiếtthêmrằngH 0 (M)=0.Khiđó,tachỉcần chỉra g-reg(G q(M))≤C F vớimọiiđêanthamsốtáchbiệtqcủaM đ ố ivớilọcF.TheoBổđề2.2.3,luôntồntạih ệthamsốtáchbiệtx 1 , ,x d củaMđốivớilọcFsaochoq=(x 1 , ,x d ).Hơnnữa,x=x 1có phần tử khởi đầux ∗ là một phần tử lọc chính quy củaG q(M). TheoHệquả2.2.4,vớimọin≥reg(G q(M/xM))+1tacó g-reg(G q(M))≤n+ n
≤n+(n+1) d−2 I(F,M)+(n+2) d−2 I(F,M), trongđóđẳngthứccuốicóthểdễdàngkiểmtra.TheoHệquả2.1.11tacóM/xM làmộtmôđunCohen-MacaulaysuyrộngdãyvớilọcCohen-Macaulaysuyrộng
F/xM: M / x M⊃(xM+M 1)/xM⊃ ⊃(xM+M s−1)/xM⊃0, trongđós=t−1nếud t−1=1vàs=ttrongcáctrườnghợpcònlại.TheoquynạpvàI(F/ xM,M/xM)]≤I(F,M),tacó reg(G q(M/xM))≤ [(3I(F/xM,M/xM)] (d−1)! −2I(F/xM,M/xM)
ChoMlàmộtmôđunCohen-Macaulaysuyrộng.KhiđómọihệthamsốcủaMđều là hệ tham số tách biệt đối với lọc Cohen-Macaulay suy rộngF:M⊃0.
Hệquả2.2.8 V ớ iM v àFn h ưtrongĐịnhlý2.2.6.ĐặtG i (q,M) M i )/(q n+1 M∩M i ).Khiđó
0−→G i (q,M)−→G q(M)−→G q(M/M i )−→0 tacó reg(G i (q,M))≤ max{reg(G q(M)),reg(G q(M/M i ))+1}≤C F+ 1.
ChoI= ( x 1 , ,x s )l à m ộ t i đ ê a n c ủ aR.Đ ạ i s ố R e e sR[It]= LI n t n c ủ a I l à mộtv à n h t h ư ơ n g c ủ a v à n h đ a t h ứ cs b i ế nt r ê nR.K h i đ ó , t ồ n t ạ i m ộ t t o à n c ấ u n≥0 φ: R[T 1 , ,T s ]−→R[It] xác định bởiT i › →x i t.Hạt nhânJcủaφlà một iđêanthuầnnhấttrongR[T 1 , ,T s ],gọif 1 , ,f m làhệsinhtốitiểuthuầnnhấtcủaJ.Khiđókiểuqu anhệcủaIđượcđịnhnghĩavàkýhiệunhưsau reltype(I)=max{degf 1 , ,degf m }.
TheoN.V.Trung[34,Proposition4.1]tacó reltype(I)≤ reg(R[It])+1.
Bêncạnhđó, reg(R[It])=reg(G I (R)) theoA.Ooishi[27,Lemma4.8].Dođó,reltype(I)≤ reg(G I (R))
Hệ quả 2.2.9 C h o R l à m ộ t v à n h C o h e n - M a c a u l a y s u y r ộ n g d ã y c h i ề u dv à F: R=I 0⊃I 1⊃ .⊃I t là một lọc suy rộng của R Khi đó tồn tại hằng số C sao choreltype(x 1 , ,x d )≤Cvớimọihệ thamsố táchbiệtx 1 , ,x d củaR đốivới lọcF.
Lưu ý, kết quả chính của H J Wang trong [41] về chặn đều kiểu quan hệ choiđêan tham số của một vành Cohen-Macaulay suy rộng được xem như một trườnghợpcủaHệquả2.2.9.
Chú ý 2.2.10.Lưu ý rằng trong trường hợp tổng quát, tập các hệ tham số thực sựlớnhơntậpcáchệthamsốtáchbiệt,ngaycảtrongcácmôđunCohen-Macaulaysuyrộng dãy Vì vậy, tồn tại các vành Cohen-Macaulay suy rộng dãy mà chỉ số chínhquykhôngbịchặnvớimọihệthamsốnhưvídụsauđây:Xétvànhđịaphương
R=k[[X, Y, Z, W]]/(W 2 ,WZ)được đưa ra trong [3, Example 2.1 ], vớiklà mộttrường.Khiđódễdàngkiểmtradãylọccáciđêan
R=R 0⊃ (W)/(W 2 ,Z)∩(W)=R 1⊃ 0 là lọc chiều củaR, hơn thếR/R 1÷k[[X, Y, Z]] là Cohen-Macaulay vàR 1là mộtR- môđunCohen-Macaulaysuyrộngchiều2.VìvậyRlàmộtvànhCohen-Macaulaysuy rộng dãy Ký hiệux, y, z, wlà các ảnh củaX,Y, Z, WtrongRvà đặta 1,n =x n−1 y+z n ,a 2,n = x n ,a 3,n =y n Trong [3, Example 2.1], họ đã chỉ ra rằngQ n =(a 1,n , a 2,n , a 3,n ) có kiểu đa thức tổi thiểu làn, nói cách khác có chỉ số chính quy tốithiểu làn−1 Lưu ý rằng, với mọin≥2 iđêansQ n không là iđêan tham số táchbiệtđối v ớib ấtkỳ lọ cCoh en-
Ma ca ulay s uyrộ ng.T hậ tvậy g iả sửu 1 ,u 2 ,u 3l à mộ t hệthamsốtáchbiệtcủaRđốivớ ilọcCohen-MacaulaysuyrộngF:M= M 0⊃
3 u 1 M=0 Doℓ(R 1 /M 1)1.TheoHệquả3.1.7,tacó adeg (q;M/H 0 (M))eg (q;M) i m i vớim ọ ii=1 , ,d.H ơ n t h ế , d oH 0 (M)∩q n+1 M= 0 v ớ in≫ 0( t h e o B ổ đ ề
Lưuý r ằ n g ,e i (q;M)=e i (q;M/H 0 (M))v ớ i m ọ ii=1 , ,dv à(−1) d e d (q;M)(−1) d e d (q;M/H 0 (M))+ℓ(H 0 (M)) theoBổđề1.4.2 Dođó, tồntạisố nguyênn 1sao choH ad m
TheoB ổ đ ề 3 1 1 1 ( i i ) , t ồ n t ạ ix 1 , ,x d l àh ệ t h a m s ố t á c h b i ệ t c ủ aM đ ố iv ớ i l ọ c Fvàq=(x 1 , ,x d )saochox=x 1làphầntửbềmặtcủaM đốivớiiđêanq.Từdãykhớp suyra
TheoBổđề3.1.11(i),tacóF/xM∈F(M/xM).Dodó,D/ xM∈F(M)theoBổđề3.1.4(ii).Vậy,theoBổđề3.1.8tacó ad q,M/xM (n)=ℓ(M/(x,q n+1 )M)− X d−
=H q,M ad (n)−H ad (n−1)+adeg 1 (q;M)−adeg 0 (q,M/xM)
Doxlà phần tử bề mặt củaMđối với iđêan q vàH 0 (M)=0, nênxlà phần tử chínhquy củaM Theo Bổ đề 3.2.2, tồn tại số nguyênn 2=max{n 1 ,reg(G q(M)) +1}saochoℓ((q n+1 M:x)/q n M)=0 vớimọin≥n 2 Do đó,
= q,M/xM ad (n)+adeg 0 (q,M/xM)−adeg 1 (q;M)=H ad (n)−H ad (n−1) vớimọin≥n 2.Mặtkhác,x 2 , ,x d làhệthamsốtáchbiệtcủaM/xMđốivớilọc
F/xM: M / x M⊃(M 1+xM)/xM⊃ ⊃(M s−1+xM)/xM⊃0,trongđós=t−1 nếud t−1=1vàs=ttrongcáctrườnghợpcònlại.TheoquynạpH ad (n)nhận giátrịkhôngâmvàtăngvớimọin≥ n 3 Lưuý,adeg0(q,M/xM)−adeg1(q;M)≥ 0 theoBổđề3.1.8.Dođó,h(n)làhàmtăngvànhậngiátrịkhôngâmvớinđủlớn.Chúngtax éthaitrườnghợpsauđây.
Trườnghợp1:Nếu h(n)>0vớimọin≥n 4thìH ad (n)làhàmtăngchặt.Vìthế tồntạin 5≥n 4saochoH ad ( n)khôngâmvớimọin≥n 5.
Trườnghợp2:Nếu h(n)=0vớimọin≥n 3thìH ad (n)=0vàadeg 0 (q,M/xM) adeg 1 (q;M).Thêmvàođó,tồntạisốnguyênn 6≥n 3đểH ad (n)là đa thứcvới mọin≥n 6vànócódạngsau
(−1) i e i (q;M)=(−1) i e i (q;M/xM) eg d−1−i (q;M/xM) eg d−i (q;M), vớimọii=0, ,d−1.DẫnđếnMlàmộtmôđunCohen-MacaulaydãytheoBổđề
Dođó,theoBổđề3.2.1tacóH ad (n)= 0vớimọin≥reg(G q(M)).Chọnn 0 max{n 2 ,n 5 ,n 6},tacóđiềuphảichứngminh □
ChoD:M=D 0⊃D 1⊃ ⊃ D t = H 0 (M)l à l ọ c c h i ề u c ủ aM.L ư u ý , mọi iđêan tham số củaMđều là iđêan tham số tách biệt củaM/D 1đối với lọcM/
Hệ quả 3.2.4 e 1(q;M)≤−adeg d−1 (q;M)vớimọi hệtham sốqcủaM.
Dướiđây,chúngtôichỉravídụtrongđóhàmH ad ( n)nhậngiátrịâmvớimọi n≥0ngaycảkhiMlàmộtmôđunCohen-Macaulaydãy,nếuqkhônglàiđêantách q, M
M= k[[X,Y]]⊕(k[[X,Y]]/(Y 2 )). ĐặtD 1=k[[X, Y]]/(Y 2 ) Chúng ta thấyMlà một môđun Cohen-Macaulay dãychiều 2 vàM⊃D 1⊃0 là lọc chiều của nó Lấy q=(X, Y) Dễ thấy, q là một iđêanthamsố củaM. DoM/D 1làmột môđunCohen-Macaulay, theo Bổđề 3.1.6 tacó q, ad
Hơnnữa,e 0(q;D 1)= 2vàℓ(D 1 /q n+1 D 1)= 2n+1.Dođó,H ad (n)=−1vớimọi n≥0 Mặtkhác,nếuq= (u,v)vớiu,vlàhệthamsốtáchbiệtcủalọcF: M⊃
c dY v vàac−bdkhả nghịch Giả sửuM 1=0 Vìℓ(D 1 /M 1)r.
M:x)/q M→M/qM−→M/q M→M/(x,q )M→0 vớimọik≥0.Chúýrằngℓ((q k+1 M: x)/ q k M)= 0vớimọik> r theoBổđề3.2.2vàg(n)≥0vớimọisốnguyêndươngn.Tacó
(n)−H ad (n−1)=g(n)≥0vớimọin>r.Dễthấy,g(n)làđathứccóbậc caonhấtlàd−2vớimọin>r.Vìvậycónhiềunhấtd−2giátrịcủanthỏamãn g(n)=0.ChonênH ad (n)≥H ad (n−1)vớimọin>rvàcónhiềunhấtd−2giá trị củansao choH ad (n)=H ad (n−1).TheoBổđề2.1.14,
I(F,M)vớimọin>rvàcónhiềunhấtd−2giátrịcủa q,M (n)≥− d−1 nsaochoH ad (n)=H ad ( n−1).ĐiềuđócónghĩalàH ad (n)nhậngiátrịkhông q,M q,M q,M âmvớimọin≥r+ r+d −1d
H raH q, M Địnhlýsaulàkếtquảchínhcủatiếtnày. Định lý 3.3.6 ChoMlà một môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy vàFlà mộtlọcCohen-MacaulaysuyrộngcủaM.Khiđó,tồntạihằngsốNchỉphụthuộcvào
Chứngminh.T h e oĐịnhlý3.3.5,tacóH ad ( n)≥ 0vớimọin≥ n 0(r),trongđó r=r eg(G q (M))vàn 0(r)=r + r +d−1 d−1 q,M
I(F,M)+d.Mặtkhác,theoĐịnhlý2.2.6, tồntạihằngsốC=C(F)(độclậpvớiq)saochor“C.Dođó,n 0(r)“n 0(C).Cuối cùng,bằngcáchchọnN=n 0(C),tacóđiềucầnchứngminh □ q, M q, M q, M
Chương4đượcchialàm3tiết.Tiếtđầutiên,chúngtôiđưarakháiniệmđathức hiệuchỉnhHilbert-SamuelP ad ( n)vàxéttậpcácđathứchiệuchỉnhPF(M),làtập tất cả các đa thức hiệu chỉnh Hilbert-Samuel, trong đó q chạy trên tập các iđêanthamsốtáchbiệtcủaMđốivớimộtlọcF.Tiếptheo,chúngtôiđưaramộtvàitínhchấtcơb ảncủađathứchiệuchỉnhHilbert-Samuelvàphátbiểulạicáckếtquảđã biết,cầnthiếtcho2tiếtsau,thôngquađathứcnày.Tiết2và3dànhriêngđểchứngminhkếtquảchín hquantrọngnhấtsauđâycủaluậnán. Định lý chính Giả sử R là ảnh đồng cấu của một vành Cohen-Macaulay địaphương.Khiđó,MlàmôđunCohen-
Cụthể,tiết2vớiMlàmộtmôđunCohen-Macaulaysuyrộngdãychúngtôiđưa ramộtchặnđềucáchệsốcủađathứchiệuchỉnhHilbert-SamuelP ad ( n)bằngcách dựavàokếtquảchặnđềuchỉsốchínhquyđãchứngminhởChương2vàtínhkhông âmcủahàmhiệuchỉnhHilbert-SamuelH ad ( n)đãcóởChương3.Tiếtcuốidành riêngđểchứngminhđiềukiệnđủcủaĐịnhlýchính,vớiviệcxâydựngmộttậphợpcác hệ tham số từ một hệ tham số cho trước Chương 4 được viết dựa trên bài báo[11] q, M
SamuelH ad ( n)làmộtđathứcvớin≥reg(G q(M)).Khiđó,đathứcnàyđượcgọi làđathứchiệuchỉnhHilbert-Samuel,đượckýhiệuvàxácđịnhnhưsau. ad q,
Mệnhđề4.1.1 C h oFl àmộtlọccủaF(M)vàqlàmộtiđêanthamsốtáchbiệtcủaMđ ốivớilọcF.Khiđó deg(P a d (n))=max{−1,d i−1−1|D i−1 /D i khônglàmôđunCohen-Macaulay vớii=1, ,t}, trongđóD:M= D 0⊃D 1⊃ ⊃D t = H 0 (M)làlọcchiềucủaMvàd i =dimD i vớimọii=0, ,t.
Chứngminh.N ế u MlàmộtmôđunCohen-MacaulaydãythìđathứcP ad ( n)=0 theoMệnhđề3.3.2.Dođó,deg(P ad ( n))=−1.GiảsửMkhônglàmôđunCohen-
Macaulaydãy.Đặt j=min{i−1|D i−1 /D i khônglàmôđunCohen-Macaulay,i=1, ,t}.
TacóM/D j làmộtmôđunCohen-MacaulaydãyvàM/D j+1khônglàmôđunCohen-Macaulay dãy Gọix 1 , , x d là hệtham số tách biệt củaM đ ố i v ớ i l ọ c Fs a o c h o q=(x 1 , , x d ) Ký hiệu q d j = (x 1 , , x d j ) Lưu ý,M/D j là một môđun Cohen-
Macaulaydãy,chonêntheoBổđề3.3.1vàMệnhđề3.3.2vớinđủlớntacó ad q, M
Mặtkhác, hệ số bậc cao nhất củaP ad q d j ,D j (n)là (−1)e 1(q d j ;D j )−adeg d− 1 (q d j ;D j )=(−1)e 1(q;D j /D j+1).
LưuýD j /D j+1k h ô n g làmôđunCohen-Macaulay.Dođó,(−1)e 1(q;D j /D j+1)≠ 0 theo[14,Theorem2.1].Vậy,deg(P ad (n))(P ad dj j (n))=d j −1 □
Kýhiệu4.1.2.C h oFl àmộtlọccủaM.Khiđó,tậptấtcảcácđathứchiệuchỉnh
Hilbert-SamuelP ad ( n),trongđóqchạytoànbộiđêanthamsốtáchbiệtcủaMđối vớilọcF,đượckýhiệulàPF(M).
Chúý4.1.3.( i)ChoDlàlọcchiềucủaM.Khiđó,PD(M)⊆PF(M)vớimọilọc
(ii) TậpcácđathứcPF(M)hữuhạnkhi vàchỉkhicáchệsốcủađa thứcP ad ( n) bị chặnđềuvớimọiiđêanthamsốtáchbiệtqcủaM đốivớilọcF.
Hệ quả 4.1.4 Giả sử R là ảnh đồng cấu của một vành Cohen-Macaulay địaphương ChoFlà một lọc củaF(M) Khi đó, M là môđun Cohen-Macaulay dãykhivàchỉkhiP F(M)={0}.
(x 1 , ,x i−1)M:x i x k =(x 1 , ,x i−1)M:x k vớim ọ ii=1, ,sv à k≥i.D ã yx đ ư ợ cg ọ i l à d d - dãyt r ê n M n ế uv ớ i m ọ i s ố nguyêndươngn 1 , ,n s vàmọii=1, ,s−1x n 1 , ,x n s làd- dãytrênM,x n 1 , ,x n i
1 s 1 i làmộtd-dãytrênM /(x n i+1 , ,x n s )M.Lưuý,kháiniệmd-dãyđượcgiớithiệubởiC. i+1 s
Huneke [18] và đã trở thành công cụ hữu dụng trong nhiều chủ đề của đại số giaohoán.Kháiniệmdd-dãyđượcgiớithiệubởiN.T.Cường- Đ.T.Cường(xem[8])vàcónhiềuứngdụngtrongviệcnghiêncứumôđunCohen-
TheoN.T.Cường-Đ.T.Cường[7,Theorem6.2],nếuiđêanthamsốqsinhbởimộtdd- dãythìcáchệsốcủađathứcHilbert-
Bổ đề 4.1.5 Cho M là một môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy với lọc Cohen-
Macaulay suy rộngF:M= M 0⊃M 1⊃ .⊃M t vàq=(x 1 , , x d )là iđêan thamsốcủaM.Giả sửx 1 , ,x d làdd-dãytrênM.Khiđó, trongđóa d =0,
Ví dụ dưới đây chỉ ra tập các đa thức hiệuchỉnhPF(M)có thể là vô hạn.
M=k[[X,Y,Z]]⊕(k[[X,Y,Z]]/(Z 2 )). ĐặtD 1=k[[X, Y, Z]]/(Z 2 ), ta có dimM=3,dimD 1=2 và lọc chiều củaMcódạngM⊃D 1⊃0 Dễ dàng kiểm traM/D 1vàD 1là các môđun Cohen- Macaulay.Do đó,Mlà môđun Cohen-Macaulay dãy Vớimlà số nguyên dương, dễ thấy q=(X m ,Y m ,Z) là iđêan tham số củaM DoM/D 1là môđun Cohen-Macaulay cho nêntheoBổđề3.1.6tacó ad q,
Thực tếe 0(q;D 1)=2m 2 vàℓ(D 1 /q n+1 D 1)=m 2 (n+1) 2 Cho nênP ad (n)=−m 2 (n+ 1).Thêmvàođó,0=e 1(q;M/D 1)= (−1)e 1(q;M)−e 0(q;D 1)theo[14,Theorem
1 1 với mọinđủ lớn Hơn nữa, hệ sốe 2(q;M)=−m 2 Lưu ý, q không là hệ tham số táchbiệt củaMđối với bất kỳ lọc nào trongF(M) (chứng minh tương như trong Ví dụ3.2.5) Tuy nhiên, q là iđêan tham số tách biệt củaMđối với lọcF:M=M 0⊃0.Dođó, tập các đathứcPF(M) là vô hạn.
SamueltrongmôđunCohen-Macaulaysuyrộngdãy Đầutiên,chúngtôiđưaramộtchặntrênchohàmH ad ( n)trongbổđềsau.
Bổ đề 4.2.1 Cho M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy với lọc Cohen-
Macaulay suy rộngF:M= M 0⊃M 1⊃ ⊃M t vàqlà iđêan tham số táchbiệtcủaMđốivớilọcF.Khiđó
Chứng minh.Chúng ta chứng minh quy nạp theot Nếut=1 thìMlà một môđunCohen-MacaulaysuyrộngvàF:M=M 0⊃M 1.Theo[25,Lemma1.1],tacó
I(M/M 1)+ℓ(M 1), vớimọin≥0.Vì vậy,H ad ( n)≤ n +d−1 I(M/M )+ℓ(M)−ℓ(H 0 (M))theoBổđề q,M
Chứngminh.L ư uý,vớinđủlớnthìH ad (n)=P ad (n)làmộtđathức.TheoBổđề 4.2.1,tacó ad q, M (n)≤ n+d−1! d−1 ! n+d−1 d−1
Dođó,(−1)e 1(q;M)−adeg d−1 (q;M)≤I(M/M 1).MặtkháctheoĐịnhlý3.3.6hàm ad q,
Nhắc lại, choMlà một môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy với lọc Cohen- MacaulaysuyrộngF.Khiđó,tạiĐịnhlý2.2.6trongChương2củaluậnán,chúngtôi đãchỉratồntạihằngsốC Fsaochochỉsốchínhquy reg(G q(M))≤C F= (3I(F,M)) d! −2I(F,M) vớimọiiđêanthamsốtáchbiệtqcủaM đốivớilọcF.Sauđây,chúngtôisẽchỉra hệsốđathứcP ad (n) là bịchặn đềuthông quahằng sốC=C F. Định lý 4.2.3 Cho M là một môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy chiều d≥2,Flà một lọc Cohen-Macaulay suy rộng của M vàqlà hệ tham số tách biệt của MđốivớilọcF.Khiđó,
(1)làhiểnnhiêntheoHệquả4.2.2.Chúngtasẽchứngminhquynạptheod.Đặtr=r eg(G q(M)).Nếud=2thìtheoBổđề1.4.1,tacó n 2!
Giảsửd>2 vàcácphát biểuđúng chod−1.TheoBổ đề1.4.2,
(−1) i e i (q;M)= (−1) i e i (q;M/H 0 (M)) vớimọii=0, ,d−1và(−1) d e d (q;M)=(−1) d e d (q;M/H 0 (M))+ℓ(H 0 (M)).Hơn nữa,do m m
(theo Bổ đề 2.1.12), dẫn đếnC F≥C F/H 0 (M) Vì vậy, chúng ta có thể giả thiết thêmH 0 (M)=0 Khi đó theo Bổ đề 3.3.4, luôn tồn tại hệ tham số tách biệtx=x 1 , , x d củaMđối với lọcFsao cho q=(x) vàx=x 1là phần tử bề mặt củaMđối với q.Theo
Hệ quả 2.1.11,M/xMlà một môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy với lọcCohen- Macaulaysuyrộng
F/xM: M / x M⊃(M 1+xM)/xM⊃ ⊃(M s−1+xM)/xM⊃0, trongđós= t−1nếud t−1= 1vàs= ttrongcáctrườnghợpcònlại.ĐặtC x =
DoH 0 (M)=0nênx làmộtphầntửchínhquycủaM t h e oChúý1.4.4(iii).Dođó,theoB ổđề1.4.5tacó e i (q;M)=e i (q;M/xM) (a) vớimọii=0, ,d−1.Mặtkhác,D/xM∈F(M/ xM)theoBổđề3.1.4(ii).Hơnnữa,theoBổđề3.1.8, adeg d−i (q;M)eg d−1−i (q;M/xM) (b) vớimọii=0, ,d−2.TiếptụcsửdụngHệquả2.1.11,tacó
≤2 i−1 ( C+1) d− 1 I(F,M)+d+C+2+I(F,M) i −1 I(F,M) với mọii=2, ,d−2.Chúng taxétd t−1trong 2trườnghợpsau đây.
F:M⊃M 1⊃ ⊃M t−2⊃0 là một lọc Cohen-Macaulay suy rộng củaMvà q là iđêan tham số tách biệtMđốivới lọcF.TheoBổđề1.4.2vàBổđề3.1.6thì
(−1) d−1 e d−1(q,M)−adeg(q,M)=(−1) d−1 e d−1(q,M). ÁpdụngĐịnhlý2.2.6chomôđunM,tacó reg(G q(M))≤C=(3I(F,M)) d! −2I(F,M).
Khiđó,doI(F;M)=I(F, M)+I(M t−2 /M t−1)+ℓ(M t )c h o n ê nC≤ C C h ọ ny 1 , , y d l à h ệ t h a m s ố t á c h b i ệ t c ủ a M đ ố i v ớ i l ọ c Fs a o c h o q = (y 1 , , y d ) vày=y 1làmộtphầntửbềmặtcủaMđốivớiq.Vậy,theoquynạptacó
Phátbiểu(3)đượcchứngminh □ Địnhlý4.2.4 ChoMlàmộtmôđunCohen-MacaulaysuyrộngdãyvàFlàmộtlọcCohen-
Macaulaydãy.Dođó,tậpđathứchiệuchỉnhPF(M)={0}theoHệquả4.1.4.Giảsửd
≥2.Lưuý,đathứchiệu chỉnhHilbert-SamuelP ad
Ký hiệu 4.3.1.Cho x=x 1 , ,x d là hệ tham số táchbiệtcủaM.Kýhiệu
S(x;M)vớimọisốnguyêndươngk.Dođó,nếuS(x;M)≠∅thìS(x;M)làtậpcó vôhạnphầntử.
Bổđề4 3 2 G i ảs ửd=d i mM≥2và x = x 1 , ,x d l à h ệtham số táchb iệtcủa MsaochoS(x;M)≠∅.Lấy{y 1 , ,y d }∈S(x;M).Khiđó,nhữngphátbiểusaulà đúng.
((y 1 , ,y i−1)M:(y i , ,y d ) n ), vớimọii=1, ,d.Hơnnữa,y 1 , ,y d l àdãylọcchínhquycủaM.Vìvậy,y 1 , ,y d làmộtd-dãytheo[35,Theorem1.1(vii)].
(ii) Tachỉcầnchứngminhy 1 ,z 2 , ,z d làmộthệthamsốtáchbiệtcủaM.Thậtvậy,do{y 1 , ,y d }
∈S(x;M)nêny 1 , ,y d l àhệthamsốtáchbiệtcủaM.Lưuý,vớimọid−1 sốnguyên dươngn 2 , ,n d luôn cóy 1 ,y n 2 ,y n d làhệtham sốtách biệtcủaM.
(iii) TheoB ổ đ ề 1 1 7 ,S(x;M)c h ứ a h ệ t h a m s ố t ố t G i ả s ử{y 1 , ,y d }∈ S(x;M) vày 1 , ,y d làmộthệthamsốtốt.Khiđó,theo[7,Theorem3.8,Corollary3.9]ta cóy n 1 , ,y n d l à m ộ t d d - d ã y t r ê nM v ớ i n 1 , ,n d đ ủl ớ n H ơ n n ữ a , d o{y 1 , ,y d }∈
ChoF:M= M 0⊃M 1⊃ ⊃ M t l àm ộ t l ọ c t r o n gF(M)v àx 1 , , x d l àhệ tham số tách biệt củaMđối với lọcF Vớid j ≤k< d j−1, đặtM i =(M i +(x 1 , ,x k )M)/ (x 1 , ,x k )Mvớimọii=0, ,t.Khiđó,kýhiệu
F/(x 1 , ,x k )M: M= M 0⊃M 1⊃ ⊃M s =0 là lọc củaM, trong đós=jnếuk=d j vàs=j+1 trong các trường hợp còn lại.Hơn nữa,x k+1 , , x d là một hệ tham số tách biệt củaMđối với lọcF/(x 1 , , x k )M.Bổđềsauchỉratồntạimộthệthamsốx 1 , ,x d saochoF/(x 1 , ,x k )M∈F(M).
Chứng minh.GọiD:M= D 0⊃D 1⊃ ⊃D t = H 0 (M) là lọc chiều củaM Khiđó, doRlà ảnh đồng cấu của một vành Cohen-Macaulay địa phương nên tập cáciđêannguyêntốA(M)trongChúý3.1.10làhữuhạn.TheoĐịnhlýtránhnguyên tố,luônchọnđượcx 1∈ A n n R (D)\ S p.H ơ n n ữ a ,D/x 1 M∈ F (M/x 1 M) p∈A(M) theoB ổ đ ề 3 1 1 1 (i).G i ả s ử đ ã c h ọ n đ ư ợ cx 1 , ,x i s a oc h oD/(x 1 , ,x i )M∈ F(M/(x 1 , ,x i )M).Kýhi ệukl àsố ng uy ên thỏamã nd k 1 Cố định số nguyên dươngn 1 Khi đó,D/x n 1 M∈ F (M/x n 1 M)theochứngminhtrên.Hơnnữa,x 2 , ,x d l àhệtham
Bổđề4.3.4 GiảsửRlàảnhđồngcấucủamộtvànhCohen-Macaulayđịaphươngvà d=dimM≥2 ChoF: M= M 0⊃M 1⊃ ⊃M t là một lọc củaF(M) Khiđó,H 1 (M/
Chứngminh.T r ư ớ chết,tacóAss R (M i /M i+1)⊆Assh R (M i /M i+1)∪{m}theoBổđề 3.1.3.Vìvậy,theo[15,Lemm3.1],cácmôđunH 1 (M i /
M i+1)cóđộdàihữuhạnvớimọii=0, , t−1 vàd i ≥2 Ta sẽ chứng minh quy nạp theoi. Nếui=0 t h ì t ađãcóH 1 (M/M 1)là môđuncó độdàihữu hạn.Giảsửi>0, từdãykhớp ngắn
Nếud i ≥2 thìd i−1 > d i ≥2 Theo giả thiết quy nạp, môđunH 1 (M/M i ) có độ dàihữuhạn.Dođó,H 1 (M/M i+1)cóđộdàihữuhạn □
Cũng giống như môđun Cohen-Macaulay suy rộng, N T Cường -Đ T. Cường[7,Proposition3.5]đưarađặctrưngcủamôđunCohen-
Bổ đề 4.3.5 M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy khi và chỉ khi tồn tại lọccácmôđunconF: M= M 0⊃M 1⊃ ⊃ M s s a o choℓ(M s ) 2.TheoBổ m m đề4.3.2(i),tacóy,zlàmộtd-dãy.Dođó,ylàphầntửbềmặtcủaM đ ố ivớiiđêan (y,z)(theo[35,Theorem1.1(v)]).TheoBổđề1.4.5vàBổđề3.1.8, e i (y,z;M)=e i (z;M/yM), adeg d−i (y,z;M)eg d−i−1 (z;M/yM) với mọii=0, , d−2 Suy ra∧ y 2 , ,y d (M/yM)⊆ ∧ x (M). ĐặtM=M/yMvàD i =(D i +yM)/yMvới mọii=0, , s−1, trong đós=tnếud t−1 >1 vàs=t−1trongcáctrườnghợpcònlại.TheoBổđề4.3.3,tacóD/yM:M=D 0⊃ ⊃D s =0l à ′ ′ ′ mộtlọccủaF(M/yM).GọiD: M= D 0 ⊃ ⊃D s l àlọcchiềucủaM.Khiđó,
′ ′ theogiả thiết quy nạp, với mọij=1, ,dimD i −1 và dimD i = d i −1≥2, ta có
M/D i+1÷M/(yM+D i+1) tacó m ℓ H j (M/(yM+D i+1))=0 vớimọid i ≥3vàj=1, ,d i −2.TheoBổđề4.3.3thìylàmộtphầntửlọcchínhquy củaMnên nó làM/D i+1-chính quy với mọii=0, ,t−1.Từ dãy khớp ngắn
ℓ j n )=0 m vớimọij=2, d i −1 vàd i ≥3 Tuy nhiên, donvàℓlà độc lập cho nên m ℓ H j (M/D i+1)= 0 với mọij=2, d i −1 vàd i ≥3 Mặtkhác, theo Bổ đề 4.3.4H 1 (M/D i+1) là cácmôđuncóđộdàihữuhạnvớimọiisaochod i ≥2.DođóMlàmộtmôđunCohen-
MacaulaysuyrộngdãytheoBổđề4.3.5.DoS(x;M)luônchứamộtdd- dãytrênM(theoBổđề4.3.2(iii)),nêngiảsửqlàiđêanthamsốcủaMsinhbởimộtdd- dãytrongS(x;M).Khi đó, theoBổ đề 4.1.5ta có
Vìvậyℓ(H 1 (M/D i+1))≤ℓvớimọiisaochod i ≥2.Địnhlýđượcchứngminh □ ĐịnhlýsauđưaramộtđặctrưngcủamôđunCohen-Macaulaysuyrộngdãy. Địnhl ý 4 3 7 G i ảs ử R l à ả n h đ ồ n g c ấ u c ủ a m ộ t v à n h C o h e n -
(iii) Tồn tạiF∈ F(M), tập các đa thứcPF(M)là hữu hạn.
(iv) ⇒(i) Lấyx=x 1 , , x d như Bổ đề 4.3.3 Khi đó, do tậpPD(M) hữu hạn nêntập∧ x (M) cũng hữu hạn Vì vậy, theo Định lý 4.3.6 và Bổ đề 4.3.5 ta cóMlà mộtmôđunCohen-Macaulaysuyrộngdãy □
(i) ⇒(iv) của Định lý 4.3.7 thì đa thức hiệu chỉnh Hilbert-SamuelPD(M) là hữuhạn.Ngượclại,vớiPD(M)hữuhạnthìMlàmôđunCohen-
Kếtquảchínhquantrọngnhấtcủaluậnánlàchứngminhđịnhlýsau. Định lý chính Giả sử R là ảnh đồng cấu của một vành Cohen-Macaulay địaphương Khi đó,Ml à m ô đ u n C o h e n - M a c a u l a y s u y r ộ n g d ã y k h i v à c h ỉ k h i t ậ p cácđa thứcPD(M)là hữu hạn. Đểchứngminhđượckếtquảtrênchúngtôicầnthựchiệnhaibướcsau.
1 VớiMlà một môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy vàFlà một lọc Cohen- MacaulaysuyrộngcủaM,đưaramộtchặnđềuchỉsốchínhquyCastelnuovo-
2 VớiqlàiđêanthamsốtáchbiệtcủaMthìluôntồntạisốn 0saochohàmhiệu chỉnhHilbert-SamuelH ad ( n)≥0vớimọin≥n 0.Hơnnữa,nếuMlàmôđun
1 Tìm một chặn chặt cho chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford ở Định lý2.2.6, trước hết là đối với các môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy chiềunhỏ.
2 TìmcácchặnchặtchohệsốcủađathứchiệuchỉnhHilbert-SamuelP ad (n) khiMlàmôđunCohen-Macaulaysuyrộngdãy.
1 N T Cuong, N T Long and H L Truong (2015), "Uniform bounds in Se- quentially generalized Cohen - Macaulay Modules", Vietnam J. Math.43,343-356.
2 N T Long (2015), "On adjusted Hilbert-Samuel function", Acta Math Viet- namica.40,463-477.
3 N T Cuong, N T Long and H L Truong, "Hilbert coefficients in sequentiallygeneralizedCohen-Macaulaymodule",preprint,19pp.
[1] Đ.T Cường,dd-dãy, đặc trưng Euler-Poincaré và ứng dụng vào nghiên cứucấu trúc một số lớp mở rộng của môđun Cohen-Macaulay, Luận án Tiến sĩ,ĐạihọcQuốcgiaHàNội,2007.
[3] I M Aberbach, L Ghezzi and Huy Tai Ha,Homology multipliers and therelationtypeofparameterideals,PacificJournalofMathematics.226(2006),1-40.
[4] D Bayer and D Mumford,What can be computed on algebraic geometry?,Computational Algebraic Geometry and Commutative algebra,
Proceedings.Cortona (1991)(D Eisenbud and L Robbiano Eds), Cambridge UniversityPress(1993),1-48.
[5] M Brodmann and R Y Sharp,Local cohomology an algebraic introductionwithgeometricapplications,CambridgeUniversityPress(1998).
[6] N T Cuong and D T Cuong,On sequentially Cohen-Macaulay modules,KodaiMath.J.30(2007)409-428.
[7] N T Cuong and D T Cuong,On the structure of sequentially generalizedCohen-Macaulaymodules,J.Algebra317(2007),714-742.
[8] N T Cuong and D T Cuong,dd-sequences and partial Euler- Poincaré char- acteristicsofKoszulcomplex,J.AlgebraAppl.6(2007),207-231.
[9] N T Cuong, S Goto and H L Truong,Hilbert coefficients and sequentiallyCohen-Macaulaymodule,J.PureAppl.Algebra,217(2013),470-480.
[10] N T Cuong, N T Long and H L Truong,Uniform bounds in
Sequentiallygeneralized Cohen - Macaulay Modules, Vietnam J. Math.43(2015), 343-356.
[11] N T Cuong, N T Long and H L Truong,Hilbert coefficients in sequentiallygeneralizedCohen-Macaulaymodule,preprint,19pp.
[12] N T Cuong and L T Nhan,Pseudo Cohen-Macaulay and pseudo generalizedCohen-Macaulaymodules,J.Algebra,267(2003),156-177.
[13] N T Cuong and H L Truong,Parametric decomposition of powers of pa- rameteridealsandsequentiallyCohen-
Macaulaymodules,Proc.Amer.Math.Soc.,137(2009),19-26.
[14] L Ghezzi, S Goto, J Y Hong K Ozeki, T T Phuong, and W V Vascon- celos.Cohen-
[15] S Goto and Y Nakamura,Multiplicity and tight closures of parameters, J.Algebra244(2001)302-311.
[16] S.GotoandK.Ozeki,UniformboundsforHilbertcoefficientsofparameters,Commutative algebraanditsconnectionstogeometry,Contemp.Math.,Am.Math.Soc.,Providence ,RI,555(2011),97-118.
[17] S Goto and Y Shimoda,Parametric decomposition of powers of ideals versusregularityofsequences,Proc.Amer.Math.Soc.132(2004),929-933.
[19] C.Huneke,Tightclosureanditsapplications,CBMSLetureNotes88,Amer- icanMathematicalsociety,Providence(1996).
[20] F.HayasakaandE.Hyry,AnoteontheBuchsbaum-Rimfunctionofaparam- etermodule,Proc.Amer.Math.Soc.138(2010),545-551.
[22] D Mumford, Lectures on Curves on an Algebraic Surfaces, Princeton Univ.Press,(1966).
[23] C Lech,On the associativity formula for multiplicities, Ark. Mat.3(1957),301-314.
[24] Y H Lai,On the relation type of systems of parameters, J. Algebra175(1995),339-358.
[25] C H Linh and N V Trung,Uniform bounds in generalized Cohen-
[26] N.T.Long,OnadjustedHilbert-Samuelfunction,ActaMath.Vietnamica.40
[27] A Ooishi,Genera and arithmetic genera of commutative rings, HiroshimaMath.J.,17(1987),47-66.
Mumfordregularityandextendeddegree,Trans.Amer.Math.Soc.355(2003)1773-
[31] P Schenzel,On the dimension filtration and Cohen-Macaulay filtered mod- ules,VanOystaeyen,Freddy(ed.),Commutativealgebraandalgebraicgeom-etry, New York:
Marcel Dekker Lect Notes Pure Appl Math.,206(1999),245–264.
[33] J.Stu¨cradandW.Vogel,BuchsbaumRingsandApplications,Springer-
[34] N.V.Trung,Reductionexponentanddegreeboundforthedefiningequat ionsofgradedrings,Proc.Amer.Math.Soc101(1987),223-236.