1248 kỹ thuật dồn biến và một số vấn đề liên quan luận văn tốt nghiệp

B®GIÁODỤCVÀĐÀOTẠO TRƯÍNGĐẠI HOCQUYNHƠN NGUYENXNTHAM KỸTHUŠTDONBIENVÀMËTSOVANĐE LIÊN QUAN LUŠNVĂNTHẠCSĨTỐNHOC BìnhĐ ị n h - N ă m 2 NGUYENXUÂNTHAM KỸTHUŠTDONBIENVÀMËTSOVANĐE LIÊN QUAN Chuyênngành : PhươngpháptoánsơcapMãs o : 8460113 Ngưíihưỵngdȁn: TS.NGUYENVĂNVŨ Mnclnc Mncl n c i Mðđ a u iii Kient h f í c c h u a n b ị 1.1 M®tsobatđȁngtháccơsở 1.1.1 Batđȁngtháchaibienliênquanđengiátrịtrungbình 1.1.2 Batđȁngthácnbienliênquanđengiátrịtrungbình 1.2 Cơsởgiảitích 1.2.1 Supremumvinfimum camđttêphptrongR 1.2.2 TopotrênkhônggianR n 1.2.3 Tínhliêntục Kjthuêtdonbien 10 2.1 Mđtsoketqutngquỏtvedonbien 2.2 Donbienbangnhau 2.3 Donbienrabiên 10 15 16 Ứngd n n g 19 3.1 Batđȁngthác3bienvớicựctrịđạtđượcđoixáng 19 3.2 Batđȁngthácbabienvớicựctrịđạttạibiên 25 3.3 Batđ ȁ ngthác b o n b ie n 30 3.4 Donbientronglớphàmđơnđi»u 35 Ketluªn 37 Tàili»uthamkhảo 38 Mðđau Bàitốncựctrịlàm®tchủđequantrongvàcólịchsảlâuđời.Nhờ nhieunguontàili»u tàkhapnơi,ngườitabietrangnhǎngvanđenhưtheđãđượcquantâmngaytàthờicőđại.Cho đen nay, van cịn chủ đe cịn nghiên cáu r®ng rãi, m®tphannhờvàocáclĩnhvựcángdụngđịihỏitìmkiemphươngántotnhatcóthe Lớp toán liên quan bat đȁng thác cực trị xuat hi»n thường xun trongchương trình tốn bªc phő thơng, nhat nhǎng kỳ thi hoc sinh giỏi hay OlympicTốn cap Đoi với phan đơng hoc sinh, nhǎng tốn khó, thªm chí rathócb ú a , v d o v ª y , c a n t h i e t p h ả i đ ợ c t r a n g b ị n e n t ả n g k i e n t h c t n g đ o i v ǎ n g vàngmớicóthegiảiquyetđược Hi»n nay, có nhieu tài li»u khác bàn ve chủ đe nhưvªy.Với nhǎngbàitốnkhơngqkhó,cóthechỉcansảdụngcáchtiepcªncơbản,chȁnghạn,bienđői tương đương, sả dụng chieu bien thiên hàm so, sả dụng tam thác bªc hai, làđủ đe giải quyet Tuy nhiên, đoi với nhǎng trường hợp tương đoi phác tạp, nhat khibàit o án c ós ự t h a m g i a c n h i e u đạ i lư ợ ng b i e nt hi ê n, va n đe k h ng cị n đ n g i nna.Lỳcny,ngitaớtnhieucanenmđtsokythuêtc thự, vdon bienl mđttrong so ú Luên "Kythuêtdon bien v mđt so van e liờn quan"têptrung vomđt so van e xoay quanh phng phỏp don bien, với mục tiêu làm rõ thêm tư tưởngcủanóthơngquanhǎngvídụcụthephùhợp Ngồi phan Mở đau, Ket luªn Tài li»u tham khảo, nđi dung ca luên baogombachngctchỏcnhsau Chng1 : K i e n t h f í c c h u a n b ị H»thonghóam®tsokháini»mvàketquảlàmcơsởchonhǎngn®idungđượctrìnhbàyves aunày Chương2 : K j t h u ª t d o n b i e n Trìnhbày m®tcách h»thong m®tsovan đeliênquanđendonbientrongbàitốncựctrị.Đautiên,tácgiảphátbieum®tsoketquả tőngqt(mục2.1), vàsauđó,khảosátkĩ hơnvechienlượcdonbientrongnhǎng tì nhhuongkhácnhau,nhưdonvecácbienbangnhau,donbienrabiên, Chương 3: Mët so fíng dnng cn the.Chương dành cho vi»c minh hoấngdụngcủadonbienvàonhǎngbàitốnvebatđȁngthácvàcựctrịđượcsưutamtà nhǎng nguonkhácnhauđethơngquađólàmrõhơnphươngphápdonbiennóichung LuªnvănnàyđượchồnthànhtạiTrườngĐạihocQuyNhơndướisựhướngdancủa TS Nguyen Văn Vũ Xin chân thành cảm ơn thay tªn tình giúp tác giảxunsuotqtrìnhthựchi»nđetài.TácgiảcũngđongthờixingảilờicảmơnđenLãnhđạoTrư ờngĐạihocQuyNhơn,PhịngĐàotạosauĐạihoc,cácKhoaquảnlýchunmơn(KhoaSưphạm, KhoaTốnvàThongkê)cùngqthaycơgiáogiảngdạycáclớpCaohocTốnkhóa23đãtạomoiđ ieuki»nthuªnlợichochúngtơitrongq trình hoc tªp thực hi»n đe tài Cuoi cùng, tác giả bày tỏ lòng biet ơn en giaỡnh,bnbốóluụnđngviờnetụihonthnhtotluênvnny Mc dự luên c thc hiằn vi no lực co gang thân dođieu ki»n thời gian có hạn, trình đ® kien thác kinh nghi»m nghiên cáu cịn hạn chenênl u ª n v ă n k h ó t r n h k h ỏ i n h ǎ n g t h i e u s ó t C h ú n g t ô i r a t m o n g n h ª n đ ợ c n h ǎ n g gópýcủaqthaycơđeluªnvănđượchồnthi»nhơn Chương1 Kienthfícchuanbị 1.1 Mëtsobatđangthfíccơsð Trong mục này, chúng tơi nhac lại m®t vài bat đȁng thác (BĐT) cóliên quan nhǎng n®i dung phía sau bat đȁng thác liên h» đại lượngtrungb ì n h , đ i e u k i » n S c h u r , b a t đ ȁ n g t h c K a r a m a t a , Chún gđ ợ c t h a m khảocáctàili»u[1,2] 1.1.1 Batđangthfíchaibienliênquanđengiátrịtrungbình Ket au tiờn l mđt BT c e cêp chng trình trung hoc phőthơngmàđượcchángminhđơngiảnbangbienđőitrựctiep Địnhl ý ( B a t đȁngthác AM-GMvới2bien) V i x 1,x2k h ô n g â m , t a c ó √ x1+x x1x2 (1.1) ≤ Dau đȁng thúc xảy chí khix1=x2 Sảd ụ n g b a t đ ȁ n g t h c ( ) đ o i v i x : = ,y: = nhªnđượcketquảsau x y H»q u ả ( B a t đ ȁ n g t h c G M - H M v i b i e n ) C h o x 1,x2l c c s o t h ự c khôngâ m , t a c ó x1 + x2 √ ≤ xx12 Dau đȁng thúc xảy chí khix1=x2 XuatphỏttAMGMcựng vim đt sobien iphự hptanhêncket qusauõy Hằq u ả ( B a t đ ȁ n g t h c A M Q M v i b i e n ) C h o x , yl c c s o tr h ự c khơngâm,tacó x+y x2+y2 ≤ (1.2) Dauđȁngthúcxảyrakhivàchíkhi x=y Tőngketlại,chúngtacóchuoibatđȁngthácvớihaibien x,ykhơng âmnhưsau min{x,y} ≤ 1+ x 1.1.2 ≤ √ xy≤ y x+y rx 2+ y2 ≤ ≤max{x,y} (1.3) Batđa ng t h f íc n bi en l iê n q ua n đ eng iá t rịt ru ng b ìn h Địnhlj1.1.4(BĐTA M G M v i n bien).C h o x 1,x2, ,xnl c c s o t h ự c khôngâm, n≥1.Khiđó √n x x2 xn ≤ x1+ x2+ ···+xn n (1.4) Dauđ ȁ n g t h ú c x ả y r a k h i v c h í k h i x 1=x 2= ···=x n Chúng minh quy nạp kieu Cauchy.(1.4)hien nhiên vớin= Vớin= 2,BĐT(1.1)đã cháng minh Định lý1.1.1.Bây giờ, giả thiet rang(1.4)đúng vớin, ta sě cháng minh vớin= 2k, k≥1nguyên Áp dụngketquảtrườnghợp n=4,tacó: √4 x √ √ x1x2+ x3x4 x2x3x4 ≤ x1+x2+x3+x4 ≤ Vªybatđȁngthác(1.4)đúngvới n=4 Lạiápdụngketquảcủa(1.4)trongtrườnghợp n=8,tacó √ x1x2···x8≤ -Giảthietquynạp √4 x √ x2 x3 x4+ 4x5 x6x7 x8 ≤ x1+x2+···+x8 Vớin so thựckhôngâm x 1,x2, ,xn,n≥1,giảsảbatđȁngthác (1.4)l -Cho 2nsothựckhôngâm x 1,x2, ,xn,xn+1, ,x2n,taxét (x+x 2n x +···+a ) =1 2n +x2+···+xn x n+1+xn+2+···+x2n + 21(√nx ≥ ≥ x √ √ x n =2 √nx 1 n + x ···xn √n n+ xn+ n ···x 2n) √ x2 xn· nxn+1 xn+2 x2n x2 x2n Dauđȁngthácxảyrakhivàchỉkhi x 1=x2=···=x2n.hay x1+x2+···+x2n 2n √x ≥2 n 1x x2n (1.5) Tà trường hợpn= 1, n= 2và(1.5)suy ra(1.4)đúng vớin= 2k,∀k≥1.Dauđȁngthácxảyrakhivàchỉ x 1=x2=···=x2n Tieptheo,giảsảbatđȁngthác(1.4)đúngvớinsothựckhơngâm,tàđóchángminhnócũngđú ngvới n−1so khơngâm x 1,x2, ,xn−1.Đ°t n x=x +x2+···+xn−1 n−1 Tacó n Hay x1 ≥ rn +···+x n− +x +···+xn−1 r≥ n x1 x x1+···+xn−1 n−1 , · n− n−1 x1+x2+···+xn−1n −1 x1 x n− x1+···+xn−1 n−1 Nânglũythàabªcnhai vetađược x1+x2+···+xn−1n n−1 Chiacảhaivecho x n =x ≥x1x2 xn−1 +x2+···+xn−1 n−1 x1+·n−1 ··xn−1 tađược x1+x2+···+xn−1n −1 n−1 ≥x 1x2 xn−1 Tieptụclaycănbªc n−1cả haivetađược x1+x2+···+xn−1 n−1 √ ≥n− 1x1x x n−1 Dauđȁngthácxảyrakhivàchỉkhi x1=x2 =···=x n =x +x2+···+xn−1 n− , 1 □ haylà x 1=x2=ÃÃÃ=x n1 S dngBT AM-GM oi vi bđ soxk:=1 tanhêncbatngthỏc x GM-HMn h l m ® t h » q u ả t r ự c t i e p k H»quả1.1.5(Bat đȁngthácGMHM).C h o x 1,x2, ,xnlàcácsothựckhơngâm, n ≤√n≥1 x ,khiđó 1+1 +···+ x1 x (1.6) x x n 12 n n x2 Dauđ ȁ n g t h ú c x ả y r a k h i v c h í k h i x 1=x 2= ···=x n Tươngtự,tacũngcómởr®ngcủaAM-QMchotrườnghợpnso nhưsau H»quả1.1.6(Bat đȁngthácAMQM).C h o x 1,x2, ,xnlàcácsothựckhơngâm,n≥1,khiđó: r x +x +···+x n n ≤ 2 x+x+···+x 2 n (1.7) n n Dauđ ȁ n g t h ú c x ả y r a k h i v c h í k h i x 1=x 2= ···=x n Tà(1.4),(1.6),(1.7)chúngtacóchuoibatđȁngthácvới n bien x 1,x2, ,xn khôngâm min{x ,x, ,x ≤ n r x1+x2+···+xn n n ≤ ≤√nx n }≤ 1+1 +···+ x1 x2 x 2+x2+ n ··· x x 12 .x≤ n n +x2 ≤max{x1,x2, ,xn} n Sauđâylàm®tvídụápdụngcácketquảtrênchobabien Vídn 1 C h o x,y,z>0vàthoảmãn + + = 4.Chángminh x 2x+y+z +x y z +x ≤ +2y+z +y+2z Chúngminh Á p dụngbatđȁngthácAM-GMhailanliêntiep,tacó 2x+y+ z 1 1 ≤1 +y+z 4≤12x +14 +1 y ,z 2x haytươngđương 1 ≤1 + 2x+y+z x 2y + 2z (1.8) Đȁngtháctrong(1.8)xảyrakhi ( 2x=y+ zy=z ⇔x=y=z Hồntồntươngtự,tacó 1 +1 +1 ≤ y x+2y+z x x+y+2z ≤18 C®ngtàngve(1.8),(1.9),(1.10)tađược 2x+y+ z x+2y+z + 1 + + 2 z x y x+y+2z + Đȁngthácxảyrakhivàchỉ x =y=z= z (1.9) (1.10) x+ 1y+1z= ≤1 □ Địnhlj1.1.8(Đieuki»nSchur).Đieuki»ncanvàđủđehaib®dãysođơnđi»ugi ảm {xk,yk:k=1,2, ,n},thóamãncácđieuki»n x1≥y1  ········· +x xx11+x 2≥y1+y 2+···+xn−1≥y1+y2+···+yn−1x1+x2  +···+x =y +y +···+y n n  làgiũachúng có m®t phé pbienđői tuyentính dạng n Σ y i= j=1 aijxj,i=1,2, ,n, (1.11)