1151 một số tổng quát hóa của elip nội tiếp steiner luận văn tốt nghiệp

BËGIÁODỤCVÀĐÀOTẠOTRƯÍNG ĐẠIHOCQUY N HƠN LƯƠNGT H ± T H Ả O V Y MËTSOTONGQUÁTHÓACỦAELIP N Ë I T IE P S T E I N E R LUŠNVĂNTHẠCSĨTỐNHOC BìnhĐ ị n h - N ă m 2 B®GIÁODỤCVÀĐÀOTẠO TRƯÍNGĐẠIHOC QUY NHƠN LƯƠNGT H ± T H Ả O V Y MËTSOTONGQUÁTHÓACỦAELIP N Ë I T IE P S T E I N E R CHUYÊNN G À N H : PHƯƠNGPHÁPTOÁNSƠCAPMÃSO: 8460113 LUŠNVĂNTHẠCSĨTOÁNHOC Ngườihướ ng da n: P GS TS T H Á I T H U A N Q U A N G BìnhĐ ị n h - 2 DANHMỤCCÁCKÝHI›U C :M ° t phngphỏc C8CYt8u :T ê p hpsophỏcmrđng >pqr :G ú c địnhhướng cóđỉnhlàq Mncl n c Danhmnccáckýhi»u MËTSOKIENTHỨCCƠSÐVÀELIPNËITIEPSTEINER 1.1 Bieudienpháccủacácelip 1.2 1.1.1 Cácyeutohìnhhoccủasophác 1.1.2 Elipvàbieudienpháccủanó 2.2 3.2 1.2.1 Kháini»mvàcáctínhchatcơbản 14 1.2.2 M®tsotiêuchuȁnđịnh tínhcủaelip n®itiepSteiner 17 21 ĐịnhlýSiebeck 21 2.1.1 Kháini»mđiemliênhợpđȁnggiác .21 2.1.2 ĐịnhlýSteiner 22 2.1.3 Trựcchuȁn .23 2.1.4 ĐịnhlýSiebeckchođathác 24 2.1.5 ĐịnhlýSiebeckchohàmbªcba 28 ĐịnhlýMarden 30 MËTSOTONGQTHĨACỦAELIPNËITIEPSTEINER 3.1 Elipn®itiepSteiner 14 CÁCбNHLÝSIEBECK VÀMARDEN 2.1 Elipn®itiepSteinertiepxúccáccạnhcủatamgiáctheotl » chotrước 32 32 3.1.1 Kháini»mtamgiáctrungtuyen .32 3.1.2 Kháini»mtoađ®trungtâm 33 3.1.3 Địnhlý .33 ElipSteinercatcáccạnhcủatamgiác 36 Ketluªn 43 Tàil i» u t h a m k o 44 MÐĐAU Trongh ì n h h o c t a m g i c , e l i p n ® i t i e p l m ® t h ì n h e l i p t i e p x ú c v i b a c n h c ủ a m®tt a m g i c V í d ụ đ n g i ả n n h a t l đ n g t r ị n n ® i t i e p C c đ n g n ® i t i e p q u a n trongk h c l e l i p n ® i t i e p S t e i n e r ( S t e i n e r i n e l l i p s e ) h a y c ò n g o i l e l i p n ® i t i e p t r u n g điem( m i d p o i n t i n e l l i p s e , h o ° c m i d p o i n t e l l i p s e ) , t i e p x ú c v i c c c n h c ủ a m ® t t a m giáct i đ i e m g i ǎ a c ủ a c h ú n g ; e l i p n ® i t i e p M a n d a r t t i e p x ú c v i c c c n h t a m g i c t i cáct i e p đ i e m c ủ a c h ú n g v i c c đ n g t r ò n b n g t i e p ; v e l i p n ® i t i e p B r o c a r d t i e p xúcv i c c c n h t a m g i c t i c c g i a o đ i e m c ủ a c h ú n g v i c c đ n g đ o i t r u n g c ủ a tam giác Ðđây, đường đoi trung đường thȁngđoixángcủađườngtrungtuyenquađườngphângiáctươngáng Elip n®i tiep Steiner m®t oi lêp vi khỏi niằm Elip Steiner, mđt elip nhatđiquacácđỉnhcủam®ttamgiácvàcótâmtrùngvớitâmcủatamgiác Elip n®i tiep Steiner đóng m®t vai trị đ°c bi»t tiep điem với cáccạnh trung điem cạnh Đieu xảy oi vi cỏc ng elip nđitiepkhỏckhinotamgiỏcócholeu.Hnna,diằntớchcaelipnđitiepSteinerll nnhattrongtatccỏcelipnđitieptrongcựngmđttamgiỏc Trong[6]H.DăorriechorangelipnđitiepSteinercJakobSteinerexuatvnghiờn cỏu Tính nhat elip n®i tiep Dan Kalman cháng minh trong[10] Vi»cnghiêncáucácelipn®itiepSteinercũngnhưelipSteinerthuhútkhánhieusự quan tâm nhàlàmtốn trongnhieuthªp kqua Trước tiên tốnve tiêu chuȁn ton elip n®i tiep Steiner xác định tiêu điem nó(ĐịnhlýMarden[1,10]).Nhieuhướngmởr®ngvàkháiqthóaelipn®itiepSteiner nghiên cáu Chȁng hạn như, tiep điem elip n®i tiep Steiner chia cáccạnh tam giác theo m®t t l» cho trước (Định lý Siebeck [15]) Gan hơn,haicơngtrìnhcủaKalman[10]vàMindavàPhelps[13]đãdanđườngchovi»cđőimớiquantâmđen Định lý Siebeck tőng quát (xem [1, 4, 9]) Định lý nàycũngđượcbietđennhưđịnhlýMarden,theothuªtngǎđượcgiớithi»utrong[10] Hìnhe l i p n ® i t i e p S t e i n e r c ủ a m ® t đ a g i c l m ® t h n g t ő n g q u t h ó a c h o k h i ni»mn y : M ® t đ a g i c n o đ ó c ó m ® t h ì n h e l i p b ê n t r o n g t i e p x ú c v i m o i c n h t i trungđ i e m c ủ a c n h đ ó Đ ị n h l ý M a r d e n v a n đ ợ c p d ụ n g c h o c c t i ê u đ i e m c ủ a e l i p n®itiepSteinercủam®tđagiác[14] Cơng cụ phương pháp nghiên cáu elip nđi tiep Steiner cng rat a dng, ket hpcỏckythuêtciencahỡnhhocphngvmđtchỳthiằnihncaiso,sophỏc, Dựa sở lý thuyet ve đường conic, elip (n®i tiep) Steiner, lýthuyet ve đại so đa thác, hàm m®t bien phác, mục đích đe tài tìmhieu nghiên cáu m®t so tính chat hình hoc, đại so tiờu chun ca cỏc elip nđitiepSteiner,trờncsúaramđtsocỏctngquỏthúaelipnđitiepSteiner MctiờucaLuênvnltêptrunggiiquyetcỏcbitoỏnsau: Nghiờncỏumđ ts ot ín hc h at hìnhhoc , cá cti ê u c hu ȁn đạ i so v esự t on t ạic eli pn®itiepSteinercőđien Tőng qt hóa, nghiên cáu yeu to định tính, định vị elip n®i tiep Steinertheocáchướngsau: a) Tiep điem elip với cạnh tam giác chia đ® dài cạnh theo m®t tl» chotrước.T r o n g t r n g h ợ p t l » l / t h ì t a n h ª n đ ợ c e l i p n ® i t i e p S t e i n e r c ő đien b) Elip cat moi cạnh tam giác hai điem mà chúng cách đeu trung điem củacạnh.Trongtrườnghợphaiđiemnàytrùngnhauelipsětrởthànhelipn®itie pcőđien Ngồi phan Mở đau, Ket luªn, Tài li»u tham khảo, Luªn văn chia thành bachương Chương dành cho vi»c tìm hieu m®t so kien thác bản, tiêu chuȁn đại so,hìnhhocvesựtontạielipn®itiepSteiner TrongC h n g t r ì n h b y c c đ ị n h l ý c ő đ i e n l i ê n q u a n đ e n e l i p n ® i t i e p S t e i n e r nhưĐịnhlýSiebeck,ĐịnhlýMarden, cùngcácmởr®ng củachúng Chương khảo sát elip n®i tiep Steiner dạng tőng quát theo nghĩa: Tiepđiem elip với cạnh tam giác chia đ® dài cạnh theo mđt tlằ cho trc v elipcatmoicnhtamgiỏctihaiiemmchỳngcỏcheutrungiemcacnh Luên c hoàn thành hướng dan khoa hoc thay PGS TS TháiThuanQuang,KhoaTốnvàThongkê,TrườngĐạihocQuyNhơn.Nhândịpnàytơixin bày tỏ kính lịng biet ơn sâu sac đen Thay giúp suotqtrìnhhoctªpvàthựchi»nluªnvăn Tơi xin gải lời cảm ơn đen Ban giám hi»u Trường Đại hoc Quy Nhơn, PhịngĐàotạoSauĐạihoc,KhoaTốn,cùngqthaycơgiáogiảngdạylớpcaohocPhươngpháp tốn sơ cap khóa 23 dày cơng giảng dạy suot khóa hoc, tạo đieu ki»nthuªnlợichotơitrongqtrìnhhoctªpvàthựchi»nđetài Nhân tơi xin chân thành cảm ơn ho trợ ve m°t tinh than gia đình,bạn bè ln tạo moi đieu ki»n giúp đe tơi hồn thành tot khóa hoc luªn vănnày M°c dù luªn văn thực hi»n với no lực co gang het sác thân, nhưngdo đieu ki»n thời gian có hạn, trình đ kien thỏc v kinh nghiằm nghiờn cỏu cũn hnchenờnluênvnkhútrỏnhkhinhngthieusút.Tụiratmongnhêncnhnggú pýcủaqthaycơgiáođeluªnvănđượchồnthi»nhơn Tơixinchânthànhcảmơn Chương1 MËTSOKIENTHỨCCƠSÐVÀELI PN Ë I T I E P ST E I N E R TrongChươngnày,chúngtơitrình bàym®tsokienthácvecác yeutohìnhhocc ủasophác,elipvàbieudienpháccủanó.Sauđó,chúngtơitrìnhbàyvekháini»mvà tínhchatcơbảncủaelipn®itiepSteiner.Đâylàm®tcơngcụquantrongđượcsảdụngtrongChương2 1.1 1.1.1 Bieudi e n p h f í c c ủ a c c e l i p Cácy e u t o h ì n h h o c c ủ a s o p h f í c Phannàychúngtơisětrìnhbàyvets o chéotrongm°tphȁngphác Địnhnghĩa1.1.1.T y s o c h é o c ủ a c c s o p h c p h â n b i » t a, b, cvàdtrongC8là m®tsophác,kýhi»ura,b;c,ds,vàđượcxácđịnhbởicơngthác r a,b;c,d:s“ pa´cqpb´dq pa´dqpb´cq Chúý1 r 8s ãTrongnhnghany,neubatkmđtsophỏcnoúbang8thỡso ú c b ỏ q u a , c h pa´cq : ȁ n g h n a , b;c, pb´cq • Tsochéocủacácđiemphânbi»tcóthelaycácgiátrị,ngoạitrà0,1và8.Vớibatkỳz ‰t0,1,8utacóz “rz,1;0,8s • Neum ® t c° p n o đ ó t r o n g s o c c đ ie m a , b,cvàdbangn h a u th ì c n g t há c t r ê n nhªngiátrị0,1ho°c8,dođókhicácđiemtrùngnhaulàvơcùngthìchúngta chapnhªncá c giá t rị n ày nh ưđị n h nghĩ acủa tsoché o Do đó,t soc o có theđịn hnghĩachobatkìb®bonđiemnàocủavớinhieunhathaisobangnhau M»nhđ e ( [ 1 ] ) T y s o c h é o t h ó a m ã n h a i q u y t a c đ o i x ú n g c b ả n s a u :Neu ra,b;c,ds“λthì rb,a;c,ds“ra,b;d,cs“λ´1 ra,c;b,ds“1´λ Chúngminh.T a có p b´cqpa´dq“ p a´dqpb´cq“ rb,a;c,ds“ ra,b;d,cs“λ ´1 pb´dqpa´cq pa´cqpb´dq Tươngtự, pa´bqpc´dq ra,c;b,d s“ pa´dqpc´dq pa´cqpb´dq “ 1´ pa´dqpb´cq ´ M»nhđ e ( [ 1 ] ) V i zP C, tađànhnghĩaz “ 1´z “ rp,a;b,cs1 rp,b;c,asvới m o i p , a,b,cPC8; 2.z 2“ z´1 “ 1´ , z z zăz1ăz21 z3z, Chỳngm inh trp,a;b,cs.Khiú “ rp,a;b,cs1 λ1“ 1´λ Tacanchángminh rp,b;c,as“ Thªtvªy, theoM»nhđe 1.1.3ta có ´λ rp,b;a,cs“1´λ Vìvªy rp,b;c,as“p1´λq´1 Tacó z2“ “ 1´z1 “1 1´1 ´z 1´λ “1´ z “1 K h i đ ó λ