1178 một số bất đẳng thức liên quan đến giá trị riêng và chuẩn của đa thức ma trận luận văn tốt nghiệp

B® GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯÍNG ĐẠI HOC QUY NHƠN ——————————— TRAN NGOC THANH MËT SO BAT ĐANG THỨC LIÊN QUAN ĐEN GIÁ TR± RIÊNG VÀ CHUAN CỦA ĐA THỨC MA TRŠN LUŠN VĂN THẠC SĨ TỐN HOC BÌNH бNH - NĂM 2021 B® GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯÍNG ĐẠI HOC QUY NHƠN ——————————— TRAN NGOC THANH MËT SO BAT ĐANG THỨC LIÊN QUAN ĐEN GIÁ TR± RIÊNG VÀ CHUAN CỦA ĐA THỨC MA TRŠN Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã so: 8460102 Ngưíi hưỵng dȁn: PGS TS LÊ CƠNG TRÌNH Líi cảm ơn Trước trình bày nđi dung chớnh ca luên vn, chỳng tụi xin by tỏ lòng biet ơn chân thành sâu sac đen PGS TS Lê Cơng Trình, thay trực tiep bảo, hướng dan suot thời gian qua Cảm ơn thay dan tªn tình, tạo đieu ki»n thuªn lợi đe chúng tơi hồn thành luªn văn Chúng xin chân thành cảm ơn quý thay cô giảng dạy chúng tôi, đ°c bi»t thay Khoa Tốn Thong kê dạy tªn tình, truyen đạt nhǎng kien thác q báu suot hai năm hoc tªp vàa qua Nhân dịp này, xin gải lời cảm ơn đen gia đình, bạn bè bạn tªp the lớp Cao hoc Tốn hoc khóa 22 ln đ®ng viên, giúp chúng tơi suot q trình hoc tªp thực hi»n luªn văn Vì kien thác cịn hạn che nên luªn văn chac chan sě khơng the tránh khỏi nhǎng sai sót ve n®i dung hình thác Chúng tơi rat mong nhªn nhǎng ý kien đóng góp, chỉnh sảa q Thay, Cơ bạn đong nghi»p đe luªn văn hồn thi»n Xin trân cảm ơn Mnc lnc Líi nói đau 1 Mët so kien thfíc chuan bị 1.1 M®t so bat đȁng thác cho so thực 1.2 Mđt so kien thỏc ve ma 1.2.1 Ma trªn Hermite ma trªn unita 1.2.2 Giá trị riêng ma trªn 1.2.3 Ma trªn xác định dương nảa xác định dương 1.2.4 Chuȁn ma trªn 1.3 a thỏc ma mđt bien 10 1.4 Tích ten-xơ ma trªn 11 Mët so bat thfíc liên quan đen giá trị riêng chuan ma trªn đa thfíc ma trªn 13 2.1 M®t so bat đȁng thác liên quan đen giá trị riêng chuȁn ma trªn vơ hướng 2.1.1 M®t so bat đȁng thác liên quan đen giá trị riêng ma trªn vơ hướng 2.1.2 13 13 M®t so bat đȁng thác liên quan en chun ca ma vụ hng 17 2.2 Mđt so bat đȁng thác liên quan đen giá trị riêng ca cỏc a thỏc ma 19 2.3 Mđt so bat đȁng thác liên quan đen chuȁn đa thác ma trªn i 26 ii Mët so bat thfíc liên quan đen giá trị kỳ dị vet ma trªn bë ma trªn 29 3.1 M®t so bat đȁng thác liên quan đen giá trị kỳ dị ma trªn vơ hướng 29 3.2 M®t so bat đȁng thác liên quan đen giỏ tr k d v vet ca bđ ma Tài li»u tham khảo 40 48 Líi nói đau Giải tớch ma l mđt nhng hng nghiờn cỏu có nhieu dụng lĩnh vực khác Bat đȁng thác đoi với ma trªn (cịn goi bat đȁng thác ma trªn), đ°c bi»t, bat đȁng thác ma trªn tuyen tính (LMI), đoi tượng nghiên cáu quan trong Giải tích ma trªn, với nhieu dụng, chȁng hạn tính tốn khoa hoc, lý thuyet đieu khien, vªt lý tốn, thong kê, kinh te, đ°c bi»t lĩnh vực Lý thuyet thơng tin lượng tả Các đa thác ma trªn đa thác m®t bien với h» so ma trªn vng, cịn goi λ-ma trªn Các đa thác ma trªn có the xem ma trªn với h» tả đa thác m®t bien so Các van đe liên quan đen đa thác ma trªn nghiên cáu nhieu nhà Tốn hoc có uy tín the giới, có nhieu dụng quan trong Phương trình đạo hàm riêng, Khoa hoc Ky thuªt Mục tiêu đe tài nghiên cáu m®t so bat đȁng thác đoi với ma trªn có h» tả so phác (cịn goi ma tr¾n vơ hướng ), đoi với đa thác ma trªn Ngồi mở đau, mục lục, ket luªn tài li»u tham khảo, luªn văn bo cục thành chương Chương 1: Mët so kien thfíc chuan bị Trong chương chúng tơi trình bày m®t so kien thác bn ve ma v a thỏc ma mđt bien, với m®t so ket liên quan đen chương sau luªn văn Chương 2: Mët so bat thfíc liên quan đen giá trị riêng chuan ma trªn đa thfíc ma trªn Trong chương này, phan đau chúng tơi tőng hợp trình bày lại m®t so bat đȁng thác liên quan đen giá trị riêng chuȁn ma trªn vơ hướng Trên sở chúng tơi trình bày m®t so bat đȁng thác liên quan đen giá trị riêng chuȁn đa thác ma trªn Chương 3: Mët so bat thfíc liên quan đen giá trị kỳ dị vet ma trªn bë ma trªn Trong chương này, phan đau chúng tơi trình bày lại m®t so bat đȁng thác liên quan đen giá trị kỳ dị ma trªn vơ hướng Phan tiep theo, chúng tơi trình bày lại m®t so bat đȁng thác liên quan đen giá trị kỳ d v vet ca bđ ma Vỡ kien thỏc cịn hạn che nên luªn văn chac chan sě khơng the tránh khỏi nhǎng sai sót ve n®i dung hình thác Chúng tơi rat mong nhªn nhǎng ý kien đóng góp, chỉnh sảa q Thay, Cơ bạn đong nghi»p đe luªn văn hồn thi»n Bình Định, tháng năm 2021 Hoc viên Tran Ngoc Thanh Chương Mët so kien thfíc chuan bị Trong chương chúng tơi trình bày m®t so kien thác ve ma trªn đa thác ma mđt bien, cựng vi mđt so ket qu liên quan đen chương sau luªn văn Các ket chương tham khảo tà tài li»u [3], [5], [7], [9], [12] 1.1 Mët so bat thfíc cho so thfic Cho véc tơ thực x = (x1, x2, , xn) ∈ Rn, ta sap xep thành phan véc tơ theo thá tự giảm dan sau x[1] ≥ x[2] ≥ · · · ≥ x[n] Định nghĩa 1.1.1 Với x = (x1, x2, , xn), y = (y1, y2, , yn) ∈ Rn, neu k k Σ Σ x[i] ≤ y[i], k = 1, 2, , n i ta nói x tr®i yeu bởii y ký hi»u x ≺w y Neu x ≺w y Σn i xi = Σn i yi ta nói x tr®i y ký hi»u x ≺ y Định nghĩa 1.1.2 Cho x = (x1, x2, , xn), y = (y1, y2, , yn) b® so khơng âm Neu k Y k x[i] ≤ Y y[i], k = 1, 2, , n ta nói x log-tr®i yeui y iký hi»u x ≺wlog y Neu x ≺wlog y Qn i xi = Qn i yi ta nói x log-tr®i y ký hi»u x ≺log y Định lj 1.1.3 (Bat ng thỏc Hăolder (Hardy, Littlewood v Polya (1952, trang 22))) Cho so thực dương xij αj cho α1 + α2 + · · · + αm = với i = 1, 2, , n j = 1, 2, , m Khi Σ n i=1 ! m j Y xij =1 "n Y m ≤ Σ (xij i = j= #αj )1/αj Định lj 1.1.4 (Bat đȁng thác Minkowski (xem Marshall Olkin (1979, trang 459))) Cho x1, x2, , xn, y1, y2, , yn so thực tùy ý p m®t so thực dương Khi !1/p n k Σ 1.2 |xk + yk| p =1 !1/p n ≤ Σ k |xk| p + !1/p n k Σ =1 Mët so kien thfíc ve ma |yk| p =1 Trong ton bđ luên vn, ma trªn vơ hướng xét ma trªn vng cap n với hạng tả so phác Khơng gian ma trªn phác cap n kí hi»u Cn×n Cho A = (aij ) ∈ Cn×n , ma trªn chuyen vị liên hợp A A∗ = (aji ) Nhac lại tích vơ hướng hai véc tơ x = (xi), y = (yi) ∈ Cn định nghĩa n ⟨x, y⟩ := Σ xiyi i=1 Chuȁn Euclide véc tơ x = (xi) ∈ Cn định nghĩa ǁxǁ = ⟨x, x⟩1 Tích Hadamard (tích Schur) hai ma trªn A = (aij ), B = (bij ) ∈ Cn×n , kí hi»u A ◦ B, định nghĩa sau A ◦ B = (aij bij ) 1.2.1 Ma trªn Hermite v ma unita nh ngha 1.2.1 Mđt ma A Cnìn c goi l ma Hermite neu A∗ = A Tà định nghĩa ma trªn Hermite ma trªn chuyen vị liên hợp, ta rút hai nhªn xét sau Nhªn xét 1.2.2 Ma A Cnìn l ma Hermite ⟨Ax, y⟩ = ⟨x, Ay⟩ với moi x, y Cn Nhên xột 1.2.3 Mđt ma A Cnìn l ma Hermite neu v neu A có phan tả đường chéo so thực, phan tả đoi xáng qua đường chéo liên hợp Định ngha 1.2.4 Mđt ma A Cnìn c goi ma trªn unita neu AA∗ = A∗A = I   Ví dn A =  −i     ∈ C2×2 B = ma tr¾n unita i  −i −1 + i 1  ∈ C3×3 các  + i −1 + i Nhªn xét 1.2.5 Neu A Cnìn l ma unita thỡ A khả nghịch | det A| = 1.2.2 Giá trị riêng ma trªn Định nghĩa 1.2.6 So phác λ ∈ C goi giá trà riêng ca ma A Cnìn neu ton ti vộc tơ v ∈ Cn, v /= cho Av = λv Khi véc tơ v goi véc tơ riêng với giá trị riêng λ ma trªn A Nhªn xét 1.2.7 Neu v véc tơ riêng với giá trị riêng λ ma trªn A αv véc tơ riêng với giá trị riêng λ ma trªn A Vì vªy, sau ta thường s xét véc tơ riêng chuȁn hóa, tác ǁvǁ = √ = ⟨v, v⟩ Σn i vi v¯i = =1 Nhªn xét 1.2.8 Phương trình Av = λv ⇔ (A − λI)v = có nghi»m khơng tam thường v /= Suy det(A − λI) = Như vªy, giá trị riêng ma trªn A