1182 một số bất đẳng thức cổ điển và ứng dụng luận văn tốt nghiệp

B® GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯÍNG ĐẠI HOC QUY NHƠN NGUYEN TH± MÂY VE MËT SO BAT ĐANG THỨC CO ĐIEN VÀ ỨNG DỤNG LUŠN VĂN THẠC SĨ TOÁN HOC Bình Định - Năm 2021 B® GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯÍNG ĐẠI HOC QUY NHƠN NGUYEN TH± MÂY VE MËT SO BAT ĐANG THỨC CO ĐIEN VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành : Mã so : Ngưíi hưỵng dȁn : Phương pháp toán sơ cap 8460113 PGS.TS LƯƠNG ĐĂNG KỲ Mnc lnc Líi mð đau 1 Kien thfíc chuan bị 1.1 M®t so bat đȁng thác cở 1.1.1 Quan h» thá tự R bat đȁng thác 1.1.2 M®t so tính chat bat đȁng thác 1.2 M®t so bat đȁng thác liên quan đen đại lượng trung bình 1.2.1 Bat đȁng thác giǎa trung bình c®ng trung bình nhân 1.2.2 Bat đȁng thác liên h» giǎa trung bình nhân trung bình đieu hịa 1.2.3 Bat đȁng thác liên h» giǎa trung bình c®ng trung bình bªc hai 11 Mët so bat thfíc co đien 14 2.1 Hàm loi Bat đȁng thác Jensen 14 2.1.1 Hàm loi tính chat 14 2.1.2 Bat đȁng thác Jensen 19 2.1.3 Xây dựng m®t so bat đȁng thác hàm loi .23 2.1.4 Bài tªp đe nghị .25 2.2 Bat đȁng thác Bernoulli m®t so bat đȁng thác liên quan 26 2.2.1 Bat đȁng thác Bernoulli m®t so dạng tương đương .26 2.2.2 M®t so bat đȁng thác liên quan 31 2.2.3 Bài tªp đe nghị .32 2.3 Bat đȁng thác Cauchy m®t so bat đȁng thác liên quan 33 2.3.1 Bat đȁng thác Cauchy 33 2.3.2 M®t so h» Bat đȁng thác Cauchy 34 2.3.3 Bài tªp đe nghị .35 2.4 Bat đȁng thỏc Hăolder v Bat ng thỏc Minkowski 36 2.4.1 Bat ng thỏc Hăolder 36 i ii 2.5 2.6 2.4.2 Bat đȁng thác Minkowski 39 2.4.3 Bài tªp đe nghị .43 Bat đȁng thác Chebyshev m®t so bat đȁng thác liên quan 44 2.5.1 Bat dȁng thác Chebyshev cho hai dãy đơn đi»u 44 2.5.2 M®t so bat đȁng thác liên quan 45 2.5.3 Bài tªp đe nghị .48 Bat đȁng thác Abel m®t so bat đȁng thác liên quan .48 2.6.1 Bat đȁng thác Abel .48 2.6.2 M®t so bat đȁng thác liên quan 49 2.6.3 Bài tªp đe nghị .52 Ứng dnng giải toán sơ cap 53 3.1 M®t so tốn chương trình phő thông 53 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.2 Bat đȁng thác + ≥ mở r®ng .53 a b a Bat đȁng thác a3 + b3 ≥ ab(a + b) mở r®ng .56 Bat đȁng thác (b + c − a)(c + a − b)(a + b − c) ≤ abc, với a, b, c đ® dài ba cạnh m®t tam giác mở r®ng 59 M®t so tốn liên quan đen kỳ thi hoc sinh giỏi 61 Ket luªn 70 Tài li»u tham khảo 71 LÍI MÐ ĐAU Bat đȁng thác m®t lĩnh vực tốn hoc tương đoi khó, yêu cau óc quan sát linh cảm thực te, đòi hỏi tư khả sáng tạo người hoc D.S.Mitrinovic (1908-1995) biet đen với câu danh ngơn đ®c đáo tạm dịch “Khơng có đȁng thác, thªm chí đời song người - bat đȁng thác luôn hi»n hǎu” Đieu cho thay bat đȁng thác khơng cơng cụ thiet yeu tốn hoc mà cịn có vai trị to lớn thực te cu®c song Trong chương trình Tốn hoc trường phő thơng, bat đȁng thác đóng m®t vai trị het sác quan trong vi»c giải toán sơ cap Đ°c bi»t, bat đȁng thác m®t dạng tốn khó thường xuat hi»n nhǎng kì thi trung hoc phő thơng, kì thi hoc sinh giỏi cap quoc gia, cap quoc te kì thi Olympic Tốn Sinh viên nước quoc te Các bat đȁng thác cő đien nen móng quan trong, ln đánh giá cao đ°c bi»t đoi với nhǎng người yêu bat đȁng thác Trong nhǎng năm gan đây, có rat nhieu tài li»u nghiên cáu, biên soạn trình bày ve bat đȁng thác Tuy nhiên, moi tài li»u lại nghiên cáu ve m®t so dạng cụ the với cách nhìn phương pháp giải riêng Vì vªy, van đe đ°t đoi với moi người hoc Toán phải nam chac m®t so bat đȁng thác cő đien dụng chúng giải toán sơ cap Đó lý tơi chon đe tài “Ve m®t so bat đȁng thác cő đien dụng” làm đe tài cho luªn văn tot nghi»p thạc sĩ Cau trúc luªn văn gom: Lời mở đau, n®i dung danh mục tài liằu tham kho Nđi dung chớnh ca luên gom ba chương Chương Kien thfíc chuan bị Trong chương này, chúng tơi trình bày chi tiet bat đȁng thác sở bat đȁng thác liên quan đen trung bình, làm sở cho lªp luªn chương tiep theo luªn văn Chương Mët so bat thfíc co đien Trong chương này, chúng tơi trình bày chi tiet bat đȁng thác cő đien Bat đȁng thác Jensen hàm loi, Bat đȁng thác Bernoulli, Bat đȁng thác Cauchy, Chương Ứng dnng giải toán sơ cap Trong chương này, chúng tơi trình bày m®t so dụng bat đȁng thác toán sơ cap Tơi xin bày tỏ lịng biet ơn chân thành kính sâu sac đen thay PGS TS Lương Đăng Kỳ, trường Đại hoc Quy Nhơn, thay trực tiep giảng dạy, hướng dan tạo moi đieu ki»n q trình hoc tªp nghiên cáu đe tơi có the hồn thành luªn văn m®t cách tot nhat Bên cạnh đó, tơi xin chân thành cảm ơn Ban giám hi»u, Phòng sau đại hoc, Khoa Toán Thong kê, trường Đại hoc Quy Nhơn quý thay cô giáo trường, quý thay cô giáo thỉnh giảng trực tiep giảng dạy, giúp tơi q trình hoc tªp, hồn thành hoc phan trường Nhân đây, xin cảm ơn anh, chị hoc viên lớp Phương pháp tốn sơ cap khóa 22, gia đình, bạn bè đong nghi»p giúp đơ, đ®ng viên tơi suot q trình hoc tªp hồn thành luªn văn M°c dù rat co gang hạn che ve thời gian trình đ® nên bên cạnh nhǎng ket đạt được, luªn văn khơng the tránh khỏi nhǎng hạn che thieu sót Tác giả rat mong nhªn góp ý thȁng than chân thành q thay bạn đe luªn văn hoàn thi»n Ngày 19 tháng năm 2021 Hoc viên thực hi»n Nguyen Thị Mây Chương Kien thfíc chuan bị Trong chương này, chúng tơi trình bày m®t so kien thác sở ve quan h» thá tự R, m®t so bat đȁng thác liên h» giǎa đại lượng trung bình trung bình c®ng, trung bình nhân, trung bình đieu hịa 1.1 1.1.1 Mët so bat thfíc cð Quan h» thfí tfi R bat thfíc Trên tªp hợp so thực R, xét quan h» hai < định nghĩa sau: Với moi a, b ∈ R, a < b ⇔ b − a so dương Ta kí hi»u a ≤ b neu a < b ho°c a = b Khi < m®t quan h» thá tự R Khi a < b (tương áng, a ≤ b) ta viet b > a (tương áng, b ≥ a) Các m»nh đe dạng goi bat đȁng thác 1.1.2 Mët so tính chat bat thfíc M®t so tính chat bat đȁng thác (1) Tính chat giao hoán: a ≤ b ⇔ b ≥ a (2) Tính chat bac cau: Neu a ≤ b b ≤ c a ≤ c (3) Liên h» với phép c®ng: a ≤ b ⇔ a ± m ≤ b ± m Neu a ≤ b, c ≤ d a + c ≤ b + d Neu a ≤ b c ≤ d a − d ≤ b − c (4) Tính chat liên h» với phép nhân: Neu a ≤ b m > am ≤ bm Neu a ≤ b m < am ≥ bm Đ°c bi»t, ( 0