BË GI�O DÖC V� ��O T�O TR×ÍNG ��I HÅC QUY NHÌN GI� THÀ THU NG� MËT SÈ TÊNG QU�T HÂA CÕA MÆ�UN N�NG LU�N V�N TH�C S� TO�N HÅC B¼nh �ành, n«m 2020 e BË GI�O DÖC V� ��O T�O TR×ÍNG ��I HÅC QUY NHÌN GI� TH[.]
BË GIO DƯC V O TO TR×ÍNG I HÅC QUY NHÌN GI THÀ THU NG MËT SÈ TÊNG QUT HÂA CếA Mặ UN NNG LUN VN THC S TON HC Bẳnh ành, n«m 2020 e BË GIO DƯC V O TO TR×ÍNG I HÅC QUY NHÌN GI THÀ THU NG MËT Sẩ TấNG QUT HA CếA Mặ UN NNG Chuyản ngnh M số : : Ôi số v lẵ thuyát số 8460104 Ngữới hữợng dăn : TS MAI QUị NM e i Mửc lửc M Ưu Mởt số kỵ hiằu Kián thực chuân b 1.1 Mổ un nhọ 1.2 Ph¦n phư, mỉ un ph¦n phư, mỉ un phư 1.3 CĂc tẵnh chĐt xÔ Ênh 11 Mæ un nƠng, mổ un nƠng hỳu hÔn, mổ un nỷa chẵnh quy v mỉ un cf-n¥ng 13 2.1 Mỉ un n¥ng 2.2 Mỉ un n¥ng húu hÔn, mổ un nỷa chẵnh quy v mổ un cf-nƠng 2.2.1 Mổ un nƠng hỳu hÔn 2.2.2 Mỉ un nûa ch½nh quy 2.2.3 Mæ un cf-n¥ng Mỉ un phư èi húu hÔn v mổ un nƠng ối hỳu hÔn 13 16 17 20 31 37 3.1 Mổ un phử ối hỳu hÔn 37 3.2 Mỉ un n¥ng èi húu hÔn 47 3.2.1 ành ngh¾a v tẵnh chĐt 48 e ii 3.2.2 HÔng tỷ trỹc tiáp v mổ un thữỡng cừa mổ un nƠng ối hỳu hÔn 51 3.2.3 Têng trüc ti¸p c¡c mổ un nƠng ối hỳu hÔn 54 Kát luên 60 Ti liằu tham kh£o 61 e iii Líi cam oan Tỉi xin cam oan luên vôn vợi à ti Mởt số tờng quĂt hõa cừa mổ un nƠng l cổng trẳnh nghiản cựu khoa hồc cừa tổi dữợi sỹ hữợng dăn cừa TS Mai Quỵ Nôm, nởi dung khổng chp cừa bĐt ký v chữa tứng ữủc cổng bố dữợi bĐt kẳ hẳnh thực no, cĂc kát quÊ khổng phÊi cừa riảng tổi Ãu ữủc trẵch dăn nguỗn gốc ró rng Bẳnh nh, ngy 30 thĂng nôm 2020 Hồc viản thüc hi»n · t i Gi£ Thà Thu Ng e M Ưu Mổ un nởi xÔ v mổ un xÔ Ênh l nhúng kh¡i ni»m giú vai trá °c bi»t quan trång Lỵ thuyát vnh v mổ un Nởi xÔ v xÔ Ênh l mởt cp tẵnh chĐt ối ngău Lỵ thuyát mổ un Mởt nhỳng dÔng tờng quĂt hõa quan trồng cừa mổ un nởi xÔ l mổ un m rởng (extending module) é phẵa ối ngău, ngữới ta khÊo sĂt cĂc mổ un nƠng (lifting module) ữủc nh nghắa ối ngău vợi mổ un m rởng Tuy nhiản, mổ un nƠng lÔi khổng phÊi l mởt tờng quĂt hõa cừa mổ un xÔ Ênh m l mởt tờng quĂt hõa cừa mổ un phử xÔ Ênh Mởt mổ un xÔ Ênh khổng nhĐt thiát l mổ un nƠng Trong õ, mồi mổ un phử xÔ Ênh l mổ un n¥ng, v måi mỉ un n¥ng ·u l mỉ un phư Cho M l mët R-mæ un Mæ un N cõa M gåi l nhọ (trong M ) náu vợi mổ un bĐt ký L cõa M , quan h» N + L = M k²o theo L = M Vỵi hai mæ un N v K cõa M , ta nâi N chn trản K (trong M ) náu K N v N/K l mæ un nhä M/K Trong tr÷íng hđp n y, ng÷íi ta cán nâi K l mỉ un èi cèt y¸u cõa N M Mổ un M ữủc gồi l mổ un nƠng náu mồi mổ un cừa M Ãu chn trản mởt hÔng tỷ trỹc tiáp (no õ) cừa M Mổ un nƠng ữủc nghiản cựu rởng rÂi nhiÃu chửc nôm qua CĂc kát quÊ nghiản cựu và lợp mổ un ny ữủc tờng hủp cuèn s¡ch chuy¶n kh£o Lifting Modules, Supplements and Projectivity in Module Theory cõa J Clark v c¡c cëng sü xuĐt bÊn nôm 2006 Mởt nhỳng dÔng tờng quĂt hõa cừa mổ un nƠng l mổ un nƠng hỳu hÔn, hay f-nƠng Mổ un M ữủc gồi l mổ un nƠng hỳu hÔn náu mồi mổ un hỳu e hÔn sinh cừa M Ãu chn trản mởt hÔng tỷ trỹc tiáp (no õ) cừa M Hin nhiản mồi mổ un nƠng Ãu l f-nƠng iÃu ngữủc lÔi khổng úng Mởt trữớng hủp c biằt cừa mổ un nƠng hỳu hÔn l mổ un nỷa chẵnh quy vợi iÃu kiằn cht hỡn l mồi mổ un hỳu hÔn sinh (hay xiclic) cừa M Ãu chn trản mởt hÔng tỷ trỹc tiáp xÔ Ênh (no õ) cừa M Bi iÃu kiằn xÔ Ênh ny m câ nhi·u k¸t qu£ thó v· mỉ un nûa chẵnh quy quan hằ vợi lợp mổ un xÔ Ênh, mổ un phử v phừ xÔ Ênh cừa mổ un Mổ un nỷa chẵnh quy ữủc nh nghắa v nghiản cựu bi W.K.Nicholson [12] V o n«m 2007, Y Talebi v cëng sü [14]  nh nghắa mổ un hỳu hÔn sinh ối cốt yáu nhữ mởt m rởng cừa mổ un hỳu hÔn sinh: Mổ un N cừa M gồi l hỳu hÔn sinh ối cốt yáu náu tỗn tÔi mởt mổ un hỳu hÔn sinh H cừa M cho N l mỉ un èi cèt y¸u cõa H M Tứ õ cĂc tĂc giÊ Ã xuĐt khĂi niằm cf-nƠng : Mổ un M gồi l cf-nƠng náu mồi mổ un hỳu hÔn sinh ối cốt yáu cừa M Ãu chn trản mởt hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M Ró rng tứ nh nghắa suy mồi mổ un nƠng Ãu l cf-nƠng v cĂc tĂc giÊ Â cho vẵ dử chựng minh rơng iÃu ngữủc lÔi nõi chung khổng úng, nõi cĂch khĂc, trản mởt vnh R, lợp cĂc R-mổ un cf-nƠng l mởt m rởng thỹc sỹ cừa lợp cĂc R-mỉ un n¥ng Cho M l mët R-mỉ un v N , L l hai mỉ un cõa M Ng÷íi ta gåi N l ph¦n phư (supplement) cõa L M n¸u N l cüc tiºu theo quan h» bao h m têp cĂc mổ un A cừa M thọa mÂn A + L = M Mỉ un M ÷đc gåi l mỉ un phư (supplemented module) n¸u måi mỉ un cõa M Ãu cõ phƯn phử Chú ỵ l, mồi mổ un nƠng Ãu l mổ un phử Vo nôm 2001, R Alizade v cĂc cởng sỹ [1]  giợi thiằu khĂi niằm mổ un phử ối hỳu hÔn - mởt dÔng tờng quĂt hâa cõa mỉ un phư Mët mỉ un N cõa mỉ un M gồi l ối hỳu hÔn (cofinite) náu mổ un thữỡng M/N l hỳu hÔn sinh, v M gồi l mổ un phử ối hỳu hÔn (cofinitely supplemented module) náu mồi mổ un ối hỳu hÔn cừa M Ãu cõ phƯn phử Rã r ng måi mỉ un phư ·u l phư èi húu hÔn Theo ỵ tững ny, vo nôm 2008, R.Tribak [15]  ữa e khĂi niằm mổ un nƠng ối hỳu hÔn nhữ mởt dÔng tờng quĂt hõa cừa mổ un nƠng Theo ([4], 22.3), mổ un M l nƠng náu v ch¿ n¸u M l mỉ un phư õ v måi mỉ un phƯn phử M l hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M R.Tribak  nh nghắa mổ un nƠng ối hỳu hÔn l mổ un phử ối hỳu hÔn ừ â måi ph¦n phư cõa méi mỉ un èi húu hÔn l hÔng tỷ trỹc tiáp Hin nhiản, theo õ, mồi mổ un nƠng l nƠng ối hỳu hÔn Sau õ, v o n«m 2010, c¡c t¡c gi£ Yongduo Wang v Dejun Wu [16]  ữa mởt nh nghắa khĂc cho khĂi niằm mang tản mổ un nƠng ối hỳu hÔn, cụng l mởt dÔng tờng quĂt hõa cừa mổ un nƠng Theo õ, mởt mổ un M ữủc gồi l nƠng ối hỳu hÔn náu mồi mổ un ối hỳu hÔn N cừa M Ãu chn trản mởt hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M , cõ nghắa l, tỗn tÔi mởt hÔng tû trüc ti¸p K cõa M cho K ⊂ N v N/K l mæ un nhä M/K Rã r ng måi mỉ un n¥ng ·u l n¥ng èi húu hÔn, v iÃu ngữủc lÔi nõi chung khổng úng XuĐt phĂt tứ nhỳng nởi dung trẳnh by trản Ơy, chúng tổi  lỹa chồn à ti luên vôn thÔc sắ "Mởt số tờng quĂt hõa cừa mổ un nƠng" Mửc tiảu cừa à ti l tờng hủp v trẳnh by vợi chùng minh chi ti¸t nhúng k¸t qu£ cì b£n v· mổ un nƠng, mổ un f-nƠng, mổ un nỷa chẵnh quy, mổ un cf-nƠng, mổ un phử ối hỳu hÔn v mổ un nƠng ối hỳu hÔn tứ cĂc ti liằu tham khÊo [1], [4], [12], [13], [14] v [16] ỗng thới, chúng tổi cụng nghiản cựu, phĂt hiằn nhơm bờ sung kát quÊ và mội lỵp mỉ un n y v mèi quan h» giúa chóng Ngo i phƯn M Ưu, Kát luên v Ti liằu tham khÊo, nởi dung chẵnh cừa luên vôn ữủc trẳnh by ba chữỡng Chữỡng Kián thực chuân b 1.1 Mổ un nhä 1.2 Ph¦n phư, mỉ un ph¦n phư, mỉ un phử 1.3 CĂc tẵnh chĐt xÔ Ênh e Chữỡng Mổ un nƠng, mổ un nƠng hỳu hÔn, mổ un nỷa chẵnh quy v mỉ un cf-n¥ng 2.1 Mỉ un n¥ng 2.2 Mỉ un n¥ng hỳu hÔn, mổ un nỷa chẵnh quy v mổ un cf-nƠng Chữỡng Mổ un phử ối hỳu hÔn v mổ un nƠng ối hỳu hÔn 3.1 Mổ un phử ối hỳu hÔn 3.2 Mổ un nƠng ối hỳu hÔn Luên vôn ữủc hon thnh nhớ sỹ hữợng dăn v giúp ù tên tẳnh cừa ThƯy hữợng dăn TS Mai Quỵ Nôm, Trữớng Ôi hồc Quy Nhỡn NhƠn dp ny, tổi xin by tọ sỹ kẵnh trồng v lỏng biát ỡn sƠu sưc án ThƯy  giúp ù tổi suốt quĂ trẳnh hồc têp v thỹc hiằn luên vôn Tổi cụng xin gỷi lới cÊm ỡn án Phỏng o tÔo sau Ôi hồc, Khoa ToĂn quỵ ThƯy, Cổ giÊng dÔy lợp cao hồc Ôi số v lẵ thuyát số Khõa 21  tÔo iÃu kiằn thuên lủi cho tổi quĂ trẳnh hồc têp v thüc hi»n · t i Ci cịng, tỉi xin ÷đc by tọ lỏng biát ỡn án gia ẳnh, ngữới thƠn v bÔn b  hộ trủ, giúp ù tổi suốt quĂ trẳnh hồc têp cụng nhữ thỹc hiằn luên vôn ny Mc dũ luên vôn ữủc thỹc hiằn vợi sỹ nộ lỹc cừa bÊn thƠn iÃu kiằn thới gian cõ hÔn, trẳnh ở kián thực v kinh nghiằm nghiản cựu cỏn hÔn chá nản luên vôn khõ trĂnh khọi nhỳng thiáu sõt Tổi rĐt mong nhên ữủc nhỳng gõp ỵ cừa quỵ ThƯy, Cổ luên vôn ữủc hon thiằn hỡn e Mởt số kỵ hiằu Mổ un Mổ un nhọ Côn cừa mổ un M HÔt nhƠn cừa ỗng cĐu f Im(f ) nh cừa ỗng cĐu f EndR (M ) Vnh cĂc tỹ ỗng cĐu cõa mỉ un M Mỉ un ⊕-phư Mỉ un trüc ti¸p phư K ≤ce L Mỉ un èi cèt y¸u cc K≤ M Mæ un èi âng cs K≤ L Bao h m èi nhä ≤ Rad(M ) Ker(f ) e ... MËT SÈ TÊNG QUT HÂA CếA Mặ UN NNG Chuyản ngnh M số : : Ôi số v lẵ thuyát số 8460104 Ngữới hữợng dăn : TS MAI QUị NM e i Mửc lửc M Ưu Mởt số kỵ hiằu Kián thực chuân bà 1.1 Mæ un nhä ... R-mổ un M ữủc gồi l cõ số chiÃu hollow hỳu hÔn náu M khỉng chùa mët hå mỉ un èi ëc lªp vỉ hÔn Nõi cĂch khĂc, số n = sup{k N | M cõ mởt hồ gỗm k mổ un ối ởc lêp} ữủc gồi l số chiÃu hollow cừa... líi c£m ìn ¸n Pháng o tÔo sau Ôi hồc, Khoa ToĂn quỵ ThƯy, Cổ giÊng dÔy lợp cao hồc Ôi số v lẵ thuyát số Khõa 21  tÔo iÃu kiằn thuên lủi cho tổi quĂ trẳnh hồc têp v thỹc hiằn à ti Cuối cũng,