BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN LÊ NHẤT DUY MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC HÖLDER TỔNG QUÁT VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định 2019 e BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHN Lấ NHT DUY ă MT S BT NG THC HOLDER TỔNG QUÁT VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - 2019 e BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN LÊ NHẤT DUY ă MT S BT NG THC HOLDER TNG QUT VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS ĐINH THANH ĐỨC Bình Định - 2019 e Mục lục Mục lục MỞ ĐẦU Mt s bt ng thc Hă older tng quỏt 1.1 Giới thiệu 1.2 Một số bt ng thc Hăolder tng quỏt dng ri rc 1.2.1 Mở rộng bt ng thc Hăolder tng quỏt thụng qua cỏc bt đẳng thức loại Hu tổng quát 1.2.2 M rng bt ng thc Hăolder tng quỏt thơng qua tính chất đơn điệu 19 Một số dạng mở rộng khác 34 1.3 Mt s bt ng thc Hăolder tổng quát dạng liên tục 50 1.4 Bt ng thc Hăolder ngc 59 1.2.3 Một vài ứng dụng 62 2.1 Ứng dụng ca mt s bt ng thc Hăolder tng quỏt 62 2.2 Một số ứng dụng ca bt ng thc Hăolder ngc 67 KẾT LUẬN 71 TÀI LIỆU THAM KHẢO 72 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao) e MỞ ĐẦU Bất đẳng thức ln đề tài hay, có ứng dụng rộng rãi đóng vai trị quan trọng tốn học Trong danh sách bất đẳng thức, bất đẳng thức Hăolder c ngi ta xem nh mt nhng bt đẳng thức nhất, có tính ứng dụng cao việc giải vấn đề toán học Để tìm hiểu chi tiết có nhìn khái quỏt v bt ng thc Hăolder cng nh nhng ng dụng chúng tốn học, tơi chọn đề tài Mt s bt ng thc Hăolder tng quỏt v ng dng Bt ng thc Hăolder c t theo tờn ca nh toỏn hc ngi c Otter Hăolder Trong suốt chiều dài phát triển toán học, vấn v bt ng thc Hăolder ó c nhiu nh tốn học tìm hiểu mở rộng kết hay, với khả ứng dụng ngày rộng rãi bất đẳng thức toán học Cụ thể, R Bellman E F Beckenbach [2] vào năm 1961 đưa dng tng quỏt liờn tc ca bt ng thc Hăolder, tiếp sau P M Vasi´c J E Peˇcari´c [17] vào năm 1979 trình bày dạng tổng quỏt ri rc ca bt ng thc Hăolder Tip ni kết trình bày [2] [17], kết nghiên cứu công bố sau cung cấp nhiều dạng mở rộng cải tiến bất ng thc Hăolder Nm 2002, Xiao-Jing Yang [13] bng cỏch xây dựng hàm đơn điệu đưa mt dng m rng ca bt ng thc Hăolder v XiaoJing Yang(2012) [19], với mục đích mở rộng bt ng thc Hăolder ó a mt kt qu với ý tưởng tương tự Trong khoảng năm trở lại đây, hàng loạt báo khác công bố với nội dung trọng tâm tiếp tc m rng, ci tin bt ng thc Hăolder bng nhiều phương pháp khác nhau, phương pháp thông qua bất đẳng thức loại Hu tổng quát [11] vào năm 2017, thơng qua tính chất đơn điệu [8, 10] vào năm 2015, 2016 Jing-Feng Tian, hay báo gần [7] vào năm 2018 nhóm tác giả e Jing-Feng Tian, Ming-Hu Ha Chao Wang Qua số lượng báo kết qu i kốm v bt ng thc Hăolder, chỳng ta thể thấy tính đa dạng phong phú vấn đề liên quan đến bất đẳng thức tiếng Mục tiêu luận văn trình bày cách hệ thống chi tiết dạng tổng quát rời rạc liên tục bất đẳng thc Hăolder c trỡnh by cỏc ti liu [4, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 19], trọng vào việc mở rộng cải tiến nó, từ có nhìn tổng quan q trình phát trin ca bt ng thc Hăolder Vic ỏnh giỏ cht chẽ bất đẳng thức đem lại nhiều kết kèm theo cho cách đánh giá rõ ràng đại lượng Cụ thể hơn, luận văn này, chúng tơi trình bày số ứng dụng bt ng thc Hăolder tng quỏt vic ci tin mở rộng bất đẳng thức Chung, Beckenbach, Minkowski Hao Z-C Đồng thời, trình bày số dạng ngược bất đẳng thức Radon, bất đẳng thức Jensen bất đẳng thức trung bình tích phân với trọng số Bố cục luận văn bao gồm chương: Chương 1: Trong chương này, hệ thống li cỏc dng tng quỏt ca bt ng thc Hăolder hai dạng rời rạc liên tục Đưa đánh giá so sánh phương pháp m rng bt ng thc Hăolder Chng 2: p dng kết thu chương 1, trình bày số dạng mở rộng cải tiến bất đẳng thức Chung, bất đẳng thức Beckenbach, bất đẳng thức Minkowski bất đẳng thức Hao Z-C Cùng với số dạng ngược bất đẳng thức Radon, bất đẳng thức Jensen bất đẳng thức trung bình tích phân với trọng số Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình PGS TS Thầy Đinh Thanh Đức Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Thầy Đồng thời, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến tồn thể q thầy giáo Khoa Toán, Trường Đại Học Quy Nhơn, lớp Cao học Toán K20 quan tâm tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu thực đề tài Mặc dù cố gắng trình thực luận văn, điều kiện thời gian có hạn, trình độ kinh nghiệm nghiên cứu khoa học cịn nhiều hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi nhiều thiếu sót Rất mong nhận góp ý tận tình q thầy bạn bè để luận văn e hoàn thiện e Chương Mt s bt ng thc Hă older tng quỏt Trong chương này, đề cập số dạng tng quỏt ca bt ng Hăolder hai dng ri rạc liên tục, việc mở rộng cải tiến Các kết có áp dụng để đưa số dạng tổng quát cải tiến bất đẳng thức tiếng khác Nội dung phần chúng tơi trình bày dựa tài liệu [4, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 19] 1.1 Giới thiệu Như ó bit, bt ng thc Hăolder c in núi ak ≥ 0, bk ≥ (k = 1, 2, · · · , n), p ≥ q > 1, p1 + n X ak b k ≤ X n k=1 apk k=1 q = p1 X 1q n bqk (1.1) k=1 Dấu bất đẳng thức (1.1) ngược lại với p < Đối với dạng liên tục, bất ng thc Hăolder c phỏt biu nh sau: Cho p, q > 0, p1 + 1q = f (x) ∈ Lp [a; b], g(x) ∈ Lq [a; b] Khi Z b Z b 1q p1 Z b ... bày số dạng mở rộng cải tiến bất đẳng thức Chung, bất đẳng thức Beckenbach, bất đẳng thức Minkowski bất đẳng thức Hao Z-C Cùng với số dạng ngược bất đẳng thức Radon, bất đẳng thức Jensen bất đẳng. .. bày số ứng dng ca cỏc bt ng thc Hăolder tng quỏt việc cải tiến mở rộng bất đẳng thức Chung, Beckenbach, Minkowski Hao Z-C Đồng thời, trình bày số dạng ngược bất đẳng thức Radon, bất đẳng thức. .. Ar(2j) Từ Bổ đề 1.2.1 bất đẳng thức (1.22), (1.23), ta có bất đẳng thức (1.20) Hệ chứng minh Có thể thấy hai dạng tổng quát (1.20) (1.21) cho cách đánh giá chặt chẽ bất đẳng thức (1.5) thơng qua