Đang tải... (xem toàn văn)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGÔ THỊ GIANG MỘT SỐ ĐỊNH LÝ HỘI TỤ MẠNH GIẢI BÀI TOÁN KHÔNG ĐIỂM CHUNG TÁCH TỔNG QUÁT TRONG KHÔNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành Toán[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGÔ THỊ GIANG MỘT SỐ ĐỊNH LÝ HỘI TỤ MẠNH GIẢI BÀI TỐN KHƠNG ĐIỂM CHUNG TÁCH TỔNG QT TRONG KHƠNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 46 01 12 TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trương Minh Tuyên TS Phạm Hồng Trường Thái Nguyên – 2020 c ii Lời cảm ơn Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới TS Trương Minh Tuyên, TS Phạm Hồng Trường ln tận tình hướng dẫn, bảo giúp đỡ tác giả suốt trình học tập nghiên cứu để hoàn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới thầy, khoa Tốn–Tin, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên giảng dạy giúp đỡ tác giả thời gian học tập nghiên cứu trường Qua tác giả xin chân thành cảm ơn tới người thân gia đình, bạn bè đồng nghiệp động viên tạo điều kiện giúp đỡ mặt suốt trình học tập thực luận văn c iii Mục lục Lời cảm ơn ii Một số ký hiệu viết tắt v Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số đặc trưng không gian Hilbert 1.2 Ánh xạ khơng giãn tốn tử đơn điệu không gian Hilbert 1.2.1 Ánh xạ không giãn 1.2.2 Toán tử đơn điệu 10 1.3 Phương pháp lặp Halpern phương pháp xấp xỉ mềm tìm điểm bất động chung họ ánh xạ không giãn 14 1.3.1 Phương pháp lặp Halpern 14 1.3.2 Phương pháp xấp xỉ mềm 14 1.4 Phương pháp CQ giải toán chấp nhận tách 15 1.5 Một số bổ đề bổ trợ 17 Chương Một số định lý hội tụ mạnh cho tốn khơng điểm chung tách tổng qt 22 2.1 Bài tốn khơng điểm chung tách tổng quát 22 2.2 Phương pháp lặp kiểu Halpern kết hợp với phương pháp CQ 23 2.3 Phương pháp xấp xỉ mềm kết hợp với phương pháp CQ 28 2.4 Một số ứng dụng 31 2.4.1 Bài tốn khơng điểm chung tách 31 2.4.2 Bài toán điểm cực tiểu tách tổng quát 32 2.4.3 Bài toán chấp nhận tách tổng quát 34 2.4.4 Bài toán cân tách tổng quát 36 c iv 2.4.5 2.5 Bất đẳng thức biến phân tách tổng quát 38 Ví dụ số minh họa 40 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 c v Một số ký hiệu viết tắt H không gian Hilbert h., i tích vơ hướng H k.k chuẩn H ∪ phép hợp ∩ phép giao R+ tập số thực khơng âm G(A) đồ thị tốn tử A D(A) miền xác định toán tử A R(A) miền ảnh toán tử A A−1 toán tử ngược toán tử A I toán tử đồng ∅ tập rỗng ∀x với x ∃x tồn x xn −→ x0 dãy {xn } hội tụ mạnh x0 xn * x0 dãy {xn } hội tụ yếu x0 F (T ) tập điểm bất động ánh xạ T c Mở đầu Trong thực tế vật, tượng chuyển đổi từ trạng thái x∗ (thông tin đầu vào, nguyên liệu) sang trạng thái b (kết đầu ra, sản phẩm) phải chuyển qua hay nhiều trình “biến đổi” liên tiếp Người ta mong muốn tìm nguồn hay trạng thái ban đầu x∗ dẫn đến trạng thái b vật tượng sau trình biến đổi f Chẳng hạn, việc tìm nghiệm hệ phương trình tuyến tính Ax = b Hoặc người ta muốn tìm nguồn hay trạng thái ban đầu x∗ cho trình biến đổi liên tiếp tối ưu theo nghĩa Đây mơ hình loại tốn tách Ta biết toán chấp nhận tách (Split Feasibility Problem), viết tắt (SFP), lần đề xuất nghiên cứu Censor and Elfving [3] với mục đích mơ hình hóa số tốn ngược Bài tốn phát biểu sau: Tìm phần tử x∗ ∈ C cho T (x∗ ) ∈ Q, (0.1) đó, C Q tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực H1 H2 , T : H1 −→ H2 tốn tử tuyến tính bị chặn Ta thấy tốn (0.1), số toán liên quan, trường hợp đặc biệt toán tách tổng quát sau Cho X Y hai không gian Hilbert hay Banach, cho T : X −→ Y ánh xạ từ X vào Y Giả sử (P1 ) (P2 ) hai toán cho trước X Y , tương ứng Xét toán tìm phần tử x∗ thuộc X cho x∗ nghiệm (P1 ) T (x∗ ) nghiệm (P2 ) Ta ký hiệu toán (P ) Năm 2019 Reich Tuyen [14] lần đề xuất nghiên cứu dạng tổng quát Bài toán (P ) sau: Cho X1 , X2 , , XN không gian Hilbert hay Banach cho Ti : Xi −→ Xi+1 , i = 1, 2, , N − 1, ánh xạ từ Xi vào Xi+1 Giả sử (Pi ), i = 1, 2, , N , N toán cho trước Xi , tương ứng Khi dạng tổng qt Bài tốn (P ) tìm phần tử c x∗ X1 cho x∗ nghiệm toán (P1 ), T1 (x∗ ) nghiệm toán (P2 ), , TN −1 (TN −2 ( T2 (T1 (x∗ )))) nghiệm Bài toán (PN ), họ ký hiệu toán (GP ) Cụ thể [14] Reich Tuyen xét toán (GP ) với ánh xạ chuyển Ti tuyến tính, bị chặn (Pi ) tốn tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu cực đại Ai Bài toán gọi tốn khơng điểm chung tách tổng qt (Generalized Split Common Null Point Problem, viết tắt GSCNPP) Mục đích luận văn trình bày lại kết Reich Tuyen [14] cải tiến phương pháp CQ, kết hợp với phương pháp điểm gần kề giải toán GSCNPP Nội dung luận văn chia làm hai chương chính, đó: Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương tập trung trình bày lại số tính chất không gian Hilbert, phép chiếu mêtric, hai phương pháp lặp tìm điểm bất động ánh xạ không giãn (phương pháp lặp Halpern, phương pháp xấp xỉ gắn kết) Tiếp theo, đề cập đến phương pháp CQ để giải toán chấp nhận tách cuối số bổ đề bổ trợ sử dụng chứng minh định lý Chương luận văn Chương Một số định lý hội tụ mạnh cho tốn khơng điểm chung tách tổng qt Nội dung chương đề cập đến kết [14] hai định lý hội tụ mạnh giải toán GSCNPP Một số ứng dụng phương pháp lặp cho toán liên quan khác (bài tốn khơng điểm chung tách, tốn điểm cực tiểu tách tổng quát, toán chấp nhận tách tổng quát, toán cân tách tổng quát bất đẳng thức biến phân tách tổng quát) giới thiệu chương c Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương bao gồm mục Mục 1.1 đề cập đến số đặc trưng không gian Hilbert thực, Mục 1.2 giới thiệu sơ lược số kết ánh xạ khơng giãn tốn tử đơn điệu Mục 1.3 trình bày phương pháp lặp Halpern phương pháp xấp xỉ mềm cho tốn tìm điểm bất động ánh xạ không giãn Mục 1.4 đề cập đến toán chấp nhận tách phương pháp CQ để xấp xỉ nghiệm tốn khơng gian Hilbert Mục 1.5 giới thiệu số bổ đề bổ trợ cần sử dụng việc trình bày nội dung Chương Nội dung chương phần lớn tham khảo từ tài liệu [1, 2, 8, 12] 1.1 Một số đặc trưng không gian Hilbert Ta giả thiết H không gian Hilbert thực với tích vơ hướng kí hiệu h., i chuẩn kí hiệu k.k Trước hết, ta nhắc lại đặc trưng hình học quan trọng khơng gian Hilbert Mệnh đề 1.1.1 Trong không gian Hilbert thực H ta ln có đẳng thức sau kx − yk2 + kx − zk2 = ky − zk2 + 2hx − y, x − zi, với x, y, z ∈ H c Chứng minh Thật vậy, ta có ky − zk2 + 2hx − y, x − zi = hy, yi + hz, zi + 2hx, xi − 2hx, zi − 2hx, yi = [hx, xi − 2hx, yi + hy, yi] + [hx, xi − 2hx, zi + hz, zi] = kx − yk2 + kx − zk2 Vậy ta điều phải chứng minh Mệnh đề 1.1.2 Cho H không gian Hilbert thực Khi đó, với x, y ∈ H λ ∈ [0, 1], ta có kλx + (1 − λ)yk2 = λkxk2 + (1 − λ)kyk2 − λ(1 − λ)kx − yk2 (1.1) Chứng minh Ta có kλx + (1 − λ)yk2 = λ2 kxk2 − 2λ(1 − λ)hx, yi + (1 − λ)2 kyk2 = λkxk2 + (1 − λ)kyk2 − λ(1 − λ)(kxk2 − 2hx, yi + kyk2 ) = λkxk2 + (1 − λ)kyk2 − λ(1 − λ)kx − yk2 Ta điều phải chứng minh Mệnh đề 1.1.3 Cho H không gian Hilbert thực Khi đó, với x, y ∈ H thỏa mãn điều kiện |hx, yi| = kxk.kyk, tức bất đẳng thức Schwars xảy dấu hai véc tơ x y phụ thuộc tuyến tính Chứng minh Giả sử ngược lại x 6= λy với λ ∈ R Khi đó, từ tính chất tích vơ hướng, ta có < kx − λyk2 = λ2 kyk2 − 2λhx, yi + kxk2 , với λ ∈ R Ta thấy y = 0, hiển nhiên x y phụ thuộc tuyến hx, yi tính Giả sử y 6= 0, với λ = , bất đẳng thức trở thành kyk2 |hx, yi| < kxk.kyk, điều mâu thuẫn với giả thiết Vậy x y phụ thuộc tuyến tính Mệnh đề chứng minh c Nhắc lại rằng, dãy {xn } không gian Hilbert H gọi hội tụ yếu phần tử x ∈ H, lim hxn , yi = hx, yi, n→∞ với y ∈ H Từ tính liên tục tích vơ hướng, suy xn → x, xn * x Tuy nhiên, điều ngược lại không Chẳng hạn, xét không gian P∞ 2 l2 = {{xn } ⊂ R : n=1 |xn | < ∞} {en } ⊂ l , cho en = (0, , 0, , 0, , 0, ), vị trí thứ n với n ≥ Khi đó, en * 0, n → ∞ Thật vậy, với y ∈ H, từ bất đẳng thức Bessel, ta có ∞ X |hen , yi|2 ≤ kyk2 < ∞ n=1 Suy limn→∞ hen , yi = 0, tức en * Tuy nhiên, {en } khơng hội tụ 0, ken k = với n ≥ Ta biết không gian Hilbert H thỏa mãn điều kiện Opial, tính chất thể mệnh đề đây: Mệnh đề 1.1.4 Cho H không gian Hilbert thực {xn } ⊂ H dãy thỏa mãn điều kiện xn * x, n → ∞ Khi đó, với y ∈ H y 6= x, ta có lim inf kxn − xk < lim inf kxn − yk n→∞ n→∞ Chứng minh Vì xn * x, nên {xn } bị chặn Ta có kxn − yk2 = kxn − xk2 + kx − yk2 + 2hxn − x, x − yi Vì x 6= y, nên lim inf kxn − yk2 > lim inf (kxn − xk2 + 2hxn − x, x − yi) n→∞ n→∞ = lim inf kxn − xk2 n→∞ Do đó, ta nhận lim inf kxn − xk < lim inf kxn − yk n→∞ n→∞ Mệnh đề chứng minh c (1.2) ... định lý hội tụ mạnh giải toán GSCNPP Một số ứng dụng phương pháp lặp cho toán liên quan khác (bài tốn khơng điểm chung tách, tốn điểm cực tiểu tách tổng quát, toán chấp nhận tách tổng quát, toán. .. đến phương pháp CQ để giải toán chấp nhận tách cuối số bổ đề bổ trợ sử dụng chứng minh định lý Chương luận văn Chương Một số định lý hội tụ mạnh cho tốn khơng điểm chung tách tổng qt Nội dung chương... bổ trợ 17 Chương Một số định lý hội tụ mạnh cho tốn khơng điểm chung tách tổng qt 22 2.1 Bài tốn khơng điểm chung tách tổng quát 22 2.2 Phương pháp lặp kiểu