ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ NGỌC MAI VỀ PHƯƠNG PHÁP LẶP KRASNOSELSKII–MANN CHO ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊ[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN THỊ NGỌC MAI VỀ PHƯƠNG PHÁP LẶP KRASNOSELSKII–MANN CHO ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN THỊ NGỌC MAI VỀ PHƯƠNG PHÁP LẶP KRASNOSELSKII–MANN CHO ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trần Xuân Quý THI NGUYấN - 2019 c Mửc lửc BÊng kỵ hiằu M Ưu Bi toĂn im bĐt ởng cừa Ănh xÔ khổng giÂn khổng gian Hilbert 1.1 1.2 nh xÔ khổng giÂn khổng gian Hilbert 1.1.1 Mởt số tẵnh chĐt cừa khổng gian Hilbert 1.1.2 Php chiáu mảtric khæng gian Hilbert 1.1.3 nh xÔ khổng giÂn, Ănh xÔ ỡn iằu khổng gian Hilbert B i to¡n iºm bĐt ởng cừa Ănh xÔ khổng giÂn 1.2.1 B i to¡n iºm b§t ëng 1.2.2 Mët sè ph÷ìng phĂp xĐp x im bĐt ởng cừa Ănh xÔ khổng gi¢n 5 10 10 11 Phữỡng phĂp lp KrasnoselskiiMann cho Ănh xÔ khổng giÂn khỉng gian Hilbert 14 2.1 2.2 2.3 Ph÷ìng ph¡p l°p KrasnoselskiiMann cho Ănh xÔ khổng giÂn 2.1.1 Bi toĂn v ph÷ìng ph¡p 2.1.2 Sü hëi tö Ph÷ìng ph¡p l°p kiºu KrasnoselskiiMann suy rëng 2.2.1 Hëi tư y¸u 2.2.2 Hởi tử mÔnh Ùng döng 2.3.1 Ùng dưng cho ph÷ìng ph¡p t¡ch DouglasRachford 2.3.2 ng dửng phữỡng phĂp chiáu luƠn phiản John von Neumann i c 14 15 15 19 20 25 30 30 32 ii Kát luên 35 Ti liằu tham khÊo 36 c BÊng kỵ hiằu H R R+ N ∀x A−1 I C[a, b] d(x, C) lim supn→∞ xn lim inf n→∞ xn xn → x0 xn * x0 Fix(T ) khæng gian Hilbert thüc têp cĂc số thỹc têp cĂc số thỹc khổng Ơm têp cĂc số tỹ nhiản vợi mồi x toĂn tỷ ngữủc cừa toĂn tỷ A toĂn tỷ ỗng nhĐt têp cĂc hm liản tửc trản oÔn [a, b] khoÊng cĂch tứ phƯn tỷ x án têp hủp C giợi hÔn trản cừa dÂy số {xn } giợi hÔn dữợi cừa dÂy số {xn } dÂy {xn } hởi tử mÔnh và x0 dÂy {xn } hởi tử yáu và x0 têp im bĐt ởng cừa Ănh xÔ T c M Ưu Bi toĂn tẳm im bĐt ởng chung cừa mởt hồ hỳu hÔn cĂc Ănh xÔ khổng giÂn khỉng gian Hilbert hay khỉng gian Banach l mët tr÷íng hủp riảng cừa bi toĂn chĐp nhên lỗi: "Tẳm mởt ph¦n tû thuëc giao kh¡c réng cõa mët hå húu hÔn hay vổ hÔn cĂc têp lỗi v õng {Ci }i∈I cõa khæng gian Hilbert H hay khæng gian Banach E " vợi I l têp ch số Bi to¡n n y câ nhi·u ùng dưng c¡c l¾nh vüc khĂc nhữ: xỷ lẵ Ênh, khổi phửc tẵn hiằu, vêt lỵ, y hồc, Khi Ci = Fix(Ti ), têp im bĐt ởng cừa cĂc Ănh xÔ khổng giÂn Ti vợi i = 1, 2, , N ,  cõ nhiÃu phữỡng phĂp ữủc à xuĐt tẳm im bĐt ởng chung cừa hồ Ănh xÔ khổng giÂn {Ti }N i=1 dỹa trản cĂc phữỡng phĂp lp cờ in nời tiáng nhữ phữỡng phĂp lp Mann, ph÷ìng ph¡p l°p Halpern, ph÷ìng ph¡p l°p Ishikawa, ph÷ìng ph¡p l°p Kranoselskii Vi»c c£i ti¸n v mð rëng cĂc cĂc phữỡng phĂp ny cho cĂc lợp bi toĂn liản quan ang l à ti thu hút ữủc sỹ quan tƠm nghiản cựu cừa nhiÃu nh toĂn hồc v ngoi nữợc Dữợi sỹ hữợng dăn cừa TS TrƯn XuƠn Quỵ, tổi chồn à ti: "Và phữỡng phĂp lp KrasnoselskiiMann cho Ănh xÔ khổng giÂn khổng gian Hilbert v Ăp dửng" cho luên vôn thÔc sắ cừa mẳnh Mửc tiảu cừa luên vôn l trẳnh by mởt số phữỡng phĂp xĐp x im bĐt ởng cừa Ănh xÔ khổng giÂn khổng gian Hilbert thỹc H trản cỡ sð ph÷ìng ph¡p l°p Krasnoselskii v ph÷ìng ph¡p l°p Mann Nởi dung luên vôn ữủc trẳnh by hai chữỡng Cử th nhữ sau: Chữỡng Bi toĂn im bĐt ởng cừa Ănh xÔ khổng giÂn khổng gian Hilbert Chữỡng ny trẳnh by mởt số tẵnh chĐt cỡ bÊn cõa khỉng gian Hilbert thüc H , tr¼nh b y v· Ănh xÔ khổng giÂn, Ănh xÔ ỡn iằu, php chiáu m¶tric c khỉng gian Hilbert cịng mët số tẵnh chĐt, giợi thiằu và bi toĂn im bĐt ởng v mởt số phữỡng phĂp lp cờ in tẳm im bĐt ởng cừa Ănh xÔ khổng giÂn khổng gian Hilbert thüc H Ch÷ìng Ph÷ìng ph¡p l°p KrasnoselskiiMann cho Ănh xÔ khổng giÂn khổng gian Hilbert Chữỡng ny trẳnh by phữỡng phĂp KrasnoselskiiMann xĐp x im bĐt ởng cho Ănh xÔ khổng giÂn khổng gian Hilbert Trẳnh by chựng minh cĂc nh lỵ và sỹ hởi yáu, hởi tử mÔnh cừa phữỡng phĂp mởt sè v½ minh håa cho i·u ki»n °t cõa c¡c ph÷ìng ph¡p.Mët v i ùng dưng cõa ph÷ìng ph¡p l°p KrasnoselskiiMann ối vợi phữỡng phĂp tĂch DouglasRachford v php chiáu luên phiản John von Neumann cụng ữủc trẳnh by chữỡng ny Trong quĂ trẳnh hồc têp v nghiản cựu tÔi trữớng Ôi hồc Khoa hồc, Ôi hồc ThĂi Nguyản, em luổn nhên ữủc sỹ quan tƠm giúp ù v ởng viản cừa cĂc thƯy cổ Ban GiĂm hiằu, o tÔo, Khoa ToĂn Tin Vợi bÊn luên vôn ny, em mong muốn ữủc gõp mởt phƯn nhọ cỉng sùc cõa m¼nh v o vi»c g¼n giú v ph¡t huy v àp, sỹ hĐp dăn cho nhỳng nh lỵ toĂn hồc vốn dắ  rĐt àp Ơy cụng l mởt cỡ hởi cho em gỷi lới tri Ơn tợi têp th cĂc thƯy cổ giÊng viản cừa trữớng Ôi hồc Khoa hồc Ôi hồc ThĂi Nguyản nõi chung v Khoa ToĂn Tin nõi riảng,  truyÃn thử cho em nhiÃu kián thực khoa hồc quỵ bĂu thới gian em ữủc l hồc viản cừa trữớng TĂc giÊ xin chƠn thnh cÊm ỡn Ban GiĂm hiằu trữớng THSC Quang Trung, TP Y¶n B¡i cịng to n thº c¡c anh ch em ỗng nghiằp  tÔo iÃu kiằn tốt nh§t cho t¡c gi£ thíi gian i håc Cao hồc; cÊm ỡn cĂc anh ch em hồc viản lợp Cao hồc ToĂn K11 v bÔn b ỗng nghiằp  trao ời, ởng viản v khẵch lằ tĂc giÊ quĂ trẳnh hồc têp v lm luên vôn tÔi trữớng Ôi hồc Khoa hồc, Ôi hồc ThĂi Nguyản c biằt em xin ữủc by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc tợi thƯy giĂo TS TrƯn XuƠn Quỵ  luổn quan tƠm Ơn cƯn ch bÊo, ởng viản khẵch lằ, giúp ù tên tẳnh v gõp ỵ sƠu sưc cho em suốt quĂ trẳnh hồc têp cụng nhữ thỹc hiằn · t i Ch°ng ÷íng vøa qua s³ l nhúng k¿ niằm Ăng nhợ v Ưy ỵ nghắa ối vợi cĂc anh ch em hồc viản lợp K11 nõi chung v vợi bÊn thƠn em c nõi riảng Xin chƠn thnh cÊm ỡn tĐt cÊ nhỳng ngữới thƠn yảu  giúp ù, ỗng hnh em trản chng ữớng vứa qua Mởt lƯn nỳa, em xin trƠn trồng cÊm ỡn! ThĂi Nguyản, ngy 22 thĂng nôm 2019 Hồc viản Nguyạn Th Ngồc Mai c Chữỡng Bi toĂn im bĐt ởng cừa Ănh xÔ khổng giÂn khổng gian Hilbert Chữỡng ny giợi thiằu và mởt số tẵnh chĐt cừa khổng gian Hilbert, Ănh xÔ khổng giÂn, Ănh xÔ ỡn iằu, c trững cừa php chiáu mảtric khổng gian Hilbert mởt số phữỡng phĂp lp xĐp x im bĐt ởng cừa Ănh xÔ khổng giÂn Nởi dung cừa chữỡng ữủc viát trản cỡ s tờng hủp kián thùc tø c¡c t i li»u [2], [3], [5], [8] v mởt số ti liằu ữủc trẵch dăn õ 1.1 nh xÔ khổng giÂn khổng gian Hilbert Cho H l mởt khổng gian Hilbert thỹc vợi tẵch vổ hữợng h., i v chuân k.k, tữỡng ựng Cho {xn } l mởt dÂy khổng gian H Ta kỵ hiằu xn * x nghắa l dÂy {xn } hởi tử yáu án x v xn x nghắa l dÂy {xn } hởi tử mÔnh án x 1.1.1 Mởt số tẵnh chĐt cừa khổng gian Hilbert Trữợc hát ta nhưc lÔi nh nghắa và sỹ hởi tử yáu khổng gian Hilbert thỹc H nh nghắa 1.1.1 DÂy {xn } khỉng gian Hilbert H ÷đc gåi l hởi tử yáu và phƯn tỷ x H , n¸u lim hxn , yi = hx, yi, n→∞ ∀y H Nhên xt 1.1.2 Tứ tẵnh liản tửc cừa tẵch vổ hữợng, suy náu xn x, thẳ xn * x Tuy nhiản, iÃu ngữủc lÔi khổng úng c Chng hÔn xt khổng gian Hilbert l := {xn } ⊂ R : ∞ X |xn |2 < ∞ n=1 v gi£ sû d¢y {en } ⊂ l2 ÷đc cho bði en = (0, , 0, , 0, , 0, ), tr½ thù n vỵi måi n > Khi â, en * 0, n Thêt vêy, vợi mội y ∈ H , tø b§t ¯ng thùc Bessel, ta câ ∞ X |hen , yi|2 < kyk2 < ∞ n=1 Suy limn→∞ hen , yi = 0, tùc l en * Tuy nhi¶n, {en } khỉng hëi tư mÔnh và 0, vẳ ken k = vợi mồi n > Mởt số tẵnh chĐt cừa khổng gian Hilbert thỹc H ữủc trẳnh by bờ à dữợi ¥y Bê · 1.1.3 (xem [2]) Cho H khỉng gian Hilbert thüc Khi â: (i) kx + yk2 kxk2 + 2hx + y, yi ∀x, y ∈ H (ii) kx + yk2 = kxk2 + kyk2 + 2hx, yi vỵi måi x, y ∈ H ; (iii) ktx + (1 − t)yk2 = tkxk2 + (1 − t)kyk2 − t(1 − t)kx − yk2 v måi x, y ∈ H vợi mồi t [0, 1] Mồi dÂy bà ch°n khæng gian gian Hilbert ·u chùa mët dÂy hởi tử yáu Bờ à 1.1.4 (xem [2]) 1.1.2 Php chiáu mảtric khổng gian Hilbert Cho C l mởt têp lỗi õng khĂc rộng khổng gian Hilbert thüc H Khi â vỵi méi x H , tỗn tÔi nhĐt phƯn tỷ Pc x ∈ C cho kx − PC xk ≤ kx − yk vỵi måi y ∈ C (1.1) Chùng minh Thªt vªy, °t d = u∈C inf kx − uk Khi õ, tỗn tÔi dÂy {un } C M»nh · 1.1.5 (xem [2]) cho kx − un k → d n → ∞ Tø â, kun − um k2 = k(x − un ) − (x − um )k2 c ... NGUYỄN THỊ NGỌC MAI VỀ PHƯƠNG PHÁP LẶP KRASNOSELSKII–MANN CHO ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TRONG KHƠNG GIAN HILBERT VÀ ÁP DỤNG Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG... xÔ khổng giÂn khổng gian Hilbert 1.1 1.2 nh xÔ khổng giÂn khæng gian Hilbert 1.1.1 Mởt số tẵnh chĐt cừa khổng gian Hilbert 1.1.2 Ph²p chiáu mảtric khổng gian Hilbert 1.1.3... d¢y bà ch°n khỉng gian gian Hilbert Ãu chựa mởt dÂy hởi tử yáu Bờ à 1.1.4 (xem [2]) 1.1.2 Php chiáu mảtric khổng gian Hilbert Cho C l mởt têp lỗi õng khĂc réng khæng gian Hilbert thüc H Khi