Đang tải... (xem toàn văn)
��I HÅC TH�I NGUY�N TR×ÍNG ��I HÅC KHOA HÅC NGUY�N THÀ TRANG PH×ÌNG PH�P HI�U CH�NH L�P GI�I B�I TO�N CH�P NH�N T�CH �A T�P TRONG KHÆNG GIAN HILBERT LU�N V�N TH�C S� TO�N HÅC TH�I NGUY�N � 2020 c ��I[.]
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC NGUYN THÀ TRANG PH×ÌNG PHP HIU CHNH LP GII BI TON CHP NHN TCH A TP TRONG KHỈNG GIAN HILBERT LUN VN THC S TON HÅC THI NGUYN 2020 c I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC NGUYN THÀ TRANG PH×ÌNG PHP HIU CHNH LP GII BI TON CHP NHN TCH A TP TRONG KHặNG GIAN HILBERT Chuyản ng nh: To¡n ùng dưng M¢ sè: 46 01 12 LUN VN THC S TON HC NGìI HìẻNG DN KHOA HÅC GS.TS NGUYN B×ÍNG THI NGUYN 2020 c Líi cÊm ỡn Tổi xin by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc án GS.TS Nguyạn Bữớng, ngữới  tên tẳnh hữợng dăn, giúp ù tổi suốt quĂ trẳnh hồc têp nghiản cựu tổi hon thnh luên vôn Tổi xin chƠn thnh cÊm ỡn Ban GiĂm Hiằu, cĂc thƯy giĂo, cổ giĂo khoa ToĂn Tin, trữớng Ôi hồc Khoa hồc Ôi hồc ThĂi Nguyản  tên tẳnh giúp ù tổi suốt quĂ trẳnh hồc têp v nghiản cựu tÔi Trữớng Tổi xin gỷi lới cÊm ỡn tợi Ban Gi¡m Hi»u Tr÷íng THCS C£nh H÷ng - nìi tỉi ang lm viằc, cĂc ỗng nghiằp  tÔo iÃu kiằn v· måi m°t º tỉi tham gia håc tªp v nghi»n cùu Nh¥n dàp n y, tỉi cơng xin gûi líi cÊm ỡn chƠn thnh tợi Ban GiĂm Hiằu trữớng THCS CÊnh Hững, gia ẳnh, ỗng nghiảp, ngữới thƠn, bÔn b  ởng viằn, khẵch lằ, giúp ù tổi quĂ trẳnh hồc têp v nghiản cựu c Mửc lửc Lới cÊm ỡn Mởt số kỵ hiằu v viát tưt M Ưu Chữỡng Kián thực chuân b 1.1 ii iv C¡c kh¡i ni»m cì b£n cõa gi£i t½ch h m 1.1.1 Khæng gian Hilbert 1.1.2 Mởt số tẵnh chĐt 1.1.3 Hm lỗi v dữợi vi phƠn 1.1.4 To¡n tû khæng gian Hilbert 1.1.5 iºm b§t ëng cõa Ănh xÔ khổng giÂn 14 1.2 Ph¡t biºu b i to¡n 15 1.3 Ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh l°p 17 Ch÷ìng Ph÷ìng ph¡p hi»u chnh lp cho bi toĂn chĐp nhên tĂch khổng gian a têp 19 2.1 Mởt số bờ à cƯn thi¸t 19 2.2 Thuªt to¡n v sü hëi tö 22 2.3 V½ dư sè 29 Kát luên Ti liằu tham khÊo 31 32 c Mởt số kỵ hiằu v viát tưt H khổng gian Hilbert thỹc H khổng gian ối ngău cừa N têp số nguyản khổng Ơm N têp số nguyản dữỡng R têp hủp cĂc số thỹc C têp õng lỗi cừa php giao têp rộng x vợi mồi lim sup xn giợi hÔn trản cừa dÂy số {xn } lim inf xn giợi hÔn dữợi cừa dÂy số {xn } xn −→ x0 d¢y {xn } hëi tư mÔnh và xn * x0 dÂy {xn } hởi tử y¸u v· H H x n→∞ n→∞ F ix(T ) hoc F (T ) x0 x0 têp im bĐt ởng cừa Ănh xÔ f dữợi vi phƠn cừa hm lỗi PC php mảtric lản c C f T M Ưu Bi toĂn chĐp nhên tĂch õng vai trỏ c biằt quan trång vi»c mỉ h¼nh hâa nhi·u b i to¡n ngữủc xuĐt hiằn thỹc tá nhữ bi toĂn nn hẳnh Ênh, chửp hẳnh cởng hững tứ, khổi phửc Ênh Mởt nhỳng phữỡng phĂp  v ang ữủc nhiÃu tĂc giÊ sỷ dửng giÊi bi toĂn chĐp nhên tĂch l phữỡng phĂp chiáu õ cƯn phÊi thỹc hiằn php chiáu mảtric lản cĂc têp lỗi õng cừa khổng gian Hilbert Tuy nhiản, viằc tẵnh Ênh cừa Ănh xÔ chiáu mảtric trản mởt têp lỗi õng bĐt ký cụng khổng thỹc thi Do vêy, cƯn xƠy düng c¡c ph÷ìng ph¡p gi£i hi»u qu£ hìn · t i cừa luên vôn l phữỡng phĂp hiằu chnh lp giÊi bi toĂn chĐp nhên tĂch a têp khổng gian Hilbert â l b i to¡n t¼m mët iºm thuëc giao im cừa mởt hồ têp õng, lỗi khổng gian Hilbert m Ênh cừa nõ qua mởt Ănh xÔ tuyán tẵnh giợi nởi nơm vo giao cừa mởt hồ cĂc têp õng, lỗi mởt khổng gian Hilbert khĂc Ơy l mởt à ti vứa cõ ỵ nghắa và mt lỵ thuyát, ỗng thới vứa cõ ỵ nghắa thỹc tiạn cao Nởi dung cừa luên vôn ữủc chia lm hai chữỡng chẵnh: Chữỡng Mởt số kián thực chuân b Trong chữỡng ny, luên vôn à cêp án mởt số vĐn à cỡ bÊn cừa giÊi tẵch hm, phĂt biu bi toĂn chĐp nhên tĂch a têp, phữỡng phĂp hiằu ch¿nh, ph÷ìng ph¡p l°p, hi»u ch¿nh l°p Ch÷ìng Ph÷ìng phĂp hiằu chnh lp giÊi bi toĂn chĐp nhên tĂch khổng gian a têp Trong chữỡng ny, luên vôn têp trung trẳnh by lÔi mởt cĂch chi tiát cĂc kát quÊ cừa N Buong, P.T.T Hoi, K.T Bẳnh [3] và phữỡng phĂp hiằu chnh lp giÊi bi toĂn chĐp nhên tĂch a têp khổng gian Hilbert c Chữỡng Kián thực chuân b Chữỡng ny bao bỗm mưc Mưc 1.1 tr¼nh b y c¡c kh¡i ni»m cì b£n cõa gi£i t½ch h m Mưc 1.2 ph¡t biºu b i to¡n chĐp nhên tĂch Mửc 1.3 à cêp án phữỡng phĂp hi»u ch¿nh l°p Nëi dung cõa ch÷ìng n y ÷đc tham kh£o c¡c t i li»u [3, 4] 1.1 C¡c kh¡i ni»m cì b£n cõa gi£i t½ch h m 1.1.1 Khỉng gian Hilbert nh nghắa 1.1 X Cho khổng gian vctỡ hữợng xĂc nh X trản trữớng số thỹc R Tẵch vổ l mởt Ănh xÔ hÃ, Ãi : X ì X → R (x, y) 7→ hx, yi thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau ¥y: (i) (ii) hx, xi ≥ vỵi måi hy, xi = hx, yi x ∈ X , hx, xi = ⇔ x = 0; vỵi måi x, y ∈ X ; (iii) hx + x0 , yi = hx, yi + hx0 , yi (iv) hλx, yi = λhx, yi Sè hx, yi ÷đc gồi l Nhên xt 1.1 (i) (ii) (iii) vợi mồi vỵi måi x, x0 , y ∈ X ; x, y X , R tẵch vổ hữợng cõa hai v²ctì x, y X Tø ành nghắa suy vợi mồi x, y, z X, λ ∈ R, ta câ hx, y + zi = hx, yi + hx, zi; hx, λyi = λhx, yi; hx, 0i = ành ngh¾a 1.2 R, h·, ·i C°p (X, h·, ·i), â X l t½ch vỉ hữợng trản X ữủc gồi l c l mởt khổng gian tuyán tẵnh trản khổng gian tiÃn Hilbert thỹc M»nh · 1.1 Måi khæng gian ti·n Hilbert X l khổng gian tuyán tẵnh nh chuân, vợi chuân xĂc nh bi kxk = nh nghắa 1.3 X Náu l khổng gian tiÃn Hilbert thỹc v Ưy ừ ối vợi chuân cÊm sinh tứ tẵch vổ hữợng thẳ nh nghắa 1.4 (i) H Cho vỵi x ∈ X p hx, xi X ÷đc gåi l khỉng gian Hilbert thüc l khổng gian Hilbert DÂy {xn } ữủc gồi l Hởi tử mÔnh tợi phƯn tỷ x H , kỵ hi»u xn → x, n¸u kxn − xk → n ; (ii) Hởi tử yáu tợi phƯn tỷ x H , kỵ hiằu xn * x, náu hxn, yi hx, yi n vợi mồi y H Chú ỵ 1.1 (i) Trong khổng gian Hilbert H , hởi tử mÔnh ko theo hởi tử yáu, iÃu ngữủc lÔi khổng úng (ii) Mồi khổng gian Hilbert Ãu cõ tẵnh chĐt Kadec-Klee, tực l náu dÂy khổng gian Hilbert thẳ xn x nh nghắa 1.5 H thọa mÂn cĂc iÃu kiằn {xn } kxn k → kxk v xn * x n → ∞ Cho C l tªp cõa khỉng gian Hilbert H Khi õ C ữủc gồi l (i) Têp õng náu mồi dÂy {xn} C thọa mÂn xn → x n → ∞, ta ·u câ x C; (ii) Têp õng yáu Ãu cõ (iii) náu måi d¢y {xn } ⊂ C thäa m¢n xn * x n → ∞, ta x ∈ C; Tªp compact náu mồi dÂy phƯn tỷ thuởc {xn } C ·u câ mët d¢y hëi tư v· mët C; Têp compact tữỡng ối náu mồi dÂy {xn} C Ãu cõ mởt dÂy hởi tử; (v) Têp compact yáu náu mồi dÂy {xn } C Ãu cõ mởt dÂy hởi tử yáu và (iv) mởt phƯn tỷ thuởc C; c (vi) Têp compact tữỡng ối yáu náu mồi dÂy {xn} C Ãu cõ mởt dÂy hởi tử yáu Nhên xt 1.2 (i) Mồi têp compact Ãu l têp compact tữỡng ối, iÃu ngữủc lÔi khổng úng (ii) Mồi têp õng yáu Ãu l têp õng, iÃu ngữủc lÔi khổng úng M»nh · 1.2 Cho H l khæng gian Hilbert thüc v C l mët tªp cõa H Khi â, ta câ c¡c kh¯ng ành sau: (i) N¸u C l têp lỗi, õng thẳ C l têp õng yáu; (ii) Náu C l têp b chn thẳ C l têp compact tữỡng ối yáu nh nghắa 1.6 Hilbert thỹc tû H PC (x) ∈ C Cho C l mët têp khĂc rộng, lỗi, õng cừa khổng gian Ta biát rơng vợi mội x H, Ãu tỗn tÔi nhĐt mởt phƯn thọa mÂn kx PC (x)k = inf kx yk yC PhƯn tỷ Ănh xÔ PC (x) hẳnh chiáu cừa x lản C v thnh PC (x) ÷đc gåi l ph²p ÷đc x¡c ành nh÷ trản ữủc gồi l PC : H C bián mội phƯn tỷ chiáu mảtric tứ H lản C xH c trững cừa php chiáu mảtric ữủc cho bi mằnh à dữợi Ơy Mằnh à 1.3 Cho C l mởt têp lỗi, õng, khĂc rộng cừa khổng gian Hilbert thỹc H Khi õ, Ănh xÔ PC : H C l php chiáu mảtric tứ H lản C v ch¿ hx − PC (x), y − PC (x)i ≤ Nhªn x²t 1.3 y ∈ C, Và phữỡng diằn hẳnh hồc, vợi mồi tÔo bi cĂc vctỡ Vẵ dử 1.1 Rn vỵi måi y ∈ C x − PC (x) v y PC (x) thẳ náu ta gồi l khổng gian Hilbert thỹc vợi tẵch vổ hữợng hx, yi = n X k=1 c λk αk α l gâc â x = (λ1 , λ2 , , λn ), y = (α1 , α2 , , αn ) kxk = hx, xi = n X αk αk = k=1 V½ dư 1.2 Khổng gian l2 , vợi v chuân cÊm sinh n X k=1 x = {λk }, y = {αk }, hx, yi = ∞ X |αk |2 ta nh nghắa k k k=1 thẳ hÃ, Ãi l tẵch vổ hữợng, (l2 , hÃ, Ãi) l khổng gian Hilbert 1.1.2 Mởt số tẵnh chĐt nh lẵ 1.1 X, (BĐt ¯ng thùc Cauchy-Schwartz) Trong khỉng gian ti·n Hilbert vỵi måi x, y ∈ X ta ln câ b§t ¯ng thùc sau |hx, yi|2 ≤ hx, xi.hy, yi (1.1) Chùng minh Vợi y = bĐt ng thực hin nhiản óng Gi£ sû y 6= â vỵi måi sè λ∈R ta ·u câ hx + λy, x + λyi ≥ tùc l hx, xi + λhy, xi + λhx, yi + |λ|2 hy, yi ≥ Chån λ=− hx, yi hy, yi ta ÷đc hx, xi − |hx, yi|2 ≥ ⇔ |hx, yi|2 ≤ hx, xi.hy, yi hy, yi nh lỵ ữủc chựng minh nh lẵ 1.2 Gi£ sû {xn}n, {yn}n l hai d¢y hëi tư y¸u ¸n a, b khỉng gian ti·n Hilbert thüc X Khi â lim hxn , yn i = ha, bi n→∞ Chùng minh Gi£ sû n→∞ lim xn = a, lim yn = b khæng gian X Ta s³ chùng n→∞ minh lim hxn , yn i = ha, bi n→∞ R Thªt vªy, ta câ |hxn , yn i − ha, bi| = |hxn , yn i + hxn , bi − hxn , bi − ha, bi| c ... khổng gian tuyán tẵnh trản khổng gian tiÃn Hilbert thỹc 3 M»nh · 1.1 Måi khæng gian ti·n Hilbert X l khổng gian tuyán tẵnh nh chuân, vợi chuân xĂc nh bi kxk = nh nghắa 1.3 X Náu l khổng gian. .. Chú ỵ 1.1 (i) Trong khổng gian Hilbert H , hởi tử mÔnh ko theo hởi tử yáu, iÃu ngữủc lÔi khổng úng (ii) Mồi khổng gian Hilbert Ãu cõ tẵnh chĐt Kadec-Klee, tực l náu dÂy khỉng gian Hilbert th¼... khổng gian tiÃn Hilbert thỹc v Ưy ừ ối vợi chuân cÊm sinh tứ tẵch vổ hữợng thẳ nh nghắa 1.4 (i) H Cho vỵi x ∈ X p hx, xi X ÷đc gåi l khỉng gian Hilbert thüc l khỉng gian Hilbert DÂy {xn