Đang tải... (xem toàn văn)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN CẨM DƯƠNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM GẦN KỀ SUY RỘNG TÌM KHÔNG ĐIỂM CỦA TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU CỰC ĐẠI TRONG KHÔNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ TO[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN CẨM DƯƠNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM GẦN KỀ SUY RỘNG TÌM KHƠNG ĐIỂM CỦA TỐN TỬ ĐƠN ĐIỆU CỰC ĐẠI TRONG KHƠNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN CẨM DƯƠNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM GẦN KỀ SUY RỘNG TÌM KHƠNG ĐIỂM CỦA TỐN TỬ ĐƠN ĐIỆU CỰC ĐẠI TRONG KHÔNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN GS TS NGUYỄN BƯỜNG THÁI NGUYÊN - 2017 c i Mục lục Bảng ký hiệu ii Mở đầu 1 Một số vấn đề liên quan 1.1 Không gian Hilbert số tính chất 3 1.2 1.3 Toán tử đơn điệu cực đại 12 Phương pháp điểm gần kề cổ điển 20 Thuật toán điểm gần kề suy rộng 23 2.1 Thuật toán điểm gần kề suy rộng Ackstein Bertsekas 23 2.2 Thuật toán điểm gần kề co 28 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 c ii Bảng ký hiệu Trong toàn luận văn, ta dùng ký hiệu với ý nghĩa xác định bảng đây: R tập số thực Rn C[a, b] không gian véc tơ n chiều tương ứng tập hàm thực liên tục [a, b] conv C bao lồi tập C conv C A∗ bao lồi đóng tập C tốn tử liên hợp tốn tử A A dom A toán tử mở rộng toán tử A miền xác định toán tử A gra A domf đồ thị toán tử A miền hữu hiệu hàm f epif zer(A) tập đồ thị hàm f tập tất không điểm A, A−1 (0) Jr,T NC toán tử giải tốn tử T hình nón chuẩn tắc ứng với tập lồi C ∅ tập rỗng δC (.) hàm C c Mở đầu Toán tử đơn điệu lĩnh vực giải tích đại nhiều nhà toán học hàng đầu giới nghiên cứu, đặc biệt phải kể đến Browder F E, Rockafellar R T, Minty G J Bên cạnh kết đặc biệt có ý nghĩa mặt lý thuyết, toán tử đơn điệu cơng cụ sử dụng nhiều có hiệu lĩnh vực toán ứng dụng Phương pháp tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu cực đại có hội tụ yếu Để khắc phục điểm yếu Xu đưa cải biên zk+1 = λk u + (1 − λk )(I + ck T )−1 zk + ek , k ≥ với điều kiện {ck } tiến tới vô Mục đích đề tài luận văn nghiên cứu số phương pháp điểm gần kề suy rộng để tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu cực đại không gian Hilbert Nội dung đề tài luận văn viết hai chương: Chương 1: "Một số vấn đề liên quan" Chương giới thiệu không gian Hilbert trường số thực số kiến thức giải tích lồi, giới thiệu toán tử đơn điệu cực đại định nghĩa tốn tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu cực đại cuối giới thiệu thuật toán điểm gần kề cổ điển Chương 2: "Thuật tốn điểm gần kề suy rộng" Chương trình bày hai phương pháp tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu cực đại không gian Hilbert Luận văn hoàn thành Trường Đại học Khoa học - Đại học c Thái Nguyên hướng dẫn tận tình GS TS Nguyễn Bường, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người người dành nhiều thời gian tâm huyết để hướng dẫn tận tình, giúp đỡ tơi q trình học tập, nghiên cứu viết luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Lãnh đạo Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Tốn – Tin tồn thể thầy ngồi trường giảng dạy giúp tác giả trau dồi thêm nhiều kiến thức phục vụ cho việc học tập nghiên cứu thân Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô Cuối tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè ln động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho tác giả trình học tập, nghiên cứu làm luận văn Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2017 Học viên Nguyễn Cẩm Dương c Chương Một số vấn đề liên quan Chương trình bày số vấn đề để phục vụ cho chương sau Cụ thể: Mục 1.1 giới thiệu không gian Hilbert thực số tính chất khơng gian Hilbert Mục 1.2 trình bày số kiến thức giải tích lồi, giới thiệu toán tử đơn điệu cực đại, định nghĩa khơng điểm Mục 1.3 trình bày phương pháp điểm gần kề cổ điển Các kiến thức chương tổng hợp từ tài liệu [1], [2], [3] 1.1 Không gian Hilbert số tính chất Định nghĩa 1.1.1 Một tập X gọi khơng gian tuyến tính R với cặp (x, y) ∈ X × X, phần tử X, ta gọi tổng x y, ký hiệu x + y; với α ∈ R x ∈ X, phần tử X, gọi tích α x, ký hiệu αx thỏa mãn điều kiện sau: (i) x + y = y + x với x, y ∈ X (tính chất giao hốn); (ii) (x + y) + z = x + (y + z) với x, y, z ∈ X (tính chất kết hợp); (iii) tồn phần tử không X, ký hiệu 0, cho: x + = + x với x ∈ X; (iv) với x ∈ X, tồn phần tử đối x, ký hiệu −x, cho x + (−x) = với x ∈ X; (v) · x = x · = x, với x ∈ X (1 phần tử đơn vị); (vi) α(βx) = (αβ)x, với α, β ∈ R, với x ∈ X; c (vii) (α + β)x = αx + βx), với α, β ∈ R, với x ∈ X; (viii) α(x + y) = αx + αy), với α ∈ R, với x, y ∈ X Định nghĩa 1.1.2 Cho H khơng gian tuyến tính trường số thực R Tích vô hướng không gian H ánh xạ từ tích Descartes H × H vào R, ký hiệu h., i, thỏa mãn điều kiện sau: (i) hx, yi = hy, xi với x, y ∈ H; (ii) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi với x, y, z ∈ H; (iii) hαx, yi = αhx, yi với x, y ∈ H α ∈ R; (iv) hx, xi > x 6= hx, xi = x = Nhận xét 1.1.3 Từ Định nghĩa 1.1.2 ta suy (i) hx, αyi = αhy, xi với x, y ∈ H α ∈ R; (ii) hx, y + zi = hx, yi + hx, zi với x, y, z ∈ H Định nghĩa 1.1.4 Khơng gian tuyến tính H với tích vơ hướng gọi không gian tiền Hilbert Định lý 1.1.5 (Bất đẳng thức Schwarz) Trong không gian tiền Hilbert H, với x, y ∈ H ta ln có bất đẳng thức sau: |hx, yi|2 ≤ hx, xihy, yi Chứng minh Với số thực α với x, y ∈ H ta có ≤ hx − αy, x − αyi = hx, xi − 2αhx, yi + α2 hy, yi Từ suy ∆ = |hx, yi|2 − hx, xihy, yi ≤ với x, y ∈ H Hay |hx, yi|2 ≤ hx, xihy, yi với x, y ∈ H c (1.1) Dấu đẳng thức bất đẳng thức (1.1) xảy x y phụ thuộc tuyến tính Định lý 1.1.6 Không gian tiền Hilbert H không gian tuyến tính định chuẩn với chuẩn xác định kxk = p hx, xi với x ∈ H (1.2) Chuẩn gọi chuẩn cảm sinh từ tích vơ hướng p Hàm số kxk = hx, xi với x ∈ H chuẩn H Chứng minh Thật vậy, từ điều kiện (iv) Định nghĩa 1.1.2 ta có kxk > x 6= kxk = x = với x ∈ H Từ điều kiện (i) (iii) Định nghĩa 1.1.2 ta suy kαxk = |α|.kxk với α ∈ R x ∈ H Từ bất đẳng thức Schwarz cách định nghĩa chuẩn ta có |hx, yi| ≤ kxk.kyk với x, y ∈ H (1.3) Từ với x, y ∈ H ta có: hx + y, x + yi = hx, xi + 2hx, yi + hy, yi 2 ≤ kxk2 + 2kxk.kyk + kyk2 = kxk + kyk Suy kx + yk ≤ kxk + kyk với x, y ∈ H Định nghĩa 1.1.7 Nếu H không gian tiền Hilbert thực đầy đủ chuẩn cảm sinh từ tích vơ hướng xác định (1.2) H gọi khơng gian Hilbert thực Ví dụ 1.1.8 Khơng gian ∞ n o X l = x = {xn }n ∈ R : |xn | < +∞ n=1 c khơng gian Hilbert với tích vơ hướng hx, yi = ∞ X x = {xn }n∈N , y = {yn }n∈N ∈ l2 x n yn , n=1 chuẩn v u∞ ∞ 1 X p uX 2 t kxk = hx, xi = |xn | = |xn | n=1 n=1 Ví dụ 1.1.9 Khơng gian L2 [a, b] khơng gian Hilbert với tích vơ hướng Zb x(t)y(t)dt, (x, y) = ∀x, y ∈ L2 [a, b] a chuẩn ! 12 Zb |x(t)|2 dt kxk = a Ví dụ 1.1.10 Gọi C[a, b] tập tất hàm giá trị thực liên tục khoảng đóng hữu hạn [a, b] ⊂ R Trong C[a, b] xét tích vơ hướng b Z hx, yi = x(t)y(t).dt, x(t), y(t) ∈ C[a, b] a Không gian C[a, b] với chuẩn kxk = Z b 12 |x(t)| dt a không gian tiền Hilbert, không gian Hilbert Định lý 1.1.11 Giả sử {xn }n∈N , {yn }n∈N hai dãy hội tụ mạnh đến x0 , y0 không gian tiền Hilbert thực H Khi đó, lim hxn , yn i = hx0 , y0 i n→∞ Chứng minh Giả sử lim xn = x0 , lim yn = y0 không gian Hilbert n→∞ n→∞ c 0 Suy ra, A bị chặn c 14 Dễ dàng thấy rằng, A tốn tử tuyến tính Do đó, A tốn tử tuyến tính liên tục Ví dụ 1.2.7 Cho X = Rk , Y = Rm , A(ξ1 , ξ2 , , ξk ) = (η1 , η2 , , ηm ) với ηi = k X aij ξj i = 1, 2, 3, , m, (1.7) j=1 aij số Ma a11 am1 trận a1k · · · amk ma trận toán tử A Thật vậy, (1.7) dạng tổng quát toán tử tuyến tính từ Rk vào Rm Cho A tốn tử tuyến tính từ Rk vào Rm Gọi e1 , e2 , , ek f1 , f2 , , fk sở Rk Rm cho với x = (ξ1 , ξ2 , , ξk ) ∈ Rk , y = (η1 , η2 , , ηm ) ∈ Rm : x= k X ξj ej j=1 y= m X ηi fi i=1 với e1 = (1, 0, , 0), e2 = (0, 1, , 0), , ek = (0, 0, , 1), f1 = (1, 0, , 0), f2 = (0, 1, , 0), , fm = (0, 0, , 1) Vì A tốn tử tuyến tính nên Ax = k X ξj (Aej ) j=1 Đặt Ax = (η1 , η2 , , ηm ) c 15 Aej = (a1j , a2j , , amj ) ta có (1.7) Cho H khơng gian Hilbert thực, C tập H Định nghĩa 1.2.8 Tập C ⊂ H tập lồi với x1 , x2 ∈ C với số thực λ ∈ [0, 1] ta có λx1 + (1 − λ)x2 ∈ C Từ định nghĩa ta thấy tập ∅ tập lồi Định nghĩa 1.2.9 Hàm f : C → R gọi là: (i) Lồi C với λ ∈ [0, 1], với x, y ∈ C f (λx + (1 − λ) y) ≤ λf (x) + (1 − λ) f (y) ; (ii) lồi chặt C với λ ∈ (0, 1), với x, y ∈ C, x 6= y f (λx + (1 − λ) y) < λf (x) + (1 − λ) f (y) Định nghĩa 1.2.10 Cho C tập lồi đóng, khác rỗng không gian Hilbert thực H, A : C → H ánh xạ Ánh xạ A gọi là: (i) L-liên tục Lipschitz C, tồn số L > cho kA(x) − A(y)k ≤ L kx − yk ∀x, y ∈ C Nếu < L < A ánh xạ co, L = A ánh xạ không giãn; (ii) bị chặn C, với tập khác rỗng, bị chặn B C, tồn số dương kB phụ thuộc vào tập B cho hA(x) − A(y), x − yi ≤ kB kx − yk ∀x, y ∈ B; (iii) bị chặn Lipschitz C với tập bị chặn B C, A ánh xạ liên tục Lipschitz B c 16 Định nghĩa 1.2.11 Cho C tập lồi đóng, khác rỗng khơng gian Hilbert thực H, A : C → H ánh xạ Ánh xạ A gọi là: (i) Đơn điệu C, hA(x) − A(y), x − yi ≥ ∀x, y ∈ C; (ii) η-đơn điệu mạnh C, tồn số η dương cho hA(x) − A(y), x − yi ≥ η kx − yk2 ∀x, y ∈ C; (iii) hemi-liên tục (hemicontinuous) C A(x + ty) * Ax t → với x, y ∈ C demi-liên tục (demicontinuous) C từ xn → x suy Axn * Ax n → ∞; (iv) C hAx, xi = +∞, kxk→+∞ kxk lim x ∈ C Bổ đề 1.2.12 Cho X không gian Banach thực, X ∗ không gian đối ngẫu X, f ∈ X ∗ A : X → X ∗ toán tử hemi-liên tục Khi tồn x0 ∈ X thỏa mãn bất đẳng thức: hA(x) − f, x − x0 i ≥ 0, ∀x ∈ X x0 nghiệm phương trình A(x) = f Nếu A tốn tử đơn điệu X điều kiện tương đương với hA(x0 ) − f, x − x0 i ≥ 0, ∀x ∈ X Tiếp theo chúng tơi trình bày tốn cực tiểu phiếm hàm lồi Bài toán cực tiểu phiếm hàm lồi phát biểu sau: Tìm z ∈ H cho f (z) = x ∈ H f (x) Điểm cực tiểu tốn khơng điểm toán tử đơn điệu c ...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN CẨM DƯƠNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM GẦN KỀ SUY RỘNG TÌM KHƠNG ĐIỂM CỦA TỐN TỬ ĐƠN ĐIỆU CỰC ĐẠI TRONG KHƠNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC... tiến tới vơ Mục đích đề tài luận văn nghiên cứu số phương pháp điểm gần kề suy rộng để tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu cực đại không gian Hilbert Nội dung đề tài luận văn viết hai chương: Chương... Chương 2: "Thuật toán điểm gần kề suy rộng" Chương trình bày hai phương pháp tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu cực đại khơng gian Hilbert Luận văn hoàn thành Trường Đại học Khoa học - Đại học c Thái