Luận văn thạc sĩ một số dạng ma trận của các bất đẳng thức young, heinz và heron

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ĐỖ ÁNH LINH MỘT SỐ DẠNG MA TRẬN CỦA CÁC BẤT ĐẲNG THỨC YOUNG, HEINZ VÀ HERON LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định Năm 2019 e BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG[.]

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ĐỖ ÁNH LINH MỘT SỐ DẠNG MA TRẬN CỦA CÁC BẤT ĐẲNG THỨC YOUNG, HEINZ VÀ HERON LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - Năm 2019 e BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ĐỖ ÁNH LINH MỘT SỐ DẠNG MA TRẬN CỦA CÁC BẤT ĐẲNG THỨC YOUNG, HEINZ VÀ HERON Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÍ THUYẾT SỐ Mã số: 8460104 Người hướng dẫn: TS LÊ CƠNG TRÌNH e Mục lục Kiến thức chuẩn bị 1.1 Ma trận Hermite ma trận unita 1.2 Ma trận xác định dương ma trận nửa xác định dương 1.3 Giá trị kỳ dị ma trận 1.4 Định lý phân tích phổ 10 1.5 Các loại trung bình số trung bình ma trận 11 1.6 1.5.1 Trung bình Heron 11 1.5.2 Trung bình Heinz 11 1.5.3 Trung bình hình học trung bình số học hai ma trận 12 Chuẩn ma trận 13 Một số cải tiến bất đẳng thức Young, Heinz, Heron bất đẳng thức ma trận tương ứng 2.1 16 Một số cải tiến bất đẳng thức Young dạng ma trận tương ứng 16 2.1.1 Dạng cải tiến 19 2.1.2 Dạng cải tiến 23 2.1.3 Dạng cải tiến 26 e 2.2 Một số cải tiến bất đẳng thức Heinz dạng ma trận tương ứng 29 2.3 2.2.1 Dạng cải tiến 30 2.2.2 Dạng cải tiến 33 Một số cải tiến bất đẳng thức Heron dạng ma trận tương ứng 36 Một số dạng ngược bất đẳng thức Young, Heinz dạng ma trận tương ứng 3.1 40 Một số dạng ngược bất đẳng thức Young dạng ma trận tương ứng 40 3.2 Một số dạng ngược bất đẳng thức Heinz dạng ma trận tương ứng 50 e Mở đầu Bất đẳng thức đối tượng nghiên cứu quan trọng tốn học có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác Các bất đẳng thức ma trận đối tượng nghiên cứu quan trọng Giải tích ma trận, có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác Toán học Vật lý Các bất đẳng thức cổ điển quan trọng cho s thc nh Cauchy, Schwarz, Young, Hoălder, Heinz, Heron, nghiên cứu rộng rãi nhiều nhà Toán học Luận văn tập trung nghiên cứu bất đẳng thức Young, Heinz, Heron, dạng cải tiến chúng, dạng ma trận tương ứng với dạng cải tiến Ngồi Mục lục, Mở đầu Kết luận, Luận văn bố cục thành ba chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức Giải tích ma trận liên quan đến chương sau luận văn, gồm ma trận Hermit, ma trận unita, ma trận xác định/nửa xác định dương, giá trị riêng giá trị kỳ dị ma trận, định lý phân tích phổ, loại trung bình số trung bình ma trận, chuẩn ma trận, số kết khác liên quan Chương Một số cải tiến bất đẳng thức Young, Heinz, Heron bất đẳng thức ma trận tương ứng Trong chương này, chúng tơi trình e bày số cải tiến bất đẳng thức Young, Heinz, Heron bất đẳng thức ma trận tương ứng Ở phần trình bày bất đẳng thức ma trận, bên cạnh bất đẳng thức với chuẩn Hilbert-Schmidt, số bất đẳng thức dạng vết dạng định thức Chương Một số dạng ngược bất đẳng thức Young, Heinz dạng ma trận tương ứng Trong chương này, chúng tơi trình bày số dạng ngược bất đẳng thức Young, Heinz cải tiến dạng ma trận tương ứng Một số kết chương chứng minh hoàn toàn tương tự với kết tương ứng chương Lời đầu tiên, xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới Thầy/Cơ Khoa Toán Thống kê dạy bảo giúp đỡ suốt thời gian qua Tiếp theo xin chân thành cảm ơn bạn bè người thân đóng góp ý kiến, giúp đỡ động viên tơi trình học tập thực Luận văn Và đặc biệt, tơi xin bày tỏ lịng cảm ơn sâu sắc đến TS Lê Cơng Trình, người tận tình hướng dẫn giúp đỡ để tơi hoàn thành Luận văn Mặc dù cố gắng hết sức, điều kiện thời gian kiến thức cịn hạn hẹp nên Luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý quý báu quý thầy cô bạn đồng nghiệp để Luận văn hồn thiện Bình Định, tháng năm 2019 Học viên: Đỗ Ánh Linh e Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức Giải tích ma trận liên quan đến chương sau luận văn, gồm ma trận Hermite, ma trận unita, ma trận xác định/nửa xác định dương, giá trị riêng giá trị kỳ dị ma trận, định lí phân tích phổ, loại trung bình số trung bình ma trận, chuẩn ma trận, số kết khác liên quan Các khái niệm kết chương trình bày lại từ tài liệu [1], [2], [6], [7] Trong toàn luận văn này, ta ký hiệu Mn (C) đại số tất ma trận phức cấp n, n số nguyên dương cho trước Nhắc lại với hai vectơ x = (xj ), y = (yj ) ∈ Cn , tích (hay tích vô hướng) x y số phức định nghĩa hx, yi := 1.1 X j xj y¯j Ma trận Hermite ma trận unita Với ma trận A = (aij ), ma trận AT = (aji ) dùng để ký hiệu cho ma trận chuyển vị ma trận A, ma trận A∗ = (¯aji ) dùng để ký hiệu cho ma trận chuyển vị liên hợp ma trận A Với vectơ x, y ∈ Cn , ta có e hAx, yi = hx, A∗ yi Định nghĩa 1.1.1 Một ma trận A ∈ Mn (C) gọi Hermite A∗ = A Từ định nghĩa ma trận Hermit ma trận chuyển vị liên hợp, ta rút nhận xét sau Nhận xét 1.1.2 Ma trận A ma trận Hermite hAx, yi = hx, Ayi Định nghĩa 1.1.3 Một ma trận A ∈ Mn (C) gọi unita AA∗ = A∗ A = I     Ví dụ 1.1.4 A =       −i  1   ∈ M2 (C), B =  2      i −i 1 + i −1 + i −1 + i      + i  ∈ M3 (C)    ma trận unita Nhận xét 1.1.5 Nếu A ma trận unita A khả nghịch, nữa, | det A| = 1.2 Ma trận xác định dương ma trận nửa xác định dương Định nghĩa 1.2.1 Một ma trận Hermit A gọi nửa xác định dương, ký hiệu A > 0, hx, Axi > 0, ∀x ∈ Cn Một ma trận Hermit A gọi xác định dương, ký hiệu A > 0, hx, Axi > 0, ∀x ∈ Cn , x 6= Với A B ma trận cấp, ta viết A > B A − B > 0, ta viết A > B A − B > e Tính chất 1.2.2 Tính chất nửa xác định dương (t.ư xác định dương) ma trận Hermite bảo toàn qua phép biến đổi unita, nghĩa là, A ma trận nửa xác định dương (t.ư xác định dương) U ma trận unita A˜ := U ∗ AU ma trận nửa xác định dương (t.ư xác định dương) Chứng minh Giả sử A ma trận nửa xác định dương Khi đó, với x ∈ Cn , ta có ˜ = hx, U ∗ AU xi = hU x, AU xi = hy, Ayi, hx, Axi với y = U x Do A ma trận nửa xác định dương nên hy, Ayi > ˜ > hay A˜ ma trận nửa xác định dương Từ suy hx, Axi ˜ > Nói cách khác, A Hồn tồn tương tự, hy, Ayi > hx, Axi ma trận xác định dương A˜ ma trận xác định dương Tính chất 1.2.3 Một ma trận Hermite nửa xác định dương (t.ư xác định dương) giá trị riêng không âm (t.ư dương) Chứng minh Nếu λ giá trị riêng ứng với vectơ riêng x0 ma trận Hermite nửa xác định dương A Ax0 = λx0 Từ suy λhx0 , x0 i = hx0 , Ax0 i > Do x0 6= nên hx0 , x0 i > Vậy λ = hx0 , Ax0 i > hx0 , x0 i Ngược lại, giả sử A ma trận Hermit có giá trị riêng khơng âm Khi tồn ma trận unita U đưa ma trận A dạng đường chéo, tức U ∗ AU = Λ với Λ = diag(λ1 , λ2 , , λn ); λi ≥ 0, i = 1, 2, , n, giá trị riêng A Với x ∈ Cn , gọi y ∈ Cn cho x = U y (chọn y = U −1 x) Khi ∗ hx, Axi = hU y, AU yi = hy, U AU yi = hy, Λyi = n X i=1 Vậy A ma trận xác nửa xác định dương e λi yi2 ≥ Đối với trường hợp ma trận xác định dương, ta có cách chứng minh hồn tồn tương tự Tính chất 1.2.4 Cho A ma trận Hermit nửa xác định dương Khi đó, A xác định dương A khả nghịch Chứng minh Giả sử A xác định dương Khi đó, tồn ma trận trực giao U cho A = U ΛU T , Λ = diag(λ1 , λ2 , , λn ), với λi > 0, i = 1, 2, , n Xét ma −1 −1 trận B = U Λ−1 U T , với Λ−1 = diag(λ−1 , λ2 , , λn ) Ta có AB = (U ΛU T )(U Λ−1 U T ) = U ΛΛ−1 U T = U IU T = U U T = I Tương tự, BA = I Vậy AB = BA = I , hay ma trận A khả nghịch Ngược lại, giả sử A ma trận nửa xác định dương khả nghịch Vì A khả nghịch nên tồn ma trận A−1 cho AA−1 = A−1 A = I , hay A−1 giao hoán với A Do A đối xứng, tức A = AT , nên I = (AA−1 )T = (A−1 )T AT = (A−1 )T A hay (A−1 )T = A−1 Do A−1 ma trận đối xứng Khi đó, tồn ma trận trực giao U để A A−1 đưa dạng ma trận đường chéo, tức U T AU = Λ U T A−1 U = Ω, Λ = diag(λ1 , λ2 , , λn ) Ω = diag(µ1 , µ2 , , µn ); λi > µi > với i = 1, 2, , n Từ suy I = AA−1 = (U ΛU T )(U ΩU T ) = U ΛΩU T Đẳng thức tương đương với U T U = I = ΛΩ = diag(λi µi ) Do λi µi = với i = 1, 2, , n Do λi > λi µi = nên λi > với i = 1, 2, , n Vậy A ma trận xác định dương Hệ 1.2.5 Nếu A ma trận xác định dương A−1 ma trận xác định dương e ... tiến bất đẳng thức Young, Heinz, Heron bất đẳng thức ma trận tương ứng Ở phần trình bày bất đẳng thức ma trận, bên cạnh bất đẳng thức với chuẩn Hilbert-Schmidt, số bất đẳng thức dạng vết dạng. .. bày số cải tiến bất đẳng thức Young, Heinz, Heron bất đẳng thức ma trận tương ứng Ở phần trình bày bất đẳng thức ma trận, bên cạnh bất đẳng thức với chuẩn HilbertSchmidt chủ yếu, số bất đẳng thức. .. bình số học hai ma trận 12 Chuẩn ma trận 13 Một số cải tiến bất đẳng thức Young, Heinz, Heron bất đẳng thức ma trận tương ứng 2.1 16 Một số cải tiến bất đẳng thức Young