Một số dạng ma trận của các bất đẳng thức young, heinz và heron

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ĐỖ ÁNH LINH MỘT SỐ DẠNG MA TRẬN CỦA CÁC BẤT ĐẲNG THỨC YOUNG, HEINZ VÀ HERON LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - Năm 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ĐỖ ÁNH LINH MỘT SỐ DẠNG MA TRẬN CỦA CÁC BẤT ĐẲNG THỨC YOUNG, HEINZ VÀ HERON Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÍ THUYẾT SỐ Mã số: 8460104 Người hướng dẫn: TS LÊ CƠNG TRÌNH Mục lục Kiến thức chuẩn bị 1.1 Ma trận Hermite ma trận unita 1.2 Ma trận xác định dương ma trận nửa xác định dương 1.3 Giá trị kỳ dị ma trận 1.4 Định lý phân tích phổ 10 1.5 Các loại trung bình số trung bình ma trận 11 1.6 1.5.1 Trung bình Heron 11 1.5.2 Trung bình Heinz 11 1.5.3 Trung bình hình học trung bình số học hai ma trận 12 Chuẩn ma trận 13 Một số cải tiến bất đẳng thức Young, Heinz, Heron bất đẳng thức ma trận tương ứng 2.1 16 Một số cải tiến bất đẳng thức Young dạng ma trận tương ứng 16 2.1.1 Dạng cải tiến 19 2.1.2 Dạng cải tiến 23 2.1.3 Dạng cải tiến 26 2.2 Một số cải tiến bất đẳng thức Heinz dạng ma trận tương ứng 29 2.3 2.2.1 Dạng cải tiến 30 2.2.2 Dạng cải tiến 33 Một số cải tiến bất đẳng thức Heron dạng ma trận tương ứng 36 Một số dạng ngược bất đẳng thức Young, Heinz dạng ma trận tương ứng 3.1 40 Một số dạng ngược bất đẳng thức Young dạng ma trận tương ứng 40 3.2 Một số dạng ngược bất đẳng thức Heinz dạng ma trận tương ứng 50 Mở đầu Bất đẳng thức đối tượng nghiên cứu quan trọng toán học có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác Các bất đẳng thức ma trận đối tượng nghiên cứu quan trọng Giải tích ma trận, có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác Toán học Vật lý Các bất đẳng thức cổ điển quan trọng cho số thực Cauchy, Schwarz, Young, Hoălder, Heinz, Heron, ó c nghiờn cu rộng rãi nhiều nhà Toán học Luận văn tập trung nghiên cứu bất đẳng thức Young, Heinz, Heron, dạng cải tiến chúng, dạng ma trận tương ứng với dạng cải tiến Ngoài Mục lục, Mở đầu Kết luận, Luận văn bố cục thành ba chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức Giải tích ma trận liên quan đến chương sau luận văn, gồm ma trận Hermit, ma trận unita, ma trận xác định/nửa xác định dương, giá trị riêng giá trị kỳ dị ma trận, định lý phân tích phổ, loại trung bình số trung bình ma trận, chuẩn ma trận, số kết khác liên quan Chương Một số cải tiến bất đẳng thức Young, Heinz, Heron bất đẳng thức ma trận tương ứng Trong chương này, chúng tơi trình bày số cải tiến bất đẳng thức Young, Heinz, Heron bất đẳng thức ma trận tương ứng Ở phần trình bày bất đẳng thức ma trận, bên cạnh bất đẳng thức với chuẩn Hilbert-Schmidt, số bất đẳng thức dạng vết dạng định thức Chương Một số dạng ngược bất đẳng thức Young, Heinz dạng ma trận tương ứng Trong chương này, chúng tơi trình bày số dạng ngược bất đẳng thức Young, Heinz cải tiến dạng ma trận tương ứng Một số kết chương chứng minh hoàn toàn tương tự với kết tương ứng chương Lời đầu tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới Thầy/Cơ Khoa Tốn Thống kê dạy bảo giúp đỡ suốt thời gian qua Tiếp theo xin chân thành cảm ơn bạn bè người thân đóng góp ý kiến, giúp đỡ động viên tơi q trình học tập thực Luận văn Và đặc biệt, xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến TS Lê Cơng Trình, người tận tình hướng dẫn giúp đỡ để tơi hồn thành Luận văn Mặc dù cố gắng hết sức, điều kiện thời gian kiến thức hạn hẹp nên Luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý quý báu quý thầy cô bạn đồng nghiệp để Luận văn hồn thiện Bình Định, tháng năm 2019 Học viên: Đỗ Ánh Linh Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức Giải tích ma trận liên quan đến chương sau luận văn, gồm ma trận Hermite, ma trận unita, ma trận xác định/nửa xác định dương, giá trị riêng giá trị kỳ dị ma trận, định lí phân tích phổ, loại trung bình số trung bình ma trận, chuẩn ma trận, số kết khác liên quan Các khái niệm kết chương trình bày lại từ tài liệu [1], [2], [6], [7] Trong toàn luận văn này, ta ký hiệu Mn (C) đại số tất ma trận phức cấp n, n số nguyên dương cho trước Nhắc lại với hai vectơ x = (xj ), y = (yj ) ∈ Cn , tích (hay tích vơ hướng) x y số phức định nghĩa x, y := 1.1 j xj y¯j Ma trận Hermite ma trận unita Với ma trận A = (aij ), ma trận AT = (aji ) dùng để ký hiệu cho ma trận chuyển vị ma trận A, ma trận A∗ = (¯aji ) dùng để ký hiệu cho ma trận chuyển vị liên hợp ma trận A Với vectơ x, y ∈ Cn , ta ln có Ax, y = x, A∗ y Định nghĩa 1.1.1 Một ma trận A ∈ Mn (C) gọi Hermite A∗ = A Từ định nghĩa ma trận Hermit ma trận chuyển vị liên hợp, ta rút nhận xét sau Nhận xét 1.1.2 Ma trận A ma trận Hermite Ax, y = x, Ay Định nghĩa 1.1.3 Một ma trận A ∈ Mn (C) gọi unita AA∗ = A∗ A = I     Ví dụ 1.1.4 A =       −i  1   ∈ M2 (C), B =  2      i −i 1 + i −1 + i −1 + i      + i  ∈ M3 (C)    ma trận unita Nhận xét 1.1.5 Nếu A ma trận unita A khả nghịch, nữa, | det A| = 1.2 Ma trận xác định dương ma trận nửa xác định dương Định nghĩa 1.2.1 Một ma trận Hermit A gọi nửa xác định dương, ký hiệu A x, Ax 0, 0, ∀x ∈ Cn Một ma trận Hermit A gọi xác định dương, ký hiệu A > 0, x, Ax > 0, ∀x ∈ Cn , x = Với A B ma trận cấp, ta viết A A > B A − B > B A − B 0, ta viết Tính chất 1.2.2 Tính chất nửa xác định dương (t.ư xác định dương) ma trận Hermite bảo toàn qua phép biến đổi unita, nghĩa là, A ma trận nửa xác định dương (t.ư xác định dương) U ma trận unita A˜ := U ∗ AU ma trận nửa xác định dương (t.ư xác định dương) Chứng minh Giả sử A ma trận nửa xác định dương Khi đó, với x ∈ Cn , ta có ˜ = x, U ∗ AU x = U x, AU x = y, Ay , x, Ax với y = U x Do A ma trận nửa xác định dương nên y, Ay ˜ Từ suy x, Ax 0 hay A˜ ma trận nửa xác định dương ˜ > Nói cách khác, A Hoàn toàn tương tự, y, Ay > x, Ax ma trận xác định dương A˜ ma trận xác định dương Tính chất 1.2.3 Một ma trận Hermite nửa xác định dương (t.ư xác định dương) giá trị riêng khơng âm (t.ư dương) Chứng minh Nếu λ giá trị riêng ứng với vectơ riêng x0 ma trận Hermite nửa xác định dương A Ax0 = λx0 Từ suy λ x0 , x0 = x0 , Ax0 x0 = nên x0 , x0 > Vậy λ = x0 , Ax0 x0 , x0 Do Ngược lại, giả sử A ma trận Hermit có giá trị riêng khơng âm Khi tồn ma trận unita U đưa ma trận A dạng đường chéo, tức U ∗ AU = Λ với Λ = diag(λ1 , λ2 , , λn ); λi ≥ 0, i = 1, 2, , n, giá trị riêng A Với x ∈ Cn , gọi y ∈ Cn cho x = U y (chọn y = U −1 x) Khi n ∗ λi yi2 ≥ x, Ax = U y, AU y = y, U AU y = y, Λy = i=1 Vậy A ma trận xác nửa xác định dương Đối với trường hợp ma trận xác định dương, ta có cách chứng minh hồn tồn tương tự Tính chất 1.2.4 Cho A ma trận Hermit nửa xác định dương Khi đó, A xác định dương A khả nghịch Chứng minh Giả sử A xác định dương Khi đó, tồn ma trận trực giao U cho A = U ΛU T , Λ = diag(λ1 , λ2 , , λn ), với λi > 0, i = 1, 2, , n Xét ma −1 −1 trận B = U Λ−1 U T , với Λ−1 = diag(λ−1 , λ2 , , λn ) Ta có AB = (U ΛU T )(U Λ−1 U T ) = U ΛΛ−1 U T = U IU T = U U T = I Tương tự, BA = I Vậy AB = BA = I , hay ma trận A khả nghịch Ngược lại, giả sử A ma trận nửa xác định dương khả nghịch Vì A khả nghịch nên tồn ma trận A−1 cho AA−1 = A−1 A = I , hay A−1 giao hoán với A Do A đối xứng, tức A = AT , nên I = (AA−1 )T = (A−1 )T AT = (A−1 )T A hay (A−1 )T = A−1 Do A−1 ma trận đối xứng Khi đó, tồn ma trận trực giao U để A A−1 đưa dạng ma trận đường chéo, tức U T AU = Λ U T A−1 U = Ω, Λ = diag(λ1 , λ2 , , λn ) Ω = diag(µ1 , µ2 , , µn ); λi µi 0 với i = 1, 2, , n Từ suy I = AA−1 = (U ΛU T )(U ΩU T ) = U ΛΩU T Đẳng thức tương đương với U T U = I = ΛΩ = diag(λi µi ) Do λi µi = với i = 1, 2, , n Do λi λi µi = nên λi > với i = 1, 2, , n Vậy A ma trận xác định dương Hệ 1.2.5 Nếu A ma trận xác định dương A−1 ma trận xác định dương 44 Sử dụng kết Định lý 3.1.4, ta thu dạng ma trận tương ứng bất đẳng thức (2.1.7) (3.1.1) sau Hệ 3.1.5 ([8]) Cho A, B ∈ Mn (C) ma trận xác định dương Nếu ν r(A + B − 2A#B) + A#ν B νA + (1 − ν)B R(A + B − 2A#B) + A#ν B, (3.1.4) đó, r = min{ν; − ν}, R = max{ν; − ν} Chứng minh Áp dụng Định lý 3.1.4, đặt C = A ta 1 1 1 1 1 r[A + B − 2A (A− BA− ) A ] + A (A− BA− )1−ν A νA + (1 − ν)B 1 1 1 R[A + B − 2A (A− BA− ) A ] + A (A− BA− )1−ν A 1 1 1 1 Vì A (A− BA− ) A = A#B A (A− BA− )1−ν A = A#ν B nên bất đẳng thức viết lại dạng r(A + B − 2A#B) + A#ν B νA + (1 − ν)B R(A + B − 2A#B) + A#ν B, Ta có điều phải chứng minh Một dạng ngược khác bất đẳng thức Young cải tiến trình bày định lý sau Định lý 3.1.6 ([8]) Cho a 0, b (νa + (1 − ν)b)2 đó, R = max{ν, − ν} ν ∈ [0; 1] Khi (aν b1−ν )2 + R2 (a − b)2 , (3.1.5) 45 bất đẳng thức (3.1.5) trở thành đẳng thức Giả sử ν > Khi R = ν Chứng minh Nếu ν = ν (a − b)2 + (aν b1−ν )2 − (νa + (1 − ν)b)2 = (2ν − 1)b2 + (2 − 2ν)ab − 2ab + a2ν b2−2ν (b2 )2ν−1 (ab)2−2ν + a2ν b2−2ν − 2ab = a2−2ν b2ν + a2ν b2−2ν − 2ab = (a1−ν bν − aν b1−ν )2 Do (νa + (1 − ν)b)2 (aν b1−ν )2 + ν (a − b)2 Nếu − ν > , ta có R = − ν (1 − ν)2 (a − b)2 + (aν b1−ν )2 − (νa + (1 − ν)b)2 = (1 − 2ν)a2 + 2νab − 2ab + a2ν b2−2ν (a2 )1−2ν (ab)2ν + a2ν b2−2ν − 2ab = a2−2ν b2ν + a2ν b2−2ν − 2ab = (a1−ν bν − aν b1−ν )2 Do (νa + (1 − ν)b)2 (aν b1−ν )2 + (1 − ν)2 (a − b)2 Vậy trường hợp, bất đẳng thức (3.1.5) 46 Nhận xét 3.1.7 Từ bất đẳng thức (2.1.9) (3.1.5) ta nhận kết sau (aν b1−ν )2 + r2 (a − b)2 (νa + (1 − ν)b)2 (aν b1−ν )2 + R2 (a − b)2 , đó, r = min{ν, − ν} R = max{ν, − ν} Một dạng ma trận bất đẳng thức (3.1.5) trình bày mệnh đề sau Mệnh đề 3.1.8 ([8]) Cho A, B, X ∈ Mn (C) cho A B ma trận nửa xác định dương Khi đó, với ν ∈ [0; 1], ta có νAX + (1 − ν)XB 2 Aν XB 1−ν 2 + R2 AX − XB 2, đó, R = max{ν, − ν} Chứng minh Do A B ma trận nửa xác định dương nên áp dụng Định lý phân tích phổ, tồn ma trận unita U, V ∈ Mn (C) cho A = U DU ∗ B = V EV ∗ , D = diag(λ1 , λ2 , , λn ) E = diag(µ1 , µ2 , , µn ); λi , µi với i = 1, 2, , n Nếu Y = U ∗ XV = [yij ] νAX + (1 − ν)XB = U [(νλi + (1 − ν)µj )yij ]V ∗ , AX − XB = U [(λi − µj )yij ]V ∗ Aν XB 1−ν = U [(λνi µ1−ν )yij ]V ∗ j Khi đó, áp dụng bất đẳng thức (3.1.5) tính bất biến unita ma trận chuẩn Hilbert-Schmidt, ta có n νAX + (1 − ν)XB 2 (νλi + (1 − ν)µj )2 |yij |2 = i,j=1 47 n R2 (λi − µj )2 + λνi µ1−ν j ≤ |yij |2 i,j=1 n n =R 2 λνi µ1−ν j (λi − µj ) |yij | + |yij |2 i,j=1 i,j=1 2 = R2 AX − XB + Aν XB 1−ν Ta có điều phải chứng minh Định lý sau trình bày bất đẳng thức dạng ngược bất đẳng thức Young cải tiến (2.1.10) (2.1.11) Định lý 3.1.9 ([11]) Cho a (i) Nếu < ν νa + (1 − ν)b (ii) ν ∈ (0; 1) 0, b aν b1−ν + (1 − ν) √ a− √ √ b − r1 ab − √ a ; (3.1.6) < ν < νa + (1 − ν)b aν b1−ν + ν √ √ a− b − r1 √ ab − √ b (3.1.7) ; r = min{ν, − ν} r1 = min{2r, − 2r} Chứng minh Trước hết, chứng minh bất đẳng thức (3.1.6) bất đẳng thức (3.1.6) trở thành đẳng thức Nếu < ν < r = ν r1 = min{2ν, − 2ν} Khi đó, theo bất đẳng thức Nếu ν = (2.1.7), ta có aν b1−ν + (1 − ν) √ a− √ b − (νa + (1 − ν)b) √ √ = aν b1−ν + (1 − 2ν)a + 2ν ab − ab aν b1−ν + aν bν a1−2ν + min{2ν; − 2ν} √ √ ab − a √ − ab 48 = aν b1−ν + a1−ν bν + r1 √ √ ab − a √ √ √ ab − a ab + r1 = r1 √ ab − √ a 2 √ − ab √ − ab Từ suy aν b1−ν + (1 − ν) νa + (1 − ν)b √ √ a− b − r1 √ ab − √ a Như vậy, bất đẳng thức (3.1.6) Tương tự, với < ν < r = − ν r1 = min{2 − 2ν, 2ν − 1} Khi đó, theo bất đẳng thức (2.1.7), ta có aν b1−ν + ν √ a− √ b − (νa + (1 − ν)b) √ = aν b1−ν + (2ν − 1)b − 2ν ab aν b1−ν + a1−ν b1−ν b2ν−1 + min{2 − 2ν; 2ν − 1} = aν b1−ν + a1−ν bν + r1 √ √ √ ab − b ab + r1 = r1 √ √ ab − b √ ab − √ b √ ab − √ b √ − ab √ − ab √ − ab Từ suy νa + (1 − ν)b aν b1−ν + (1 − ν) √ √ a− b − r1 √ ab − √ b Như vậy, bất đẳng thức (3.1.7) Ta có điều phải chứng minh Từ bất đẳng thức (3.1.6) (3.1.7), thay a a2 , b b2 ta nhận hai kết tương ứng sau 49 Hệ 3.1.10 Cho a 0, b ν ∈ (0; 1) Đặt r = min{ν, − ν} r1 = min{2r, − 2r} Khi đó: (i) Nếu < ν (νa + (1 − ν)b)2 (ii) (aν b1−ν )2 + r2 (a − b)2 − r1 √ ab − a ; (3.1.8) (3.1.9) < ν < (νa + (1 − ν)b)2 (aν b1−ν )2 + r2 (a − b)2 − r1 √ ab − b Dạng ma trận cải tiến trình bày mệnh đề sau Mệnh đề 3.1.11 ([11]) Cho A, B, X ∈ Mn (C) cho A, B ma trận nửa xác định dương ν ∈ (0; 1) νAX + (1 − ν)XB (i) Nếu < ν 2 Aν XB 1−ν 2 + r2 AX − XB 2 + r2 AX − XB 1 2 − r1 AX − A XB 2 − r1 A XB − XB ; < ν < νAX + (1 − ν)XB 22 (ii) Aν XB 1−ν 1 ; đó, r = min{ν, − ν} r1 = min{2r, − 2r} Chứng minh Trước hết chứng minh Mệnh đề 3.1.11 cho trường hợp Do A B ma trận nửa xác định dương nên theo Định lý phân tích 0 0, b > (a + b)2 ν 1, ta ln có (aν b1−ν + a1−ν bν )2 + 2R(a − b)2 , (3.2.1) 51 đó, R = max{ν, − ν} Chứng minh Trong bất đẳng thức (3.1.1), cách thay a a2 , thay b b2 , ta νa2 + (1 − ν)b2 (aν )2 (b1−ν )2 + R(a − b)2 Tiếp tục thay đổi vai trò a b cho nhau, ta (1 − ν)a2 + νb2 (a1−ν )2 (bν )2 + R(a − b)2 Cộng hai bất đẳng thức trên, vế theo vế, ta a2 + b (aν )2 (b1−ν )2 + (a1−ν )2 (bν )2 + 2R(a − b)2 Cộng hai vế với 2ab ta (a + b)2 (a1−ν bν + aν b1−ν )2 + 2R(a − b)2 Ta có điều phải chứng minh Nhận xét 3.2.2 Từ bất đẳng thức (2.2.3) (3.2.1) ta nhận bất đẳng thức sau: (a + b)2 − 2R(a − b)2 a, b (a + b)2 − 2r(a − b)2 , (aν b1−ν + a1−ν bν )2 0, r = min{ν, − ν} R = max{ν, − ν} Một dạng ma trận cải tiến trình bày mệnh đề sau Mệnh đề 3.2.3 ([8]) Cho A, B, X ∈ Mn (C) cho A, B ma trận nửa xác định dương Khi đó, với AX + XB 2 ν 1, ta có Aν XB 1−ν + A1−ν XB ν R = max{ν, − ν} 2 + 2R AX − XB 22 , 52 Chứng minh Do A B ma trận nửa xác định dương nên theo Định lý phân tích phổ, tồn ma trận unita U, V ∈ Mn (C) cho A = U DU ∗ B = V EV ∗ , D = diag(λ1 , λ2 , , λn ) E = diag(µ1 , µ2 , , µn ); λi , µi với i = 1, 2, , n Nếu Y = U ∗ XV = [yij ] + λ1−ν µνj )yij ]V ∗ ; Aν XB 1−ν + A1−ν XB ν = U [(λνi µ1−ν j i AX − XB = U [(λi − µj )yij ]V ∗ AX + XB = U [(λi + µj )yij ]V ∗ Khi đó, áp dụng bất đẳng thức (3.2.1) tính bất biến unita ma trận chuẩn Hilbert-Schmidt, ta có Aν XB 1−ν + A1−ν XB ν 2 + 2R AX − XB 2 n n λνi µ1−ν j = + λ1−ν µνj |yij |2 i (λi − µi )2 |yij |2 + 2R i,j=1 i,j=1 n + λ1−ν µνj λνi µ1−ν j i = + 2R(λi − µj )2 |yij |2 i,j=1 n (λi + µi )2 |yij |2 i,j=1 = AX + XB 2 Ta có điều phải chứng minh Định lý 3.2.4 ([8]) Với số thực a, b dương ν ∈ [0; 1], ta ln có a+b R = max{ν, − ν} Hν (a, b) + R √ a− √ b , (3.2.2) 53 Chứng minh Từ bất đẳng thức (3.1.1), cách thay đổi vai trò a b cho nhau, ta thu νa + (1 − ν)b aν b1−ν + R νb + (1 − ν)a bν a1−ν + R √ √ a− b √ b− √ a 2 Cộng hai bất đẳng thức trên, vế theo vế, ta hay a+b aν b1−ν + bν a1−ν + 2R a+b Hν (a, b) + R √ a− √ √ b a− √ b Nhận xét 3.2.5 Từ bất đẳng thức (2.2.2) (3.2.2) ta nhận bất đẳng thức sau: √ √ a+b −R a− b đó, a, b Hν (a, b) √ √ a+b −r a− b 2 , (3.2.3) 0, ν ∈ [0; 1], r = min{ν, − ν} R = max{ν, − ν} Một dạng ma trận bất đẳng thức (3.2.3) trình bày sau Mệnh đề 3.2.6 ([8]) Cho A, B ∈ Mn (C) ma trận xác định dương Nếu ν r(A + B − 2A#B) + (A#ν B + A#1−ν B) (A + B) R(A + B − 2A#B) + (A#ν B + A#1−ν B) , (3.2.4) đó, r = min{ν; − ν}, R = max{ν; − ν} Chứng minh Theo bất đẳng thức (3.1.4), ta có r(A + B − 2A#B) + A#ν B νA + (1 − ν)B R(A + B − 2A#B) + A#ν B 54 Thay ν − ν ta r(A + B − 2A#B) + A#1−ν B (1 − ν)A + νB R(A + B − 2A#B) + A#1−ν B Cộng hai bất đẳng thức trên, vế theo vế, ta 2r(A + B − 2A#B) + A#ν B + A#1−ν B A+B 2R(A + B − 2A#B) + A#ν B + A#1−ν B Từ ta có điều cần chứng minh 55 Kết luận Luận văn tổng hợp, trình bày chi tiết làm rõ số kết cải tiến dạng số dạng ma trận bất đẳng thức Young, Heinz, Heron, với số dạng ngược chúng Cụ thể, luận văn đạt kết sau (1) Trình bày số cải tiến bất đẳng thức Young (Định lý 2.1.5, Định lý 2.1.10, Định lý 2.1.12) trình bày số dạng ma trận tương ứng chúng (Mệnh đề 2.1.6, Định lý 2.1.8, Mệnh đề 2.1.9, Mệnh đề 2.1.11, Mệnh đề 2.1.14) (2) Trình bày số cải tiến bất đẳng thức Heinz (Định lý 2.2.1, Định lý 2.2.5) trình bày số dạng ma trận tương ứng chúng (Mệnh đề 2.2.2, Định lý 2.2.3, Mệnh đề 2.2.6) (3) Trình bày số cải tiến bất đẳng thức Heron (Định lý 2.3.1) trình bày số dạng ma trận tương ứng chúng (Mệnh đề 2.3.3, Định lý 2.3.4) (4) Trình bày số dạng ngược bất đẳng thức Young (Định lý 3.1.1, Định lý 3.1.6, Định lý 3.1.9) trình bày số dạng ma trận tương ứng chúng (Định lý 3.1.4, Mệnh đề 3.1.8, Mệnh đề 3.1.11) (5) Trình bày số dạng ngược bất đẳng thức Heinz (Định lý 3.2.1, Định 56 lý 3.2.4) trình bày số dạng ma trận tương ứng chúng (Mệnh đề 3.2.3, Mệnh đề 3.2.6) 57 Tài liệu tham khảo [1] Võ Thị Bích Khuê, Operator convex functions, matrix inequalities and some related topics, Luận án Tiến sĩ, Trường Đại học Quy Nhơn, (2018) [2] Đinh Trọng Sỹ, Ma trận xác định dương số ứng dụng, NXB Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên (2010) [3] T Ando, Matrix Young inequality, Oper Theory Adv Appl 75 (1995), 33 – 38 [4] R Bhatia, K.R Parthasarathy, Positive definite functions and operator inequalities, Bull London Math Soc 32 (2000), 214 – 228 [5] O Hirzalla, F Kittaneh, Matrix Young inequalities for the Hilbert–Schmidt norm, Linear Algebra Appl 308 (1) (2000), 77 – 84 [6] R.A Horn, C.R Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, New York (1985) [7] F Kittaneh, Y Manasrah, Improved Young and Heinz inequalities for matrices, J Math Anal Appl 361 (2010), 262 – 269 [8] F Kittaneh, Y Manasrah, Reverse Young and Heinz inequalities for matrices, Linear and Multilinear Algebra 59, No (2011), 1031 – 1037 58 [9] H Kosaki, Arithmetic–geometric mean and related inequalities for operators, J Funct Anal 156 (1998), 429 – 451 [10] C Yang, Y Ren, Some results of Heron mean and Young’s inequalities, J Inequ Appl 172 (2018) [11] J Zhao, J Wu, Operator inequalities involving improved Young and its reverse inequalities, J Math Anal Appl 421 (2015), 1779 - 1789 ... bất đẳng thức Young, Heinz, Heron bất đẳng thức ma trận tương ứng Ở phần trình bày bất đẳng thức ma trận, bên cạnh bất đẳng thức với chuẩn Hilbert-Schmidt, số bất đẳng thức dạng vết dạng định thức. .. bất đẳng thức Young, Heinz, Heron bất đẳng thức ma trận tương ứng Ở phần trình bày bất đẳng thức ma trận, bên cạnh bất đẳng thức với chuẩn HilbertSchmidt chủ yếu, số bất đẳng thức dạng vết dạng. .. bình số học hai ma trận 12 Chuẩn ma trận 13 Một số cải tiến bất đẳng thức Young, Heinz, Heron bất đẳng thức ma trận tương ứng 2.1 16 Một số cải tiến bất đẳng thức Young