0

(Luận văn) một số tổng quát hóa của môđun nâng

67 10 0

Đang tải.... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 19/07/2023, 04:53

BË GIO DƯC V€ €O T„O TR×ÍNG „I HÅC QUY NHÌN lu GIƒ THÀ THU NG€ an n va p ie gh tn to d oa nl w MËT SÈ TÊNG QUT HÂA CÕA MỈUN N…NG va an lu oi lm ul nf LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC z at nh z m co l gm @ an Lu Bẳnh nh, nôm 2020 n va ac th si BË GIO DƯC V€ €O T„O TR×ÍNG „I HÅC QUY NHÌN lu an GIƒ THÀ THU NG€ n va p ie gh tn to d oa nl w MËT SÈ TÊNG QUT HÂA CÕA MỈUN N…NG oi lm ul nf va an lu Ôi số v lẵ thuyát số 8460104 z at nh Chuyản ngnh M số : : z m co l gm @ an Lu Ngữới hữợng dăn : TS MAI QUị NM n va ac th si i Möc löc lu an n va Mởt số kỵ hiằu Kián thực chuân bà gh tn to Mð ¦u p ie 1.1 Mæun nhä 1.2 Ph¦n phư, mỉun ph¦n phư, mỉun phư 1.3 C¡c t½nh chĐt xÔ Ênh 11 oa nl w d Mỉun n¥ng, mỉun nƠng hỳu hÔn, mổun nỷa chẵnh quy v mổun cf-nƠng 13 an lu oi lm ul nf va 2.1 Mæun n¥ng 2.2 Mổun nƠng hỳu hÔn, mổun nỷa chẵnh quy v mổun cf-nƠng 2.2.1 Mổun nƠng hỳu hÔn 2.2.2 Mæun nûa ch½nh quy 2.2.3 Mỉun cf-n¥ng z at nh 13 16 17 20 31 z 37 gm @ Mổun phử ối hỳu hÔn v mổun nƠng ối hỳu hÔn m co l 3.1 Mổun phử ối hỳu hÔn 37 3.2 Mổun nƠng ối hỳu hÔn 47 3.2.1 nh nghắa v tẵnh chĐt 48 an Lu n va ac th si ii 3.2.2 HÔng tỷ trỹc tiáp v mổun thữỡng cừa mổun nƠng ối hỳu hÔn 51 3.2.3 Têng trüc ti¸p cĂc mổun nƠng ối hỳu hÔn 54 Kát luên 60 Ti li»u tham kh£o 61 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si iii Líi cam oan lu an n va ie gh tn to Tổi xin cam oan luên vôn vỵi · t i Mët sè têng qu¡t hâa cõa mỉun nƠng l cổng trẳnh nghiản cựu khoa hồc cừa tổi dữợi sỹ hữợng dăn cừa TS Mai Quỵ Nôm, nởi dung khổng chp cừa bĐt ký v chữa tứng ữủc cổng bố dữợi bĐt kẳ hẳnh thực no, cĂc kát quÊ khổng phÊi cừa riảng tổi Ãu ữủc trẵch dăn nguỗn gốc ró rng p Bẳnh nh, ngy 30 th¡ng n«m 2020 d oa nl w Håc vi¶n thüc hi»n · t i lu oi lm ul nf va an Gi£ Thà Thu Ng  z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mð ¦u lu an n va p ie gh tn to Mổun nởi xÔ v mổun xÔ Ênh l nhỳng khĂi niằm giỳ vai trỏ c biằt quan trồng Lỵ thuyát vnh v mổun Nởi xÔ v xÔ Ênh l mởt cp tẵnh chĐt ối ngău Lỵ thuyát mổun Mởt nhỳng dÔng tờng quĂt hõa quan trồng cừa mổun nởi xÔ l mổun m rởng (extending module) é phẵa ối ngău, ngữới ta khÊo sĂt cĂc mổun nƠng (lifting module) ữủc nh nghắa ối ngău vợi mổun m rởng Tuy nhiản, mổun nƠng lÔi khổng phÊi l mởt tờng quĂt hõa cừa mổun xÔ Ênh m l mởt tờng quĂt hõa cừa mổun phử xÔ Ênh Mởt mổun xÔ Ênh khổng nhĐt thiát l mổun nƠng Trong õ, mồi mổun phử xÔ Ênh l mổun nƠng, v mồi mổun nƠng Ãu l  mỉun phư Cho M l  mët R-mỉun Mỉun N cõa M gåi l  nhä (trong M ) n¸u vợi mổun bĐt ký L cừa M , quan h» N + L = M k²o theo L = M Vỵi hai mỉun N v  K cõa M , ta nâi N ch°n tr¶n K (trong M ) n¸u K ⊂ N v  N/K l  mỉun nhä M/K Trong tr÷íng hđp n y, ng÷íi ta cán nâi K l  mỉun èi cèt y¸u cõa N M Mỉun M ÷đc gåi l  mỉun nƠng náu mồi mổun cừa M Ãu chn trản mởt hÔng tỷ trỹc tiáp (no õ) cừa M Mổun nƠng ữủc nghiản cựu rởng rÂi nhiÃu chửc nôm qua CĂc kát quÊ nghiản cựu và lợp mổun ny ữủc tờng hủp sĂch chuyản khÊo Lifting Modules, Supplements and Projectivity in Module Theory cõa J Clark v cĂc cởng sỹ xuĐt bÊn nôm 2006 Mởt nhỳng dÔng tờng quĂt hõa cừa mổun nƠng l mổun nƠng hỳu hÔn, hay f-nƠng Mổun M ữủc gồi l mổun nƠng hỳu hÔn náu mồi mổun hỳu d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si lu an n va p ie gh tn to hÔn sinh cừa M Ãu chn trản mởt hÔng tỷ trỹc tiáp (no õ) cừa M Hin nhiản mồi mổun nƠng Ãu l f-nƠng iÃu ngữủc lÔi khổng úng Mởt trữớng hủp c biằt cừa mổun nƠng hỳu hÔn l mổun nỷa chẵnh quy vợi iÃu kiằn cht hỡn l mồi mổun hỳu hÔn sinh (hay xiclic) cừa M Ãu chn trản mởt hÔng tỷ trỹc tiáp xÔ Ênh (no õ) cừa M Bi iÃu kiằn xÔ Ênh n y m  câ nhi·u k¸t qu£ thó v· mỉun nỷa chẵnh quy quan hằ vợi lợp mổun xÔ Ênh, mổun phử v phừ xÔ Ênh cừa mổun Mổun nỷa chẵnh quy ữủc nh nghắa v nghiản cựu bi W.K.Nicholson [12] V o n«m 2007, Y Talebi v  cëng sü [14]  nh nghắa mổun hỳu hÔn sinh ối cốt yáu nhữ mởt m rởng cừa mổun hỳu hÔn sinh: Mổun N cừa M gồi l hỳu hÔn sinh ối cốt yáu náu tỗn tÔi mởt mổun hỳu hÔn sinh H cừa M cho N l  mỉun èi cèt y¸u cõa H M Tø â c¡c t¡c gi£ · xu§t kh¡i ni»m cf-nƠng : Mổun M gồi l cf-nƠng náu mồi mổun hỳu hÔn sinh ối cốt yáu cừa M Ãu chn trản mởt hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M Ró rng tứ nh nghắa suy mồi mổun nƠng Ãu l cf-nƠng v cĂc tĂc giÊ  cho vẵ dử chựng minh rơng iÃu ngữủc lÔi nõi chung khổng úng, nõi cĂch khĂc, trản mởt vnh R, lợp cĂc R-mổun cf-nƠng l mởt m rởng thỹc sỹ cừa lợp c¡c R-mỉun n¥ng Cho M l  mët R-mỉun v  N , L l  hai mỉun cõa M Ng÷íi ta gåi N l  ph¦n phư (supplement) cõa L M n¸u N l  cüc tiºu theo quan h» bao h m tªp c¡c mỉun A cõa M thäa mÂn A + L = M Mổun M ữủc gåi l  mỉun phư (supplemented module) n¸u måi mỉun cừa M Ãu cõ phƯn phử Chú ỵ l, mồi mổun nƠng Ãu l mổun phử Vo nôm 2001, R Alizade v cĂc cởng sỹ [1]  giợi thiằu khĂi niằm mổun phử ối hỳu hÔn - mởt dÔng tờng qu¡t hâa cõa mỉun phư Mët mỉun N cõa mổun M gồi l ối hỳu hÔn (cofinite) náu mổun thữỡng M/N l hỳu hÔn sinh, v M gồi l mổun phử ối hỳu hÔn (cofinitely supplemented module) náu mồi mổun ối hỳu hÔn cừa M Ãu cõ phƯn phư Rã r ng måi mỉun phư ·u l  phư èi hỳu hÔn Theo ỵ tững ny, vo nôm 2008, R.Tribak [15]  ữa d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si lu an n va p ie gh tn to khĂi niằm mổun nƠng ối hỳu hÔn nhữ mởt dÔng tờng quĂt hõa cừa mổun nƠng Theo ([4], 22.3), mổun M l nƠng náu v ch náu M l  mỉun phư õ v  måi mỉun ph¦n phử M l hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M R.Tribak  nh nghắa mổun nƠng ối hỳu hÔn l mổun phử ối hỳu hÔn ừ õ mồi phƯn phử cừa mội mổun ối hỳu hÔn l hÔng tỷ trỹc tiáp Hin nhiản, theo õ, mồi mổun nƠng l nƠng ối hỳu hÔn Sau õ, vo nôm 2010, c¡c t¡c gi£ Yongduo Wang v  Dejun Wu [16]  ữa mởt nh nghắa khĂc cho khĂi niằm mang tản mổun nƠng ối hỳu hÔn, cụng l mởt dÔng tờng quĂt hõa cừa mổun nƠng Theo õ, mởt mổun M ữủc gồi l nƠng ối hỳu hÔn náu mồi mổun ối hỳu hÔn N cừa M Ãu chn trản mởt hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M , cõ nghắa l, tỗn tÔi mởt hÔng tỷ trỹc ti¸p K cõa M cho K ⊂ N v  N/K l  mæun nhä M/K Rã r ng mồi mổun nƠng Ãu l nƠng ối hỳu hÔn, v iÃu ngữủc lÔi nõi chung khổng úng XuĐt phĂt tứ nhỳng nởi dung trẳnh by trản Ơy, chúng tổi  lỹa chồn à ti luên vôn thÔc sắ "Mởt số tờng quĂt hõa cừa mổun nƠng" Mửc tiảu cừa à ti l tờng hủp v trẳnh by vợi chựng minh chi tiát nhỳng kát quÊ cỡ bÊn và mổun nƠng, mổun f-nƠng, mổun nỷa chẵnh quy, mổun cf-nƠng, mổun phử ối hỳu hÔn v mổun nƠng ối hỳu hÔn tứ c¡c t i li»u tham kh£o [1], [4], [12], [13], [14] v [16] ỗng thới, chúng tổi cụng nghiản cựu, phĂt hiằn nhơm bờ sung kát quÊ và mội lợp mổun n y v  mèi quan h» giúa chóng Ngo i ph¦n Mð Ưu, Kát luên v Ti liằu tham khÊo, nởi dung chẵnh cừa luên vôn ữủc trẳnh by ba chữỡng d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh an Lu 1.3 C¡c t½nh chĐt xÔ Ênh m co 1.2 PhƯn phử, mổun ph¦n phư, mỉun phư l gm @ 1.1 Mỉun nhọ z Chữỡng Kián thực chuân b n va ac th si Chữỡng Mổun nƠng, mổun nƠng hỳu hÔn, mổun nỷa chẵnh quy v mổun cf-nƠng 2.1 Mổun nƠng 2.2 Mổun nƠng hỳu hÔn, mổun nỷa chẵnh quy v mổun cf-nƠng Chữỡng Mổun phử ối hỳu hÔn v mổun nƠng ối hỳu hÔn lu 3.1 Mổun phử ối hỳu hÔn an n va 3.2 Mổun nƠng ối hỳu hÔn p ie gh tn to Luên vôn ữủc hon thnh nhớ sỹ hữợng dăn v giúp ù tên tẳnh cừa ThƯy hữợng dăn TS Mai Quỵ Nôm, Trữớng Ôi hồc Quy Nhỡn NhƠn dp ny, tổi xin by tọ sỹ kẵnh trồng v lỏng biát ỡn sƠu sưc án ThƯy  giúp ù tổi suốt quĂ trẳnh hồc têp v thỹc hiằn luên vôn Tổi cụng xin gỷi lới cÊm ỡn án Phỏng o tÔo sau Ôi hồc, Khoa ToĂn quỵ ThƯy, Cổ giÊng dÔy lợp cao hồc Ôi số v lẵ thuyát số Khõa 21  tÔo iÃu kiằn thuên lủi cho tổi quĂ trẳnh hồc têp v thỹc hiằn à ti Cuối cũng, tổi xin ữủc by tọ lỏng biát ỡn án gia ẳnh, ngữới thƠn v bÔn b  hộ trủ, giúp ù tổi suốt quĂ trẳnh hồc têp cụng nhữ thỹc hiằn luên vôn ny Mc dũ luên vôn ữủc thỹc hiằn vợi sỹ nộ lỹc cừa bÊn thƠn iÃu kiằn thới gian cõ hÔn, trẳnh ở kián thực v kinh nghiằm nghiản cựu cỏn hÔn chá nản luên vôn khõ trĂnh khọi nhỳng thiáu sõt Tổi rĐt mong nhên ữủc nhỳng gõp ỵ cừa quỵ ThƯy, Cổ  luên vôn ữủc hon thiằn hỡn d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mët số kỵ hiằu lu Mổun Mổun nhọ Côn cừa mổun M HÔt nhƠn cừa ỗng cĐu f Im(f ) nh cừa ỗng cĐu f EndR (M ) Vnh cĂc tỹ ỗng cĐu cừa mổun M Mổun -phử Mổun trüc ti¸p phư K ≤ce L Mỉun èi cèt y¸u cc K≤ M Mỉun èi âng cs K≤ L Bao h m èi nhä an ≤  Rad(M ) Ker(f ) n va p ie gh tn to d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si 48 Ngo i viằc trẳnh by cĂc kát quÊ  cổng bố [16], chúng tổi bờ sung thảm mởt vi kát quÊ nhọ và mổun nƠng ối hỳu hÔn õ l nh lỵ 3.2.4 và c trững mổun nƠng ối hỳu hÔn; H» qu£ 3.2.23 v· mèi quan h» giúa hai lỵp mæun x¡c ành theo Tribak [15] v  Y.Wang; D.Wu [16] 3.2.1 nh nghắa v tẵnh chĐt lu nh nghắa 3.2.1 ([16]) Cho M l  mët R-mỉun Khi â, M ÷đc gåi l  n¥ng an n va tn to èi húu hÔn náu mồi mổun ối hỳu hÔn N cừa M Ãu chn trản mởt hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M , tực l tỗn tÔi mởt hÔng tỷ trỹc ti¸p K cõa M cho K ≤ N v  N/K  M/K gh Nhªn x²t 3.2.2 Måi mỉun nƠng Ãu l nƠng ối hỳu hÔn v mồi nƠng ối hỳu p ie hÔn hỳu hÔn sinh Ãu l mổun nƠng Tuy nhiản, mổun nƠng ối hỳu hÔn khổng nhĐt thiát l mổun nƠng w oa nl Vẵ dư 3.2.3 ([16], V½ dư 1.1, V½ dư 1.2) Ta xt cĂc vẵ dử sau Ơy d -mổun Q cĂc số hỳu t l nƠng ối hỳu hÔn khổng l nƠng (ii) Cho R l mởt miÃn nguyản vàn (giao ho¡n) khỉng l  mët tr÷íng v  Q l  tr÷íng cĂc thữỡng cừa R GiÊ sỷ I l mởt têp ch¿ sè khæng réng v  M := Q(I) Khi â, M khổng cõ mổun cỹc Ôi no v M l mổun ối hỳu hÔn nhĐt cừa M Do õ M l nƠng ối hỳu hÔn GiÊ sû R l  mi·n Dedekind v  I l  mët tªp hủp vổ hÔn Khi õ M khổng l mổun phử Vêy M khổng l mổun nƠng oi lm ul nf va an lu (i) Z z at nh z Hon ton tữỡng tỹ nhữ mổun nƠng tÔi nh lỵ 2.1.5 v mổun cf-nƠng tÔi nh lỵ 2.2.14, ta cõ nh lỵ c trững cừa mổun nƠng ối hỳu hÔn gm @ M l nƠng ối hỳu hÔn an Lu (i) m co l nh lỵ 3.2.4 Cho M l  mët R-mỉun C¡c ph¡t biºu sau l  t÷ìng ÷ìng [H.Zoschinger, Komplementierte moduln uber dedekindringen, J.Algebra 29 (1974), 42-56] n va ac th si 49 (ii) Vỵi méi mỉun ối hỳu hÔn N cừa M , tỗn tÔi mởt sỹ phƠn tẵch M M1 M2 cho M1 ⊂ N, N ∩ M2  M = (iii) Mội mổun ối hỳu hÔn N cừa M cõ th ữủc biu diạn N = N1 N2 vợi N1 l mởt hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M v  N2  M lu an n va p ie gh tn to Chùng minh (i) ⇒ (ii) Vỵi mổun ối hỳu hÔn N cừa M , tỗn tÔi hÔng tỷ trỹc tiáp M1 cho N chn tr¶n M1 Khi â, M1 ≤ N v  N/M1  M/M1 Gi£ sû M = M1 ⊕ M2 vỵi M2 M Thá thẳ ta cõ mởt ng cĐu, kỵ hiằu : M/M1 M2 xĂc nh bi x = x1 + x2, ϕ(x + M1) = x2 vợi x M Dạ dng tẵnh toĂn ữủc ϕ(N/M1 ) = N ∩ M2 V¼ N/M1  M/M1 n¶n N ∩ M2  M2 (ii) ⇒ (iii) Vợi mổun ối hỳu hÔn N cừa M , tỗn tÔi mởt sỹ phƠn tẵch M = M1 ⊕ M2 cho M1 ⊂ N, N ∩ M2  M Khi õ, cõ sỹ phƠn tẵch N = M1 ⊕ (N ∩ M2 ) °t N1 := M1, N2 := N ∩ M2 ta câ i·u c¦n chùng minh (iii) ⇒ (i) Vỵi mỉun èi húu hÔn N cừa M , N ữủc biu diạn N = N1 N2 vợi N1 l mởt hÔng tỷ trüc ti¸p cõa M v  N2  M X²t php chiáu chẵnh tưc p : M M/N1 , p(x) = x + N1 vỵi måi x ∈ M Dạ dng kim tra ữủc p(N2 ) = p(N ) = N/N1 Vẳ N2  M nản N/N1  M/N1 Do â N ch°n tr¶n N1 Vêy M l nƠng ối hỳu hÔn d oa nl w ul nf va an lu oi lm Nh­c lÔi, mởt mổun M ữủc gồi l mổun phử ối hỳu hÔn (tữỡng ựng, -phử ối hỳu hÔn) náu mồi mổun ối hỳu hÔn cừa M Ãu cõ mởt phƯn phử (tữỡng ựng, Ãu cõ mởt phƯn phử l hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M ) Tứ nh lỵ 3.2.4, ta câ H» qu£ sau ¥y z at nh z m co l hỳu hÔn v õ l phử ối hỳu hÔn gm @ Hằ quÊ 3.2.5 Cho M l mởt mổun nƠng ối hỳu hÔn Khi â, M l  ⊕-phö èi an Lu Chùng minh Gi£ sỷ M l nƠng ối hỳu hÔn v N l mởt mổun ối hỳu hÔn cừa M Theo nh lỵ 3.2.4, M cõ sỹ phƠn tẵch M = K ⊕ K vỵi K ≤ N v  n va ac th si 50 Chú ỵ l M = N + K Khi â, K ≤⊕ M l mởt phƯn phử cừa N Vêy M l -phử ối hỳu hÔn N K0  K0 M»nh · £o cõa H» qu£ 3.2.5 khỉng óng Ta xt vẵ dử dữợi Ơy Vẵ dử 3.2.6 ([16], Vẵ dử 1.3) Cho p l mởt số nguyản tố, kỵ hiằu M l Z-mổun (Z/pZ) (Z/p3 Z) hÔn Khi õ, M l -phử ối hỳu hÔn khổng l nƠng ối hỳu lu Nhên xt 3.2.7 iÃu cỏn chữa biát l mởt mổun nƠng ối hỳu hÔn cõ l phử an n va tn to ối hỳu hÔn ừ hay khổng v õ cụng chữa biát ữủc nõ cõ l "nƠng ối hỳu hÔn" theo nh nghắa cõa R.Tribak hay khæng gh M»nh · 3.2.8 Cho M l mởt mổun nƠng ối hỳu hÔn Khi õ, mồi mổun p ie ối õng ối hỳu hÔn cừa M Ãu l hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M d oa nl w Chùng minh Gi£ sû N l mởt mổun ối õng ối hỳu hÔn cừa M Khi õ, tỗn tÔi hÔng tỷ trỹc tiáp H cõa M cho H ≤ N v  N/H  M/H , nâi c¡ch kh¡c, H l  mæun ối cốt yáu cừa N M Những N l  èi âng M n¶n N = H va an lu oi lm ul nf Nhữ  biát, mổun M l nƠng náu v ch náu M l phử ừ v mồi mổun ối õng cừa M l hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M (xem nh lỵ 2.1.5) ối vợi mổun nƠng ối hỳu hÔn, ta cõ Mằnh à sau z at nh M»nh · 3.2.9 ([16], M»nh · 3.6) Cho M l  mët mæun cho måi mæun z ối hỳu hÔn cừa M Ãu cõ bao èi âng M Khi â, M l  n¥ng ối hỳu hÔn náu v ch náu mồi mổun ối õng ối hỳu hÔn cừa M Ãu l hÔng tû trüc ti¸p cõa M m co l gm @ an Lu Chựng minh iÃu kiằn cƯn  ữủc chựng minh tÔi Mằnh à 3.2.8 GiÊ sỷ mồi mổun ối õng ối hỳu hÔn cừa M Ãu l hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M Xt N l mởt mổun ối hỳu hÔn cừa M Theo gi£ thi¸t, N câ bao n va ac th si 51 ối õng K M Nhữ vêy, K l  mỉun èi cèt y¸u cõa N M , tùc l  N/K  M/K v  K l  ối õng Vẳ M/N hỳu hÔn sinh nản vợi mồi i = 1, 2, , n M = Rx1 + Rx2 + · · · + Rxn + N Khi â, M/K = (Rx1 + Rx2 + · · · + Rxn + K)/K + N/K lu Suy an M/K = (Rx1 + Rx2 + · · · + Rxn + K)/K, n va ie gh tn to v¼ N/K  M/K Khi â, M/K l hỳu hÔn sinh, hay K l mổun ối hỳu hÔn cừa M Hỡn nỳa, K l ối õng Theo giÊ thiát, K l hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M Do õ N chn trản hÔng tỷ trüc ti¸p cõa M , v  ta câ M l  nƠng ối hỳu hÔn p Mởt iÃu  biát Ăng ỵ l mồi mổun cừa mởt mổun phử õ ·u câ bao èi âng Theo M»nh · 3.2.9, ta câ k¸t qu£ sau nl w d oa H» qu£ 3.2.10 ([16], H» qu£ 3.7) Cho M l  mỉun phư õ Khi â, M l  n¥ng nf va an lu ối hỳu hÔn náu v ch náu mồi mổun ối õng ối hỳu hÔn cừa M Ãu l hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M oi lm ul 3.2.2 HÔng tỷ trỹc tiáp v mổun thữỡng cừa mổun nƠng ối hỳu hÔn z at nh z Trong phƯn ny xem xt vĐn à Khi no iÃu kiằn nƠng ối hỳu hÔn di truyÃn cho hÔng tỷ trỹc tiáp hoc cho mổun thữỡng? Trữợc hát ta cõ vẵ dử chựng tọ rơng mổun thữỡng cừa mởt mổun nƠng ối hỳu hÔn khổng nhĐt thiát l nƠng ối hỳu hÔn l gm @ m co V½ dư 3.2.11 ([16], V½ dư 2.1) Gi£ sû R l  mët v nh àa ph÷ìng giao ho¡n m  an Lu khæng l  v nh ành gi¡ v  n > l  mởt số nguyản dữỡng Xt R-mổun R(n) Khi n va ac th si 52 õ, tỗn tÔi mởt mổun K ≤ R(n) cho mỉun th÷ìng M := R(n)/K l mởt mổun khổng phƠn tẵch ữủc biu diạn hỳu hÔn v M khổng th ữủc biu diạn bi ẵt hỡn n phƯn tỷ Vẳ R(n) l mổun phử (khổng phƠn tẵch ữủc) nản nõ l nƠng v vẳ vêy R(n) l nƠng ối hỳu hÔn Tuy nhiản, mổun thữỡng M khổng l nƠng ối hỳu hÔn lu Chú ỵ rơng mởt iÃu chữa biát l hÔng tỷ trỹc tiáp bĐt kẳ cừa mổun nƠng ối hỳu hÔn cõ l nƠng ối hỳu hÔn hay khổng Trữớng hủp c biằt, ta xem xt Mằnh à dữợi Ơy an n va mổun nƠng ối hỳu hÔn l nƠng ối hỳu hÔn gh tn to Mằnh à 3.2.12 ([16], Mằnh à 2.5) Mồi hÔng tỷ trỹc tiáp ối hỳu hÔn cừa mët p ie Chùng minh Gi£ sû M l  mët mổun nƠng ối hỳu hÔn v N l hÔng tỷ trỹc tiáp ối hỳu hÔn cừa M Khi õ, M = N ⊕ N 0, N ” ≤ M v M/N = N l hỳu hÔn sinh GiÊ sỷ L l mởt mổun ối hỳu hÔn cừa N , ta cõ N/L hỳu hÔn sinh Vẳ M = N + (N + L) v  N ∩ (N ⊕ L) = L n¶n M/L = N/L ⊕ (N ⊕ L)/L B¥y gií (N ⊕ L)/L = M/N l hỳu hÔn sinh, v õ M/L l hỳu hÔn sinh, tực L l = N0 mổun ối hỳu hÔn cừa M Vẳ M l mởt mổun nƠng ối hỳu hÔn nản tỗn tÔi hÔng tỷ trỹc tiáp K cừa M cho K ≤ L v  L/K  M/K V¼ N l  èi âng M n¶n N/K l  èi âng M/K theo ([16], Bê · 1.4.(5)) Khi â, theo([16], Bê · 1.4.(4)), L/K  N/K Rã r ng K l mởt hÔng tỷ trỹc tiáp cừa N v vẳ vêy, N l nƠng ối hỳu hÔn d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z Nhưc lÔi, mổun M gồi l cõ tẵnh chĐt tờng hÔng tỷ náu tờng cừa hai hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M cụng l hÔng tỷ trüc ti¸p cõa M Khi â ta nâi M câ SSP gm @ m co l M»nh · 3.2.13 ([16], M»nh · 2.6.) Cho M l  mët mổun nƠng ối hỳu hÔn v an Lu l mởt hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M Khi õ, náu M cõ SSP thẳ mổun thữỡng M/N l nƠng ối hỳu hÔn N [Warfield, Decomposability of finitely presented modules, Proc.Amer.Math.Soc.25 (1970) 167-172] n va ac th si 53 lu Chùng minh Gi£ sû M l  mët mỉun n¥ng èi hỳu hÔn v N l hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M X²t L/N, L ≤ M l  mët mæun ối hỳu hÔn cừa M/N Thá thẳ L l mổun ối hỳu hÔn cừa M Khi õ tỗn tÔi mởt hÔng tỷ trỹc tiáp K cừa M cho K ≤ L, L/K  M/K v  M = K ⊕ K 0, K ≤ M Theo ([16], Bê · 1.4.(1)), ta câ (L + N )/(K + N )  M/(K + N ), câ ngh¾a l , L/(K + N )  M/(K + N ) Bði ([16], Bê · 1.4.(3)), (L/N )/((K + N )/N )  (M/N )/((K + N )/N ) Vẳ M cõ SSP nản K + N l mởt hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M Ró rng, (K + N )/N l mởt hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M/N Do õ M/N l nƠng ối hỳu hÔn an n va H» qu£ 3.2.14 ([16], H» qu£ 2.7) Cho M l mởt mổun nƠng ối hỳu hÔn cõ tn to SSP Khi õ, mồi hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M l nƠng ối hỳu hÔn p ie gh Chùng minh N¸u M = N ⊕ L, â N, L ≤ M th¼ M/L ∼= N Theo Mằnh à 3.2.13, náu M l mởt mổun nƠng ối hỳu hÔn cõ SSP thẳ M/L l nƠng ối hỳu hÔn, ko theo N cụng vêy nl w d oa Nhưc lÔi, mổun N cừa M gồi l bĐt bián hon ton náu (N ) N vợi mồi tỹ ỗng cĐu cừa M an lu nf va nh lỵ 3.2.15 ([16], nh lỵ 2.8) Cho M l mởt mổun nƠng ối hỳu hÔn v N oi lm ul l mổun bĐt bián hon to n cõa M Khi â, mỉun th÷ìng M/N l  nƠng ối hỳu hÔn z at nh Chựng minh GiÊ sỷ T /N l mổun ối hỳu hÔn cừa M/N Khi â, z M/T ∼ = (M/N )/(T /N ) @ v  M = A ⊕ B, B ≤ M an Lu A ≤ T, T /A  M/A m co l gm l hỳu hÔn sinh Do õ T l mổun ối hỳu hÔn cừa M Vẳ M l nƠng ối hỳu hÔn nản tỗn tÔi hÔng tỷ trỹc tiáp A cừa M cho n va ac th si 54 V¼ N l  mổun bĐt bián hon ton cừa M nản N M = (A + N ) + (B + N ) v  V¼ = (A ∩ N ) ⊕ (B ∩ N ) (A + N ) ∩ (B + N ) = N + ((A + N ) ∩ B) = N + [(A + (A ∩ N ) + (B ∩ N )) ∩ B] = N + (B ∩ N ) + (B ∩ (A + (A ∩ N ))) = N, n¶n M/N = (A + N )/N ⊕ (B + N )/N Theo ([16], Bê · 1.4(1)), lu an (T + N )/(A + N )  M/(A + N ), n va câ ngh¾a l  T /(A + N )  M/(A + N ) Do â to gh tn (T /N )/((A + N )/N )  (M/N )/((A + N )/N ) p ie bði ([16], Bê · 1.4(3)) Vªy M/N l nƠng ối hỳu hÔn d oa nl w Nhữ  biát, tờng tĐt cÊ cĂc mổun nhä cõa mỉun M gåi l  c«n cõa M v  kỵ hiằu l Rad(M ) Trong õ tờng cừa t§t c£ c¡c mỉun ìn cõa M gåi l  á cừa M v kỵ hiằu l Soc(M ) Náu l mởt tỹ ỗng cĐu cừa M v K l  mët mỉun nhä (t÷ìng ùng, ìn) cõa M thẳ (N ) cụng l nhọ (tữỡng ựng, bơng ho°c cơng l  ìn) Bði vªy, Rad(M ) v  Soc(M ) l nhỳng mổun bĐt bián hon ton cừa M iÃu ny dăn án Hằ quÊ dữợi Ơy H» qu£ 3.2.16 ([16], H» qu£ 2.9) Cho M l  mởt mổun nƠng ối hỳu hÔn Khi õ, cÊ M/ Rad(M ) v  M/ Soc(M ) l  n¥ng èi húu hÔn oi lm ul nf va an lu z at nh z 3.2.3 Tờng trỹc tiáp cĂc mổun nƠng ối hỳu hÔn @ m co l gm M Ưu l mởt vẵ dử khng nh rơng tờng trỹc tiáp hỳu hÔn cừa nhỳng mổun nƠng ối hỳu hÔn khổng nhĐt thiát l nƠng ối hỳu hÔn Vẵ dử 3.2.17 ([16], V½ dư 3.1) X²t c¡c Z-mỉun Z/2Z; Z/8Z v  M = (Z/2Z) ⊕ (Z/8Z) Khi â, c£ hai Z/2Z v Z/8Z Ãu l mổun nƠng ối hỳu hÔn, M thẳ khổng l nƠng ối hỳu hÔn an Lu n va ac th si 55 lu an n va p ie gh tn to Sau Ơy l mởt kát quÊ Ưu tiản cho mởt iÃu kiằn ừ khĂ mÔnh  tờng trỹc tiáp cừa hai mổun nƠng ối hỳu hÔn cụng l nƠng ối hỳu hÔn nh lỵ 3.2.18 ([16], nh lỵ 3.2) Cho M = M1 M2 l mởt tờng trỹc tiáp cừa nhỳng mổun nƠng ối hỳu hÔn M1 v M2 Khi õ, náu mồi mổun ối hỳu hÔn cừa M Ãu l bĐt bián hon ton thẳ M l nƠng ối hỳu hÔn Chựng minh Gi£ sû N l  mët mæun èi húu hÔn cừa M Khi õ, N l bĐt bián ho n to n theo gi£ thi¸t Do â, N = N ∩ M1 ⊕ N ∩ M2 v  M/N = [(N + M1 )/N ⊕ (N + M2 )/N ] Suy M1 /(N ∩ M1 ) ∼ = (N + M1 )/N v  M2 /(N ∩ M2 ) ∼ = (N + M2 )/N l hỳu hÔn sinh Khi õ, N M1 l mổun ối hỳu hÔn cừa M1 v  N ∩ M2 l  mæun èi húu hÔn cừa M2 Vẳ M1, M2 l nƠng ối hỳu hÔn nản tỗn tÔi hÔng tỷ trỹc tiáp K1 cừa M1 v hÔng tỷ trỹc tiáp K2 cừa M2 cho K1 ≤ (N ∩ M1 ), (N ∩ M1 )/K1  M1 /K1 v  K2 ≤ (N ∩ M2 ), (N ∩ M2 )/K2  M2 /K2 Theo ([16], Bê · 1.4(2)), ta câ d oa nl w ul nf va an lu z at nh tùc l , oi lm [(N ∩ M1 ) ⊕ (N ∩ M2 )]/(K1 ⊕ K2 )  M/(K1 ⊕ K2 ), N/(K1 ⊕ K2 )  M/(K1 ⊕ K2 ) z Ró rng K1 K2 l mởt hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M Vêy M l nƠng ối hỳu hÔn @ m co l gm Nhưc lÔi, mổun M ữủc gồi l mởt mổun duo náu mồi mổun cừa M l bĐt bián hon ton Chú ỵ rơng, nh lỵ 3.2.18 trản Ơy, iÃu kiằn bĐt bi¸n ho n to n ch¿ gi£ thi¸t cho måi mỉun ối hỳu hÔn cừa M v M l tờng trỹc tiáp cừa hai mổun Vợi giÊ thiát mÔnh và mổun duo, ta cõ kát quÊ dữợi Ơy và tờng trỹc tiáp hỳu hÔn tũy ỵ cĂc mổun nƠng ối hỳu hÔn an Lu n va ac th si 56 Hằ qu£ 3.2.19 ([16], H» qu£ 3.4) Cho M = M1 ⊕M2 ⊕ ⊕Mn l  mët têng trüc ti¸p cõa c¡c mổun nƠng ối hỳu hÔn Mi(i = 1, 2, , n) Khi õ, náu M l mởt mổun duo thẳ M l nƠng ối hỳu hÔn Chựng minh Php chựng minh tián hnh quy nÔp theo n Bờ à 3.2.20 ([4], 20.5(3)) Cho M l  mët mỉun phư y¸u v  K ≤ L l  nhúng lu mæun cõa M cho L/K l  èi âng M/K v  K l  èi âng M Khi â, L l  èi âng M an n va p ie gh tn to Chùng minh Theo ([4], 17.13), M/K công l  phư y¸u Do â L/K l  mët (mỉun con) phƯn phử M/K , tữỡng tỹ, K l mởt (mỉun con) ph¦n phư M bði ([4], 20.3) Gi£ sû L/K l  ph¦n phư cõa L0/K, K ⊂ L0 ≤ M M/K v  K l  ph¦n phư cõa K M Khi â, nl w M = K + K , K ∩ K  K, d oa M/K = L/K + L0 /K, L/K ∩ L0 /K  L/K va an lu Vẳ thá M = (L L0) + K v  M = L + L0 Tø â = L + L0 ∩ ((L0 ∩ L) + K ) oi lm ul nf L + (L0 ∩ K ) = L + (L0 ∩ L) + (L0 ∩ K ) z at nh = L + (L0 ∩ M ) = L + L0 = M Nh÷ vªy ta câ M = L + (L0 ∩ K 0) Gi£ sû z @ gm L = L ∩ (K + K ) = K + (L ∩ K ), Do â theo ([4], 2.3(1)), ta câ m co l (L ∩ L0 )/K ⊂ L/K ∩ L0 /K  L/K an Lu (L ∩ L0 ∩ K )/(K ∩ K )  L/(K ∩ K ) n va ac th si 57 Vẳ K K  K L nản L ∩ (L0 ∩ K )  L Do â, L l  ph¦n phư cõa L0 ∩ K M Khi â L l  âng M theo ([4], 20.2) Cho hå mỉun (Mi)i∈I Vỵi méi i I , quy ữợc kỵ hiằu Mi = jI{i}Mj lu nh lỵ 3.2.21 ([16], nh lỵ 3.9) Cho M = ⊕i∈I Mi l  mët têng trüc ti¸p c¡c an n va (i) M l  n¥ng èi húu hÔn ie gh tn to mổun Mi(i I) theo têp ch số I vợi |I| > Khi õ náu M l mởt mổun phử ừ thẳ cĂc iÃu kiằn sau l tữỡng ữỡng p (ii) Tỗn tÔi i ∈ I cho méi mët mæun èi âng ối hỳu hÔn K cừa M vợi M = K + Mi ho°c M = K + M−i l  mët hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M nl w d oa (iii) Tỗn tÔi i I cho mội mởt mổun ối õng ối hỳu hÔn K cõa M vỵi (K + Mi )/K  M/K ho°c (K + M−i )/K  M/K ho°c M = K + Mi = K + Mi l hÔng tỷ trỹc ti¸p cõa M nf va an lu oi lm ul Chựng minh (i) (ii) Vẳ M l nƠng ối hỳu hÔn, theo Mằnh à 3.2.8, mồi mổun ối õng ối hỳu hÔn cừa M l hÔng tỷ trüc ti¸p cõa M (ii) ⇒ (i) Gi£ sû K l mởt mổun ối õng ối hỳu hÔn cõa M Theo ([4], 20.22), M/K l  phö õ, õ tỗn tÔi mổun ối õng N/K cừa M/K cho N/K ≤ (K + Mi)/K v  (K + Mi)/N  M/N Theo Bê · 3.2.20, N l  âng M Hìn núa, M = (K + Mi) + M−i suy M = N + M−i Khi â, N l  mët mæun èi âng ối hỳu hÔn cừa M Theo giÊ thiát, M = N ⊕ N 0, â N ≤ M V¼ K = N ∩ (K + N ) v  M = N + (K + N ) n¶n M/K = N/K ⊕ (K + N )/K v vẳ vêy (K + N 0)/K l âng M/K Theo Bê · 3.2.20, K + N l  âng M Hìn núa, M = (K + Mi) + N = (K + N 0) + Mi Rã r ng K + N công l  z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si 58 lu an n va p ie gh tn to mæun ối hỳu hÔn cừa M Khi õ, K + N l hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M theo giÊ thiát BƠy giớ M = (K + N 0) ⊕ K 0, K ≤ M Do â, N = (K + N 0) ∩ (N + K 0) v  N ∩ (K + N ) ∩ (N + K ) = K ∩ (N + K ) = Thá thẳ M = K (N + K ) Vêy M l nƠng ối hỳu hÔn theo H» qu£ 3.2.10 (ii) ⇒ (iii) V¼ M = ⊕i∈I Mi = Mi + M−i n¶n M/K = (K + Mi )/K + (K + M−i )/K Theo gi£ thi¸t ta câ M/K = (K + Mi)/K ho°c M/K = (K + M−i)/K i·u n y k²o theo M = K + Mi ho°c M = K + M−i B¥y gií rã r ng (ii)⇒(iii) (iii) ⇒ (ii) Gi£ sû K l mởt mổun ối õng ối hỳu hÔn cõa M cho M = K + Mi Theo ([4], 20.22), M/K l phử ừ, õ tỗn tÔi mổun ối õng N/K cừa M/K cho (K + Mi )/N  M/N Dạ dng thĐy N + M−i = K + M−i v  (N + Mi)/N  M/N Chú ỵ rơng N l ối âng M v  N l  mæun èi húu hÔn cừa M Theo giÊ thiát M = N ⊕ N 0, â N ≤ M Rã r ng M = (K+Mi ) = (K+N )+Mi = (K+N )+M−i V¼ M = K+N +N v  K = (K+N )∩N n¶n M/K = N/K ⊕ (K + N 0)/K B¥y gií, K + N l  èi âng M v  K + N l mổun ối hỳu hÔn cừa M Theo gi£ thi¸t, K + N l  hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M Vẳ K + N = K ⊕ N n¶n K l  mởt hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M d oa nl w va an lu ul nf H» qu£ 3.2.22 ([16], H» qu£ 3.10) Cho M = M1 ⊕ M2 l  mët mỉun phư õ C¡c oi lm i·u kiằn sau l tữỡng ữỡng (i) M l nƠng ối hỳu hÔn (ii) Mội mởt mổun ối õng ối hỳu hÔn K cừa M vợi M = K + M1 hoc M = K + M2 l hÔng tỷ trüc ti¸p cõa M (iii) Méi mët mỉun ối õng ối hỳu hÔn K cừa M vợi (K + M1)/K  M/K ho°c (K + M2)/K  M/K ho°c M = K + M1 = K + M2 l hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M z at nh z m co l gm @ an Lu Xin nhưc lÔi, R.Tribak [15]  nh nghắa mổun nƠng ối hỳu hÔn l mổun phử ối hỳu hÔn ừ â måi ph¦n phư cõa méi mỉun èi hỳu hÔn l n va ac th si 59 hÔng tỷ trỹc tiáp Chúng tổi chữa tẳm ữủc mối quan hằ Ăng ỵ no giỳa lợp mổun ny vợi lợp cĂc mổun nƠng ối hỳu hÔn trẳnh by trản Ơy ữủc nh nghắa bi Y.Wang v D.Wu [16] Tuy nhiản, vợi cĂc mổun xÔ Ênh, chúng tổi cõ Hằ qu£ sau H» qu£ 3.2.23 Cho M l  mët mæun xÔ Ênh cho mội mổun ối hỳu lu hÔn cừa M cõ mởt phƯn phử l hÔng tỷ trüc ti¸p cõa M Khi â, M l  mët mổun nƠng ối hỳu hÔn (theo Wang) c biằt, mồi mổun xÔ Ênh "nƠng ối hỳu hÔn theo Tribak" Ãu l nƠng ối hỳu hÔn (theo Wang) an n va p ie gh tn to Chùng minh Gi£ sû mæun ối hỳu hÔn tũy ỵ N cừa M cõ phƯn phử K cho K l mởt hÔng tỷ trüc ti¸p cõa M Khi â, M = N + K v  N ∩ K  K Gåi : M M/N l php chiáu chẵnh tưc v  ϕ1 : K → M/N l  thu hµp cõa lản K Vẳ M = N + K nản l mởt ton cĐu, hỡn nỳa, Ker(1 ) = Ker(ϕ) ∩ K = N ∩ K  K Do â, ϕ1 : K → M/N l  phõ xÔ Ênh cừa M/N Theo Bờ à 2.2.19, N chn trản mởt hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M Vêy M l nƠng ối hỳu hÔn (theo Wang) GiÊ sỷ M l mổun xÔ Ênh v l "nƠng ối hỳu hÔn theo Tribak", cõ nghắa l mổun phử ối hỳu hÔn ừ õ mồi phƯn phử cừa mội mổun ối hỳu hÔn l hÔng tỷ trỹc tiáp Khi â, theo chùng minh tr¶n, mỉun èi húu hÔn tũy ỵ N cừa M chn trản mởt hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M Vêy M l nƠng ối hỳu hÔn (theo Wang) d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si 60 Kát luên lu õng gõp cừa luên vôn an Luên vôn tham khÊo, chồn lỹa v trẳnh by theo hằ thống vợi nhỳng chựng minh chi ti¸t mët sè nëi dung sau n va gh tn to KhĂi niằm v cĂc tẵnh chĐt cỡ bÊn, cĂc c trững cừa mổun nƠng p ie KhĂi niằm v cĂc tẵnh chĐt c trững cừa mổun f-nƠng, mổun nỷa chẵnh quy, mổun xÔ Ênh nỷa chẵnh quy, mổun hỳu hÔn sinh nỷa chẵnh quy v mổun cf-nƠng, tờng trỹc tiáp cừa cĂc mổun nỷa chẵnh quy oa nl w d Kh¡i ni»m v  c¡c tẵnh chĐt c trững cừa mổun phử ối hỳu hÔn, mổun phử ối hỳu hÔn ừ, mổun thữỡng cừa mổun phử ối hỳu hÔn va an lu oi lm ul nf KhĂi niằm v cĂc tẵnh chĐt c trững cừa mổun nƠng ối hỳu hÔn HÔng tỷ trỹc tiáp, tờng trỹc tiáp v mổun thữỡng cừa mổun nƠng ối hỳu hÔn Luên vôn bờ sung mởt vi kát quÊ và mổun xÔ Ênh nỷa chẵnh quy v mổun xÔ Ênh nƠng ối hỳu hÔn z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si 61 T i li»u tham kh£o lu [1] R Alizade, G Bilhan and P F Smith, Modules whose maximal submodules have supplements, Comm Algebra 29 (2001), no 6, 2389-2405 an n va gh tn to [2] F W Anderson and K R Fuller, Rings and categories of modules, Springer Verlag, New York, 1974 p ie [3] H Calisici and A Pancar, ⊕ -cofinitely supplemented modules, Czechoslovak Math J 54 (2004), no.4, 1083-1088 w d oa nl [4] J Clark, C Lomp, N Vanaja and R Wisbauer, Lifting Modules, Supplements and Projectivity in Module Theory, Frontiers in Mathematics, Birkhauser Verlag, Basel, 2006 va an lu oi lm ul nf [5] L Ganesan and N Vanaja, Modules for which every Submodule has a Unique Co- clouser, Comm Algebra, 30 (2002), 2355-2377 z at nh [6] J L Garcia, Properties of direct summands of modules, Comm Algebra 17 (1989), 73-92 z l gm @ [7] Harmanci, A., Keskin, D., and Smith, P F., On ⊕ - supplemented modules, acta Math Hungar., 83(1-2), 161-169 (1999) m co [8] D Keskin, On lifting modules, Comm Algebra 28 (2000), 3427-3440 an Lu [9] D Keskin, On Coclosed Submodules, Indian J pure appl Math., 36 (2005), 135-144 n va ac th si 62 [10] C Lomp, On Dual Goldie Dimension, Diplomarbeit (M Sc Thesis), Doesseldorf (1996) [11] S H Mohamed and B J Muller, Continuous and discrete modules, London Math Soc Lecture Note Series 147, Cambridge University Press, 1990 [12] W K Nicholson, Semiregular Modules and Rings, Can J Math., Vol XXVIII, No 5, 1976, pp 1105-1120 lu an [13] Khitam Salameh, On Some Types of Supplemented Modules, Master in Mathematics, Birzeit University, 2013 n va ie gh tn to [14] Y Talebi, M J Nematollahi and Kh Ghaziani, A Generalization of Lifting Modules, Int J Contemp Math Sciences, Vol 2, 2007, no 22, 1069-1075 p [15] R Tribak, On cofinitely lifting and cofinitely weak lifting modules, Comm Algebra 36 (2008), no 12, 4448-4460 oa nl w d [16] Yongduo Wang and Dejun Wu, On Cofinitely Lifting Modules, Algebra Colloquium 17 : (2010), 659-666 va an lu oi lm ul nf [17] Wisbauer, R (1991), Foundations of Modules and Rings, Gordon and Breach z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si
- Xem thêm -

Xem thêm: (Luận văn) một số tổng quát hóa của môđun nâng,