THÔNG TIN TÀI LIỆU
BË GIO DƯC V O TO TR×ÍNG I HÅC QUY NHÌN lu GI THÀ THU NG an n va p ie gh tn to d oa nl w MËT SÈ TÊNG QUT HÂA CÕA MỈ UN N
NG va an lu oi lm ul nf LUN VN THC S TON HÅC z at nh z m co l gm @ an Lu Bẳnh nh, nôm 2020 n va ac th si BË GIO DƯC V O TO TR×ÍNG I HÅC QUY NHÌN lu an GI THÀ THU NG n va p ie gh tn to d oa nl w MËT SÈ TÊNG QUT HÂA CÕA MỈ UN N
NG oi lm ul nf va an lu Ôi số v lẵ thuyát số 8460104 z at nh Chuyản ngnh M số : : z m co l gm @ an Lu Ngữới hữợng dăn : TS MAI QUị NM n va ac th si i Möc löc lu an n va Mởt số kỵ hiằu Kián thực chuân bà gh tn to Mð ¦u p ie 1.1 Mæ un nhä 1.2 Ph¦n phư, mỉ un ph¦n phư, mỉ un phư 1.3 C¡c t½nh chĐt xÔ Ênh 11 oa nl w d Mỉ un n¥ng, mỉ un nƠng hỳu hÔn, mổ un nỷa chẵnh quy v mổ un cf-nƠng 13 an lu oi lm ul nf va 2.1 Mæ un n¥ng 2.2 Mổ un nƠng hỳu hÔn, mổ un nỷa chẵnh quy v mổ un cf-nƠng 2.2.1 Mổ un nƠng hỳu hÔn 2.2.2 Mæ un nûa ch½nh quy 2.2.3 Mỉ un cf-n¥ng z at nh 13 16 17 20 31 z 37 gm @ Mổ un phử ối hỳu hÔn v mổ un nƠng ối hỳu hÔn m co l 3.1 Mổ un phử ối hỳu hÔn 37 3.2 Mổ un nƠng ối hỳu hÔn 47 3.2.1 nh nghắa v tẵnh chĐt 48 an Lu n va ac th si ii 3.2.2 HÔng tỷ trỹc tiáp v mổ un thữỡng cừa mổ un nƠng ối hỳu hÔn 51 3.2.3 Têng trüc ti¸p cĂc mổ un nƠng ối hỳu hÔn 54 Kát luên 60 Ti li»u tham kh£o 61 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si iii Líi cam oan lu an n va ie gh tn to Tổi xin cam oan luên vôn vỵi · t i Mët sè têng qu¡t hâa cõa mỉ un nƠng l cổng trẳnh nghiản cựu khoa hồc cừa tổi dữợi sỹ hữợng dăn cừa TS Mai Quỵ Nôm, nởi dung khổng chp cừa bĐt ký v chữa tứng ữủc cổng bố dữợi bĐt kẳ hẳnh thực no, cĂc kát quÊ khổng phÊi cừa riảng tổi Ãu ữủc trẵch dăn nguỗn gốc ró rng p Bẳnh nh, ngy 30 th¡ng n«m 2020 d oa nl w Håc vi¶n thüc hi»n · t i lu oi lm ul nf va an Gi£ Thà Thu Ng z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mð ¦u lu an n va p ie gh tn to Mổ un nởi xÔ v mổ un xÔ Ênh l nhỳng khĂi niằm giỳ vai trỏ c biằt quan trồng Lỵ thuyát vnh v mổ un Nởi xÔ v xÔ Ênh l mởt cp tẵnh chĐt ối ngău Lỵ thuyát mổ un Mởt nhỳng dÔng tờng quĂt hõa quan trồng cừa mổ un nởi xÔ l mổ un m rởng (extending module) é phẵa ối ngău, ngữới ta khÊo sĂt cĂc mổ un nƠng (lifting module) ữủc nh nghắa ối ngău vợi mổ un m rởng Tuy nhiản, mổ un nƠng lÔi khổng phÊi l mởt tờng quĂt hõa cừa mổ un xÔ Ênh m l mởt tờng quĂt hõa cừa mổ un phử xÔ Ênh Mởt mổ un xÔ Ênh khổng nhĐt thiát l mổ un nƠng Trong õ, mồi mổ un phử xÔ Ênh l mổ un nƠng, v mồi mổ un nƠng Ãu l mỉ un phư Cho M l mët R-mỉ un Mỉ un N cõa M gåi l nhä (trong M ) n¸u vợi mổ un bĐt ký L cừa M , quan h» N + L = M k²o theo L = M Vỵi hai mỉ un N v K cõa M , ta nâi N ch°n tr¶n K (trong M ) n¸u K ⊂ N v N/K l mỉ un nhä M/K Trong tr÷íng hđp n y, ng÷íi ta cán nâi K l mỉ un èi cèt y¸u cõa N M Mỉ un M ÷đc gåi l mỉ un nƠng náu mồi mổ un cừa M Ãu chn trản mởt hÔng tỷ trỹc tiáp (no õ) cừa M Mổ un nƠng ữủc nghiản cựu rởng rÂi nhiÃu chửc nôm qua CĂc kát quÊ nghiản cựu và lợp mổ un ny ữủc tờng hủp sĂch chuyản khÊo Lifting Modules, Supplements and Projectivity in Module Theory cõa J Clark v cĂc cởng sỹ xuĐt bÊn nôm 2006 Mởt nhỳng dÔng tờng quĂt hõa cừa mổ un nƠng l mổ un nƠng hỳu hÔn, hay f-nƠng Mổ un M ữủc gồi l mổ un nƠng hỳu hÔn náu mồi mổ un hỳu d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si lu an n va p ie gh tn to hÔn sinh cừa M Ãu chn trản mởt hÔng tỷ trỹc tiáp (no õ) cừa M Hin nhiản mồi mổ un nƠng Ãu l f-nƠng iÃu ngữủc lÔi khổng úng Mởt trữớng hủp c biằt cừa mổ un nƠng hỳu hÔn l mổ un nỷa chẵnh quy vợi iÃu kiằn cht hỡn l mồi mổ un hỳu hÔn sinh (hay xiclic) cừa M Ãu chn trản mởt hÔng tỷ trỹc tiáp xÔ Ênh (no õ) cừa M Bi iÃu kiằn xÔ Ênh n y m câ nhi·u k¸t qu£ thó v· mỉ un nỷa chẵnh quy quan hằ vợi lợp mổ un xÔ Ênh, mổ un phử v phừ xÔ Ênh cừa mổ un Mổ un nỷa chẵnh quy ữủc nh nghắa v nghiản cựu bi W.K.Nicholson [12] V o n«m 2007, Y Talebi v cëng sü [14]  nh nghắa mổ un hỳu hÔn sinh ối cốt yáu nhữ mởt m rởng cừa mổ un hỳu hÔn sinh: Mổ un N cừa M gồi l hỳu hÔn sinh ối cốt yáu náu tỗn tÔi mởt mổ un hỳu hÔn sinh H cừa M cho N l mỉ un èi cèt y¸u cõa H M Tø â c¡c t¡c gi£ · xu§t kh¡i ni»m cf-nƠng : Mổ un M gồi l cf-nƠng náu mồi mổ un hỳu hÔn sinh ối cốt yáu cừa M Ãu chn trản mởt hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M Ró rng tứ nh nghắa suy mồi mổ un nƠng Ãu l cf-nƠng v cĂc tĂc giÊ Â cho vẵ dử chựng minh rơng iÃu ngữủc lÔi nõi chung khổng úng, nõi cĂch khĂc, trản mởt vnh R, lợp cĂc R-mổ un cf-nƠng l mởt m rởng thỹc sỹ cừa lợp c¡c R-mỉ un n¥ng Cho M l mët R-mỉ un v N , L l hai mỉ un cõa M Ng÷íi ta gåi N l ph¦n phư (supplement) cõa L M n¸u N l cüc tiºu theo quan h» bao h m tªp c¡c mỉ un A cõa M thäa mÂn A + L = M Mổ un M ữủc gåi l mỉ un phư (supplemented module) n¸u måi mỉ un cừa M Ãu cõ phƯn phử Chú ỵ l, mồi mổ un nƠng Ãu l mổ un phử Vo nôm 2001, R Alizade v cĂc cởng sỹ [1]  giợi thiằu khĂi niằm mổ un phử ối hỳu hÔn - mởt dÔng tờng qu¡t hâa cõa mỉ un phư Mët mỉ un N cõa mổ un M gồi l ối hỳu hÔn (cofinite) náu mổ un thữỡng M/N l hỳu hÔn sinh, v M gồi l mổ un phử ối hỳu hÔn (cofinitely supplemented module) náu mồi mổ un ối hỳu hÔn cừa M Ãu cõ phƯn phư Rã r ng måi mỉ un phư ·u l phư èi hỳu hÔn Theo ỵ tững ny, vo nôm 2008, R.Tribak [15]  ữa d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si lu an n va p ie gh tn to khĂi niằm mổ un nƠng ối hỳu hÔn nhữ mởt dÔng tờng quĂt hõa cừa mổ un nƠng Theo ([4], 22.3), mổ un M l nƠng náu v ch náu M l mỉ un phư õ v måi mỉ un ph¦n phử M l hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M R.Tribak  nh nghắa mổ un nƠng ối hỳu hÔn l mổ un phử ối hỳu hÔn ừ õ mồi phƯn phử cừa mội mổ un ối hỳu hÔn l hÔng tỷ trỹc tiáp Hin nhiản, theo õ, mồi mổ un nƠng l nƠng ối hỳu hÔn Sau õ, vo nôm 2010, c¡c t¡c gi£ Yongduo Wang v Dejun Wu [16]  ữa mởt nh nghắa khĂc cho khĂi niằm mang tản mổ un nƠng ối hỳu hÔn, cụng l mởt dÔng tờng quĂt hõa cừa mổ un nƠng Theo õ, mởt mổ un M ữủc gồi l nƠng ối hỳu hÔn náu mồi mổ un ối hỳu hÔn N cừa M Ãu chn trản mởt hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M , cõ nghắa l, tỗn tÔi mởt hÔng tỷ trỹc ti¸p K cõa M cho K ⊂ N v N/K l mæ un nhä M/K Rã r ng mồi mổ un nƠng Ãu l nƠng ối hỳu hÔn, v iÃu ngữủc lÔi nõi chung khổng úng XuĐt phĂt tứ nhỳng nởi dung trẳnh by trản Ơy, chúng tổi  lỹa chồn à ti luên vôn thÔc sắ "Mởt số tờng quĂt hõa cừa mổ un nƠng" Mửc tiảu cừa à ti l tờng hủp v trẳnh by vợi chựng minh chi tiát nhỳng kát quÊ cỡ bÊn và mổ un nƠng, mổ un f-nƠng, mổ un nỷa chẵnh quy, mổ un cf-nƠng, mổ un phử ối hỳu hÔn v mổ un nƠng ối hỳu hÔn tứ c¡c t i li»u tham kh£o [1], [4], [12], [13], [14] v [16] ỗng thới, chúng tổi cụng nghiản cựu, phĂt hiằn nhơm bờ sung kát quÊ và mội lợp mổ un n y v mèi quan h» giúa chóng Ngo i ph¦n Mð Ưu, Kát luên v Ti liằu tham khÊo, nởi dung chẵnh cừa luên vôn ữủc trẳnh by ba chữỡng d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh an Lu 1.3 C¡c t½nh chĐt xÔ Ênh m co 1.2 PhƯn phử, mổ un ph¦n phư, mỉ un phư l gm @ 1.1 Mỉ un nhọ z Chữỡng Kián thực chuân b n va ac th si Chữỡng Mổ un nƠng, mổ un nƠng hỳu hÔn, mổ un nỷa chẵnh quy v mổ un cf-nƠng 2.1 Mổ un nƠng 2.2 Mổ un nƠng hỳu hÔn, mổ un nỷa chẵnh quy v mổ un cf-nƠng Chữỡng Mổ un phử ối hỳu hÔn v mổ un nƠng ối hỳu hÔn lu 3.1 Mổ un phử ối hỳu hÔn an n va 3.2 Mổ un nƠng ối hỳu hÔn p ie gh tn to Luên vôn ữủc hon thnh nhớ sỹ hữợng dăn v giúp ù tên tẳnh cừa ThƯy hữợng dăn TS Mai Quỵ Nôm, Trữớng Ôi hồc Quy Nhỡn NhƠn dp ny, tổi xin by tọ sỹ kẵnh trồng v lỏng biát ỡn sƠu sưc án ThƯy  giúp ù tổi suốt quĂ trẳnh hồc têp v thỹc hiằn luên vôn Tổi cụng xin gỷi lới cÊm ỡn án Phỏng o tÔo sau Ôi hồc, Khoa ToĂn quỵ ThƯy, Cổ giÊng dÔy lợp cao hồc Ôi số v lẵ thuyát số Khõa 21  tÔo iÃu kiằn thuên lủi cho tổi quĂ trẳnh hồc têp v thỹc hiằn à ti Cuối cũng, tổi xin ữủc by tọ lỏng biát ỡn án gia ẳnh, ngữới thƠn v bÔn b  hộ trủ, giúp ù tổi suốt quĂ trẳnh hồc têp cụng nhữ thỹc hiằn luên vôn ny Mc dũ luên vôn ữủc thỹc hiằn vợi sỹ nộ lỹc cừa bÊn thƠn iÃu kiằn thới gian cõ hÔn, trẳnh ở kián thực v kinh nghiằm nghiản cựu cỏn hÔn chá nản luên vôn khõ trĂnh khọi nhỳng thiáu sõt Tổi rĐt mong nhên ữủc nhỳng gõp ỵ cừa quỵ ThƯy, Cổ luên vôn ữủc hon thiằn hỡn d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mët số kỵ hiằu lu Mổ un Mổ un nhọ Côn cừa mổ un M HÔt nhƠn cừa ỗng cĐu f Im(f ) nh cừa ỗng cĐu f EndR (M ) Vnh cĂc tỹ ỗng cĐu cừa mổ un M Mổ un -phử Mổ un trüc ti¸p phư K ≤ce L Mỉ un èi cèt y¸u cc K≤ M Mỉ un èi âng cs K≤ L Bao h m èi nhä an ≤ Rad(M ) Ker(f ) n va p ie gh tn to d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si 48 Ngo i viằc trẳnh by cĂc kát quÊ Â cổng bố [16], chúng tổi bờ sung thảm mởt vi kát quÊ nhọ và mổ un nƠng ối hỳu hÔn õ l nh lỵ 3.2.4 và c trững mổ un nƠng ối hỳu hÔn; H» qu£ 3.2.23 v· mèi quan h» giúa hai lỵp mæ un x¡c ành theo Tribak [15] v Y.Wang; D.Wu [16] 3.2.1 nh nghắa v tẵnh chĐt lu nh nghắa 3.2.1 ([16]) Cho M l mët R-mỉ un Khi â, M ÷đc gåi l n¥ng an n va tn to èi húu hÔn náu mồi mổ un ối hỳu hÔn N cừa M Ãu chn trản mởt hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M , tực l tỗn tÔi mởt hÔng tỷ trỹc ti¸p K cõa M cho K ≤ N v N/K M/K gh Nhªn x²t 3.2.2 Måi mỉ un nƠng Ãu l nƠng ối hỳu hÔn v mồi nƠng ối hỳu p ie hÔn hỳu hÔn sinh Ãu l mổ un nƠng Tuy nhiản, mổ un nƠng ối hỳu hÔn khổng nhĐt thiát l mổ un nƠng w oa nl Vẵ dư 3.2.3 ([16], V½ dư 1.1, V½ dư 1.2) Ta xt cĂc vẵ dử sau Ơy d -mổ un Q cĂc số hỳu t l nƠng ối hỳu hÔn khổng l nƠng (ii) Cho R l mởt miÃn nguyản vàn (giao ho¡n) khỉng l mët tr÷íng v Q l tr÷íng cĂc thữỡng cừa R GiÊ sỷ I l mởt têp ch¿ sè khæng réng v M := Q(I) Khi â, M khổng cõ mổ un cỹc Ôi no v M l mổ un ối hỳu hÔn nhĐt cừa M Do õ M l nƠng ối hỳu hÔn GiÊ sû R l mi·n Dedekind v I l mët tªp hủp vổ hÔn Khi õ M khổng l mổ un phử Vêy M khổng l mổ un nƠng oi lm ul nf va an lu (i) Z z at nh z Hon ton tữỡng tỹ nhữ mổ un nƠng tÔi nh lỵ 2.1.5 v mổ un cf-nƠng tÔi nh lỵ 2.2.14, ta cõ nh lỵ c trững cừa mổ un nƠng ối hỳu hÔn gm @ M l nƠng ối hỳu hÔn an Lu (i) m co l nh lỵ 3.2.4 Cho M l mët R-mỉ un C¡c ph¡t biºu sau l t÷ìng ÷ìng [H.Zoschinger, Komplementierte moduln uber dedekindringen, J.Algebra 29 (1974), 42-56] n va ac th si 49 (ii) Vỵi méi mỉ un ối hỳu hÔn N cừa M , tỗn tÔi mởt sỹ phƠn tẵch M M1 M2 cho M1 ⊂ N, N ∩ M2 M = (iii) Mội mổ un ối hỳu hÔn N cừa M cõ th ữủc biu diạn N = N1 N2 vợi N1 l mởt hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M v N2 M lu an n va p ie gh tn to Chùng minh (i) ⇒ (ii) Vỵi mổ un ối hỳu hÔn N cừa M , tỗn tÔi hÔng tỷ trỹc tiáp M1 cho N chn tr¶n M1 Khi â, M1 ≤ N v N/M1 M/M1 Gi£ sû M = M1 ⊕ M2 vỵi M2 M Thá thẳ ta cõ mởt ng cĐu, kỵ hiằu : M/M1 M2 xĂc nh bi x = x1 + x2, ϕ(x + M1) = x2 vợi x M Dạ dng tẵnh toĂn ữủc ϕ(N/M1 ) = N ∩ M2 V¼ N/M1 M/M1 n¶n N ∩ M2 M2 (ii) ⇒ (iii) Vợi mổ un ối hỳu hÔn N cừa M , tỗn tÔi mởt sỹ phƠn tẵch M = M1 ⊕ M2 cho M1 ⊂ N, N ∩ M2 M Khi õ, cõ sỹ phƠn tẵch N = M1 ⊕ (N ∩ M2 ) °t N1 := M1, N2 := N ∩ M2 ta câ i·u c¦n chùng minh (iii) ⇒ (i) Vỵi mỉ un èi húu hÔn N cừa M , N ữủc biu diạn N = N1 N2 vợi N1 l mởt hÔng tỷ trüc ti¸p cõa M v N2 M X²t php chiáu chẵnh tưc p : M M/N1 , p(x) = x + N1 vỵi måi x ∈ M Dạ dng kim tra ữủc p(N2 ) = p(N ) = N/N1 Vẳ N2 M nản N/N1 M/N1 Do â N ch°n tr¶n N1 Vêy M l nƠng ối hỳu hÔn d oa nl w ul nf va an lu oi lm Nhc lÔi, mởt mổ un M ữủc gồi l mổ un phử ối hỳu hÔn (tữỡng ựng, -phử ối hỳu hÔn) náu mồi mổ un ối hỳu hÔn cừa M Ãu cõ mởt phƯn phử (tữỡng ựng, Ãu cõ mởt phƯn phử l hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M ) Tứ nh lỵ 3.2.4, ta câ H» qu£ sau ¥y z at nh z m co l hỳu hÔn v õ l phử ối hỳu hÔn gm @ Hằ quÊ 3.2.5 Cho M l mởt mổ un nƠng ối hỳu hÔn Khi â, M l ⊕-phö èi an Lu Chùng minh Gi£ sỷ M l nƠng ối hỳu hÔn v N l mởt mổ un ối hỳu hÔn cừa M Theo nh lỵ 3.2.4, M cõ sỹ phƠn tẵch M = K ⊕ K vỵi K ≤ N v n va ac th si 50 Chú ỵ l M = N + K Khi â, K ≤⊕ M l mởt phƯn phử cừa N Vêy M l -phử ối hỳu hÔn N K0 K0 M»nh · £o cõa H» qu£ 3.2.5 khỉng óng Ta xt vẵ dử dữợi Ơy Vẵ dử 3.2.6 ([16], Vẵ dử 1.3) Cho p l mởt số nguyản tố, kỵ hiằu M l Z-mổ un (Z/pZ) (Z/p3 Z) hÔn Khi õ, M l -phử ối hỳu hÔn khổng l nƠng ối hỳu lu Nhên xt 3.2.7 iÃu cỏn chữa biát l mởt mổ un nƠng ối hỳu hÔn cõ l phử an n va tn to ối hỳu hÔn ừ hay khổng v õ cụng chữa biát ữủc nõ cõ l "nƠng ối hỳu hÔn" theo nh nghắa cõa R.Tribak hay khæng gh M»nh · 3.2.8 Cho M l mởt mổ un nƠng ối hỳu hÔn Khi õ, mồi mổ un p ie ối õng ối hỳu hÔn cừa M Ãu l hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M d oa nl w Chùng minh Gi£ sû N l mởt mổ un ối õng ối hỳu hÔn cừa M Khi õ, tỗn tÔi hÔng tỷ trỹc tiáp H cõa M cho H ≤ N v N/H M/H , nâi c¡ch kh¡c, H l mæ un ối cốt yáu cừa N M Những N l èi âng M n¶n N = H va an lu oi lm ul nf Nhữ  biát, mổ un M l nƠng náu v ch náu M l phử ừ v mồi mổ un ối õng cừa M l hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M (xem nh lỵ 2.1.5) ối vợi mổ un nƠng ối hỳu hÔn, ta cõ Mằnh à sau z at nh M»nh · 3.2.9 ([16], M»nh · 3.6) Cho M l mët mæ un cho måi mæ un z ối hỳu hÔn cừa M Ãu cõ bao èi âng M Khi â, M l n¥ng ối hỳu hÔn náu v ch náu mồi mổ un ối õng ối hỳu hÔn cừa M Ãu l hÔng tû trüc ti¸p cõa M m co l gm @ an Lu Chựng minh iÃu kiằn cƯn  ữủc chựng minh tÔi Mằnh à 3.2.8 GiÊ sỷ mồi mổ un ối õng ối hỳu hÔn cừa M Ãu l hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M Xt N l mởt mổ un ối hỳu hÔn cừa M Theo gi£ thi¸t, N câ bao n va ac th si 51 ối õng K M Nhữ vêy, K l mỉ un èi cèt y¸u cõa N M , tùc l N/K M/K v K l ối õng Vẳ M/N hỳu hÔn sinh nản vợi mồi i = 1, 2, , n M = Rx1 + Rx2 + · · · + Rxn + N Khi â, M/K = (Rx1 + Rx2 + · · · + Rxn + K)/K + N/K lu Suy an M/K = (Rx1 + Rx2 + · · · + Rxn + K)/K, n va ie gh tn to v¼ N/K M/K Khi â, M/K l hỳu hÔn sinh, hay K l mổ un ối hỳu hÔn cừa M Hỡn nỳa, K l ối õng Theo giÊ thiát, K l hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M Do õ N chn trản hÔng tỷ trüc ti¸p cõa M , v ta câ M l nƠng ối hỳu hÔn p Mởt iÃu  biát Ăng ỵ l mồi mổ un cừa mởt mổ un phử õ ·u câ bao èi âng Theo M»nh · 3.2.9, ta câ k¸t qu£ sau nl w d oa H» qu£ 3.2.10 ([16], H» qu£ 3.7) Cho M l mỉ un phư õ Khi â, M l n¥ng nf va an lu ối hỳu hÔn náu v ch náu mồi mổ un ối õng ối hỳu hÔn cừa M Ãu l hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M oi lm ul 3.2.2 HÔng tỷ trỹc tiáp v mổ un thữỡng cừa mổ un nƠng ối hỳu hÔn z at nh z Trong phƯn ny xem xt vĐn à Khi no iÃu kiằn nƠng ối hỳu hÔn di truyÃn cho hÔng tỷ trỹc tiáp hoc cho mổ un thữỡng? Trữợc hát ta cõ vẵ dử chựng tọ rơng mổ un thữỡng cừa mởt mổ un nƠng ối hỳu hÔn khổng nhĐt thiát l nƠng ối hỳu hÔn l gm @ m co V½ dư 3.2.11 ([16], V½ dư 2.1) Gi£ sû R l mët v nh àa ph÷ìng giao ho¡n m an Lu khæng l v nh ành gi¡ v n > l mởt số nguyản dữỡng Xt R-mổ un R(n) Khi n va ac th si 52 õ, tỗn tÔi mởt mổ un K ≤ R(n) cho mỉ un th÷ìng M := R(n)/K l mởt mổ un khổng phƠn tẵch ữủc biu diạn hỳu hÔn v M khổng th ữủc biu diạn bi ẵt hỡn n phƯn tỷ Vẳ R(n) l mổ un phử (khổng phƠn tẵch ữủc) nản nõ l nƠng v vẳ vêy R(n) l nƠng ối hỳu hÔn Tuy nhiản, mổ un thữỡng M khổng l nƠng ối hỳu hÔn lu Chú ỵ rơng mởt iÃu chữa biát l hÔng tỷ trỹc tiáp bĐt kẳ cừa mổ un nƠng ối hỳu hÔn cõ l nƠng ối hỳu hÔn hay khổng Trữớng hủp c biằt, ta xem xt Mằnh à dữợi Ơy an n va mổ un nƠng ối hỳu hÔn l nƠng ối hỳu hÔn gh tn to Mằnh à 3.2.12 ([16], Mằnh à 2.5) Mồi hÔng tỷ trỹc tiáp ối hỳu hÔn cừa mët p ie Chùng minh Gi£ sû M l mët mổ un nƠng ối hỳu hÔn v N l hÔng tỷ trỹc tiáp ối hỳu hÔn cừa M Khi õ, M = N ⊕ N 0, N ” ≤ M v M/N = N l hỳu hÔn sinh GiÊ sỷ L l mởt mổ un ối hỳu hÔn cừa N , ta cõ N/L hỳu hÔn sinh Vẳ M = N + (N + L) v N ∩ (N ⊕ L) = L n¶n M/L = N/L ⊕ (N ⊕ L)/L B¥y gií (N ⊕ L)/L = M/N l hỳu hÔn sinh, v õ M/L l hỳu hÔn sinh, tực L l = N0 mổ un ối hỳu hÔn cừa M Vẳ M l mởt mổ un nƠng ối hỳu hÔn nản tỗn tÔi hÔng tỷ trỹc tiáp K cừa M cho K ≤ L v L/K M/K V¼ N l èi âng M n¶n N/K l èi âng M/K theo ([16], Bê · 1.4.(5)) Khi â, theo([16], Bê · 1.4.(4)), L/K N/K Rã r ng K l mởt hÔng tỷ trỹc tiáp cừa N v vẳ vêy, N l nƠng ối hỳu hÔn d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z Nhưc lÔi, mổ un M gồi l cõ tẵnh chĐt tờng hÔng tỷ náu tờng cừa hai hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M cụng l hÔng tỷ trüc ti¸p cõa M Khi â ta nâi M câ SSP gm @ m co l M»nh · 3.2.13 ([16], M»nh · 2.6.) Cho M l mët mổ un nƠng ối hỳu hÔn v an Lu l mởt hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M Khi õ, náu M cõ SSP thẳ mổ un thữỡng M/N l nƠng ối hỳu hÔn N [Warfield, Decomposability of finitely presented modules, Proc.Amer.Math.Soc.25 (1970) 167-172] n va ac th si 53 lu Chùng minh Gi£ sû M l mët mỉ un n¥ng èi hỳu hÔn v N l hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M X²t L/N, L ≤ M l mët mæ un ối hỳu hÔn cừa M/N Thá thẳ L l mổ un ối hỳu hÔn cừa M Khi õ tỗn tÔi mởt hÔng tỷ trỹc tiáp K cừa M cho K ≤ L, L/K M/K v M = K ⊕ K 0, K ≤ M Theo ([16], Bê · 1.4.(1)), ta câ (L + N )/(K + N ) M/(K + N ), câ ngh¾a l , L/(K + N ) M/(K + N ) Bði ([16], Bê · 1.4.(3)), (L/N )/((K + N )/N ) (M/N )/((K + N )/N ) Vẳ M cõ SSP nản K + N l mởt hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M Ró rng, (K + N )/N l mởt hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M/N Do õ M/N l nƠng ối hỳu hÔn an n va H» qu£ 3.2.14 ([16], H» qu£ 2.7) Cho M l mởt mổ un nƠng ối hỳu hÔn cõ tn to SSP Khi õ, mồi hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M l nƠng ối hỳu hÔn p ie gh Chùng minh N¸u M = N ⊕ L, â N, L ≤ M th¼ M/L ∼= N Theo Mằnh à 3.2.13, náu M l mởt mổ un nƠng ối hỳu hÔn cõ SSP thẳ M/L l nƠng ối hỳu hÔn, ko theo N cụng vêy nl w d oa Nhưc lÔi, mổ un N cừa M gồi l bĐt bián hon ton náu (N ) N vợi mồi tỹ ỗng cĐu cừa M an lu nf va nh lỵ 3.2.15 ([16], nh lỵ 2.8) Cho M l mởt mổ un nƠng ối hỳu hÔn v N oi lm ul l mổ un bĐt bián hon to n cõa M Khi â, mỉ un th÷ìng M/N l nƠng ối hỳu hÔn z at nh Chựng minh GiÊ sỷ T /N l mổ un ối hỳu hÔn cừa M/N Khi â, z M/T ∼ = (M/N )/(T /N ) @ v M = A ⊕ B, B ≤ M an Lu A ≤ T, T /A M/A m co l gm l hỳu hÔn sinh Do õ T l mổ un ối hỳu hÔn cừa M Vẳ M l nƠng ối hỳu hÔn nản tỗn tÔi hÔng tỷ trỹc tiáp A cừa M cho n va ac th si 54 V¼ N l mổ un bĐt bián hon ton cừa M nản N M = (A + N ) + (B + N ) v V¼ = (A ∩ N ) ⊕ (B ∩ N ) (A + N ) ∩ (B + N ) = N + ((A + N ) ∩ B) = N + [(A + (A ∩ N ) + (B ∩ N )) ∩ B] = N + (B ∩ N ) + (B ∩ (A + (A ∩ N ))) = N, n¶n M/N = (A + N )/N ⊕ (B + N )/N Theo ([16], Bê · 1.4(1)), lu an (T + N )/(A + N ) M/(A + N ), n va câ ngh¾a l T /(A + N ) M/(A + N ) Do â to gh tn (T /N )/((A + N )/N ) (M/N )/((A + N )/N ) p ie bði ([16], Bê · 1.4(3)) Vªy M/N l nƠng ối hỳu hÔn d oa nl w Nhữ  biát, tờng tĐt cÊ cĂc mổ un nhä cõa mỉ un M gåi l c«n cõa M v kỵ hiằu l Rad(M ) Trong õ tờng cừa t§t c£ c¡c mỉ un ìn cõa M gåi l á cừa M v kỵ hiằu l Soc(M ) Náu l mởt tỹ ỗng cĐu cừa M v K l mët mỉ un nhä (t÷ìng ùng, ìn) cõa M thẳ (N ) cụng l nhọ (tữỡng ựng, bơng ho°c cơng l ìn) Bði vªy, Rad(M ) v Soc(M ) l nhỳng mổ un bĐt bián hon ton cừa M iÃu ny dăn án Hằ quÊ dữợi Ơy H» qu£ 3.2.16 ([16], H» qu£ 2.9) Cho M l mởt mổ un nƠng ối hỳu hÔn Khi õ, cÊ M/ Rad(M ) v M/ Soc(M ) l n¥ng èi húu hÔn oi lm ul nf va an lu z at nh z 3.2.3 Tờng trỹc tiáp cĂc mổ un nƠng ối hỳu hÔn @ m co l gm M Ưu l mởt vẵ dử khng nh rơng tờng trỹc tiáp hỳu hÔn cừa nhỳng mổ un nƠng ối hỳu hÔn khổng nhĐt thiát l nƠng ối hỳu hÔn Vẵ dử 3.2.17 ([16], V½ dư 3.1) X²t c¡c Z-mỉ un Z/2Z; Z/8Z v M = (Z/2Z) ⊕ (Z/8Z) Khi â, c£ hai Z/2Z v Z/8Z Ãu l mổ un nƠng ối hỳu hÔn, M thẳ khổng l nƠng ối hỳu hÔn an Lu n va ac th si 55 lu an n va p ie gh tn to Sau Ơy l mởt kát quÊ Ưu tiản cho mởt iÃu kiằn ừ khĂ mÔnh tờng trỹc tiáp cừa hai mổ un nƠng ối hỳu hÔn cụng l nƠng ối hỳu hÔn nh lỵ 3.2.18 ([16], nh lỵ 3.2) Cho M = M1 M2 l mởt tờng trỹc tiáp cừa nhỳng mổ un nƠng ối hỳu hÔn M1 v M2 Khi õ, náu mồi mổ un ối hỳu hÔn cừa M Ãu l bĐt bián hon ton thẳ M l nƠng ối hỳu hÔn Chựng minh Gi£ sû N l mët mæ un èi húu hÔn cừa M Khi õ, N l bĐt bián ho n to n theo gi£ thi¸t Do â, N = N ∩ M1 ⊕ N ∩ M2 v M/N = [(N + M1 )/N ⊕ (N + M2 )/N ] Suy M1 /(N ∩ M1 ) ∼ = (N + M1 )/N v M2 /(N ∩ M2 ) ∼ = (N + M2 )/N l hỳu hÔn sinh Khi õ, N M1 l mổ un ối hỳu hÔn cừa M1 v N ∩ M2 l mæ un èi húu hÔn cừa M2 Vẳ M1, M2 l nƠng ối hỳu hÔn nản tỗn tÔi hÔng tỷ trỹc tiáp K1 cừa M1 v hÔng tỷ trỹc tiáp K2 cừa M2 cho K1 ≤ (N ∩ M1 ), (N ∩ M1 )/K1 M1 /K1 v K2 ≤ (N ∩ M2 ), (N ∩ M2 )/K2 M2 /K2 Theo ([16], Bê · 1.4(2)), ta câ d oa nl w ul nf va an lu z at nh tùc l , oi lm [(N ∩ M1 ) ⊕ (N ∩ M2 )]/(K1 ⊕ K2 ) M/(K1 ⊕ K2 ), N/(K1 ⊕ K2 ) M/(K1 ⊕ K2 ) z Ró rng K1 K2 l mởt hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M Vêy M l nƠng ối hỳu hÔn @ m co l gm Nhưc lÔi, mổ un M ữủc gồi l mởt mổ un duo náu mồi mổ un cừa M l bĐt bián hon ton Chú ỵ rơng, nh lỵ 3.2.18 trản Ơy, iÃu kiằn bĐt bi¸n ho n to n ch¿ gi£ thi¸t cho måi mỉ un ối hỳu hÔn cừa M v M l tờng trỹc tiáp cừa hai mổ un Vợi giÊ thiát mÔnh và mổ un duo, ta cõ kát quÊ dữợi Ơy và tờng trỹc tiáp hỳu hÔn tũy ỵ cĂc mổ un nƠng ối hỳu hÔn an Lu n va ac th si 56 Hằ qu£ 3.2.19 ([16], H» qu£ 3.4) Cho M = M1 ⊕M2 ⊕ ⊕Mn l mët têng trüc ti¸p cõa c¡c mổ un nƠng ối hỳu hÔn Mi(i = 1, 2, , n) Khi õ, náu M l mởt mổ un duo thẳ M l nƠng ối hỳu hÔn Chựng minh Php chựng minh tián hnh quy nÔp theo n Bờ à 3.2.20 ([4], 20.5(3)) Cho M l mët mỉ un phư y¸u v K ≤ L l nhúng lu mæ un cõa M cho L/K l èi âng M/K v K l èi âng M Khi â, L l èi âng M an n va p ie gh tn to Chùng minh Theo ([4], 17.13), M/K công l phư y¸u Do â L/K l mët (mỉ un con) phƯn phử M/K , tữỡng tỹ, K l mởt (mỉ un con) ph¦n phư M bði ([4], 20.3) Gi£ sû L/K l ph¦n phư cõa L0/K, K ⊂ L0 ≤ M M/K v K l ph¦n phư cõa K M Khi â, nl w M = K + K , K ∩ K K, d oa M/K = L/K + L0 /K, L/K ∩ L0 /K L/K va an lu Vẳ thá M = (L L0) + K v M = L + L0 Tø â = L + L0 ∩ ((L0 ∩ L) + K ) oi lm ul nf L + (L0 ∩ K ) = L + (L0 ∩ L) + (L0 ∩ K ) z at nh = L + (L0 ∩ M ) = L + L0 = M Nh÷ vªy ta câ M = L + (L0 ∩ K 0) Gi£ sû z @ gm L = L ∩ (K + K ) = K + (L ∩ K ), Do â theo ([4], 2.3(1)), ta câ m co l (L ∩ L0 )/K ⊂ L/K ∩ L0 /K L/K an Lu (L ∩ L0 ∩ K )/(K ∩ K ) L/(K ∩ K ) n va ac th si 57 Vẳ K K K L nản L ∩ (L0 ∩ K ) L Do â, L l ph¦n phư cõa L0 ∩ K M Khi â L l âng M theo ([4], 20.2) Cho hå mỉ un (Mi)i∈I Vỵi méi i I , quy ữợc kỵ hiằu Mi = jI{i}Mj lu nh lỵ 3.2.21 ([16], nh lỵ 3.9) Cho M = ⊕i∈I Mi l mët têng trüc ti¸p c¡c an n va (i) M l n¥ng èi húu hÔn ie gh tn to mổ un Mi(i I) theo têp ch số I vợi |I| > Khi õ náu M l mởt mổ un phử ừ thẳ cĂc iÃu kiằn sau l tữỡng ữỡng p (ii) Tỗn tÔi i ∈ I cho méi mët mæ un èi âng ối hỳu hÔn K cừa M vợi M = K + Mi ho°c M = K + M−i l mët hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M nl w d oa (iii) Tỗn tÔi i I cho mội mởt mổ un ối õng ối hỳu hÔn K cõa M vỵi (K + Mi )/K M/K ho°c (K + M−i )/K M/K ho°c M = K + Mi = K + Mi l hÔng tỷ trỹc ti¸p cõa M nf va an lu oi lm ul Chựng minh (i) (ii) Vẳ M l nƠng ối hỳu hÔn, theo Mằnh à 3.2.8, mồi mổ un ối õng ối hỳu hÔn cừa M l hÔng tỷ trüc ti¸p cõa M (ii) ⇒ (i) Gi£ sû K l mởt mổ un ối õng ối hỳu hÔn cõa M Theo ([4], 20.22), M/K l phö õ, õ tỗn tÔi mổ un ối õng N/K cừa M/K cho N/K ≤ (K + Mi)/K v (K + Mi)/N M/N Theo Bê · 3.2.20, N l âng M Hìn núa, M = (K + Mi) + M−i suy M = N + M−i Khi â, N l mët mæ un èi âng ối hỳu hÔn cừa M Theo giÊ thiát, M = N ⊕ N 0, â N ≤ M V¼ K = N ∩ (K + N ) v M = N + (K + N ) n¶n M/K = N/K ⊕ (K + N )/K v vẳ vêy (K + N 0)/K l âng M/K Theo Bê · 3.2.20, K + N l âng M Hìn núa, M = (K + Mi) + N = (K + N 0) + Mi Rã r ng K + N công l z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si 58 lu an n va p ie gh tn to mæ un ối hỳu hÔn cừa M Khi õ, K + N l hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M theo giÊ thiát BƠy giớ M = (K + N 0) ⊕ K 0, K ≤ M Do â, N = (K + N 0) ∩ (N + K 0) v N ∩ (K + N ) ∩ (N + K ) = K ∩ (N + K ) = Thá thẳ M = K (N + K ) Vêy M l nƠng ối hỳu hÔn theo H» qu£ 3.2.10 (ii) ⇒ (iii) V¼ M = ⊕i∈I Mi = Mi + M−i n¶n M/K = (K + Mi )/K + (K + M−i )/K Theo gi£ thi¸t ta câ M/K = (K + Mi)/K ho°c M/K = (K + M−i)/K i·u n y k²o theo M = K + Mi ho°c M = K + M−i B¥y gií rã r ng (ii)⇒(iii) (iii) ⇒ (ii) Gi£ sû K l mởt mổ un ối õng ối hỳu hÔn cõa M cho M = K + Mi Theo ([4], 20.22), M/K l phử ừ, õ tỗn tÔi mổ un ối õng N/K cừa M/K cho (K + Mi )/N M/N Dạ dng thĐy N + M−i = K + M−i v (N + Mi)/N M/N Chú ỵ rơng N l ối âng M v N l mæ un èi húu hÔn cừa M Theo giÊ thiát M = N ⊕ N 0, â N ≤ M Rã r ng M = (K+Mi ) = (K+N )+Mi = (K+N )+M−i V¼ M = K+N +N v K = (K+N )∩N n¶n M/K = N/K ⊕ (K + N 0)/K B¥y gií, K + N l èi âng M v K + N l mổ un ối hỳu hÔn cừa M Theo gi£ thi¸t, K + N l hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M Vẳ K + N = K ⊕ N n¶n K l mởt hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M d oa nl w va an lu ul nf H» qu£ 3.2.22 ([16], H» qu£ 3.10) Cho M = M1 ⊕ M2 l mët mỉ un phư õ C¡c oi lm i·u kiằn sau l tữỡng ữỡng (i) M l nƠng ối hỳu hÔn (ii) Mội mởt mổ un ối õng ối hỳu hÔn K cừa M vợi M = K + M1 hoc M = K + M2 l hÔng tỷ trüc ti¸p cõa M (iii) Méi mët mỉ un ối õng ối hỳu hÔn K cừa M vợi (K + M1)/K M/K ho°c (K + M2)/K M/K ho°c M = K + M1 = K + M2 l hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M z at nh z m co l gm @ an Lu Xin nhưc lÔi, R.Tribak [15]  nh nghắa mổ un nƠng ối hỳu hÔn l mổ un phử ối hỳu hÔn ừ â måi ph¦n phư cõa méi mỉ un èi hỳu hÔn l n va ac th si 59 hÔng tỷ trỹc tiáp Chúng tổi chữa tẳm ữủc mối quan hằ Ăng ỵ no giỳa lợp mổ un ny vợi lợp cĂc mổ un nƠng ối hỳu hÔn trẳnh by trản Ơy ữủc nh nghắa bi Y.Wang v D.Wu [16] Tuy nhiản, vợi cĂc mổ un xÔ Ênh, chúng tổi cõ Hằ qu£ sau H» qu£ 3.2.23 Cho M l mët mæ un xÔ Ênh cho mội mổ un ối hỳu lu hÔn cừa M cõ mởt phƯn phử l hÔng tỷ trüc ti¸p cõa M Khi â, M l mët mổ un nƠng ối hỳu hÔn (theo Wang) c biằt, mồi mổ un xÔ Ênh "nƠng ối hỳu hÔn theo Tribak" Ãu l nƠng ối hỳu hÔn (theo Wang) an n va p ie gh tn to Chùng minh Gi£ sû mæ un ối hỳu hÔn tũy ỵ N cừa M cõ phƯn phử K cho K l mởt hÔng tỷ trüc ti¸p cõa M Khi â, M = N + K v N ∩ K K Gåi : M M/N l php chiáu chẵnh tưc v ϕ1 : K → M/N l thu hµp cõa lản K Vẳ M = N + K nản l mởt ton cĐu, hỡn nỳa, Ker(1 ) = Ker(ϕ) ∩ K = N ∩ K K Do â, ϕ1 : K → M/N l phõ xÔ Ênh cừa M/N Theo Bờ à 2.2.19, N chn trản mởt hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M Vêy M l nƠng ối hỳu hÔn (theo Wang) GiÊ sỷ M l mổ un xÔ Ênh v l "nƠng ối hỳu hÔn theo Tribak", cõ nghắa l mổ un phử ối hỳu hÔn ừ õ mồi phƯn phử cừa mội mổ un ối hỳu hÔn l hÔng tỷ trỹc tiáp Khi â, theo chùng minh tr¶n, mỉ un èi húu hÔn tũy ỵ N cừa M chn trản mởt hÔng tỷ trỹc tiáp cừa M Vêy M l nƠng ối hỳu hÔn (theo Wang) d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si 60 Kát luên lu õng gõp cừa luên vôn an Luên vôn tham khÊo, chồn lỹa v trẳnh by theo hằ thống vợi nhỳng chựng minh chi ti¸t mët sè nëi dung sau n va gh tn to KhĂi niằm v cĂc tẵnh chĐt cỡ bÊn, cĂc c trững cừa mổ un nƠng p ie KhĂi niằm v cĂc tẵnh chĐt c trững cừa mổ un f-nƠng, mổ un nỷa chẵnh quy, mổ un xÔ Ênh nỷa chẵnh quy, mổ un hỳu hÔn sinh nỷa chẵnh quy v mổ un cf-nƠng, tờng trỹc tiáp cừa cĂc mổ un nỷa chẵnh quy oa nl w d Kh¡i ni»m v c¡c tẵnh chĐt c trững cừa mổ un phử ối hỳu hÔn, mổ un phử ối hỳu hÔn ừ, mổ un thữỡng cừa mổ un phử ối hỳu hÔn va an lu oi lm ul nf KhĂi niằm v cĂc tẵnh chĐt c trững cừa mổ un nƠng ối hỳu hÔn HÔng tỷ trỹc tiáp, tờng trỹc tiáp v mổ un thữỡng cừa mổ un nƠng ối hỳu hÔn Luên vôn bờ sung mởt vi kát quÊ và mổ un xÔ Ênh nỷa chẵnh quy v mổ un xÔ Ênh nƠng ối hỳu hÔn z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si 61 T i li»u tham kh£o lu [1] R Alizade, G Bilhan and P F Smith, Modules whose maximal submodules have supplements, Comm Algebra 29 (2001), no 6, 2389-2405 an n va gh tn to [2] F W Anderson and K R Fuller, Rings and categories of modules, Springer Verlag, New York, 1974 p ie [3] H Calisici and A Pancar, ⊕ -cofinitely supplemented modules, Czechoslovak Math J 54 (2004), no.4, 1083-1088 w d oa nl [4] J Clark, C Lomp, N Vanaja and R Wisbauer, Lifting Modules, Supplements and Projectivity in Module Theory, Frontiers in Mathematics, Birkhauser Verlag, Basel, 2006 va an lu oi lm ul nf [5] L Ganesan and N Vanaja, Modules for which every Submodule has a Unique Co- clouser, Comm Algebra, 30 (2002), 2355-2377 z at nh [6] J L Garcia, Properties of direct summands of modules, Comm Algebra 17 (1989), 73-92 z l gm @ [7] Harmanci, A., Keskin, D., and Smith, P F., On ⊕ - supplemented modules, acta Math Hungar., 83(1-2), 161-169 (1999) m co [8] D Keskin, On lifting modules, Comm Algebra 28 (2000), 3427-3440 an Lu [9] D Keskin, On Coclosed Submodules, Indian J pure appl Math., 36 (2005), 135-144 n va ac th si 62 [10] C Lomp, On Dual Goldie Dimension, Diplomarbeit (M Sc Thesis), Doesseldorf (1996) [11] S H Mohamed and B J Muller, Continuous and discrete modules, London Math Soc Lecture Note Series 147, Cambridge University Press, 1990 [12] W K Nicholson, Semiregular Modules and Rings, Can J Math., Vol XXVIII, No 5, 1976, pp 1105-1120 lu an [13] Khitam Salameh, On Some Types of Supplemented Modules, Master in Mathematics, Birzeit University, 2013 n va ie gh tn to [14] Y Talebi, M J Nematollahi and Kh Ghaziani, A Generalization of Lifting Modules, Int J Contemp Math Sciences, Vol 2, 2007, no 22, 1069-1075 p [15] R Tribak, On cofinitely lifting and cofinitely weak lifting modules, Comm Algebra 36 (2008), no 12, 4448-4460 oa nl w d [16] Yongduo Wang and Dejun Wu, On Cofinitely Lifting Modules, Algebra Colloquium 17 : (2010), 659-666 va an lu oi lm ul nf [17] Wisbauer, R (1991), Foundations of Modules and Rings, Gordon and Breach z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si
Ngày đăng: 19/07/2023, 04:53
Xem thêm: