(Luận văn) một số dạng ma trận của các bất đẳng thức young, heinz và heron

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 19/07/2023, 04:53

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ĐỖ ÁNH LINH lu an n va tn to gh MỘT SỐ DẠNG MA TRẬN p ie CỦA CÁC BẤT ĐẲNG THỨC YOUNG, HEINZ d oa nl w VÀ HERON nf va an lu z at nh oi lm ul LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z m co l gm @ an Lu Bình Định - Năm 2019 n va ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ĐỖ ÁNH LINH lu an n va tn to gh MỘT SỐ DẠNG MA TRẬN p ie CỦA CÁC BẤT ĐẲNG THỨC YOUNG, HEINZ d oa nl w VÀ HERON lu Mã số: nf va an Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÍ THUYẾT SỐ 8460104 z at nh oi lm ul z @ m co l gm Người hướng dẫn: TS LÊ CƠNG TRÌNH an Lu n va ac th si Mục lục Kiến thức chuẩn bị an n va 1.2 Ma trận xác định dương ma trận nửa xác định dương 1.3 Giá trị kỳ dị ma trận 1.4 Định lý phân tích phổ 10 Các loại trung bình số trung bình ma trận 11 gh tn to Ma trận Hermite ma trận unita ie lu 1.1 p 1.5 Trung bình Heron 11 Trung bình Heinz 11 1.5.3 oa 1.5.2 d nl w 1.5.1 an Chuẩn ma trận 13 nf va lm ul lu 1.6 Trung bình hình học trung bình số học hai ma trận 12 Một số cải tiến bất đẳng thức Young, Heinz, Heron 2.1 16 z at nh oi bất đẳng thức ma trận tương ứng Một số cải tiến bất đẳng thức Young dạng ma trận tương z ứng 16 @ Dạng cải tiến 19 2.1.2 Dạng cải tiến 23 2.1.3 Dạng cải tiến 26 m co l gm 2.1.1 an Lu n va ac th si 2.2 Một số cải tiến bất đẳng thức Heinz dạng ma trận tương ứng 29 2.3 2.2.1 Dạng cải tiến 30 2.2.2 Dạng cải tiến 33 Một số cải tiến bất đẳng thức Heron dạng ma trận tương ứng 36 Một số dạng ngược bất đẳng thức Young, Heinz lu dạng ma trận tương ứng an n va 3.1 40 Một số dạng ngược bất đẳng thức Young dạng ma trận tương ứng 40 gh tn to 3.2 Một số dạng ngược bất đẳng thức Heinz dạng ma trận p ie tương ứng 50 d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu Bất đẳng thức đối tượng nghiên cứu quan trọng tốn học có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác lu an Các bất đẳng thức ma trận đối tượng nghiên cứu quan trọng va n Giải tích ma trận, có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác Toán gh tn to học Vật lý p ie Các bất đẳng thức cổ điển quan trọng cho số thực Cauchy, Schwarz, w Young, Hoălder, Heinz, Heron, ó nghiên cứu rộng rãi nhiều nhà Toán oa nl học Luận văn tập trung nghiên cứu bất đẳng thức Young, Heinz, Heron, d dạng cải tiến chúng, dạng ma trận tương ứng với dạng nf va an lu cải tiến Ngoài Mục lục, Mở đầu Kết luận, Luận văn bố cục thành ba chương: lm ul Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày z at nh oi số kiến thức Giải tích ma trận liên quan đến chương sau luận văn, gồm ma trận Hermit, ma trận unita, ma trận xác định/nửa xác định z gm @ dương, giá trị riêng giá trị kỳ dị ma trận, định lý phân tích phổ, loại trung bình số trung bình ma trận, chuẩn ma trận, số kết khác co l liên quan m Chương Một số cải tiến bất đẳng thức Young, Heinz, Heron an Lu bất đẳng thức ma trận tương ứng Trong chương này, chúng tơi trình n va ac th si bày số cải tiến bất đẳng thức Young, Heinz, Heron bất đẳng thức ma trận tương ứng Ở phần trình bày bất đẳng thức ma trận, bên cạnh bất đẳng thức với chuẩn Hilbert-Schmidt, số bất đẳng thức dạng vết dạng định thức Chương Một số dạng ngược bất đẳng thức Young, Heinz dạng ma trận tương ứng Trong chương này, chúng tơi trình bày số dạng ngược bất đẳng thức Young, Heinz cải tiến dạng ma trận tương ứng Một số kết chương chứng minh hoàn toàn tương lu an tự với kết tương ứng chương va Lời đầu tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới Thầy/Cô n tn to Khoa Toán Thống kê dạy bảo giúp đỡ suốt thời gian qua ie gh Tiếp theo xin chân thành cảm ơn bạn bè người thân đóng góp ý kiến, p giúp đỡ động viên tơi q trình học tập thực Luận văn Và đặc oa nl w biệt, tơi xin bày tỏ lịng cảm ơn sâu sắc đến TS Lê Cơng Trình, người tận tình hướng dẫn giúp đỡ để tơi hồn thành Luận văn d lu an Mặc dù cố gắng hết sức, điều kiện thời gian kiến thức nf va hạn hẹp nên Luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận z at nh oi hoàn thiện lm ul góp ý q báu q thầy bạn đồng nghiệp để Luận văn Bình Định, tháng năm 2019 z Học viên: Đỗ Ánh Linh m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Kiến thức chuẩn bị lu an n va Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức Giải tn to tích ma trận liên quan đến chương sau luận văn, gồm ma trận Hermite, ie gh ma trận unita, ma trận xác định/nửa xác định dương, giá trị riêng giá trị kỳ p dị ma trận, định lí phân tích phổ, loại trung bình số trung bình ma nl w trận, chuẩn ma trận, số kết khác liên quan Các khái niệm kết d oa chương trình bày lại từ tài liệu [1], [2], [6], [7] an lu Trong toàn luận văn này, ta ký hiệu Mn (C) đại số tất ma trận nf va phức cấp n, n số nguyên dương cho trước Nhắc lại với hai lm ul vectơ x = (xj ), y = (yj ) ∈ Cn , tích (hay tích vơ hướng) x y số phức định nghĩa z at nh oi hx, yi := X j xj y¯j z @ Ma trận Hermite ma trận unita l gm 1.1 m co Với ma trận A = (aij ), ma trận AT = (aji ) dùng để ký hiệu cho ma an Lu trận chuyển vị ma trận A, ma trận A∗ = (¯aji ) dùng để ký hiệu cho ma trận chuyển vị liên hợp ma trận A Với vectơ x, y ∈ Cn , ta ln có n va ac th si hAx, yi = hx, A∗ yi Định nghĩa 1.1.1 Một ma trận A ∈ Mn (C) gọi Hermite A∗ = A Từ định nghĩa ma trận Hermit ma trận chuyển vị liên hợp, ta rút nhận xét sau Nhận xét 1.1.2 Ma trận A ma trận Hermite hAx, yi = hx, Ayi Định nghĩa 1.1.3 Một ma trận A ∈ Mn (C) gọi unita lu AA∗ = A∗ A = I an  va n  p ie gh tn to   Ví dụ 1.1.4 A =       −i  1   ∈ M2 (C), B =  2     −i  i −1 + i      + i  ∈ M3 (C)    1 + i −1 + i oa nl w ma trận unita d Nhận xét 1.1.5 Nếu A ma trận unita A khả nghịch, nữa, | det A| = nf va an lu 1.2 Ma trận xác định dương ma trận nửa xác z at nh oi Định nghĩa 1.2.1 lm ul định dương z Một ma trận Hermit A gọi nửa xác định dương, ký hiệu A > 0, gm @ hx, Axi > 0, ∀x ∈ Cn m hx, Axi > 0, ∀x ∈ Cn , x 6= co l Một ma trận Hermit A gọi xác định dương, ký hiệu A > 0, A > B A − B > an Lu Với A B ma trận cấp, ta viết A > B A − B > 0, ta viết n va ac th si Tính chất 1.2.2 Tính chất nửa xác định dương (t.ư xác định dương) ma trận Hermite bảo toàn qua phép biến đổi unita, nghĩa là, A ma trận nửa xác định dương (t.ư xác định dương) U ma trận unita A˜ := U ∗ AU ma trận nửa xác định dương (t.ư xác định dương) Chứng minh Giả sử A ma trận nửa xác định dương Khi đó, với x ∈ Cn , ta có ˜ = hx, U ∗ AU xi = hU x, AU xi = hy, Ayi, hx, Axi lu với y = U x an n va Do A ma trận nửa xác định dương nên hy, Ayi > ˜ > Nói cách khác, A Hồn tồn tương tự, hy, Ayi > hx, Axi gh tn to ˜ > hay A˜ ma trận nửa xác định dương Từ suy hx, Axi p ie ma trận xác định dương A˜ ma trận xác định dương nl w Tính chất 1.2.3 Một ma trận Hermite nửa xác định dương (t.ư xác định d oa dương) giá trị riêng không âm (t.ư dương) lu nf va an Chứng minh Nếu λ giá trị riêng ứng với vectơ riêng x0 ma trận Hermite nửa xác định dương A Ax0 = λx0 Từ suy λhx0 , x0 i = hx0 , Ax0 i > Do hx0 , Ax0 i > hx0 , x0 i lm ul x0 6= nên hx0 , x0 i > Vậy λ = z at nh oi Ngược lại, giả sử A ma trận Hermit có giá trị riêng khơng âm Khi tồn ma trận unita U đưa ma trận A dạng đường chéo, tức z U ∗ AU = Λ với Λ = diag(λ1 , λ2 , , λn ); λi ≥ 0, i = 1, 2, , n, giá trị riêng @ gm A hx, Axi = hU y, AU yi = hy, U AU yi = hy, Λyi = n X an Lu i=1 Vậy A ma trận xác nửa xác định dương λi yi2 ≥ m ∗ co l Với x ∈ Cn , gọi y ∈ Cn cho x = U y (chọn y = U −1 x) Khi n va ac th si Đối với trường hợp ma trận xác định dương, ta có cách chứng minh hồn tồn tương tự Tính chất 1.2.4 Cho A ma trận Hermit nửa xác định dương Khi đó, A xác định dương A khả nghịch Chứng minh Giả sử A xác định dương Khi đó, tồn ma trận trực giao U cho A = U ΛU T , Λ = diag(λ1 , λ2 , , λn ), với λi > 0, i = 1, 2, , n Xét ma −1 −1 trận B = U Λ−1 U T , với Λ−1 = diag(λ−1 , λ2 , , λn ) Ta có lu an AB = (U ΛU T )(U Λ−1 U T ) = U ΛΛ−1 U T = U IU T = U U T = I va n Tương tự, BA = I Vậy AB = BA = I , hay ma trận A khả nghịch gh tn to Ngược lại, giả sử A ma trận nửa xác định dương khả nghịch Vì p ie A khả nghịch nên tồn ma trận A−1 cho AA−1 = A−1 A = I , hay A−1 giao w hoán với A oa nl Do A đối xứng, tức A = AT , nên I = (AA−1 )T = (A−1 )T AT = (A−1 )T A hay d (A−1 )T = A−1 Do A−1 ma trận đối xứng Khi đó, tồn ma trận trực lu nf va an giao U để A A−1 đưa dạng ma trận đường chéo, tức U T AU = Λ U T A−1 U = Ω, Λ = diag(λ1 , λ2 , , λn ) Ω = diag(µ1 , µ2 , , µn ); λi > lm ul µi > với i = 1, 2, , n z at nh oi Từ suy I = AA−1 = (U ΛU T )(U ΩU T ) = U ΛΩU T z gm @ Đẳng thức tương đương với U T U = I = ΛΩ = diag(λi µi ) Do λi µi = với i = 1, 2, , n Do λi > λi µi = nên λi > với i = 1, 2, , n Vậy A m co l ma trận xác định dương trận xác định dương an Lu Hệ 1.2.5 Nếu A ma trận xác định dương A−1 ma n va ac th si 32 Xét hàm h(ν) = νf (ν) − f (ν), ν Ta có h(0) = h0 (ν) = νf ”(ν) 0, tức h(ν) Vì thế, νf (ν) f (ν) với ν Lập luận tương tự, ta f (1 − ν) > (1 − ν)f (ν) với ν Do đó, g 1 1 hàm nghịch biến khoảng 0; ;1 đồng biến khoảng 1 1 2 1 0 Từ g− = −4f g+ = 4f kết hợp với giả thiết g liên tục 2 2 1 đối xứng qua điểm ν = suy g đạt cực tiểu điểm ν = Từ suy 2 1 , tức g(ν) > g 1 lu g(ν) > 2(||AX + XB||2 − 2||A XB ||) an p ||AX||2 − p ||XB||2 2 n va >2 tn to Vì ||AX + XB||2 − ||Aν XB 1−ν + A1−ν XB ν ||2 ||AX||2 − p ||XB||2 2 hay p ie gh > {ν; − ν} p d oa nl w p 2 p ν 1−ν 1−ν ν + A XB + 2r kAX + XBk2 > A XB kAXk2 − kXBk2 , r = min{ν, − ν} an lu Để chứng minh mệnh đề cho trường hợp ma trận nửa xác định dương A nf va B , ta xét ma trận A = A + I B = B + I , số thực lm ul dương Khi A B ma trận xác định dương Do theo kết z at nh oi chứng minh trên, ta thu ||Aν XB1−ν XBν ||2 + A1−ν + 2r p ||A X||2 − p ||XB ||2 2 ||A X + XB ||2 z @ l gm Cho → 0, ta nhận điều phải chứng minh định dương Khi với ν 1, ta có m co Định lý 2.2.3 ([7]) Cho A, B, X ∈ Mn (C) cho A, B ma trận nửa xác an Lu 2 p p ν A XB 1−ν + A1−ν XB ν + 2r |||AX||| − |||XB||| |||AX||| + |||XB|||, n va ac th si 33 r = min{ν, − ν} Chứng minh Áp dụng Mệnh đề 2.1.9, ta p 2 p ν

- Xem thêm -

Xem thêm: (Luận văn) một số dạng ma trận của các bất đẳng thức young, heinz và heron,

(Luận văn) một số dạng ma trận của các bất đẳng thức young, heinz và heron

Tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

Từ khóa liên quan

Tài liệu liên quan