PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN CẤP MỘT VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM – ĐHĐNKHOATỐN KHĨALUẬNTỐTNGHIỆP Tênđềtài: PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN CẤP MỘTVÀMỘTSỐVẤNĐỀ LIÊNQUAN GVHD : TS.LÊHẢITRUNG SVTH : NguyễnThịThuThủy MSSV : 3110118039 Lớp : 18ST ĐàNẵng, tháng1năm2022 GVHD:TS.LêHảiTrung LỜICẢMƠN Bài luận văn tác giả hoàn thành hướng dẫn trực tiếpcủaTS.LêHảiTrung– Trường Đại học Sưphạm– Đại họcĐàNẵng Lời tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới thầy giáohướng dẫnTS Lê Hải Trung Thầy dành nhiều thời gian để bảo, hướngdẫn tác giả với nhiệt tình, chu đáo suốt trình thực để tác giảcóthểhồnthànhđượcluậnvănnày Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất thầy cô giáo đãtận tình dạy bảo tácgiảtrongsuốt thời gian họctập củakhóahọc Đồng thời, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến bạn sinh viên lớpSưphạmTốn18ST–ĐàNẵngđãnhiệttìnhgiúpđỡtácgiảtrongqtrìnhhọctập tạitrườngĐạihọcSưphạm–Đại họcĐàNẵng Tác giả NguyễnThịThuThủy SV:NguyễnThịThuThủy MỤCLỤC MỞĐẦU CHƯƠNG I SAI PHÂN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN THỰC,CÁCKHÁINIỆMCƠBẢNCỦAPHƯƠNGTRÌNHSAIPHÂN 1.1 Saiphân hữuhạncủa hàmsố mộtbiếnthực 1.2 Các kháiniệmcơbản phươngtrình saiphân CHƯƠNGII.PHƯƠNGTRÌNH SAIPHÂNCẤP MỘT 11 2.1 Phânloạiphươngtrìnhsaiphân cấpmột 11 2.2 Phươngtrìnhsaiphântuyếntínhcấpmột 16 CHƯƠNG III MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNHSAIPHÂN CẤPMỘT 22 3.1 Điểmcânbằng .22 3.1.1 Sơđồ bướccầuthang .27 3.1.2 Mơ hìnhquần thểđơnlồi 27 3.1.3 Mơhìnhmạngnhện cân bằngcungcầu tronglĩnhvựckinh tế .29 3.2 Tổnghữuhạn chuỗi .32 3.3 Lãisuấtđơn, lãisuấtképvàtrảgóp 34 KẾTLUẬN 39 TÀILIỆU THAMKHẢO .40 GVHD:TS.LêHảiTrung MỞĐẦU Lídochọnđềtài Trongcuộc sống, có rấtnhiềuhiệntượngkhoahọc kỹthuậttrongthựctiễnmàviệctìmhiểunódẫnđếnbàitốngiải phương trình sai phân Phương trìnhsai phân cịn cơng cụ giúp giải tốn vi phân, đạo hàm cácphươngtrìnhđạisốcấpcao Sự đời phương trình sai phân xuất phát từ việc xác định mốiquan hệ thiết lập bên đại lượng biến thiên liên tục (được biểudiễnbởihàm,chẳnghạn𝑦(𝑡))vớibêncịnlạilàđ ộbiếnthiêncủađạilượngđó.Đối với hàm thông thường nghiệm giá trị số (số thực, số phức,… ).Cịn phương trình sai phân mục tiêu tìm cơng thức chưađượcbiếtnhằmthỏamãn hàm mốiquan hệ đềra.Thơngthườngnósẽlàmộthọcácphương trình, sai lệchbằngmộthằngsố𝐶nào Hàm xác địnhchínhxáckhi cóthêmđiềukiện xácđịnh banđầu điều kiện biên Trong ứng dụng thực tế, không dễ dàng để tìm cơng thức hàmnghiệm.Vớigiátrịcủathựctiễnkhiấyngườitac hỉquantâmtớigiátrịcủahàmtạicácgiátrịcụthểcủacácbiếnđộc lập.Cácphươngphápnhằmtìmragiátrịchínhxáccủahàmđượcgọilà phântíchđịnhlượng.Tuynhiênkhơngphảilúcnàocũngxácđịnhđược cácgiátrịthực,lúcnàyngườitalạiquantâmđếncácgiá trị xấp xỉ (có độ xác định) với giá trị SV:NguyễnThịThuThủy GVHD:TS.LêHảiTrung thực Việc tìm rãitrongkinhtếnhưmơhìnhquầnthểđơnlồi,mơhìn giátrịnày hmạngnhệncânbằngcung đượcthực hiệnthườnglàbằngph ươngpháp số vớicơngcụ làmáytính Phương trình sai phân cấp một dạng phương trình saiphân, có ứng dụng mơ hình động lực học điểm cân Điểm cânbằng ứng dụng nhiều lĩnh vực như: sinh học, kinh tế, vật lý, kĩthuật… Đó mong muốn tất trạng thái hệ động lực học nhấtđịnh có xu hướng đạt trạng thái cân Ngồi ra, mơ hình tốnhọc liên quan đến phương trình sai phân cấp cịn ứng dụng rộng SV:NguyễnThịThuThủy cầutrongkinhtế,lãisuấtđơn,lãisuấtkép,trảgóp, vànhiềuvấnđềkháctrongxãhội.Nhữngv ấnđềtrongthựctếthườngrấtđadạngvàphứctạp.Tốnhọclàmột cơng cụ hiệu giúp cho việcphátbiểu,phântíchvàgiảiquyếtcác vấn đề kinh tế, xã hội cách chặt chẽ hợp lí, mang lại nhiều lợi íchthiết thực Việcbiếtcáchmơtảcácvấnđềkinhtế,sinhhọc,cácngànhkĩthuật, dướidạng mơ hình tốn họcthíchhợp,vậndụngphươngphápsaiphâncấpmộtđểgiải quyết, phân tích giải thích kiểm nghiệm kết cáchlogicluôn yêucầu cấp thiết đối vớicácnhànghiên cứu toán,kinh tế Như vậy, việc nghiên cứu phương trình sai phân cấp số vấn đềliênquanđếnnólàmộtvấnđềthờisựcủatốnhọcđượcnhiềunhàkhoahọcquantâm Với lí với gợi ý củaTS Lê Hải Trung, định lựachọn đề tài: “Phương trình sai phân cấp số vấn đề liên quan” choluận văncủamình Mụctiêu nghiêncứu Mụctiêucủađề tàilànghiêncứu phươngtrìnhsaiphân cấpmộtvà mộtsốvấnđề liênquan.Đểđạtđượcmụctiêutrên,đềtàisẽnghiêncứunhữngnộidungsau:  Các kháiniệmcơbảncủaphươngtrìnhsai phân  Phươngtrìnhsaiphâncấpmột  Mộtsố mơhìnhliênquan đếnphươngtrìnhsaiphân cấpmột  Cácứngdụng Nộidungcủa đềtàiđược chia làm3 chương:  ChươngI.Saiphânhữuhạncủahàmsố mộtbiếnthực,cáckháiniệmcơbản củaphươngtrìnhsaiphân  ChươngII.Phươngtrìnhsaiphâncấpmột  ChươngIII.Cácvấnđềliênquanđếnphươngtrìnhsaiphân cấpmột Đốitượngnghiêncứuvàphạmvinghiêncứu 3.1 Đốitượngnghiêncứu Phươngtrìnhsaiphâncấpmộtvàmộtsốvấnđềliênquan 3.2 Phạmvinghiêncứu Phương trình sai phân cấp một, mơ hình động lực học có liên quan đếnphươngtrìnhsaiphâncấpmộtmộtbiếnnhưmơhìnhquầnthểđơnlồi,mơhình mạng nhện cân cung cầu kinh tế Ngoài ra, tổng hợp chuỗi, lãisuấtđơn,lãisuấtképvàtrả góp cũngđượcnghiêncứu trongluậnvănnày Phươngphápnghiêncứu Thuthậpcáctàiliệusưutầmđược,cácsáchvởcóliênquanđếnđềtàiluậnvăn Trong luận văn có sử dụng kiến thức liên quan đến lĩnh vực sauđây:Giảitíchhàmbiếnthực,Lýthuyếtphươngtrìnhsaiphân,Lýthuyếtphươngtrìnhvi phân, Ýnghĩakhoahọcvàthựctiễncủađềtài Đề tài có ý nghĩa mặt lý thuyết ứng dụng Có thể sử dụng luận vănnhư tài liệu tham khảo dành cho sinh viên ngành Toán đối tượngquantâm Cấutrúcluậnvăn Ngoàiphầnmởđầuvàkếtluận, nộidungcủaluậnvăngồmba chương Mở đầu Giới thiệu sở khoa học tính thực tiễn đề tài, mục đích đề tài,nội dungvàmộtsốvấnđềkháctheoquy định ChươngI.Saiphânhữuhạncủahàmsốmộtbiếnthực,cáckháiniệmcơbản củaphươngtrìnhsaiphân ChươngItrìnhbàysaiphânhữuhạncủahàmsốmộtbiếnthực,cáckháiniệmc ơbảnvềphươngtrình saiphân ChươngII.Phươngtrìnhsaiphâncấpmột ChươngIItrìnhbày phânloạiphươngtrìnhsaiphâncấp một,phươngtrìnhsai phântuyếntínhcấpmột ChươngIII.Cácvấnđềliênquanđếnphươngtrìnhsaiphâncấpmột Chương III luận văn giới thiệu điểm cân hệ động lực học, sơđồ bước cầu thang, mơ hình quần thể đơn lồi sinh học, mơ hình mạngnhện cân cung cầu kinh tế Ngoài ra, tổng hợp chuỗi, lãi suất đơn,lãi suất képvàtrảgóp cũngđượckhái quáttrongchương III Kếtluận Nêu tómtắtnhữngkếtquả mà luậnvănđạtđược Tàiliệuthamkhảo CHƯƠNGI SAIPHÂNHỮU HẠNCỦA HÀMSỐMỘTBIẾN THỰC,CÁCKHÁI NIỆMCƠBẢNCỦAPHƯƠNGTRÌNHSAI PHÂN 1.1 Saiphânhữuhạncủahàmsốmộtbiếnthực Xét hàmsố biến thực𝑦(𝑡)vàℎ>0 Địnhnghĩa1.1.Biểuthức ∆𝑦(𝑡)= 𝑦 (𝑡+ℎ)−𝑦 (𝑡) (1.1)đượcgọilàsai phânhữuhạn thứ nhấthaysaiphân hữu hạn cấpmộtcủa𝑦(𝑡) Một cách tự nhiên ta mặc định hàm𝑦(𝑡)là xác định điểmmàtatiếnhànhxemxét.Chúýrằngtronglýthuyếtviphânthìℎchínhlàsốgiacủa đối số, cịn∆𝑦(𝑡)chính số gia hàm số điểm𝑡 Trong tài liệu củachúng ta, sốℎcịn có tên bước Sai phân hữu hạn cấp cao xác định bởibiểu thức: ∆𝑛𝑦(𝑡)= ∆ ( ∆ 𝑛−1𝑦(𝑡)) (1.2)Vídụ,đốivới𝑛=2.Tacó: ∆2𝑦(𝑡)= ∆(∆𝑦 (𝑡))=∆(𝑦(𝑡 +ℎ)−𝑦 (𝑡))=∆𝑦 (𝑡+ℎ)−∆𝑦(𝑡) =(𝑦 (𝑡+ℎ+ℎ)−𝑦(𝑡+ℎ))−(𝑦 (𝑡+ℎ )−𝑦 (𝑡)) =𝑦 (𝑡+ 2ℎ )− 2𝑦(𝑡+ℎ)+ 𝑦(𝑡) Để tiện lợi quán mặt logic ta kí hiệu∆0𝑦(𝑡)= 𝑦(𝑡).Bằngphương pháp quy nạp tốn học, khơng khó để chứng minh sai phân hữuhạn cấp𝑛làtuyếntính,tứclà: ∆𝑛(𝑓(𝑡)+ 𝑔 (𝑡))= ∆ 𝑛(𝑓(𝑡))+ ∆ 𝑛(𝑔(𝑡));∆𝑛(𝐶𝑓(𝑡))= 𝐶 ∆ 𝑛𝑓(𝑡) Giá trị∆𝑛𝑦(𝑡)dễ dàng biểu diễn qua giá trị hàm𝑦(𝑡)tại cácđiểm𝑡,𝑡+ℎ,…,𝑡+𝑘ℎ.Tacóđượccơngthứcsauđây: n n y (t)(1) k0 nk k Cyn (tkh) (1.3) Ta đichứng minh cơngthức bằngphươngpháp quynạptốn học