162 đề hsg toán 7 trường lý thường kiệt 2017 2018

TRƯỜNG THCS LÝ THƯỜNG KIỆT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2017-2018 Mơn: TỐN Bài (4 điểm) 1 1 1 A       100 100.99 99.98 98.97 3.2 2.1 Rút gọn Tìm số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện: 2.22  3.23  4.24    n  1 n   n.2 n 2 n 34 Bài (5 điểm) xy yz zx x2  y2  z2    x , y , z y  x z  y z  x  42  62 Tìm số biết: Chứng minh khơng thể tìm số nguyên x, y, z thỏa mãn : x  y  y  z  z  x 2017 Bài (3 điểm) 99 100 Chứng minh rằng:        chia hết cho 31 Bài (3 điểm) 2 Tìm giá trị lớn biểu thức: P  x  y    15 y  x   xy  90 Bài (5 điểm) Cho ABC có góc nhọn, AB  AC  BC Các tia phân giác góc A góc C cắt O Gọi F hình chiếu O BC; H hình chiếu O AC Lấy điểm I đoạn FC cho FI  AH Gọi K giao điểm FH AI a) Chứng minh FCH cân b) Chứng minh AK KI c) Chứng minh điểm B, O, K thẳng hàng ĐÁP ÁN Bài 1 1 1 1.1) A        100 100.99 99.98 98.97 3.2 2.1  1 1  A        100  100.99 99.98 98.97 3.2 2.1   1 1  A        100  1.2 2.3 97.98 98.99 99.100   1 1 1 1  A              100  2 97 98 98 99 99 100     49 A  1   100  100  50 n n n 34 1.2) 2.2  3.2  4.2    n  1  n.2 2 (1) B 2.22  3.23  4.24    n  1 n  n.2 n  B 2. 2.22  3.23  4.24    n  1 2n  n.2n  B 2.23  3.24  4.25    n  1 2n  n.2 n1 B  B  2.23  3.24  4.25    n  1 2n  n.2 n1    2.22  3.23  4.24    n  1 2n  n.2n  B  23  24  25   n  n.2n1  2.22 Đặt   23  24  25   2n   n.2n1  23 C 23  24  25   2n  2C 2. 23  24  25   2n  2  25  26   n1 2C  C  24  25  26   n1    23  24  25   n  n 1 Đặt C 2  B   2n1  23   n.2n1  23 Khi  2n1  23  n.2n1  23  n1  n.2n 1  n  1 2n 1 n 1 n 34 Vậy từ (1) ta có:  n  1 2 2n34   n  1 2n1 0 2n1  233   n  1  0  233  n  0  n 233  33 Vậy n 2  Bài Xét x 0  y 0, z 0  y  z 0 (vô lý) Suy x 0; y 0; z 0 Khi từ đề suy : y  x z  y x  z 22  42  62    xy yz zx x  y2  z2  4 6 22  42  62       2 2 x y y z z x x y z x 22   62     k 0   2 x y z k x  y  z k Đặt 2 Suy : x 2k ; y 4k ; z 6k x  y  z 28k (3) Thay x 2k , y 4k , z 6k vào (3) ta được:  2k  2   4k    6k  28k  k 0( ktm)  56k  28k 0    k  (tm)  k   x 1; y 2; z 3 Với Vậy x 1, y 2, z 3 2.2 Ta có: x  y  y  z  z  x  x  y   x  y   y  z   y  z   z  x   z  x  x 0 2 x x  x  x0 0 Với số nguyên x ta lại có Suy x  x ln số chẵn với số nguyên x  x  y   x  y   y  z   y  z  z  x   z  x Từ ta có:  số chẵn với số nguyên x, y, z Suy x  y   x  y   y  z   y  z   z  x   z  x  số chẵn với số nguyên x, y, z Hay x  y  y  z  z  x số chẵn với số ngun x, y, z Do đó, khơng thể tìm số nguyên x, y , z thỏa mãn: x  y  y  z  z  x =2017 Bài 3 99 100 Đặt D 2        (có 100 số hạng)   22  23  24  25    26  27  28  29  210     296  297  298  299  2100  (có 20 nhóm) D 2.   22  23  24   26.   22  23  24    296    2  23   D 2.31  26.31   296.31 D 31.  26   296  chia hết cho 31 99 100 Vậy D 2        chia hết cho 31 Bài 2 Ta có: P  x  y    15 y  x   xy  90 2  x  y    x  15 y   xy  90 2  x  y   9. x  y   xy  90   8. x  y   xy  90    Ta thấy  x  y  2 0 với x, y nên 8. x  y  0 với x, y xy  90 0 với x, y Khi 8. x  y   xy  90 0 với x, y   8. x  y   xy  90  0  Suy  với x, y Hạy P 0 với x, y  x  y  0   xy  90   Dấu " " xảy x y  k Đặt ta x 5k , y 2k x y   5  xy 90  k 3 5k 2k 90  k 9    k  Mà xy 90 nên Nếu k 3  x 15, y 6 Nếu k   x  15, y   x 15; y 6 MaxP 0    x  15; y  Vậy Bài A H E K O G B F a) Chứng minh   Ta có CHO CFO 90 ( OH  AC , OF  BC ) I C    Xét CHO vng CFO vng có: OC chung; HCO FCO (OC phân giác C ) Vậy CHO CFO (cạnh huyền – góc nhọn)  CH CF (hai cạnh tương ứng) Vậy FCH cân C b) Qua I vẽ IG / / AC  G  FH    Ta có FCH cân C (cmt)  CHF CFH (1)   Mà CHF FGI (đồng vị, IG / / AC ) (2)     Từ (1) (2)  CFH FGI hay IFG IGF , Vậy IFG cân I  FI GI , mặt khác : FI  AH nên GI  AH (FI )     Ta lại có : IGK  AHK ; HAK GIK (so le , IG / / AC )     Xét AHK IGK có: IGK  AHK (cmt ); GI  AH (cmt ); HAK GIK (cmt )  AHK IGK ( gcg )  AK KI (dfcm)  c) Vẽ OE  AB E, Chứng minh BO tia phân giác ABC (*) Chứng minh AB BI   Chứng minh được: ABK IBC (c.c.c)  ABK IBK  Từ suy BK lầ tia phân giác ABC  ** Từ (*) (**) suy tia BK , BO trùng Hay B, O, K ba điểm thẳng hàng