079 đề hsg toán 7 trường lý tự trọng 2018 2019

PHÒNG GD&ĐT PHỦ LÝ TRƯỜNG THCS LÝ TỰ TRỌNG ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2018-2019 MÔN: TỐN Câu (2,0 điểm) a) Tìm x biết B 1  x   x    1 2016 3 x  2017 1 1        3              x  x b) Cho Tìm số nguyên dương x để B 115 Câu (2,0 điểm) y  z 1 x  z  x  y     x y z xyz a) Cho x, y, z số thực thỏa mãn 2017 2017 Tính giá trị biểu thức A 2016.x  y  z b) Cho x, y, z số thực thỏa mãn: x 3 y 5 z x  y 5 Tìm giá trị lớn 3x  z Câu (2,0 điểm) a) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức M 2016 x  2016 3x  có giá trị nhỏ 2 b) Cho đa thức f ( x ) 2016.x  32  25k   x  k  100 (với k số thực dương cho trước) Biết đa thức f ( x) có ba nghiệm phân biệt a, b, c với  a  b  c  Tính hiệu a c Câu (2,5 điểm) Cho đoạn thẳng BC cố định, M trung điểm đoạn thẳng BC Vẽ góc CBx  cho CBx 45 , tia Bx lấy điểm A cho độ dài đoạn thẳng BM BA tỉ lệ với Lấy điểm D thuộc đoạn thẳng BM Gọi H I hình chiếu B C đường thẳng AD Đường thẳng AM cắt CI N Chứng minh rằng: a) DN vng góc với AC 2 b) BH  CI có giá trị khơng đổi D di chuyển đoạn thẳng BM c) Tia phân giác góc HIC ln qua điểm cố định Câu (1,5 điểm) p a) Tìm số nguyên tố p thỏa mãn  p số nguyên tố b) Trong bảng ô vuông gồm có 5 vng, người ta viết vào ô vuông chir số 1;0;  Chứng minh tổng số theo cột, hàng, đường chéo phải có hai tổng số ĐÁP ÁN ĐỀ HSG TOÁN TAM DƯƠNG 2016-2017 Câu x   x    1 a) 2016 3 x  2017  x   x  3 x  1(*) Điều kiện để x thỏa mãn toán Khi x 3x  0  x  1 1  x  0 nên (*) trở thành x   x  3 x   x  x Nếu x 1 ta có 3x  x nên (điều kiện x 0) x Nếu x 1 ta có  3x x nên (thỏa mãn) x (thỏa mãn) 3 3 x ;  2 4 Vậy  2.3   3.4   4.5   x  x  1  B 1             2  3    x   x 1 1  x( x  3)  1           ( x  1)     2 2   b)  x( x  3)    115  x( x  3) 460 Từ B = 115   Mà x số nguyên dương nên x x+3 ước dương 460 nên x 20 Vậy x=20 Câu a) Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có : y  z 1 x  z  x  y     2 x y z xyz 0,5  x  0,5  y  0,5  z    2 x y z 5  x  ;y  ;z  6 2016.x  y 2017  z 2017 2016  1008 Khi ta có  x  y  z 0,5  2016  1008 Khi ta có y  z 1 x  z  x  y     y z xyz Vậy với x, y, z số thực thỏa mãn x 2017 2017 Thì giá trị biểu thức 2016.x  y  z 1008 x 2y x  2y   , y 5 z 1 b) Ta có: Nếu x  y 5  x  15, y  10, z  Khi 3x  z  45 12  33 Nếu x  y   x 15; y 10; z 6 Khi 3x  z 45  12 33 Vậy giá trị lớn 3x  z 33 Câu a) M 2016 x  2016 672  x    2016  1344 3360  672  3x  3x  3x  M nhỏ  3360 3x  lớn 3360  (1) * Xét 3x   x  3360 0 * Xét 3x   3x  3360 3x  lớn 3x  nhỏ Mà x nguyên, 3x  dương 3x  chia dư nên 3x  2  x 0 3360 3360  1680 (2) Khi 3x  3.0  3360 So sánh (1) (2) 3x  có giá trị lớn 1680 Vậy M  1008  x 0 b) Ta thấy đa thức f ( x) có nghiệm x a (a khác 0) x  a nghiệm f ( x) nên f ( x) có 2m nghiệm Mà đa thức f ( x) có ba nghiệm phân biệt nên ba nghiệm Thay x 0 vào đa thức cho ta được: k  100 0 nên k 10 (vì k dương) 2 Với k 10 ta có f ( x) 2016 x  8064 x 2016 x ( x  4) 0 Từ f ( x ) có nghiệm phân biệt a  2; b 0; c 2 nên a  c  Câu B H D M I N A C a) Từ M kẻ tia My vng góc với BC cắt tia Bx A’ Tam giác BMA’ vuông cân M nên MB : BA ' 1: Suy A  A ' nên AM vng góc với BC Tam giác ADC có AM CI đường cao nên N trực tâm tam giác ADC Suy DN vng góc với AC  b) Ta có AMB AMC (c.g.c) nên AB = AC góc ACB 45    Tam giác ABC vuông cân A có BAH  ACI 90  CAH H, I hình chiếu B C AD nên H=I=90 Suy AIC BHA (c.h  g.n)  BH  AI BH  CI BH  AH  AB (không đổi) 0    c) BHM AIM  HM MI BMH  BMI 90  HMI vuông cân  HMI 45 0     Mà HIC 90  HIM MIC 45  IM tia phân giác HIC  Vậy tia phân giác HIC qua điểm M cố định Câu p a) Với p 2  p 4  8 không số nguyên tố p Với p 3  p 8  17 số nguyên tố p k 1 Vơi p  p số nguyên tố nên p lẻ nên 2 2 (mod 3) p Và p 1(mod 3) nên  p 3 p p Mà  p  nên  p hợp số p Vậy với p 3  p hợp số p Vậy với p 3  p số nguyên tố b) Ta có cột, hàng đường chéo nên có 12 tổng Mỗi ô vuông nhận số 1;0 – nên tổng nhận giá trị từ - đến Ta có 11 số nguyên từ - đến – 5; - ; ….;0;1;….5 Vậy theo ngun lý Dirichle phải có hai tổng (đpcm)